浙江省高三上学期11月月考数学试题
浙江省2020版高三上学期数学11月月考试卷(II)卷
浙江省 2020 版高三上学期数学 11 月月考试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高二下·陕西期末) 已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A∩B 中元素的个数为 （）A.1B.2C.3D.42. （2 分） (2020 高二下·广州期末) 复数 z 满足，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2 分） (2020 高二上·吉林期末) 已知 （）A . 18 B . -18，则C.D.4. （2 分） (2020 高二下·石家庄月考) 已知函数的导函数为且满足，则（）第 1 页 共 11 页A. B. C. D. 5. （2 分） (2019 高二上·河南月考) 设 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A . 直角三角形 B . 等边三角形 C . 等腰直角三角形 D . 钝角三角形6. （2 分） (2019·河南模拟) 已知函数的三个内角成等差数列，、、的部分图象如图所示，则A. B. C. D.第 2 页 共 11 页7. （2 分） (2018 高二下·湛江期中) 已知函数 值范围是（ ）A.有两个极值点，则实数 的取B.C.D. 8. （2 分） (2017·湘潭模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A . 6π B . 7π C . 8π D . 12π9. （2 分） (2019 高一上·连城月考) 设 A. B. C. D.第 3 页 共 11 页,则大小的顺序是（ ）10. （2 分） (2019 高三上·儋州月考) 命题“A.，B.，C.，D.，，”的否定是（ ）11. （2 分） (2018 高一上·长春月考) 已知集合，，若，则 取值范围（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2018 高一上·烟台期中) 设函数 则实数 x 的取值范围是，若对任意恒成立，A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）已知实数 x，y 满足 的值为________．且目标函数 z=y﹣3x 的最大值为﹣1，最小值为﹣5，则第 4 页 共 11 页14. （1 分） (2018 高一上·海安月考) 若函数是奇函数，则实数 的值为________．15. （1 分） 已知等差数列{an}中，a1+a13=10，则 a3+a5+a7+a9+a11=________16. （1 分） (2019 高二上·宁波月考) 已知两矩形与所在的平面互相垂直，将沿直线 翻折，使得点 落在边 上（即点 P），则当 取最小值时，四面体外接球的半径是________.，若 的三、 解答题 (共 6 题；共 52 分)17. （10 分） (2019 高一下·南通月考) 在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A﹣3cos （B+C）=1．（1） 求角 A 的大小；（2） 若△ABC 的面积 S=5 ，b=5，求 sinBsinC 的值．18. （10 分） (2017 高二下·河南期中) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若{an}和 列，且公差相等．（1） 求数列{an}的通项公式；都是等差数（2） 令 bn=，cn=bn•bn+1 ， 求数列{cn}的前 n 项和 Tn ．19. （10 分） (2019 高二下·深圳期中) 已知函数（1） 求在上的单调性及极值；（2） 若，对任意的，不等式第 5 页 共 11 页（） .都在上有解，求实数 的取值范围.20. （2 分） (2018 高一下·宜宾期末) 如图所示，在四棱锥是矩形， 是 的中点，.中，已知底面（1） 在线段 上找一点 ,使得 （2） 在（1）的条件下，求证 21. （10 分） (2020 高二下·盐城期末) 设函数,并说明理由； .（其中 为实数）.（1） 若，求零点的个数；（2） 求证：若不是的极值点，则无极值点.22. （10 分） 一直函数,其中（1） 讨论的单调性（2） 设曲线 的正实数 ， 都有与 轴正半轴的交点为 ， 曲线在点 处的切线方程为， 求证：对于任意（3） 若关于 的方程（ 为实数）有两个正实根 ,求证：第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 52 分)17-1、 17-2、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 11 页19-2、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、21-1、21-2、第 10 页 共 11 页22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷含答案
三明一中2022-2023学年上学期月考二高三数学科试卷（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}22,3,4,230A B x x x ==∈+-<N ，则A B 中元素的个数是A.2B.3C.4D.52.复平面内表示复数622iz i+=-，则z =A. B. C.4 D.3.若非零实数,a b 满足a b >，则A.22ac bc> B.2b a a b+> C.e1a b-> D.ln ln a b>4.函数()cos f x x x =的图像大致是A ．B ．C ．D ．5.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，点M ，N 在线段AB 上，且1AM MN NB ===，则MD 与NC所成角的余弦值为A ．13B ．45C ．23D ．356.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1,PA PA =⊥面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为A.256π B.9π C.92π D.98π7.如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =A.361B.374C.385D.3958.在ABC 中，角A、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，b a λ=，则实数λ的最大值是A.B．32+C．D．2二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
新乐市第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
新乐市第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）C ．D ．36,144ππ36,36ππ一定是（ ）D ．等腰三角形或直角三角形y=x+，三棱锥的三视图如图090=S ABC -C ．8D ．34意在考查学生空间想象能力和计算能6． 若x ，y 满足且z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则k 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣27． 已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）{}n a n S d 201717100201717S S -=d A ．B ．C ．D ．12011010208． 已知命题p ：“若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直”，命题q ：“存在两个相交平面垂直于同一条直线”，则下列命题中的真命题为（ ）A ．p ∧qB ．p ∨qC ．￢p ∨qD ．p ∧￢q9． 复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）2(2)i z i-=i z A ． B ． C ． D ．43i -+43i +34i +34i-【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（）A ．B ．C ．D ．11．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1•e 2+1的取值范围为（ ）A ．（1，+∞）B ．（，+∞）C ．（，+∞）D ．（，+∞）12．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）A ．i ≥7？B ．i ＞15？C ．i ≥15？D ．i ＞31？二、填空题13．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．14．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．15．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①m ，使曲线E 过坐标原点；∃ ②对m ，曲线E 与x 轴有三个交点；∀ ③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN的面积不大于m 。
2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]
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2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。
浙江省宁波市2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题含答案
2023学年第一学期鄞州高二11月月考数学（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.2.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.1.设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.,12⎫⎪⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,2⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2.已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，且11223,F N F M F M F N ==，则C 的离心率为（）A.B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得2MNF 为等边三角形，从而得12120F MF ∠=︒，然后在12F MF △中，利用余弦定理化简可得到c =，从而可求出离心率的值.【详解】设1F M m = ，则13F N m =，设22F M F N n ==，则由双曲线的定义得，232n m a m n a -=⎧⎨-=⎩，解得24m an a =⎧⎨=⎩，所以12F M a = ，16F N a =，224F M F N a ==，4MN a =，所以2MNF 为等边三角形，所以260NMF ∠=︒，则12120F MF ∠=︒，在12F MF △中，由余弦定理得，22212121212cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=,即222214164216a a c a+--=，化简得227c a =，c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选：C.3.已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且124F F =，1223F PF π∠=，则12PF PF→→⋅的取值范围为（）A.,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.33⎛-- ⎝⎭C.,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】方法一：由题知：22114a b =+，22224a b +=，不妨设点P 在第一象限，设12,PF m PF n ==，进而得12m a a =+，12n a a =-，故在12PF F △中，由余弦定理得得2212316a a +=，，212182PF PF a →→⋅=-，由于211643a <<，2188203a -<-<，即2121882,03PF PF a →→⎛⎫⋅=-∈- ⎪⎝⎭方法二：根据题意不妨设点P 在第一象限，则有正弦定理得P在半径为3的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得122121si 12n 12210F PF p S F F y PF PF →→=⨯⨯=⋅△得12P PF F P →→⋅=，由于0,3P y ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，进而得121212PF PF PF PF →→→→⋅=-⋅∈8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】解：方法一：如图1，设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，由题知：22114a b =+，22224a b +=，不妨设点P 在第一象限，设12,PF m PF n ==，所以在椭圆中，有12m n a +=，在双曲线中有22m n a -=，所以12m a a =+，12n a a =-，所以在12PF F △中，由余弦定理得：()()()()22222121212121212161cos 222m n F F a a a a F PF mna a a a +-++--∠===-+-，整理得2212316a a +=，所以2221163a a =-所以()22212121212111cos1208222PF PF PF PF PF PF a a a →→→→→→⋅=⋅=-⋅=--=-，由于22211630a a =->，221140a b -=>所以211643a <<，2132823a <<，故2132283a -<-<-所以2188203a -<-<，即2121882,03PF PF a →→⎛⎫⋅=-∈- ⎪⎝⎭故选：D.方法二：如图2，不妨设点P 在第一象限，由正弦定理得三角形12F PF △外接圆的半径为3，所以P 在半径为3，圆心为'0,3O ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的圆在第一象限的圆弧 2MF （不包含端点）上，所以'3OO =，所以3OM =，所以230,3P y ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，由向量数量积定义得1212121cos1202PF PF PF PF PF PF →→→→→→⋅=⋅=-⋅，由三角形面积公式得：1212122F PF p P S F F y y =⨯⨯=△，121212sin12012F PF PF PF PF S →→→→=⋅=⋅△，所以12P PF F y P →→⋅=，所以12160,3P PF PF →→⎛⎫∈ ⎪⎝=⎭⋅，所以121212PF PF PF PF →→→→⋅=-⋅∈8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将1PF ，2PF 用椭圆的长半轴1a 与双曲线的实半轴2a 表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得2212316a a +=，故212182PF PF a →→⋅=-，再根据211643a <<即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点P 在第一象限，进而得P 在半径为433，圆心为230,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的圆在第一象限的圆弧2MF （不包含端点）上，进而利用面积公式求解.4.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △的面积为23b ，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（）A.B.2C.2+D.5+【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义得到24AF a =，12AF a =，利用余弦定理表达出22225cos 4c a BAF a -∠=，进而表达出正弦，求出12AF F △与2ABF △面积相加，得到12BF F △的面积，得到方程442213100a c a c +-=，解出离心率的平方.【详解】如图，由双曲线的定义可知：122BF BF a -=，212AF AF a -=，因为2||AB BF =，所以12AF a =，代入212AF AF a -=中，可得：24AF a =，因为122F F c =，所以在三角形12AF F 中，由余弦定理得：2222222212121221241645cos 22244AF F A F F a a c a c F AF AF F Aa a a+-+--∠===⋅⨯⨯，因为122πF AF BAF ∠+∠=，所以22225cos 4c a BAF a -∠=，则2sin BAF ∠，2tan BAF ∠取2AF 的中点M ，连接BM ，因为2||AB BF =，所以2BM AF ⊥，22AM MF a ==，所以BM =2212ABFS AF BM =⋅=又因为1221121sin2AF F S AF AFF AF=⋅∠=所以222453a b c a -，化简得：442213100a c ac +-=，同除以4a 得：4210130e e -+=，解得：25e =+250e =-<（舍去）故选：D5.已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C和B 、D 两点，且满足AP PC λ= ，BP PD λ= ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A.2B.12C.2D.5【答案】A 【解析】【分析】设出,,,A B C D 四点的坐标，将,A B 两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将,C D 两点坐标代入椭圆方程并化简，根据14AB CDk k ==-化简上述两个式子，由此求得22b a的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设()()()()11324423,,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 因为()1,1P ，且AP PC =uu u r uu u rλ，所以131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩.将,A B两点坐标代入椭圆方程并化简得()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=，即()()2212120AB b x x a y y k +++=，同理()()2234340CD b x x a y y k +++=，由于AP PC =uu u r uu u r λ，BP PD =uu r uu u r λ，所以14AB CD k k ==-，即()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()221212223434104104b x x a y y b x x a y y λλ⎧⎛⎫+++⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相加得()()221324132404a b x x x x y y y y λλλλ+++-+++=，即()()22222204a b λλ+-+=，所以2214b a =，所以2e ===，故选 A.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.6.设,A B 是椭圆22:14x yC k+=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠= ，则k 的取值范围是（）A.4(0,][12,)3⋃+∞ B.2(0,][6,)3⋃+∞ C.2(0,][12,)3⋃+∞ D.4(0,][6,)3⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况：①0＜k ＜4时，C 上存在点P 满足∠APB=120°，假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan ∠≥tan60°，解得：0＜k≤43．②当椭圆的焦点在y 轴上时，k＞4，同理可得：k ≥12，∴m 的取值范围是（0，43]∪[12，+∞）故选A．点睛：这个题目并没有说明椭圆的焦点位置，因此分两种情况，且在这些三角形中，当p 点在上顶点M 时，角最大，因此：0＜k ＜4时，C 上存在点P 满足∠APB=120°，即∠AMB≥120°，即∠AMO≥60°，在直角三角形中tan ∠≥tan60°，解得k，同理k ＞4时也可以这样做．7.已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A.6+B.6+C.8D.6【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ，则1c e a =，2ce a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=-则2133e e +33322633322m m c c a c c cm m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=+'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号.故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.8.如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -，()2,0F c ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆222x y c +=上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线2C 交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为1k 、2k ，若椭圆1C的离心率为5，则12k k ⋅的值为（）A .2B.52C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】设椭圆方程为22221x y a b +=，双曲线方程为22221x y s t-=，根据椭圆离心率得到2225b a =，故椭圆方程为222252x y a +=，联立222x y c +=求出A 点坐标，从而由对称性得到,,B C P点坐标，表达出:56CP y x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，将A 点代入双曲线方程，结合2222232s t a b b +=-=得到222b s =，22t b =，得到双曲线方程222221x y b b -=，联立530:56CP y x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，得到两根之和，两根之积，表达出,5427Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而求出12,k k ，得到乘积.【详解】设椭圆方程为22221x y a b +=，双曲线方程为22221x y s t-=，则22222a b s t c -=+=，由5c a =可得2235a c =，因为222c a b =-，所以2225b a =，故椭圆方程为222252x y a +=，联立222x y c +=可得：22222223253236x c b b b b =-=-=，2223b y =，则,63A b b ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于x 轴对称，则,63B b b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,63C b ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,06P b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故035303066CP bk +=，直线530:56CP y x b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，306,63A b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y s t -=中得，222252163b b s t -=①，又22222225322s t a b b b b +=-=-=②，②①结合得到2252b s =或222b s =，因为2252a b =，显然s a <，故222b s =，所以2222322b t b b =-=，故双曲线方程为222221x y b b-=，联立:56CP y x b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭与222221x y b b -=得：229705156x bx b +-=，设()11,Q x y ，则2175669bx b -=-⋅，解得：154x =，故15627y b ⎛⎫=-=-⎪⎪⎭，所以,5427Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以266327k b =+，其中166335k b b+==，故124255k k ==.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为12,e e ，P 为它们的一个交点，且122F PF θ∠=，则2212sin cos 1e e θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在()00,P x y 处的切线互相垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别12F F 、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为1212,,e e PF F △的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为D ，则（）A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若12OP F F =，则2212115e e +=D.若121212IPF IPF IF F S S S -≥△△△，则112e <≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得OC a =，可判断A ；在等腰2PEF △中，利用中位线结合双曲线的定义可求出OD a =，可判断B ；设12,PF m PF n ==，由21πPOF POF ∠=-∠，即21cos cos POF POF ∠=-∠，由余弦定理代入化简可得22210n m c +=，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C ；由121212IPF IPF IF F S S S -≥△△△，即12PF PF c -≥可判断D .【详解】设圆I 与12PF F △三边1212,,PF PF F F 的切点为,,A B C ，()11112222F C F A PF PB PF PF F B a F C ==-=--=+，又122FC F C c +=，故2F C c a =-，故OC a =，所以I 到y 轴的距离为a ，故A正确；过2F 作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长2F I 交1PF 于点E ，因为2PED PF D ≅ ，则D 为2F E 的中点且2PF PE =，于是()()1112111222OD F E PF PE PF PF a ==-=-=，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为1a ，它们的半焦距为c ，并设12,PF m PF n ==，根据椭圆和双曲线的定义可得：12,2m n a m n a +=-=，所以11,m a a n a a =+=-，在1POF △中，由余弦定理得：22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos m c c c c POF =+-⨯⨯∠，在2 POF 中，由余弦定理得：22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2222422cos n c c c c POF =+-⨯⨯∠，由21πPOF POF ∠=-∠，两式相加，则22210n m c +=，又2222122n m a a +=+，所以22212210a a c +=，所以22215a a c +=，所以221225a a c c+=，即2212115e e +=，故C 正确；121212IPF IPF IF F S S S -≥△△△，即12PF PF c -≥，所以2a c ≥，即112e <≤，故D 正确.故选：ACD .10.已知1F 、2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，过点,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作双曲线的切线交双曲线于点P （P 在第一象限），点M 在1F P 延长线上，则下列说法正确的是（）A.3OPk = B.1232PF PF = C.PQ 为12F PF ∠的平分线 D.2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为5π6【答案】ACD 【解析】【分析】先根据题意设出切线方程，与双曲线方程联立求出点P 的坐标，然后即可求出OP k ，12,PF PF，从而可以判断AB 两项；再根据角平分线性质定理的逆定理可以判断C 项；最后根据条件求出2F PM ∠的角平分线所在直线的斜率即可求出倾斜角.【详解】由题意知点P 为切点，且切线QP 斜率大于零，设切线QP 方程为()303x my m =+>，联立22312x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消x得22120233m y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由2241240323m m ∆⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭得3m =，所以切线QP方程为33x y =+.把3m =代入22120233m y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解方程得2y =将2y =代入切线方程得x =)2P，所以3OP k =，故选项A 正确.因为())12,F F ,所以124,2PF PF ==，故选项B 错误.因为124323,33F Q F Q ==,所以12:2F Q F Q =，又因为12:4:22PF PF ==，所以1212::PF PF F Q F Q =，所以PQ 为12F PF ∠的平分线，故选项C 正确.又因为PQ k =，且PQ 与2F PM ∠的角平分线所在直线垂直，所以2F PM ∠的角平分线所在直线的斜率为3-，所以2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为5π6，故选项D 正确.故选：ACD.11.过双曲线22:122x y C -=的左焦点F 的直线交C 的左､右支分别于,A B 两点，交直线=1x -于点P ，若9AF BF =，则（）A.AB =B.45AF AP=C.AF APBF BP= D.112AP AF AB-=【答案】BCD 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可求两点坐标，求出各线段的长度后可判断各项的正误，我们可可以根据双曲线中(2,0)F -的极线是=1x -可得AF AP BF BP=判断C ，再由9AF BF =及比例的性质可判断B ，由B 的结论根据比例性质可推出40||||9AB FP =判断A ，再由||||||||AF AP BF BP =及比例性质可判断D.【详解】法1：设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ≥≥.由题设可得()2,0F -，故9AF BF =即为()()112292,2,x y x y +=+，故12129169x x y y -=-⎧⎨=⎩，而2211122x y -=，2222122x y -=，故222181122x y -=，所以2212818022x x -=，所以()()121299160x x x x +-=，故1212910916x x x x +=-⎧⎨-=-⎩，故121393x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故121393x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故111399x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，213x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故AB的直线方程为：()25y x =+，故1,5P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故13409599AB =+==⨯，13529599AF =+==⨯，215FP =+=，3FB =+=，13495945AP =-==⨯，35BP =+=，故AB ≠，故A 错误.而459AF AP ==，故B 成立，又19AF AP BFBP==，故C 成立.又11216242459AP AF AB -===，故112AP AF AB-=成立，故D 成立，故选：BCD .法2：如图，点(2,0)F -的极线是=1x -，故,,,F A P B 成调和点列，即AF APBF BP=，故C 正确；又9AF BF =，所以||||1||||9AP AF PB FB ==，所以||1||1,||8||10AF AP AB AB ==，所以4||5||AF AP =，故B 正确；||5||599194||5||||||||||||4||955840AF AF AF AP FP AF AB AB AP FP =⇒=⇒=⇒==⨯=40||||9AB FP ⇒=，故A 错误；||||||||112||||||||||||||||||AF AP AF AP BF BP AF AB AB AP AP AF AB =⇔=⇔-=+-，故D 正确.故选：BCD12.设1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左，右焦点，直线l 过1F 交椭圆于A ，B 两点，则以下说法正确的是（）A.2ABF △的周长为定值8B.2ABF △的面积最大值为C.2212AF AF +的最小值为8 D.存在直线l 使得2ABF △的重心为11,64⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用椭圆的定义可判断A ，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C ，设直线l 的方程为1x my =-，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出2ABF △的面积，2ABF △的重心进而判断BD.【详解】由椭圆22143x y +=，可得2,1a b c ===，所以2ABF △为121248+++==AF AF BF BF a ，故A 正确；因为124AF AF +=，所以()221122282AF AF AF AF +≥+=，当且仅当12AF AF =取等号，故C 正确；由题可设直线l 的方程为1x my =-，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2234690m y my +--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m +==-++，所以12212134y y m -=+，所以2ABF △的面积为121221234S F F y y m =-=+，令t =，则1t ≥，221m t =-，所以221212134313t S m t t t===+++，因为1t ≥，由对勾函数的性质可知134t t+≥，所以2212123134313t S m t t t===≤+++，当1t =，即0m =取等号，故B 错误；由上可知122634m y y m +=+所以()212122268223434m x x m y y m m +=+-=-=-++，又()21,0F ，所以2ABF △的重心为221821,33434m m m ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，令221811334621344m m m ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨⎪=⎪+⎩，解得2m =，所以当直线l 的方程为21x y =-时2ABF △的重心为11,64⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，弦AB 过点1F ，若2ABF △的内切圆周长为π，A ，B两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则12y y -=________．【答案】43##113【解析】【分析】由内切圆的周长为π，可得半径为12r =，结合椭圆定义可得111212()(4++=+++=AB BF AF AF AF BF BF a ，再由2111()2=++ ABF S r AB BF AF 121212=-F F y y ，分析即得解【详解】在椭圆221167x y +=中，4,3a b c ===．∵2ABF △的内切圆的周长为π，∴2ABF △内切圆的半径为12r =．由椭圆的定义得2ABF △的周长为111212()()AB BF AF AF AF BF BF ++=+++416a ==，又211111()164222=++=⨯⨯= ABF S r AB BF AF且2121212132ABF S F F y y y y =-=- ，∴1234-=y y ，解得1243y y -=．故答案为：43．14.椭圆2221(1)x y a a+=>上三点A ，B ，C ，其中A 位于第一象限，且A ，B 关于原点对称，C 为椭圆右顶点．过A 作x 轴的垂线，交直线BC 于D ．当A 在椭圆上运动时，总有25||||||AC BC CD ≥⋅，则该椭圆离心率e 的最大值为_________．【答案】5【解析】【分析】设()11,A x y ，1AC k k =，2BC k k =，根据椭圆的方程得到1221k k a ⋅=-，即可得到211321x a k a a x +=-①，224211k a k =②，再由弦长公式得到()()()()()22211211511k a x k a x a x +-≥+-+③，整理可得250a -≤，即可求出离心率的最大值；【详解】解：依题意可得(),0C a ，设()11,A x y ，()11,B x y --，111AC a k y k x ==-，211BC ak y x k =-=--，所以221121x y a+=，则222111111221122211k y y y y a x a x a x a k y a -=⋅-⋅==---=--，又111y k x a =-，()()2212211321212211a x x a a k y x a x a a x a +---==-=①，224211k a k =②，由25||||||AC BC CD ≥⋅得()()()()()22211211511k a x k a x a x +-≥+-+③，将①②代入③式，消去1k ，2k 得()()()()222211551a a x a a a --≥-+，因为210a ->，10x a <<，则要求250a -≤，即25a ≤，所以2221141155c e a a ⎛⎫==-≤-= ⎪⎝⎭，即e的最大值为5．15.已知椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：22(5)(3)1x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的最小值为________________.【答案】4-【解析】【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得||||1MN ME ≥-，再结合椭圆定义将1MN MF -化为2||||MN MF +-，结合||||1MN ME ≥-以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆22:132x y C +=上任意一点，N 为圆E ：22(5)(3)1x y -+-=上任意一点，故()()23,,105,F E ，故12||||||||1MF MF MN ME +=≥-，当且仅当,,M N E 共线时取等号，所以()12||||M M M N MF N F -=-222||||||||1||1MN MF ME MF EF =+-≥+-≥--，当且仅当2,,,M N E F 共线时取等号，而2||5EF ==,故1MN MF -的最小值为514--=-，故答案为：4-16.在圆22:16O x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PH ，H 为垂足，则当点P 在圆上运动时，可求得线段PH 的中点Q 的轨迹方程是椭圆22:1164x yC +=，相当于把圆O 压缩后得到了椭圆C .现有一条不过原点的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，则OAB 面积的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】设直线AB 与x 轴交于点E ，伸缩变换时点A 对应圆O 上的点M ，点B 对应圆O 上的点N ，根据伸缩变换可知12OAB OMN S S =△△，求OMN S △的最大值即可.【详解】设直线AB 与x 轴交于点E ，伸缩变换时点A 对应圆O 上的点M ，点B 对应圆O 上的点N，当直线AB 斜率不存在时，显然直线MN 与x 轴交于点E ，当直线AB 斜率存在时，直线AB 方程为A A B A B A y y x x y y x x --=--，直线MN 方程为222A AB A B Ay y x x y y x x --=--，则直线AB 与直线MN 均与x 轴交于点(),0A B A A B Ay x x E x y y ⎛⎫--+⎪-⎝⎭，则12OAB A B S OE y y =- ，12OMN M N S OE y y =- ，显然12OAB OMN S S =△△，由于4OM ON ==，所以11sin 822OMN S OM ON MON OM ON =∠≤= ，（当且仅当OM ON ⊥时取等号），所以()max 1842OAB S =⨯= ，故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()2,0A ，104,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上．（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当M P PQ =时，证明：直线l 过定点．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,a b 的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,m k 的关系，进而可得直线过定点.【小问1详解】由题知，222224111014133a a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得21b =，所以双曲线E 的方程为2214x y -=．【小问2详解】由题意知，当l ⊥x 轴时，Q 与N 重合，由M P PQ =可知：P 是MQ 的中点，显然不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()222148440k x kmx m ----=，则()()()222222641611416140k m m k m k ∆=++-=+->，即2214m k +>，且2140k -≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--，AB 方程为()124y x =-，令1x x =，得112,4x P x -⎛⎫⎪⎝⎭，AN 方程为()2222y y x x =--，令1x x =得11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，由M P PQ = ，得111222222x x y y x --=+⋅-，即12121222y y x x +=--，即()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦，即()()()121214422480k x x k m x x m -+--+++=，将122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--代入得即22416161680m km k k m ++--=，所以()()2220m k m k ++-=，得22m k =-或2m k =-，当22m k =-，此时由0∆>，得58k <，符合题意；当2m k =-，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去所以l 的方程为22y kx k =+-，即()22y k x =-+，所以l 过定点()2,2．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②4【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①分析可知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为x ty n =+，可知2n ≠±，设点()11,P x y 、()22,Q x y .将直线PQ 的方程的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用1253k k =求出n 的值，即可得出直线PQ 所过定点的坐标；②写出12S S -关于t 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得12S S -的最大值.【小问1详解】解：当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=()224144151t t ===+++，20t≥，则≥因为函数()1f x x x=+在)+∞15，所以，12154161515S S -≤，当且仅当0=t 时，等号成立，因此，12S S-的最大值为4.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率为a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C ，所以2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.20.已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．（1）当k 变化时，求点M 的轨迹方程；（2）若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22412x y y =+，其中3y ≤-或13y >（2）存在，32k =±【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Mxy ，联立直线l 与双曲线E 的方程，消去y ，得()221424400k xkx -+-=，根据已知直线l 与双曲线E 相交于A 、B 两点，得2160640k ∆=->且2140k -≠，即252k <且214k ≠，由韦达定理，得1222414k x x k -+=-，则021214k x k -=-，02314y k-=-，联立消去k ，得22000412x y y =+，再根据k 的范围得出y 的范围，即可得出答案；（2）设()33,C x y ，()44,D x y ，根据双曲线E 的渐近线方程与直线l 的方程联立即可得出3621x k =-，4621x k =+，则340212214x x k x k+-==-，即线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点，若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则3CD AB =，结合弦长公式列式得34123x x x x -=-，即可化简代入得出21241k =-，即可解出答案.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Mxy ，联立直线l 与双曲线E 的方程，得22344y kx x y =-⎧⎨-=⎩，消去y ，得()221424400kxkx -+-=．由2160640k ∆=->且2140k -≠，得252k <且214k ≠．由韦达定理，得1222414kx x k -+=-．所以120212214x x k x k +-==-，20022123331414k y kx k k--=-=-=--．由020********k x k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩消去k ，得22000412x y y =+．由252k <且214k ≠，得03y -≤或013y >．所以，点M 的轨迹方程为22412x y y =+，其中3y ≤-或13y >．【小问2详解】双曲线E 的渐近线方程为12y x =±．设()33,C x y ，()44,D x y ，联立123y x y kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3621x k =-，同理可得4621x k =+，因为340212214x x kx k +-==-，所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点．若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则3CD AB =．3412x x -=-，34123x x x x -=-．而12x x -==，3426612212141x x k k k -=-=-+-．所以，21241k =-，解得32k =±，所以32k =±，存在实数，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点．21.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为2，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点(,2)(0)T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若TMN △的面积为TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）t =±【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；（2）分别联立直线TM 、直线TN 与椭圆的方程，解出E F 、坐标，即可写出直线EF 方程，判断定点；（3）设EF 交y 轴与P ，由TMN TMNTEF TMN FPN PEMS S S S S S =-+△△△△△△得到关于t 的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.【小问1详解】由题意可得2221,MN b b ==⇒=由椭圆的离心率为2可得22223144b e a a =-=⇒=，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】由题意知直线TM 的方程为1x y t =+，直线TN 的方程为31x y t=-．由22141x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．同理，2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以()()()()()()2222222243222236814416192436443636424824436364EFt k t t t t t t t t t t t t t t t t t t -===+----+--++-+++++++()()()2222121212161612t t ttt t -+-=-=-+，所以直线EF 的方程为：222241284164t t t y x t t t --⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即21210162t x y t -+-=，所以，直线EF 过定点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问3详解】设EF 交y 轴与P ，则2218||2||||364TEF TMN FPN PEM t t S S S S t t t =-+=-+++△△△△．因为||TMNS t =△，所以424222401441641114424144324TMN TEF S t t k S t t t t++===+≤+++++△．当且仅当22144t t =，即t =±时，等号成立．所以当t =±时，k 取得最大值43．【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。
极限
极限 题组一一、选择题1．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，10） （C ）（10，100） （D ）（100，+∞）答案 B.2. （广西北海二中2011届高三12月月考试题理）已知等比数列{}n a 中，公比R q ∈，且,3,9654321-=++=++a a a a a a n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞等于（ ） A6B427 C 17536 D17548答案 B.3．（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理）设a ∈R ，若函数()3axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）.3A a >-.3B a <-1.3C a >-1.3D a <-答案 B.4．（浙江省杭州市高级中学2011届高三上学期第三次月考理）已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 答案 A. 二、填空题5．（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）若函数()f x 21x ax +=-在1x =-处取极值，则a =___________． 答案：3.6．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）已知函数()f x =23(0)(0)x x ax +≠⎧⎨=⎩，在点0x =处连续，则2221lim n an a n n→∞+=+ 答案 13.7．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）若21(1)132lim 1,lim 2n x a n ax x n x a→∞→++-+=+-则= 。
答案 –1. 三、简答题8．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）已知函数1)1(3)(223+--+=k x k kx x f 在4,0==x x 处取得极值．(1)求常数k 的值；(2)求函数)(x f 的单调区间与极值；答案 解：(1)x k kx x f )1(63)(2-+='，由于在4,0==x x 处取得极值， ∴,0)0(='f ,0)4(='f 可求得31=k ． ………2分(2)由(1)可知98231)(23+-=x x x f ，)4(4)(2-=-='x x x x x f ，'随的变化情况如下表：)(,40x f x x ><或)(,40x f x ≤≤∴极大值为,98)0(=f 极小值为88(4).9f =- ………2分 9．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分14分）已知函数1ln ()x f x x +=（1）若函数在区间1(,)2a a +其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证[]22(1)(1)()n n n e n N -*+>+⋅∈！.答案 9.解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=， x >0，则2ln ()xf x x'=-，…………1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值. …………3分因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<.…………5分 （Ⅱ）不等式(),1k f x x ≥+即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以[]2(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x x x -=…………7分令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-， 1x ≥ ， ()0,h x '∴≥ ()h x ∴在[1,)+∞上单调递增， []min ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤ . …………9分 （3）由（2）知：2(),1f x x ≥+恒成立，即122ln 1111x x x x x-≥=->-++， 令(1)x n n =+，则[]2ln (1)1(1)n n n n +>-+所以 2ln(12)112⨯>-⨯, 2ln(23)123⨯>-⨯， 2ln(34)134⨯>-⨯，… …()[]()1211ln +->+n n n n ， …………12分 叠加得：232111ln 123(1)21223(1)n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦ 112(1)2211n n n n n =-->-+>-++ . 则2222123(1)n n n e-⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>，所以[]22(1)(1)()n n n e n N -*+>+⋅∈！ …………14分10．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数)),1[(1ln )(+∞∈+-=x x x x f ，数列{}n a 满足)(,*11N n e a a e a nn ∈==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求)()()(21n a f a f a f +++ ； （Ⅲ）求证：).(321*2)1(N n e n n n ∈≤⋅⋅⋅⋅-答案1011.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理）（本题12分）设函数322()f x x ax a x m =+-+ (0)a >（Ⅰ）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围； （Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；（Ⅲ）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．答案 11. 解：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()0f x x x x m =+-+=，即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。
建昌县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
建昌县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣12． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 实数a=0.2，b=log 0.2，c=的大小关系正确的是（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 5． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 6． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．或 D ．或7． 已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ） A ．B ．﹣C ．4D ．8． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，1）∪（3，4）C．（1，2）∪（3，4）D．（1，2）∪（2，3）10．函数是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．二、填空题13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．14．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若m=，则a5=2；②若a3=3，则m可以取3个不同的值；③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是．15．不等式的解集为R，则实数m的范围是．16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．17．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60 角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R xf x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题19．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．20．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm ）． （Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ） 假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
杭州市数学高三上学期理数11月月考试卷(I)卷
杭州市数学高三上学期理数11月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·滑县期末) 已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x﹣4≤0}，则A∪B=（）A . {x|﹣1≤x＜4}B . {x|2≤x＜4}C . {x|x≥﹣1}D . {x|x≤4}2. （2分）若sin（π+θ）= ，sin（）= ，则θ角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·长寿月考) 若三点共线则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）三个数的大小关系为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·三原期中)的值是（）A . -B .C . -D .7. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（）A . (－∞，1]B . [1，＋∞)C . (－∞，2]D . [2，＋∞)8. （2分）用max{a，b}表示a，b两个数中的较大值，设f（x）=max{2x﹣1， }（x＞0），则f（x）的最小值为（）A . ﹣1B . 1C . 0D . 不存在9. （2分）△ABC中,∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c.若,∠C=,则边 c 的值等于（）A . 5B . 13C .D .10. （2分）定义行列式运算：将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A .B .C .D .11. （2分）运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（）A . 2B . 7C . 8D . 12812. （2分） (2016高二下·潍坊期末) 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x）且有3f（x）+xf′（x）＜0，则不等式（x+2016）3f（x+2016）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A . （﹣2018，﹣2016）B . （﹣∞，﹣2018）C . （﹣2016，﹣2015）D . （﹣∞，﹣2012）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·惠东月考) 已知，，的夹角为60°，则 ________.14. （1分） (2020高一上·天津期末) 已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x ﹣1）＞f（x）的解集为________．15. （1分）若sinθcosθ＞0，则θ在第1 象限．16. （1分） (2017高三上·济宁开学考) 设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2015高三上·厦门期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．18. （10分） (2017高一上·双鸭山月考) 已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的最大值.19. （5分） (2019高三上·广东月考) 的内角，，所对边分别为，， .已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
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浙江省高三上学期11月月考数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2020高一上·上海月考) 满足的集合有________个
2. （1分） (2017高一上·西城期中) 已知幂函数的图象过点，则 ________．
3. （1分） (2017高二下·淮安期末) 若函数的最小正周期为，则正数k=________．
4. （1分）若sinθcosθ＞0，则θ在第1 象限．
5. （1分） (2020·枣庄模拟) 已知是的外心，且，，，若
，则 ________.
6. （1分） (2018高三上·连云港期中) 若tanα= ，且角α的终边经过点 P(x ， 1)，则 x＝________
7. （1分） (2016高三上·苏州期中) 曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线的斜率为________．
8. （1分） (2019高二上·德惠期中) 函数在处的切线方程是，则
________.
9. （1分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为________ ．
10. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣3，则f（﹣2）=________
11. （2分） (2020高二上·洛阳月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，面积为，那么 ________.
12. （1分） (2017高二下·太原期中) 若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为________．
13. （1分） (2018高二下·深圳月考) 已知函数在上单调递增，则实数的最大值是________．
14. （1分） (2020高二上·河南月考) 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA＝，sinC＝，a＝3，则b＝________.
二、解答题 (共6题；共65分)
15. （10分）函数y=sin（2x+ ）
（1）求A，ω，φ的值；
（2）求x∈[0， ]的值域．
16. （10分） (2020高二上·莆田期中) 设锐角的内角、、的对边分别为、、，
（1）确定角大小；
（2）若，的面积为，求的值．
17. （10分） (2020高二下·成都期末) 已知函数 .
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时，函数的图像与的图像关于直线对称.若不等式
对恒成立，求实数k的取值范围.
18. （10分） (2019高三上·吉安月考) 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15， N，平均每趟地铁的载客
人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：，其中 .
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔t为
多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．
19. （10分） (2019高一上·湖州期中) 已知函数 .
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在实数集上存在零点，求实数的取值范围.
20. （15分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数，其中m，a均为实数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设m=1，a＜0，若对任意的x1 ，x2∈[3，4]（x1≠x2），恒成立，求实数a的最小值．
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
答案：1-1、
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答案：2-1、
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答案：3-1、
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答案：4-1、考点：
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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答案：11-1、考点：
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答案：12-1、考点：
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答案：13-1、考点：
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答案：14-1、
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二、解答题 (共6题；共65分)答案：15-1、
答案：15-2、考点：
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答案：16-1、
答案：16-2、考点：
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答案：17-1、答案：17-2、
答案：17-3、考点：
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答案：18-1、
答案：18-2、考点：
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答案：19-1、
答案：19-2、考点：
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答案：20-1、
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