【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)及答案
2020-2021学年高考数学理科模拟诊断试题及答案解析
最新高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．35．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．27．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．108．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．09．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p110．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=______．14．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于______．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为______．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC 的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩∁U B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1+i）=i2016，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i2016，得==．则|z|=．故选：B．3．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别估算每个数的大小，然后比较．【解答】解：a=30.6＞1，b=log2＜0，c=cos300°=cos60°=0.5＞0，故b＜c＜a；故选B．4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关性系数的性质进行判断，②利用排列组合的公式进行求解即可③根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：①两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故①错误，②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数﹣=35﹣4=31种，故②正确，③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0，正确，故③正确，故正确的是②③，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C6．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可．【解答】解：由x2+y2﹣4y=0得x2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标是C（0，2），半径是2，∵直线l：kx﹣y+1=0过定点P（0，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A．7．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|3×3+1|=10．故选：D．8．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos （2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．0【考点】三角函数的最值．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可．【解答】解：f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），若对任意x都有f（x）≤f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2×+φ）=2，∴φ=，∴g（x）=2cos（2x+），x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=π时，g（x）最小，最小值是﹣2，故g（x）max•g（x）min=﹣2，故选：A．9．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p1【考点】几何概型．【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S1=4﹣=，S2=4﹣×2=3，S3==（）=，∴S3＜S2＜S1，即P3＜P2＜P1，故选：D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD⊂平面SAC，∵SA=1，AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×=5π．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），则直线l1：y=（x﹣c）过双曲线的右焦点F2（c，0），l2：y=2（x+c）过双曲线的左焦点F1（﹣c，0），若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，则直线的斜率满足．l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则直线的斜率2满足＜2，即＜＜2，则离心率e===，∵＜＜2，∴3＜（）2＜8，4＜1+（）2＜9，则2＜＜3，即2＜e＜3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4即g（x）＜g（2），∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）﹣x2也是偶函数，则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），即|x|＞2；则x＞2或x＜﹣2，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（3，﹣4），=（3，t），∴•=9﹣4t，||=5，∵向量在方向上的投影为﹣3，∴==﹣3，解得t=6，故答案为：614．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6．令x=1，即可得出．【解答】解：∵（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6．令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729．故答案为：729．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1，DC1所成角的正弦值．【解答】解：取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=1，AA1=3，∴A（1，0，0），D1（0，0，3），D（0，0，0），C1（0，1，3），=（﹣1，0，3），=（0，1，3），设直线AD1，DC1所成角为θ，cosθ===，∴sinθ==．∴直线AD1，DC1所成角的正弦值为．故答案为：．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD= ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，∴由正弦定理得，则sin∠C===，∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=，则∠B=π﹣∠A﹣∠C==，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B﹣∠BAD=，在△ABD中，由正弦定理得，∴AD====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n﹣1计算可知a n=2a n﹣1﹣1，进而可构造首项、公比均为2的等比数列{a n﹣1}，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：∵S n=2a n+n﹣4，∴当n=1时，a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n+n﹣4）﹣（2a n﹣1+n﹣5），即a n=2a n﹣1﹣1，变形，得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n﹣1=2n，即a n=1+2n；（2）证明：由（1）可知：=＜，当n≥2时，T n＜1++…+=﹣＜，又∵T n≥T1=1，∴1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由==4，==30，==2.7，=﹣=30﹣2.7×4=19.2，y关于x的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X的可能取值0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，A城市中被选中的4S店个数X的分布列：X 0 1 2 3PA城市中被选中的4S店个数X的期望E（X），E（X）=0×+1×+2×+3×=，E（X）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE⊥BB1，证明BC⊥OE，可得结论，AE=；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B1CC1的一个法向量、平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE ⊥BB1因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1CC又AO==1，AA1=得AE==．（Ⅱ）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）由=，得点E的坐标是（，0，），由（Ⅰ）知平面B1CC1的一个法向量为=（，0，）设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得可取=（2，1，﹣1），所以cos＜，＞==．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，从而求出=0，由此能求出k1k2．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），由此能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），E（x4，y4），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，=（x1，y1+1），=（x2，y2+1），=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=0，∴⊥，∴k1k2=﹣1．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），=（），=（﹣，），=（，），=（，），∴S1=||，S2=|×+×|=，∴λ==（4k12++17）≥．当且仅当，即k1=±1时，取等号，∴λ的取值范围[，+∞）．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣2（1+lnx）+1，f′（x）=1﹣=，f（1）=0，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y=﹣x+1；（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）∈（0，1]，f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），h（1）=﹣g（x0）＜0，h′（x）=（2﹣a）﹣，①a≥2﹣时，h（x）在（0，e2]递减，不可能有两个零点，②a＜2﹣时，h（x）在（0，）递减，在（，e2]递增，h（）＞a﹣2﹣（a﹣3）﹣g（x0）≥0，h（x）有2个零点，必有h（e2）≥0⇒a≤2﹣，综上：a≤2﹣．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt △DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．【考点】不等式的证明．【分析】（1）方法一、求得0＜a＜1，化原式=3（a﹣）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x2+y2≥2xy，整理即可得证．【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1﹣a，且a＞0，b＞0，可得0＜a＜1，则a2+2b2=a2+2（1﹣a）2=3a2﹣4a+2=3（a﹣）2+，当a=∈（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a2+2b2）（1+）=[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2=（a+b）2=1，即有a2+2b2≥，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，可得（ax+by）（ay+bx）=abx2+aby2+a2xy+b2xy=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥2abxy+（a2+b2）xy=xy（a2+b2+2ab）=xy（a+b）2=xy，则（ax+by）（ay+bx）≥xy．2016年10月5日。
2020-2021学年山西省临汾市某校高三(上)8月月考数学(理)试卷答案及解析
2020-2021学年山西省临汾市某校高三（上）8月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−4x −5<0}，B ={x||x|>√2}，则A ∩B =( ) A.(5,+∞) B.(1,√2) C.(−√2,5) D.(√2,5)2. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1+z1z 2的虚部为( )A.1B.3C.−1D.23. 已知cos (θ−3π2)=513，且cos θ>sin θ，则sin (2θ−2π)=( )A.−60169B.60169C.−120169D.1201694. “净拣棉花弹细，相合共雇王孀，九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两．共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（注：古代一斤是十六两）( ) A.按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B.按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C.按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D.按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了5. 已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m ⊥l ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足不等式组 {x +y ≤1,x −2y ≥−2,x +2y ≥−2, 则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.3B.6C.9D.127. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且b =a cos C +ac cos A ，则△ABC 外接圆的面积为( )A.π3 B.2π3C.πD.4π38. 若函数f (x )=e |2x−m| ，且f (2x −1)=f (1−2x )，则f (ln 3)+f (−ln 3)=( ) A.0 B.9e +9eC.12D.189. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.−12B.0C.−1D.110. 已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把f (x )图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移π3个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g (x )的图象，若g (x )在[−a,a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π12B.π6C.π4D.5π1211. 若xe x =3，ln y −3e y=1，则xy =( )A.3B.3eC.3eD.e12. 已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为2√1919，球O 1为该三棱锥的内切球．若球O 2与球O 1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O 2与球O 1的表面积之比为( ) A.49 B.19C.925D.125二、填空题已知P (2,6)为抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点，抛物线C 的焦点为F ，则|PF|=________．已知平面向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与a →−b →夹角的大小为________.某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念．已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有________种．已知F 1为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段PF 1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且F 1A →=AB →=BP →，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题已知数列{a n }满足a 1=12，且对于任意m ，t ∈N ∗，都有a m+t =a m ⋅a t . (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，AA 1的中点．(1)证明：OM//平面CB 1A 1；(2)若四边形BB 1C 1C 为正方形，求平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．(1)求乙盒中红球个数X 的分布列与期望；(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，斜率为k (k ≠0)的直线l 交E 于A ，B 两点．当k =√32时，|AB|=√7，且△OAB 的面积为ab2．（O 为坐标原点） (1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且|MA|=|MO|，求k 的值．已知函数f (x )=(x 2+4x +3)ln (x +1)−52x 2+(a −3)x .(1)当a =−8时，求f (x )的单调性；(2)如果对任意x ≥0，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(0≤α<π,ρ∈R ).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2√3，求直线l的直角坐标方程．已知函数f(x)=2|x−1|.(1)求不等式f(x)<3x−4的解集；(2)已知函数g(x)=f(x)+|2x|的最小值为m，且a，b，c都是正数，a+2b+c=m，证明：1a+b +1b+c≥2.参考答案与试题解析2020-2021学年山西省临汾市某校高三（上）8月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】绝对值不等式一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为A=(−1,5)，B=(−∞,−√2)∪(√2,+∞)，所以A∩B=(√2,5).故选D．2.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．【解答】解：由图知，z1=1+2i，z2=2−i，则z1+z1z2=1+2i+1+2i2−i=1+3i，所以复数z1+z1z2的虚部为3．故选B．3.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式诱导公式同角三角函数间的基本关系【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：∵cos(θ−3π2)=−sinθ=513，∴sinθ=−513，∴cosθ=±1213．又∵cosθ>sinθ，∴cosθ=1213，∴sin(2θ−2π)=sin2θ=2sinθcosθ=−120169．故选C．4.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】【解答】解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按张昌9.759.75+5.25×108=70.2尺，李德 5.259.75+5.25×108=37.8尺分配就合理了.故选B．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力．【解答】解：∵直线m⊥平面α，∴m垂直于平面α内所有直线．又∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l．反之不成立．故选A．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力．【解答】解：如图作出可行域，联立{x+y=1,x+2y=−2,解得{x=4,y=−3.当直线3x+y=0平移到过点(4,−3)时，z取得最大值9 .故选C .7.【答案】A【考点】等差中项两角和与差的正弦公式解三角形正弦定理【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：因为B，A，C成等差数列，所以2A=B+C，则A=π3．已知b=a cos C+ac cos A，由正弦定理可知，sin B=sin A cos C+a sin C cos A，由sin B=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C，易得a=1．所以△ABC外接圆的半径为a2sin A=√33，从而△ABC外接圆的面积为(√33)2π=π3.故选A .8.【答案】D【考点】函数的求值【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想．【解答】解：由f(2x−1)=f(1−2x)，可知函数f(x)=e|2x−m|的图象关于y轴对称，则m2=0，得m=0，故f(x)=e|2x|，f(ln3)+f(−ln3)=2f(ln3)=2e2ln3=18．故选D.9.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理能力．【解答】解：由程序框图可知，第一次循环，i=1，a1=−12，S=−12；第二次循环，i=2，a2=−12，S=−1；第三次循环，i=3，a3=1，S=0；⋯⋯；第八次循环，i=8，a8=−12，S=−1；第九次循环，i=9，a9=1，S=0.由于i=9>8，停止循环，所以输出S=0．故选B．10.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性正弦函数的图象【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的数学思想，逻辑推理能力．【解答】解：由题意，知f(x)=sinωx−√3cosωx=2sin(ωx−π3)．因为函数f(x)的图象与x轴的两个相邻交点的距离为π，所以函数f(x)的最小正周期T=2πω=2π，所以ω=1，所以f(x)=2sin(x−π3)．由题意，可得g(x)=4sin[2(x+π3)−π3]=4sin(2x+π3)，所以由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ（k∈Z），得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ（k∈Z），因此[−a,a]⊂[−5π12,π12]，则−a<a，−a≥−5π12，a≤π12，即0<a≤π12，从而a的最大值为π12．故选A．11.【答案】B【考点】对数及其运算指数函数的单调性与特殊点【解析】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力．【解答】解：由ln y−3ey=1，可得ln ye =3ey．则yeln ye=3，令t=ln ye，则te t=3．又因为y=xe x在(0,+∞)上单调递增，所以t=x，即y=e x+1，则xy=xe x+1=3e .故选B .12.【答案】C【考点】多面体的内切球问题直线与平面所成的角球的表面积和体积【解析】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．【解答】解：如图，取△ABC的外心O，连接PO，AO，则PO必过O1，O2，且PO⊥平面ABC，可知∠PAO为侧棱与底面所成的角，即cos∠PAO=2√1919.取AB的中点M，连接PM，MC.设圆O1，O2的半径分别为R，r，令OA=2，则PA=√19，AB=2√3，AM=√3，OM=1，PM=√PA2−AM2=4，所以rPO2=OMPM=14，即PO2=4r.从而PO 1=4r +r +R =5r +R ， 所以R PO 1=R 5r+R=14，则rR =35，所以球O 2与球O 1的表面积之比为925．故选C ． 二、填空题 【答案】132【考点】抛物线的标准方程 【解析】本题考查抛物线的标准方程，考查运算求解能力.【解答】解：由P(2,6)为抛物线C:y 2=2px(p >0)上一点， 得62=4p ，可得p =9， 则|PF |=2+92=132.故答案为：132.【答案】 π6【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模【解析】本题考查平面向量，考查运算求解的能力． 【解答】解：由|a →|=|b →|=|a →+b →|，得|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2+2|a →|⋅|b →|cos <a →,b →>， 得cos <a →,b →>=−12， |a →−b →|2=|a →|2+|b →|2−2|a →|⋅|b →|cos <a →,b →> =3|a →|2，∴ cos <a →,a →−b →>=a →⋅(a →−b →)|a →|⋅|a →−b →|=√32， ∴ <a →,a →−b →>=π6． 故答案为：π6．【答案】 16【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】本题考查计数原理，考查逻辑推理能力． 【解答】解：农场主人在中间共有A 44=24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2A 22⋅A 22=8种站法， 故所求站法共有24−8=16（种）. 故答案为：16． 【答案】 √975【考点】双曲线的离心率 平行向量的性质【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质，考查数形结合的数学思想． 【解答】解：设F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点，连结PF 2； 取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，如图所示，则OM ⊥PF 1． 因为F 1A →=AB →=BP →， 所以M 是PF 1的中点，则OM//PF 2 ，|OM|=12|PF 2|且PF 2⊥PF 1．设|AB|=t，则|PF1|=3t，|PF2|=3t−2a，|AM|=t2．因为|OM|2+|AM|2=|OA|2，所以(3t−2a2)2+(t2)2=a2，解得t=65a，则|PF1|=185a，|PF2|=85a.又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以(185a)2+(85a)2=(2c)2，可得c 2a2=9725，所以e2=9725，即该双曲线的离心率e=√975.故答案为：√975.三、解答题【答案】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【答案】(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON//BB1，且ON=12BB1.又MA1//BB1，MA1=12BB1，所以ONA1M为平行四边形，即OM//A1N.因为OM⊄平面CB1A1，所以OM//平面CB1A1．(2)解：连接OA，令BC=2，因为AB=AC，O为BC的中点，所以AO⊥BC.又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，ON//BB1，所以OA，OB，ON互相垂直，分别以OB→，ON→，OA→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz．因为AB =AC =√2，BC=AA 1=2，所以O(0,0,0)，B 1(1,2,0)，M(0,1,1)，C(−1,0,0)， 所以OM →=NA 1→=(0,1,1)，OB 1→=(1,2,0)，CB 1→=(2,2,0). 设平面MOB 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{OM →⋅m →=0,OB 1→⋅m →=0, 即{y +z =0,x +2y =0,令z =1，可得y =−1，x =2，所以平面MOB 1的一个法向量为m =(2,−1,1). 设平面CB 1A 1的法向量为n →=(a,b,c)， 则{NA 1→⋅n →=0,CB 1→⋅n →=0, 即{b +c =0,2a +2b =0,令c =1，可得b =−1，a =1，所以平面CB 1A 1的一个法向量为n →=(1,−1,1)， 所以cos ⟨n →,m →⟩ =222222=3√2=2√23， 所以平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值为13． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：如图，连接BC 1，交CB 1于点N ，连接A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点．因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1. 又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N . 因为OM ⊄平面CB 1A 1， 所以OM//平面CB 1A 1．(2)解：连接OA ，令BC =2， 因为AB =AC ，O 为BC 的中点， 所以AO ⊥BC .又三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，ON//BB 1， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB →，ON →，OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AC =√2，BC =AA 1=2，所以O(0,0,0)，B 1(1,2,0)，M(0,1,1)，C(−1,0,0)， 所以OM →=NA 1→=(0,1,1)，OB 1→=(1,2,0)，CB 1→=(2,2,0). 设平面MOB 1的法向量为m →=(x,y,z)， 则{OM →⋅m →=0,OB 1→⋅m →=0, 即{y +z =0,x +2y =0,令z =1，可得y =−1，x =2，所以平面MOB 1的一个法向量为m =(2,−1,1). 设平面CB 1A 1的法向量为n →=(a,b,c)，则{NA 1→⋅n →=0,CB 1→⋅n →=0, 即{b +c =0,2a +2b =0,令c =1，可得b =−1，a =1，所以平面CB 1A 1的一个法向量为n →=(1,−1,1)， 所以cos ⟨n →,m →⟩=√22+(−1)2+12×√12+(−1)2+12=32=2√23， 所以平面MOB 1与平面CB 1A 1所成二面角的正弦值为13． 【答案】解：(1)由题意知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120， P(X =1)=C 31C 32C 63=920， P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 30C 63=120，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)当乙盒中红球个数为0时，P 1=0， 当乙盒中红球个数为1时，P 2=920×16=340，当乙盒中红球个数为2时，P 3=920×26=320， 当乙盒中红球个数为3时，P 4=120×36=140，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P 1+P 2+P 3+P 4=14． 【考点】互斥事件的概率加法公式 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120， P(X =1)=C 31C 32C 63=920，P(X =2)=C 32C 31C 63=920， P(X =3)=C 33C 30C 63=120，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)当乙盒中红球个数为0时，P 1=0， 当乙盒中红球个数为1时，P 2=920×16=340， 当乙盒中红球个数为2时，P 3=920×26=320，当乙盒中红球个数为3时，P 4=120×36=140，所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P 1+P 2+P 3+P 4=14．【答案】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =b a=√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ， 整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3. 因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)． 由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k −k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)， 所以4k 2−94k 2+3+12k4k 2+3(1k −k)=0， 解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【考点】圆锥曲线的综合问题 直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】 无 【解答】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =ba =√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ， 整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3. 因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)．由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k−k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)，所以4k 2−94k 2+3+12k 4k 2+3(1k −k)=0，解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【答案】解：(1)当a =−8时，f(x)的定义域为(−1,+∞)， f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x −8 =(2x +4)[ln (x +1)−2]， 令f ′(x)=0，解得x =e 2−1，当−1<x <e 2−1时，f ′(x)<0，则f(x)在(−1,e 2−1)上单调递减； 当x >e 2−1时，f ′(x)>0，则f(x)在(e 2−1,+∞)上单调递增． (2)当x ≥0时，f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 设函数g(x)=f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 则g ′(x)=2ln (x +1)−2xx+1. 设函数ℎ(x)=2ln (x +1)−2x x+1，x ∈[0,+∞)，则ℎ′(x)=2x(x+1)2≥0.又ℎ(x)≥ℎ(0)=0，从而g ′(x)≥0， 所以f ′(x)在[0,+∞)上单调递增.当a ≥0时，f ′(x)≥f ′(0)=a ≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增， 又f(0)=0，符合题意.当a <0时，设f ′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x 0. 当x ∈[0,x 0)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以f(x 0)<f(0)=0，不符合题意. 综上，a 的取值范围为[0,+∞)． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =−8时，f(x)的定义域为(−1,+∞)， f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x −8=(2x +4)[ln (x +1)−2]， 令f ′(x)=0，解得x =e 2−1，当−1<x <e 2−1时，f ′(x)<0，则f(x)在(−1,e 2−1)上单调递减； 当x >e 2−1时，f ′(x)>0，则f(x)在(e 2−1,+∞)上单调递增． (2)当x ≥0时，f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 设函数g(x)=f ′(x)=(2x +4)ln (x +1)−4x +a ， 则g ′(x)=2ln (x +1)−2xx+1.设函数ℎ(x)=2ln (x +1)−2x x+1，x ∈[0,+∞)， 则ℎ′(x)=2x(x+1)2≥0.又ℎ(x)≥ℎ(0)=0，从而g ′(x)≥0， 所以f ′(x)在[0,+∞)上单调递增.当a ≥0时，f ′(x)≥f ′(0)=a ≥0，则f(x)在[0,+∞)上单调递增， 又f(0)=0，符合题意.当a <0时，设f ′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x 0. 当x ∈[0,x 0)时，f ′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以f(x 0)<f(0)=0，不符合题意. 综上，a 的取值范围为[0,+∞)． 【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【考点】 圆的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【答案】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)] =12(2+b+ca+b +a+bb+c )≥2，当且仅当a +b =b +c =1时取等号． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用【解析】 （1）解：由题可得|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2,所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．【解答】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)]=12(2+b+ca+b+a+bb+c)≥2，当且仅当a+b=b+c=1时取等号．。
九师联盟2020-2021学年度第一学期高三8月质量检测理科数学试题(答案和解析)(2020.08)
2020〜2021学年高三8月质量检测理科数学考生注意；1 •本试卷分选择姻和非选择姻网部分。
漓分150分•考试时间120分钟。
2.答題前，考生务必用直径0・5壬耒黑色晏氷签字笔将密対线內项目填坊蒲楚。
3•曲生作答时•请将签架答在答题卡上6选择題每小姻选出答案后•用2B铅笔把答題卡上对总趣目的答案标号涂黑；非选择題请用直径0・5毫米黑色晏水签字笔在咨题卡上备題的签粗区域内作牡•超出答题区域书写的答舉不坯,奁呼粵举、拿鬧竽占作管不密。
................4•亲上豪主金矗玩范也讨鸟為也」• • •一■选择题;本题共12小题■毎小题5分•共60分°在每小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的。
1•已久凍合M= {才IF一*0},N= {— 1,0,1,2}，则 Mf]N=A, {-1,0,1} B, {-1,0} C «O,計D, {1,2}2.设w= 1 —占（i为虚数甲位》，则| T =C TAJ3・某工厂生产儿B・C三种不同型号的产品•某月生产这三种产品的数址之比依次为2 ：“ ：3•现用分层抽样方法抽取一个容证为120的样本•已知B种型号产品抽取了 60件•则«=A.3B.4C.5D.G4•在（2 —才尸心+ 0展开式中•含芒的项的系数是A. 220B. 一 220C. 100 IX 一 100D•遥6.2019年北京亚冈会的言祥物“小9?芽“小曲花”是一对代农行生命与希中、動为与芙好、活泼町爱的园艺小兄妹.逵型创立来ri东方文化中仃子图的“吉护娃娃'•，通过头饰、道典、服装创总的巧妙纽合•被赋孑了酬及囲艺刘识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别卬冇“小叨芽”“小萌花”“"丹花”“菊花"“砌肖花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌劳”和“小萌花"代片都在内的慨率为A - 57. 已知/Cr)=|〒务(a€R)是奇函数•且实数点满足/⑵一1)<冬则代的取值范网是A ・(一8. —1)B ・(一l.+oo) C. ( —OO t 0) I). (0t4-oo)&将•函数 /(x) =sin((ai'+芋 )(3>0)的图象向左平移予个单位长度，若所得图象与原图象关于工轴对称，则/(f)=A-f9•已知圆C ： G-y3)2 + <y-l)2 = l 和两点A(—八O)・B(f ・O)(f>O> •若圆C 上存在点P •使得ZAPB =90\则f 的取值范围是A.(0,2] 10. 3D 打印皿于快速成形技术的一种•它是一种以数字模型文件为荃础•运用粉耒状 金屈或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(II 卩“积层 造型法”〉.过左帘在模具制造、工业设汁等领域被用于制造模型•现正用于一些产 品的直接制造那别是一些高价值应川(比如傩关节、牙齿或一些飞机零部件等). 已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型.该模別为在鬪锥底内挖去一个正方体 后的剩余部分(正方体四个顶点在関锥母线上•四个顶点在恻锥底而上)•恻锥底而应径为1072 cm,"•线与底面所成角的正切值为©•打印所用丿京料密度为1 M/cmh 不考虑打印损耗■制作该模型所需原料的质圧约为(取兀14,箱确到0.1)A. 609. 4 gB. 447. 3 gC. 39& 3 gD. 357. 3 g 11. 在△ ABC«|».内角的对边分別为a.b.c.且三边互不相等，若a= 1・3=令”十+十4cos C=0,则△/W3C 的而积足A.普B.會C.yD.112. 已知甫数fCr)=< / ______________ 若函数g(P = /a)—创/+2|有三个零点，则实数怡(丿一/十4*一3 ■ 1VY3,的取值范围是A 心辔)u(5£]B HF)U (5+S )c.(o •今)D.仕卄) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
2020-2021高三数学上期末试卷(带答案)(8)
2020-2021高三数学上期末试卷(带答案)(8)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184 C ．183 D ．1765．在ABC ∆中，2AC =,22BC =,135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A ．25B ．2C ．3D ．56．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．147．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定8．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．849．已知01x <<，01y <<，则()()()()222222221111x y x y x y x y ++--+-+- ）A 5B ．2C 10D ．2310．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243- B ．242- C ．162- D ．24311．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.15．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．16．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021学年高三数学(理科)调研统一考试试题及答案解析
机密★启用前普通高中调研统一测试高三数学(理工类)★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2. 回答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 回答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a < 1 C ．a ≥2 D ．a > 22. 若向量a = (2，－1，0)，b = (3，－4，7)，且(t a + b )⊥a ，则实数t 的值是 A ．0 B ．1 C ．－2 D ．23. 已知等比数列{a n }的公比为3，且a 1 + a 3 = 10，则a 2a 3a 4的值为 A ．27 B ．81 C ．243 D ．7294. 已知函数y = f (x ) + x 是偶函数，且f (2) = 1，f (－2) = A ．1 B ．5 C ．－1 D ．－55. 由曲线3y x =与直线4y x =所围成的平面图形的面积为 A ．4 B ．8 C ．12 D ．166.f (x )是定义在R 上的以2为周期的奇函数，f (3) = 0，则函数y = f (x )在区间(－2，5)内的零点个数为 A ．6B ．5C ．4D ．37. 实数x 、y 满足条件104312020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，则211x y z x -+=+的最大值为A ．45B ．54C ．916D ．128. 向量a 、b 、c 满足a + b + c = 0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，||||||||||||M a =++a b c b c ，则M = A ．3 B ．32 C ．22+D ．321+9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =，则下列结论中错误的是A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．异面值线AE 、BF 所成的角为定值10. 将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向左平移(0)2πϕϕ<<个单位得到()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的x 1、x 2，12min ||4x x π-=，则ϕ的值是A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 11. 若定义在R 上的函数f (x )满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的是A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k >-- D ．1()11kf k k >-- 12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，| OF 1 |为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C ．2D ．2第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。
广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题(含答案解析)
广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）1 已知集合，则集合A∩B=（）A.{2,3}B.{－1,1}C.{1,2,3}D.【答案解析】 A【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，所以..，所以.故选：A2 己知，其中i为虚数单位，则（）A. －1B. 1C. 3D. －3【答案解析】 D【分析】整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得【详解】由题,,所以,则,故选：D3 已知向量,满足，,且与的夹角为60°，则（）A. 1B. 3C.D.【答案解析】 A【分析】对作平方处理,整理后即可求得【详解】由题,,解得,故选：A4 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则（）A. 42B. 21C. 7D. 3【答案解析】 B【分析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.5 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案解析】 B【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,故选：B6 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,,,所以,故选：D7 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么的值为（）A. B.－3 C. 3 D.【答案解析】 D【分析】利用奇函数的性质可得,代入解析式求解即可【详解】由题,,因为是定义在上的奇函数,所以,故选：D8 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）A B. C. D.【答案解析】 A【分析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则,故选：A9 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】由条件利用的图象变换规律求得平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，令，得，，，则的最小值为，故选：C.10 设是给定的平面，A、B是不在内的任意两点．有下列四个命题：①在内存在直线与直线AB异面；②在内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与垂直；④存在过直线AB的平面与平行．其中，一定正确的是（）A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案解析】 B【分析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项【详解】由题,对于②,当直线平面时,②不成立；对于④,当直线平面时,④不成立；对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,故选：B11 已知圆O的半径是，点P是圆O内部一点（不包括边界），点A是圆O圆周上一点，且，则的最小值为（）A. B. 12 C. D. 13【答案解析】 C【分析】由可得,则当时, ,再根据,则将代入求解即可【详解】由题,因为,所以,则当,即时,,因为,所以当取得最小值时,,故选：C12 已知球O是正四面体的外接球，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】由题可得,当截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为,先求得正四面体的外接球半径为,再求得,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,在中,,即,则,在中,,即,则, 解得,则,在中,,因为点在线段上,,设中点为,则,所以,在中,,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A13 “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为_______．【答案解析】 8【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出,从而到结论【详解】当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,故答案为：814 已知，则___________【答案解析】【分析】利用转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：，故答案为：.15 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．【答案解析】 64【分析】先根据的系数为13求得,再令即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,的系数为,则,所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,故答案为：6416 已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_____．【答案解析】【分析】先分别求得与的分段函数形式,再讨论与的情况,根据函数单调性求解即可【详解】由题,欲解,即,,,当时,单调递增,,在单调递减,在上单调递减,则,所以满足,当时,单调递减,在上递减,在上递增,则另,即,解得,所以当时,,综上,,故答案为：17 已知数列{an}中，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【答案解析】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据递推公式可得,即可证明；（2）由（1）,进而利用分组法求得数列的和即可【详解】（1）证明：∵,∴,∴,,∴为等比数列,首项为,公比为3（2）解：由（1）得,,∴,18 如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线的长为7，求△ABC的面积．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得,则,进而求得角即可；（2）由（1）可得,则,设,则,在中,根据余弦定理得,可得,进而求得的面积即可【详解】（1）因为,根据正弦定理,得,即,所以,整理得,因为,所以,又因为,则（2）由（1）知,又因为,所以,所以,因为是中点,设,则,在中,根据余弦定理,得,即即,解得,故的面积19 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD 上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱上，且的面积为1．（1）若点P是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可【详解】（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,∵四边形是边长为的正方形,∴,∵三角形的面积为1,∴,即,∴,∵,点是的中点,∴,同理可得,又因为,平面,∴平面,∵平面,∴平面平面（2）存在,如图,连接,易得两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,假设存在点使得二面角余弦值为,不妨设,∵点在棱上,∴,又,∴,∴,,,设平面的法向量为,则,∴,令,可得,∴平面一个法向量为,又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,∴,即,解得或（舍）所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点20 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案解析】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【分析】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时,则列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930∴（ii）由题意得,所以,所以21 已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求f(x)的单调性；（2）若，对于任意，是否存在与a有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．【答案解析】（1）当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）存在与有关的正常数【分析】（1）求导可得,分别讨论,,时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与有关的正常数使得,即,则,设,满足即可,利用导数可得,再设,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）,①当时,恒成立,所以在上单调递增；②当时,,,所以在上的单调递增；③当时,令,得,当时,,单调递减；当时,,单调递增；综上所述：当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增（2）存在,当时,,设存在与有关的正常数使得,即,需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,∵,∴在上单调递减,在上单调递增,∴,只需证明在内成立即可,令,,∴在单调递增,∴,所以,故存在与有关的正常数使成立22 在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．【答案解析】（1）圆C的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为【分析】（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可；（2）法一：利用参数方程设曲线上的点,利用点到直线距离公式可得,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回求得坐标；法二：为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得所在直线为,联立直线与圆的方程即可求得交点的坐标【详解】（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,∴圆的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程可化为,∵,∴直线的直角坐标方程为（2）法一：设曲线上的点,点到直线：的距离：,当时,,此时点坐标为,所以,此时点的坐标为法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,圆心到直线的距离,所以,此时直线经过圆心,且与直线垂直,,所以,所在直线方程为,即, 联立直线和圆的方程,解得或, 当取得最小值时,点的坐标为,所以,此时点的坐标为23 已知函数．（1）解不等式；（2）记函数f(x)的最大值为s，若，证明：．【答案解析】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】（1）由题,,①当时,恒成立,所以；②当时,即,所以；③当时,显然不成立,所以不合题意：综上所述,不等式的解集为（2）由（1）知,于是,由基本不等式可得,当且仅当时取等,所以。
【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)及答案
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)考试内容：一轮复习一、单选题1．（a ）函数2cos 2sin y x x =+，x ∈R 的值域是（ ）A ．[0,1]B ．1[,1]2C ．[1,2]-D ．[0,2]2．（a ）已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角， 则cos()βα-的值是（ ）A ．3365-B ．6365C ．5665D ．1665- 3．（a ）已知cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒=⋅+⋅，22tan131tan 13b ︒︒=+，c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b <<4．（a ）将函数()()12sin sin f x x x x =-的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()2sin 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos2g x x =C ．()22cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()()2sin 2g x x π=+5．（b ）已知π1sin 23sin()4αα+=-，则sin 2α=( )A B ．12 C ．2 D二、填空题6．（a ）若tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则225sin 3sin cos 2cos θθθθ-+=________.7．（a ）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.8．（a ）若函数()2cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.9．（b ）如果向量()()cos sin 2016cos sin 1a b αααα=+=-，，，，且a b ∥，那么1tan 21cos 2αα++的值是 _____.三、解答题10．（a ）已知函数()sin 2sin(2)cos 233f x x x x a ππ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，恒有()0f x >成立，求实数a 的取值范围.2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)参考答案1．A【解析】因为函数y ＝cos2x +sin 2x ＝cos2x 1122+-cos2x 1122=+cos2x ．因为x ∈R ，所以cos2x ∈[﹣1，1]， 所以1122+cos2x ∈[0，1]． 故选：A ． 2．A【解析】 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5α， 因为β是第三象限角，所以5cos 13β=-， 所以33cos()cos cos sin sin .65βααβαβ-=+=-3．D【解析】由题意，可得cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒=⋅+⋅=()sin 29cos53cos 29sin53︒︒︒︒⋅-+⋅ ()sin 5329sin 24︒︒︒=-=；222222sin132tan132sin13cos13cos13sin 26sin 131tan 13cos 13sin 131cos 13b ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒====+++；sin 25c ︒==. 又因为函数sin y x =在[0,]2π上是增函数，所以b c a >>，故选D .4．A【解析】 ()()212sin sin 12sin cos cos 22f x x x x x x x x x =-+=--=12cos 2sin 22cos 2cos sin 2sin 2cos 222333x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的函数为()2cos 233g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2cos 22cos 22sin 22x x x ππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 5．B【解析】 令π4αβ-=，则π4αβ=-，π222αβ=-， π1sin 23sin()4αα+=-可化为1cos23sin ββ+=， 即222sin 3sin ββ-=，22sin 3sin 20ββ+-=，(sin 2)(2sin 1)0ββ+-=， 所以1sin 2β=，则21sin 2cos212sin 2αββ==-=， 故选B ．6．75 【解析】tan tan 144tan tan 4421tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝⎭， ∴原式2222225sin 3sin cos 2cos 5tan 3tan 27sin cos tan 15θθθθθθθθθ-+-+===++. 7．1【解析】 解：1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos cos 311cos cos sin sin 126666662πππθθππππθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：1.8．(3,2]--【解析】()3sin2cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x 的图象，可得32m -<≤-.9．2017【解析】由a b ∥，得()cos sin 2016cos sin αααα+=-，∴cos sin 2016cos sin αααα+=-. ∴()()22211sin 21sin 2(sin cos )cos sin tan 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααααα++++=+===-+--2016=.∴1tan 21201612017cos 2αα++=+=. 故答案为：201710．（1）π（2）(1,)+∞【解析】解：（1）()sin 2sin 2cos233f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2cos2224x x a x a π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦2[4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1a -+. 由()0f x >恒成立，故有10a -+>，解得1a >.故实数a 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题考查正弦函数的性质，两角和与差的正弦公式，及三角函数的周期公式的应用，考查化简、变形能力．。
江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题(解析版)
江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．12 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >， 又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12答案：C解析：P ＝38，故选C ．7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc aa b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ．8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2ab a kab kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ．10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵bcosC ＋ccosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c＝b ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1B 正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2kπ2π-≤2x 6π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，解得kπ6π-≤x≤kπ3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ6π-，kπ3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+ ∴S △ABC 12=absinC 12=（1322+⨯=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221x y-=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-， 由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k k m ∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=，整理得()()22121210k x x km x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k m k m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->， 所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+，两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程， 所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)考试内容：一轮复习一、单选题1．（b ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且面积为S .若cos cos sin b C c B a A +=，()22214S b a c =+-，则角B 等于（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 2．（b ）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．（b ）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2c a a b =+，则()2cos cos A C A -的取值范围是（）A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛ ⎝⎭C ．,22⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭4．（b ）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =2sin tan A Ca c=，若sin()sin 2sin 2A B C B -+=，则a b +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5．（b ）在ABC △中，18sinAsinBsinC =，且ABC ∆面积为1，则下列结论不正确的是（ ）A ．8a b a b -< B ．()8ab a b +>C ．()2216a b c+<D ．6a b c ++>二、填空题6．（b ）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =__________． 7．（b ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,sin ,a b B C +==sin2C=______________. 8．（b ）如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.三、解答题9．（b ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.10．（b ）如图，在四边形ABCD 中，已知1AB =，2BC =，AC CD =（1）若3ACD π∠=，且ADC ∆的面积为34，求ABC ∆的面积: （2）若AC CD ⊥，求BD 的最大值.2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(八)参考答案1．C 【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴2sin cos sin cos sin B C C B A +=，即2sin()sin B C A +=. 又B C A +=π-，(0,)A π∈，∴sin 1A =，即2A π=.∵()22211sin 42S b a c ab C =+-=，由余弦定理知2222cos b a c ab C +-=， ∴cos sin C C =，∴tan 1C =，又(0,)C π∈，∴4C π，∴4B π=.故选C. 2．D 【解析】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ． 3．C 【解析】由余弦定理得222cos 2a b c ab +-=，因为()2c a a b =+，则2222cos 22a b a ab b abab ab+---==，即2cos a C b a =-； 由正弦定理得2sin cos sin sin A C B A =-，所以2sin cos sin()sin A C A C A =+-，即sin cos sin cos sin C A A C A -=， 即sin()sin C A A -=. 又因为,(0,)2A C π∈，所以C A A -=，即2C A =.因为02C <<π，2A C ππ<+<，所以64A ππ<<，所以()2cos cos cos A A C A =∈-. 4．B 【解析】 利用正弦定理化简2sin tan A C a c =得1cos 02C =>，所以C为锐角，且sin C ==由于()sin sin C A B =+，所以由sin()sin 2sin 2A B C B -+=得sin()sin()2sin 2A B A B B -++=，化简得sin cos 2sin cos A B B B =.若cos 0B =，则90B =，故2222,1,1,3b a b c a a b ==-==+=.若cos 0B ≠，则sin 2sin A B =，由余弦定理得222422cos 3c b b b b C =+-⋅⋅=，解得1,22,3b a b a b ===+=.综上所述，3a b +=，故选B.5．C 【解析】根据三角形面积为1得1sin 121sin 121sin 12ab C ac B bc A ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，三个式子相乘，得到2221sin sin sin 18a b c A B C =，由于18sinAsinBsinC =，所以8abc =.所以()222216a b c a bc abc +≥⋅==，故C 选项错误.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题. 6详解：∵在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，∴3AB BC =，由余弦定理得：AC ===，故1111sin sin 232233BC BC AB AC A BC BC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅，∴sin A =. 7【解析】由sin B C =及正弦定理得b =，又2a b +=，∴a =．∴22C A B π==-. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin sin()cos 2sin cos22222c cC C C ===-，∴sin24C ==．8．53【解析】解:如图,延长AD,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E,1tan 5CAD ∠=,15CE AE ∴=,设CE x =,则5AE x =,CDE BDA ∠=∠, CED BAD ∠=∠, ~CDE BDA ∴,则DE CDAD BD =, 2BD CD =,12DE CD AD BD ∴==, 53DE x ∴=,53DE x ∴=,5tan 3B ∴=.故答案为:53.9．（1）3π；（23【解析】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 2ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆3433=. 10．(1) 12；(2)3 【解析】（1）由221133sin sin 22344ADC S AC AD ACD AC AC π∆=⋅∠===得：1AC = 222AB AC BC ∴+=，即AB AC ⊥ 1122ABC S AB AC ∆∴=⋅= （2）设ACB α∠=，ABC β∠=在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABβα=得：sin sin AC αβ=…① 由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC β=+-⋅得：2322AC β=-…② 在DBC ∆中，由余弦定理2222cos 2BD CB DC CB DC πα⎛⎫=+-⋅+⎪⎝⎭得： 22222sin BD AC AC α=++将①②代入整理得：)2522sin cos 54sin 4BD πβββ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭当sin 14πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即34πβ=时，2BD 取最大值9 max 3BD ∴=。