人教版八年级数学第二学期 第一次 月考检测测试卷含答案

一、选择题

1．如图，在23?的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）

A ．22.5°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

2．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为

（ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

3．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，

45C ?∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）

A ．3

B ．23

C ．4

D ．32

4．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）

A ．47

B ．62

C ．79

D ．98

5．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）

A ．cm

B ．

cm

C ．

cm

D ．9cm

6．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?，若AD =4，CD =2，则BD 的长为

（ ）

A ．6

B ．27

C ．5

D ．25

7．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）

A ．6

B ．36

C ．64

D ．8 8．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30,40,60

B ．7,12,13

C ．6,8,10

D ．3,4,6

9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠

C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=

D ．6a =，12b =，10c =

10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）

A ．7

B ．

25

4

C ．6

D ．

112

二、填空题

11．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）

①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．

12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝32，则AB的长为__________．

13．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，……B n-1B n是△AB n-2B n-1的高，则B4B5的长是________，猜想B n-1B n的长是________．

14．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，

BF=CF，若BC=8，OD=2，则OF=______.

15．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．

16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．

17．如图,30AOB ∠=?，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．

18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5． ①线段OA 的取值范围是______________； ②若BD -AC =1，则AC ?BD = _________．

19．如图，R t△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点

A ，

B 重合），DE ⊥A

C ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．

20．已知：如图，等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ?，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ?，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ?，

44OA B ?，…，则66OA B ?的周长是______.

三、解答题

21．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；

（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；

（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．

22．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．

23．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

25．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）． （1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．

26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在

ABD 内部，90EAP ∠=?，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．

下列结论：

①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=+；

=5

32

ABD S ?+③；

④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为

5+232-；

⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得

AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．

其中正确结论的序号是___．

27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．

已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离

()

()2

2

121212PP x x y y =

-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂

直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.

已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．

（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．

28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .

（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;

②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.

29．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝

()()()()

a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．

（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．

30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD

()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；

()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这

个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关

系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C 解析：C 【分析】

连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ?为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ?为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】 连接AB

∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ?为等腰直角三角形 ∴45AMB ∠=? 故选C ． 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ?为直角三角形．

2．B

解析：B 【分析】

本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得

228AC BC = ，最后根据1

2

ABC AC BC ?=

?求解即可. 【详解】

解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线， ∵CD=3，AB= 6， ∴CD=3，AB= 6， ∴CD= AD= DB ，

12∠∠∴=，34∠=∠ ， ∵1234180∠+∠+∠+∠=?，

∴1390∠+∠=?， ∴

ABC 是直角三角形，

∴22236AC BC AB +==， 又∵8AC BC +=，

∴22264AC AC BC BC +?+=，

∴22264()643628AC BC AC BC ?=-+=-=， 又∵

1

2

ABC AC BC ?=

?， ∴128722

ABC S ?=?=， 故选B.

【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.

3．D

解析：D 【分析】

先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得． 【详解】

如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD=∠CAD ，

AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一） PQ PE ∴=

PB PQ PB PE ∴+=+

由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE 点,P Q 都是动点

BE ∴随点,P Q 的运动而变化

由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值 在Rt BCE ?中，456,C C B ∠=?=

2

322

BE CE BC ∴==

= 即PB PQ +的最小值为32 故选：D ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．

4．C

解析：C 【分析】

依据每列数的规律，即可得到2

2

2

1,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值.

【详解】

解：由题可得：2

2

2

321,42,521=-==+……

2221,,1a n b n c n ∴=-==+

当21658c n n =+==时，

63,16x y ∴== 79x y ∴+=

故选C 【点睛】

本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解． 【详解】

解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长=

=

cm ；

如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长=

=

cm ；

如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.

所以要爬行的最短路径的长cm.

故选C. 【点睛】

本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.

6．A

解析：A 【解析】

【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．

【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′， 则有∠AD′D=∠D′AD=45?， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， 即∠BAD=∠CAD′，

在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =??

∠=∠??=?

，

∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，

∠DAD′=90°，由勾股定理得22'AD AD +2，

∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得

CD′=22DC DD +'=()

2

2422+=6，

故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．

7．B

解析：B 【分析】

根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】

解：A 的面积等于100-64=36； 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．

8．C

解析：C 【分析】

根据勾股定理的逆定理解答即可. 【详解】

A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；

B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；

C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；

D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形； 故选：C . 【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.

9．D

解析：D

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90?即可． 【详解】 解：A 、

22251213+=，ABC ?∴是直角三角形，故能判定ABC ?是直角三角形；

B 、A B

C ∠+∠=∠，90C ∴∠=?，故能判定ABC ?是直角三角形；

C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，5

18090235

C ∴∠=

??=?++，故能判定ABC ?是直角三角

形；

D 、22261012+≠，ABC ?∴不是直角三角形，故不能判定ABC ?是直角三角形；

故选：D ． 【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．

10．B

解析：B 【分析】

由折叠的性质得出AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程即可得出答案． 【详解】

解：∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ， ∴AD=BD ，

设BD=x ，则CD=8-x ， 在Rt △ACD 中， ∵AC 2+CD 2=AD 2， ∴62+（8-x ）2=x 2， 解得x= 254

∴BD=

254． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．

二、填空题

11．①③ 【分析】

①由已知条件证明DAB ≌

EAC 即可；

②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；

③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④． 【详解】

解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°， ∴∠DAB ＝∠EAC ， ∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，

∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，

AD AE DAB EAC AB AC ??

???

＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，

∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；

由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；

∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°， ∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；

∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】

本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．

12

．【分析】

利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到1

2

BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB . 【详解】

在Rt △ACD 中，

CD=AD= ∴

6=，

在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴1

2

BC AB =

， ∵222AC BC AB +=， ∴2

22

1

6()2

AB AB +=,

解得AB=

故答案为： 【点睛】

此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.

13．

32 2

n 【分析】

根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝

1

2

，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝

2，求出△ABC 的面积是4

；求出1

1

3

ABB BCB S S

==

B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据1

12

21

ABB BB B AB B S S

S

=+代入求出B 2B 3=，

B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ． 【详解】

解：∵△ABC 是等边三角形， ∴BA ＝AC ， ∵BB 1是△ABC 的高， ∴AB 1＝CB 1＝

1

2

，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，

由勾股定理得：BB 1=；

∴△ABC 的面积是12×1=；

∴11

12ABB BCB S S

==?，

1

2

=×1×B 1B 2，

B 1B 2＝

4

，

由勾股定理得：BB 234

=， ∵1

12

21

ABB BB B AB B S S

S

=+，

231311

2422

B B =???，

B 2B 3＝38

， B 3B 4＝3， B 4B 5＝3， …，

B n ﹣1B n ＝3．

故答案为：3，3． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．

14．10

【分析】

过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可. 【详解】

过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：

∵DBC ?是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422

DC DB ===∵2OD =

∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =， ∵∠BEC=90°

则()2

222OC OE BC OB OE -=-+

∴17

OE =

∴EC ==

∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°

∴1217

FG EC =

=

∴BE BO OE =+=

∴12GO GE OE BE OE =-=

-=

∴OF =【点睛】

本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.

15．7【分析】

分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时． 【详解】

（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时． ∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；

（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．

在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD （3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ，

在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD

故答案为：7

【点睛】

本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

16．10

【分析】

先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝5c＝5代入即可求出ab的值．

【详解】

解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，

∴a2+b2＝c2，

∴（a+b）2﹣2ab＝c2，

∵a+b＝5c＝5，

∴（52﹣2ab＝52，

∴ab＝10．

故答案为10．

【点睛】

本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.

17．10

【分析】

首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．

【详解】

作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可

知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．

【点睛】

本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．

18．①1＜OA ＜4． ②67

2

． 【解析】

(1)由三角形边的性质 5-3<2OA <5+3, 1＜OA ＜4.

(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE , 由题意知，22BD DE =+()2

BC CE +=2DE +()2

4CE +，

()()22

2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-， 2AC ∴+ 2BD

=2DE +()()2

2

245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC ?BD =1，

∴AC ?BD =

672

.

1925

【解析】

试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四