运筹学
运筹学的基本名词解释汇总
运筹学的基本名词解释汇总运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涵盖了多个子领域，包括线性规划、整数规划、动态规划、网络优化、排队论、决策分析等等。
在本篇文章中，我将深入解释其中一些基本的运筹学名词。
一、线性规划线性规划是运筹学中最常用的方法之一。
它用于解决在给定的约束条件下，如何最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
具体来说，线性规划问题可以用如下形式表示：Maximize（或Minimize）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CnXnSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁nXn ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂nXn ≤ b₂...An₁X₁ + An₂X₂ + ... + AnnXn ≤ bnX₁, X₂, ..., Xn ≥ 0其中，C₁，C₂，...，Cn为目标函数的系数，X₁，X₂，...，Xn为决策变量，Aij为约束条件的系数，bi为约束条件的右手边。
线性规划在供应链管理、资源分配、生产计划等各个领域都有广泛的应用。
二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展。
在整数规划中，决策变量被限制为整数值，而不仅仅是非负实数。
这在某些情况下更符合实际问题的特点。
整数规划可以用于解决许多实际问题，例如旅行商问题、资源分配问题等。
整数规划的形式与线性规划相似，只是添加了一个约束条件：X₁, X₂, ..., Xn为整数整数规划是一个NP难问题，在实际应用中通常通过割平面法、分支定界法等方法来求解。
三、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法。
在动态规划中，问题被分解为一系列阶段，每个阶段都有一组决策变量。
每个阶段的决策都基于之前阶段的决策结果，从而达到最优解。
动态规划可以用于解决诸如背包问题、最短路径问题等在实际问题中普遍存在的多阶段决策问题。
四、网络优化网络优化是研究在网络结构下如何优化资源分配和信息流动的方法。
运筹学简介
Operational Research
1
运筹学简介
一、运筹学发展简介 二、运筹学的定义 三、运筹学在管理中的应用 四、运筹学的工作步骤 五、运筹学内容介绍
2
一、运筹学（OR）发展简介
1. 运筹学在国内
中国古代朴素的运筹学思想
田忌赛马
战国时代，齐王常与他的大将田忌赛马，双方约定每场各 出一匹马，分三场进行比赛。齐王的马有上、中、下三等， 田忌的马也有上、中、下三等，但每一等都比不上齐王同等 的马，于是田忌屡赛屡输。一日，田忌的宾客、对军事颇有 研究的孙膑给田忌出了一个主意，结果以二比一赢了齐王。 即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利,从而达到以弱胜强 的目的——典型的博弈问题.
Operations Research Societies, IFORS).
我国学术界1955年开始研究运筹学时,正是从《史记》中 摘取 “运筹”一词作为OR (Operations Research)的意 译,就是运用筹划、以智取胜的含义.
6
2. 运筹学在国外 运筹学的产生
运筹学的早期历史可以追溯到19世纪中叶，特拉法加尔 (Trafalgar)海战和纳尔森(Nelson)秘诀。法国拿破仑统帅 大军要与英国争夺海上霸主地位。英国海军统帅、海军中将 纳尔森亲自制定了周密的战术方案。1805年10月21日，这 场海上大战爆发了。英国是纳尔森亲自统帅的地中海舰队， 由27艘战舰组成；另外一方是由费伦钮夫(Villenuve)率领 的法国-西班牙联合舰队，共有33艘战舰。在一场海战后， 法国-西班牙联合舰队以惨败告终：联合舰队司令费伦钮夫 连同12艘战舰被俘，8艘沉没，仅13艘逃走，人员伤亡 7000人。而英国战舰没有沉没，人员伤亡1663人。
运筹学
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与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了运筹的 许多分支。如数学规划（线性规划、非线性规划、整数 规划、目标规划、动态规划、随机规划等）、图论与网 络、排队论（随机服务系统理论）、存储论、对策论、 决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
注：兰德公司是美国最重要的以军事为主的综合性战略 研究机构。它先以研究军事尖端科学技术和重大军事战 略而著称于世，继而又扩展到内外政策各方面，逐渐发 展成为一个研究政治、军事、经济科技、社会等各方面 的综合性思想库，被誉为现代智囊的“大脑集中营”、 “超级军事学院”，以及世界智囊团的开创者和代言人。 它可以说是当今美国乃至世界最负盛名的决策咨询机构。
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
每年节约成本1500万美元， 年收入大幅增加。 每年节约成本1300万美元
优化配置上千个国内航线航班来实现利润 每年节约成本1亿美元 最大化
线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
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第一定义强调以量化为基础，必然要用数学。但任何决策都 包含定量和定性两方面，而定性方面又不能简单地用数学表 示，如政治、社会等因素，只有综合多种因素的决策才是全 面的。 第二定义表明运筹学具有与多学科交叉的特点，如综合运用 经济学、心理学、物理学、化学中的一些方法。 第三定义说明，运筹学是强调最优决策，“最”是过分理想 了，在实际生活中往往用次优、满意等概念代替最优。
__运筹学概述
第一讲 运筹学概述一、运筹学是什么？----------------------晕愁学其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。
北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。
这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。
孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。
形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。
运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。
运筹让生活得更有条理的艺术。
谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。
沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。
让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。
其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。
善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。
而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。
另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。
这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。
在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。
从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。
运筹学的基本概念与应用
运筹学的基本概念与应用运筹学是一门应用数学科学，主要涉及决策问题的建模和求解。
它的核心目标是通过数学方法来优化决策，以便在资源有限的情况下取得最优的结果。
运筹学的应用领域广泛，包括物流管理、供应链优化、生产计划、交通调度等等。
一、运筹学的基本概念1.1 问题建模在运筹学中，问题建模是解决问题的第一步。
它涉及将实际问题抽象化为数学模型，以便使用运筹学方法进行求解。
常用的建模方法包括线性规划、整数规划、图论等。
1.2 数学优化方法数学优化方法是解决运筹学问题的主要手段。
其中最常用的方法是线性规划和整数规划。
线性规划主要用于解决连续变量的优化问题，而整数规划则考虑了变量的整数限制。
除此之外，还有许多其他的数学优化方法，如非线性规划、动态规划等。
1.3 求解技术为了求解运筹学问题，需要使用相应的求解技术。
最常用的求解技术有单纯形法、分支定界法、模拟退火算法等。
这些求解技术可以帮助我们找到问题的最优解或近似最优解。
二、运筹学的应用2.1 物流管理物流管理是运筹学的典型应用领域之一。
通过合理的路径规划、运输调度和仓储管理，可以最大程度地降低物流成本，提高配送效率。
运筹学方法可以帮助企业优化物流网络、车辆调度和库存管理，从而提升物流管理的效果。
2.2 供应链优化供应链是企业和客户之间的交互系统，优化供应链可以带来许多益处。
运筹学可以帮助企业优化供应链的结构和运作方式，从而实现更高效的生产和配送。
通过运筹学方法，可以降低库存成本、提高客户满意度，并且减少供应链中的风险。
2.3 生产计划在生产过程中，需要合理地安排生产计划，以便最大化生产效率、最小化生产成本。
运筹学可以通过合理的订单批量规划、生产调度和生产线优化来提供支持。
通过运筹学方法，可以降低生产时间、提高资源利用率，并最大程度地满足客户需求。
2.4 交通调度交通调度是城市交通管理的重要组成部分，也是一个复杂的优化问题。
运筹学方法可以帮助交通管理部门优化交通信号、路线规划和公交车辆调度，以降低交通拥堵和提高交通效率。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹学概述一、运筹学的定义 运筹学(Operational Research...
运筹学研究的模型主要是抽 象模型——数学模型。数学模型 的基本特点是用一些数学关系 （数学方程、逻辑关系等）来描 述被研究对象的实际关系（技术 关系、物理定律、外部环境等）。
运筹学模型的一个显著 特点是它们大部分为最优化 模型。一般来说，运筹学模 型都有一个目标函数和一系 列的约束条件，模型的目标 是在满足约束条件的前提下 使目标函数最大化或最小化。
3、系统性
运筹学用系统的观点来分析 一个组织或系统），它着眼于整 个系统而不是一个局部，通过协调 各组成部分之间的关系和利害冲突， 使整个系统达到最优状态。
4、综合性
运筹学研究是一种综合性的 研究，它涉及问题的方方面面，应 用多学科的知识，因此，要由一个 各方面的专家组成的小组来完成。
三、运筹学模型
都江堰水利工程
丁谓的皇宫修复工程 北宋年间，丁谓负责修复火毁的开 封皇宫。他的施工方案是：先将工程 皇宫前的一条大街挖成一条大沟，将 大沟与汴水相通。使用挖出的土就地 制砖，令与汴水相连形成的河道承担 繁重的运输任务；修复工程完成后， 实施大沟排水，并将原废墟物回填， 修复成原来的大街。丁谓将取材、生 产、运输及废墟物的处理用“一沟三 用”巧妙地解决了。
二、运筹学研究的特点
1、科学性 （1）它是在科学方法论的指导下通 过一系列规范化步骤进行的；
（2）它是广泛利用多种学科的科学 技术知识进行的研究。运筹学研究不 仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、 系统科学、工程物理科学等其他学科。
2、实践性
运筹学以实际问题为分析对象， 通过鉴别问题的性质、系统的目标 以及系统内主要变量之间的关系， 利用数学方法达到对系统进行最优 化的目的。更为重要的是分析获得 的结果要能被实践检验，并被用来 指导实际系统的运行。
运筹学专题知识
2024/10/29
（二）运筹学旳产生
运筹学是一门利用科学，它本身是在利用中产生与发 展旳，产生旳背景为第二次世界大战。
1．“OR”一词旳提出 2．不列颠之战 3．盟军封锁直布罗陀海峡
2024/10/29
一、运筹学旳历史
运筹学旳精粹可归纳为“优化决策”，而优化决策 古已经有之，作为完整、系统旳学科，运筹学产生于本 世纪，古代旳优化决策与当代运筹学旳产生有着旳主动 影响。
（一）朴素旳优化思想
1．赛马与桂陵之战 2．晋国公重建皇城
2024/10/29
1．赛马与桂陵之战
“田忌赛马”是家喻户晓旳历史故事。战国时齐威王与齐相田忌 赛马，双方各出三匹马比赛，每胜一场赢得一千金。因为王府旳 马比相府旳马好，所以田忌每天都要输掉三千金。
巡查机中队击沉击伤德军潜艇3艘，自己无一伤亡。
2024/10/29
（三）运筹学旳发展
战后OR技术被广泛用于经济领域，并得到了很大旳发展。它旳发展大致可 分三个阶段：
1．从1945年到50年代初，被称为创建时期。此阶段旳特点是从事运筹学研 究旳人数不多，范围较小，运筹学旳出版物、研究组织等寥寥无几
2．从50年代早期到50年代末期，被以为是运筹学旳成长时期。此阶段旳一 种特点是电子计算机技术旳迅速发展，使得运筹学中某些措施如单纯形法、动 态规划措施等，得以用来处理实际管理系统中旳优化问题，增进了运筹学旳推 广应用。
2024/10/29
2．晋国公重建皇城
距今约1023年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
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目录试验一（习题1.1）试验二（例题1.1）试验三（习题1.2）试验四（习题3.1）试验五（习题3.2）试验六（习题3.6）试验七（习题4.1）试验八（习题4.2）试验九（习题4.5）试验十（习题5.1）试验一（习题1.1）一、问题的提出某工厂利用甲、乙、丙三种原料，生产A、B、C、D四种产品。
每月可供应应该厂原料甲600吨、乙500吨、丙300吨。
生产1吨不同产品所消耗的原料数量及可获得的利润如表1-4所示。
问：工厂每月应如何安排生产计划，才能使总利润最大？表1-4 三种原来生产四种产品的有关数据二、线性规划模型解（1）决策变量。
本问题的决策变量是两种产品A、产品B、产品C、产品D、的每月产量，可设：x1表示产品A的产量；x2表示产品B的产量；x3表示产品C的产量；x4表示产品D的产量。
（2）目标函数。
本问题的目标是四种产品的总利润。
由于产品A、产品B、产品C和产品D单位利润分别为200元、250元、300元和400元，所以，每月总利润z可表示为：z=200x1+250x2+300x3+400x4。
（元）（3）约束条件。
本问题的约束条件共有四个。
第一个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料甲1吨；生产产品B需要原料甲1吨；生产产品C需要原料甲2吨：生产产品D需要原料甲2吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为x1+x2+2x3+2x4。
由题意，原料甲每月原料供应量为600吨。
由此可得第一个约束条件：x1+x2+2x3+2x4<=600第二个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料乙0吨；生产产品B需要原料乙1吨；生产产品C需要原料乙1吨：生产产品D需要原料乙3吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为 x2+x3+3x4。
由题意，原料甲每月原料供应量为500吨。
由此可得第一个约束条件：x2+x3+3x4<=500第三个约束条件是原料甲的供应量限制，生产产品A需要原料丙0吨；生产产品B需要原料丙2吨；生产产品C需要原料丙1吨：生产产品D需要原料丙0吨，所以生产x1吨产品A、x2吨产品B、x3吨产品C和x4吨产品D所需的原料为x1+2x2+x3。
由题意，原料甲每月原料供应量为500吨。
由此可得第一个约束条件：x1+2x2+x3<=300第四个约束条件是决策变量的非负约束。
非负约束经常会被遗漏。
由于产品不可能为负值。
所以第四个约束条件为：x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0由上述分析，可建立习题1.1的线性规划（数学）模型：x1+x2+2x3+2x4<=600x2+x3+3x4<=500S.t x1+2x2+x3<=300x1>=0, x2>=0, x3>=0, x4>=0三、电子表格模型四、结果分析由电子表格模型可知，当每月生产产品A260吨、产品B20吨、产品C0吨和产品D160吨使得最大利润为121000元。
试验二（例题1.1）一、问题的提出生产计划问题。
某工厂要生产两种新产品：门和窗。
经测算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。
而车间1、车间2、车间3每周可用于生产这两种新产品的时间分别是4小时、12小时、18小时。
已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。
而且根据经市场调查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所以新产品均能销售出去。
问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，才能使总利润最大（以获得最大的市场利润）？二、线性规划模型决策变量。
本问题的决策变量是两种新产品（门和窗）的每周产量。
可设：X1表示门的每周产量（扇）；X2表示窗的每周产量（扇）。
目标函数才本问题的目标函数是两种新产品的总利润最大。
由于门和窗的单位利润分别为300元和500元，而其每周产量分别为x1和x2，所以每周总利润z可表示为：z=300x1+500x2(元)约束条件本问题的约束条件共有四个。
第一个约束条件是车间1每周可用工时限制。
由于只有门需要在车间1加工，而且生产一扇们需要在车间1加工一小时，所以生产x1扇门所用的工时为x1.由题意，车间1每周可用工时为4。
由此可得第一个约束条件：X1<=4第二个约束条件是车间2每周可用工时限制，由于只有窗需要在车间2加工，而且生产一扇窗需要在车间2加工2小时，所以生产X2扇窗所用的工时为2x2。
由题意，车间2每周可用工时为12.由此得第二个约束条件：2x2<12第三个约束条件是车间3每周可用工时限制。
生产一扇门需要在车间3加工3小时，而生产一扇窗则需要在车间2加工2小时，所以生产X1扇门X2扇窗所用工时为3X1+2X2.。
由题意，车间3每周可用工时为18.由此可得第三个约束条件：3X1+2X2<=18第四个约束条件是决策变量的非负约束。
非负约束经常会被遗漏。
由于产量不可能为负值。
所以第四个约束条件为;X1>=0 X2>=0由上述分析，可建立线性规划模型；MAX=300X1+500X2X1<=42x2<12s.t3X1+2X2<=18X1>=0 X2>=0三、电子表格模型四、结果分析综上所述，可知当每周生产2扇门6扇窗是，总利润最大为3600元.试验三（习题1.2）一、问题的提出某公司受客户委托，准备用130万元投资A和B两种基金。
基金A每份50元、基金B每份100元。
据估计，基金A的预期收益率为10%、预期亏损率为8%；基金B的预期收益率为4%、预期亏损率为3%。
客户有两个要求：（a）投资收益不少于6万元；（b）基金B的投资额不少于30万元。
问：（1）为了使投资亏损最小，该公司应该分别投资多少份基金A 和基金B？这时的投资收益是多少？（2）为了使投资收益最大，应该如何投资?这时的投资亏损是多少？二、线性规划模型（1）决策变量本问题的决策变量为基金A的投资份数为X1，基金B的投资份数为X2。
（2）目标函数本问题的目标函数为总投资亏损最小MinZ=4X1+3X2。
（3）约束条件实用投资总额小于等于可用资金50X1+100X2≤120基金B实际投资总额不少于基金B最少投资额100X2≤30三、电子表格模型四、 结果分析当投资基金A 的份数为0.4，投资基金B 的份数为1，这是投资亏损最小为4.6.试验三（习题2.1）一、 问题的提出某厂利用A 、B 两种原料生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需的原料、利润及有关数据如下表请分别回答下列问题：（1）求使该厂获利最大的生产计划。
（2）若产品乙、丙的单位利润不变，当产品甲的单位利润在什么范围内变化时，最优解不变？（3）若原料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B 如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否购买，且以购进多少为宜？二、线性规划模型（1）决策变量。
本问题的决策变量是产品甲、产品乙和产品丙的产量，可设：X1表示产品甲的产量；X2表示产品乙的产量；X3表示产品丙的产量。
（2）目标函数本问题的目标是3种产量利润最大。
由于产品甲、产品乙和产品丙的单位利润分别为4、1和5，而产量分别为X1、X2和X3，所以总利润为：Z=4X1+X2+5X3（3）约束条件本问题有3个约束条件第一个约束条件原料A的拥有量。
由于产品甲需要原料A6吨，产品乙需要原料A3吨，产品丙A5吨，所以生产产品甲、产品乙、产品丙产量为X1、X2和X3，。
由题意，原料A的拥有量为45。
由此可得第一个约束条件：6X1+ 3X2+5X3<=45第二个约束条件原料B的拥有量。
由于产品甲需要原料B3吨，产品乙需要原料B4吨，产品丙B5吨，所以生产产品甲、产品乙、产品丙产量为X1、X2和X3，。
由题意，原料B的拥有量为30。
由此可得第二个约束条件：3X1+ 4X2+5X3<=30第三个约束条件决策变量的非负约束。
非负约束经常会被遗漏。
由于产量不可能为负值。
所以第三个约束条件为：X1>=0 X2>=0 X3>=0由上述分析可建立线性规划模型：maxZ=4X1+ X2+5 X36X1+ 3X2+5 X3<=45s.t3X+ 4X2+5 X3<=301X1>=0 X2>=0 X3>=0三、电子表格模型四、结果分析当产品甲、产品乙、产品丙5、0、3时，利润最大35.试验四（习题3.1）一、问题的提出小王由于在校成绩优秀，学校决定奖励给他10000元。
除了将4000元用于交税和请客之外，他决定将剩余的6000元用于投资。
现有两个朋友分别邀请他成为两家不同公司的合伙人。
无论选择两家中的那一家都会花去他明年暑假的一些时间并且要花费一些资金。
在第一个朋友的公司成为一个独自人要求投资5000元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500元。
第二个朋友的公司相应的数据为4000元和500小时，估计利润也是4500元。
然而，每一个朋友都允许他选择投资一定的比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资，时间投资和利润）都将乘以这个比例。
因为小王正在寻找一个有意义的暑假工作（最多600小时），于是他决定以能够带来最大估计打利润组合参与到一个或者两个朋友的公司中，请你帮助他解决这个问题，找出最佳组合。
二、线性规划模型（1）决策变量。
本问题的决策变量是在两个公司中各投资多少比例。
设：X1为公司1投资的比例；X2为公司2投资的比例；（2）目标函数。
本问题的目标是小王获得总收益最大，即：maxZ=4500(X1+X2)（3）约束条件。
①投入的资金不可以超过6000元；5000X1+4000X2≤6000②所花费的时间不超过600小时；400X1+500X2≤600③非负投资比例不能为负；X1，X2≥0由上述分析可建立线性规划模型：maxZ=4500(X1+X2)5000X1+4000X2≤6000S.t 400X1+500X2≤600X1，X2≥0三、电子表格四、结果分析综上所述可知当向公司1投资为0；向公司2投资15%时，得到最大收益为657.试验五（习题3.2）一、问题的提出某大学计算机中心的主任要为中心的人员进行排班，中心从08:00开到22:00.主任观测出中心在一天的不同时段的计算机使用量，并确定了如表所示的各时段咨询员的最少需求人数。
需要聘用两类计算机咨询员：全职和兼职。
全职咨询员将在以下的三种轮班方式中连续工作8小时或6小时：上午上班（08:00—16:00）、中午上班（12:00—20:00）以及下午上班（16:00—22:00）全职咨询员的工资为每小时14元。