2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析

第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析2016.03.17 严文兰数学工作室由于IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试 的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。

1. 如图，在圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE ，若线段AE 内一点K 满足 ∠BKC=∠KFE, ∠CKD=∠KFA ，证明：KC=KF 。

分析：圆中角的关系最为灵活也相对简单，由已知圆周角∠AFE=∠BKD 注意到弧BD=弧AE 的一半，所以又有∠AFE=∠BOD ，从而∠BKD =∠BOD ，B 、K 、O 、D 四点共圆，注意到OC 为此圆对称轴，所以在直径上，所以OK 为∠BKD 线，这样分别延长BK 、DK 交圆O 于B ’,D ’,就可以得到对称性：B 、B ’;D 、D ’关于OK 对称，由此，联系所证，只要C 、F 也关于OK 对称，即得KC=KF ，故不妨设点C 关于OK 的对称点为点F ’，显然在圆上，下面设法证明F ’=F ，由已知，可想到先证∠BKC=∠KF ’E ， 首先由对称性有∠BKC=∠B ’KF ’,下面要证的是∠KF ’E=∠B ’KF ’,这两个角是“内错角”，所以除非直线B ’D ∥F ’E,除非弧B ’F ’=弧DE ，由已知及对称性确实有弧B ’F ’=弧DE ，从而得到∠BKC=∠KF ’E ，延长F ’K 交圆O 于C ’,当点F ’变化时，弧EC ’=2∠KF ’E 也跟着单调变化，所以使得∠BKC=∠KF ’E 的点F ’唯一，又∠BKC=∠KFE ，所以 F ’=F ，所以KC=KF 。

2. 求最小的正实数λ，使得对任意三个复数123,,{|||1}z z z z C z ∈∈<，若1230z z z ++=，则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<。

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是≤的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当22122331123||||z z z z z z z z z +++最大时，123,,z z z 至少有两个在边界，即满足||1z =，而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z z z z z z e z z z e θθ+++，故不妨设1212||||1,Re Re 0,z z z z x ====≥则32z x =-，10,2x ≤≤ 所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤，所以min 1λ=下面设法证明之不妨设123,,z z z 中3z 的模最大，因为3||1z ≤，将每个数都乘以13z --代替原来的数，则左边更大，此时31z =-，因为1230z z z ++=，设12,1,,,0z x yi z x yi x y R y =+=--∈≥， 则0x 1≤≤，代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+，先固定x ，得'228()y f y x x y =-+，所以'y f 先负后正，f 先减后增，在两端最大，当0y =时，22112()122f x x =--+≤， 当y 最大时，12||,||z z 至少一个为1，不妨设2||1z =，以下同前面分析，即旋转为1z 在x 轴负半轴上，设1(01)z x x =-≤≤，则左边222(1)1x x =-+≤，所以min 1λ=。

3. 给定整数2n ≥，设集合12{(,,,)|{0,1,,},1,2,,}n k X a a a a k k n =∈=，对任意元素1212(,,,),(,,,)n n s s s s X t t t t X =∈=∈，定义11(max{,},,max{,})n n s t s t s t ∨=， 11(min{,},,min{,})n n s t s t s t ∧=，求X 的非空真子集A 的元素个数的最大值，使得对任意,s t A ∈，均有,,s t A s t A ∨∈∧∈分析：如果取A X =，显然满足任意,s t A ∈，均有,,s t A s t A ∨∈∧∈但是，不满足条件A 是X 的真子集，我们考虑去掉X 的一些元素，使得得到的集合A 满足后面的条件。

为此，考虑某个k a 取少一个值k ，这时A 满足后面的条件，且||(1)!1k A n k =++，当k n =时得到此种情形的最大值||!A nn =，元素能否再增加些呢？如果对此A 添加一个元素 11(,,,)n s s n -，那么只有s t A ∨∈运算才可能产生新的元素，由此运算可知 11{(,,,)|,1,,1}n k k a a n a s k n A -≥=-⊆，所以如果对原来的A 添加 111{(,,,)|0}n n a a n a --≠，则这样的A 满足所有条件，此时||!(1)(1)!A nn n n =+-- (1)!(1)!n n =+--，同理再往下添加，则不行了，如果这是最大值，那么，当||(1)!(1)!A n n >+--时，就不满足条件，也就是必定会有A 不是X 的真子集，即A X =，下面设法证明：当||(1)!(1)!A n n >+--时，A X =，今对n 行归纳法。

(1) n=1时，显然。

(2) 假设对1n k =-，成立，那么对n k =，将A 分成1k +支1{(,,)|}i k k A a a A a i =∈= ，则至少有一支，不妨设为j A ，有||(1)!(1)!||!(2)!11j A k k A k k k k +--≥>>--++，注意到每支都对运算,s t s t ∨∧封闭，由归纳假设，有j A 是满的，即1{(,,)|}j k k A a a X a j =∈=，因为A 是X 的真子集，所以至少有一支是不满的，不妨设为()l A l j <，记(,,)max i l i i a A s a ∈=， 则由s t ∨运算知11(,,,)k l s s s l A -=∈，再将s 与j A 的元素进行s t ∧运算知11{(,,,)|}i k i l a a l a s A -≤⊆，由i s 的定义知11{(,,,)|}i k i l a a l a s A -≤=，由于l A 是不满的，所以至少有一个i s i <，所以||!(1)(1)!1l i A k k k i ≤≤--+， 所以 1||||||!(1)(1)!(1)!(1)!k A A A kk k k k k =++≤+--=+--，得证。

4. 设整数,2c d ≥，数列{}n a 满足11,(1,2,)d n n a c a a c n +==+=，证明：对每个整数2n ≥，存在n a 的素因子p ，使得对1,2,,1i n =-，有|n p a /。

分析：像这种不整除的问题，首先应考虑反证法，反设对某个n a ，不存在这样的p ，即n a 的所有素因子都是11,,n a a -的素因子，我们再来看递推式1d n na a c +=+，这种非线性递推是比较复杂的，对此递推的把握容易想到这两点：整除与增长速度，考虑整除是因为联系所证的结论，递推式虽然复杂，但是考虑整除就不一定复杂了，比如当|n p a 时，有(mod )d n a c c p +≡，也有(mod )n a c c p +≡，结果都是同样简单的；考虑增长速度是因为d 次幂增长非常快，显然要注意到这个特点，还有一个原因是，数论很常结合不等式技巧，所以应该如何考虑，应怎样分析，对水平高的同学来说条理是非常清晰的，思维更容易直指问题的本质。

而不是乱想，而后才凑巧想到某个点。

接下来，考虑比较简单的增长速度（不等式），有211d n n n a a c a --=+>（因为1n a -可以无限大，故c 相对较小，舍去，而d 是有可能等于2的）212121n n n a a a a a --->>>，即121n n a a a a -> ①最后，考虑整除，注意到n a 的所有素因子都是11,,n a a -的素因子，以下比较素数幂是自然的了，设111111,k k n k n k a p p a a p p αβαβ-==，由①知，至少有一个i i αβ>，不妨设11αβ>，设11,,n a a -中i a 的1p 幂指数最大，为γ，则1γβ≤，要进行比较，就要考虑唯一的已知条件1d n n a a c +=+，12()(())d d d d d d n n n i a a c a c c a c c --=+=++==+++， 因为1|d d i p a γ，所以可以考虑11mod p γ+，有110((0))(mod )d d n n ia c c a p γ+-≡≡+++=， 这样就化简了，所以11|n i p a γ+-，这与i a 的1p 幂指数最大为γ矛盾，所以假设不成立，得证。

5.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠A ，∠C 的内角平分线相交于点I ，∠B ，∠D 的内角平分线相交于点J ，直线IJ 不经过点O ，且与边AB ，CD 的延长线分别交于点P,R,与边BC ，DA 分别交于点Q,S,线段PR ，QS 的中点分别为M,N,证明：OM ⊥ON 。

分析：要证垂直，联想与垂直有关的知识，熟知如果分别延长AI,CI,BJ,DJ,分别与圆O 交于点A ’C ’B ’D ’,则四边形A ’B ’C ’D ’为矩形，这是因为由对称性，A ’C ’,B ’D ’都是圆的直径的缘故。

所以只要证明∠MON 等于其中一个直角即可，可想到分别证明OM ∥A ’B ’,ON ∥B ’C ’。

再看中点条件，M 为PR 的中点，而O 为四边形A ’B ’C ’D ’的中心，所以如果能证明点P ，R 分别在直线A ’B ’,C ’D ’上，则OM 就位于平行线A ’B ’,C ’D ’的中间，从而有OM ∥A ’B ’，从而转化为A ’B ’R 与C ’D ’P 三点共线问题，如果C ’D ’P 三点共线，注意到此时会有△AIC ’与△BJD ’的对应点的连线交于点P ，由笛沙格定理，会有这两个三角形的对应边的交点共线，反之也然，注意到有两双对应边的交点正好是内角平分线的交点E,F ，这两个点在AD,BC 所成角的平分线上，设AD,BC 交于点G ，AC ’,BD ’交于点H ，则EFG 三点共线，要证EFH 三点共线，只要再证点H 在直线EFG 上即可，证明三点共线，还可联想到帕斯卡定理，考虑圆内接六边形AC ’CBD ’D,即得点FGH 三点共线，所以EFH 三点共线，从而对△AIC ’与△BJD ’，由笛沙格定理，C ’D ’P 三点共线，同理A ’B ’R 也三点共线，所以OM ∥A ’B ’∥C ’D ’,同理ON ∥B ’C ’∥A ’D ’,得证。