海涅定理在函数极限证明中的应用解析
海涅定理反证
海涅定理反证引言海涅定理是数学分析中的一个重要定理，也被称为海涅-博雷定理。
它是由德国数学家埃德蒙·海涅和恩斯特·博雷于19世纪提出的。
该定理在数学分析、实分析和复分析等领域有广泛的应用。
本文将详细介绍海涅定理的背景、原理和证明过程，并通过反证法展示其重要性和应用。
背景在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
一个函数在某点上连续，意味着在该点的邻域内，函数的值可以无限接近于该点的函数值。
然而，并非所有函数都满足连续性的要求。
因此，数学家们提出了一系列定理和方法来研究函数的连续性和不连续性。
海涅定理的原理海涅定理是关于函数连续性的一个重要定理。
它给出了一个函数在闭区间上连续的充要条件。
具体来说，对于一个实函数f(x)，如果它在闭区间[a, b]上满足以下两个条件：1.函数f(x)在[a, b]上有界，即存在一个常数M，使得对于所有的x∈[a, b]，有|f(x)|≤M；2.函数f(x)在[a, b]上满足达布(Darboux)性质，即对于任意的实数α和β(α<β)，存在一个实数γ，使得对于[a, b]上的任意x，都有f(γ)=γ。
那么，函数f(x)在闭区间[a, b]上连续。
证明过程为了证明海涅定理，我们使用反证法。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上不连续，即存在某点c∈[a, b]，使得函数f(x)在c点不连续。
根据函数的连续性定义，对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得对于[a, b]上的任意x，如果|x-c|<δ，则有|f(x)-f(c)|<ε。
现在我们选择一个特殊的ε，令ε=1。
根据函数的不连续性定义，对于任意的δ>0，存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δ，但是|f(x)-f(c)|≥1。
我们可以构造一个数列{δn}，其中δn=1/n，n∈N。
根据函数的不连续性定义，对于每个δn，都存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δn，但是|f(x)-f(c)|≥1。
海涅归结原理
海涅归结原理海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
海涅原理搭建起了数列极限和函数极限之间的桥梁，求函数极限问题可以转化成为求数列极限的问题，求数列极限的问题也可以转化成为求函数极限的问题。
同样也可以利用此定理及间接的判断敛散性。
定义：若函数f(x)在Uo(x0)有定义 , limx→x0f(x)=A∈R⟺∀xn∈Uo(x0) limn→∞xn=x0, limn→∞f(xn)=A 注：是子数列(注：xn是子数列)应用一：证明函数极限不存在时可以用海涅定理1∘: 若存在子数列xn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0 使{f(xn)} 发散，则limx→x0f(x) 不存在。
2∘: (双子数列方法)若存在xn,yn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0,limn→∞yn=x0 ,且满足limn→∞f(xn)=A,limn→∞f(yn)=B ，若A≠B ,则limx →x0f(x) 不存在,反之则存在。
3∘: 若limx→x0f(x) 存在，xn∈U∘(x0), 且xn≠x0 , limn→∞xn=x0，limn→∞f(xn)=A ⟹limx→x0f(x)=A例：求证limx→∞sinx 不存在。
证明：方法一：任取子数列：时xn=π2+nπ(n→∞时,xn→∞)f(xn)=1,−1,1,−1,1,−1,1,−1⋯⋯由于limn→∞f(xn) 不存在，所以limx→∞sinx .方法二：任取两个收敛的子数列，但是可证出极限值不相等——发散令yn=nπ,limn→∞yn=0,xn=2nπ+π2,limn→∞xn=1 ,两个子数列均是收敛的，但是收敛的极限值不同，所以函数f(x)=sinx 是发散的.例：若f(x) 为R 上以t 为周期的周期函数，limx→∞f(x)=A ,求f(x) . 在证明过后应当作结论记住(在证明过后应当作结论记住)注解：利用周期函数的性质找出趋向于∞的子数列.解：xn=x,x+t,x+2t⋯⋯x+ntf(x)=f(x+t)=f(x+2t)=⋯⋯=f(x+nt) , 则当x→∞时，[xn+nt]⟶+∞，∀x0 , limn→∞f(x0+nt)=f(x0) ,所以limn→∞f(x)=f(x0)又∵x0 的任意性∴f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(3x) , limn→0+f(x)=A求f(x)解：∵f(x)=f(x3)=f(x32)=f(x33)=⋯⋯=f(x3n)limn→+∞x3n=0+ ⇒∀x0 , limn→∞f(x03n)=f(x0) ⇒limx→0+f(x)=f(x0)因为x0 的任意性，所以f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(x3) , limx→∞f(x)=A∈R求f(x)解：f(x)=f(3x)=f(32x)=⋯⋯=f(3nx) ，limn→∞3nx→∞∀固定x0 ,有limn→∞f(3nx0)=f(x0) limn→∞f(x)=f(x0)又由于x0 的任意性，推广得到f(x0)=f(x)所以：f(x)=A总结：先依据周期性找到合适的递推公式，先固定任意的x0 ,根据海涅定理得到limx→∞f(x)=f(x0) ,最后根据x0 的任意性推广到所有的x .。
Heine定理及其应用
目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。
它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。
国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。
国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。
比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。
3-03函数极限存在条件精简版
ln
x
ln
x0
x0 0 .
证明 : x 0, ln x严格单调增加.
则 (1)对 设于 2x0. 0证1, 此 明0, 时 存: xl有 在imx满 lx0iml足 n1 lxnxnxln01,(x如 n0 若x不 0)然 的0,正.数列,
使得 ln xn 0 ,由此可知, n N ,
我们也可以用说明lim sin n不存在来说明 n
lim sin 1 不存在, 但是反之不成立.
x0
x
假设:如果 lim sin n a 存在,则 n
limsin(n 2) sin n 0 ,即lim 2cos(n 1)sin1 0
n
n
lim cos(n 1) 0 lim cos n 0, lim sin 2n 0,
即 0, M , x : M x ,
有 有 f ( xf ()x) AA ,,
limlimf (fx( x)) ssuupp f (fx)(x. ) .
x x
(
(
MM00,,)
)
三. Cauchy 收敛准则
定理3 ( Cauchy 收敛准则 )
(1) lim f ( x)存在 0, 0, x x0
x, x U o ( x0 , ),有 f ( x) f ( x) ; (2) lim f ( x)存在 0, X 0,
x
x, x : x X , x X ,
如果lim g( x)存在,证明lim f ( x)存在.
x0
x0
证明 由Cauchy 收敛准则 立即得到。
练习
1.
裴礼文 海涅归结原理
裴礼文海涅归结原理裴礼文是数学界的一位杰出人物，他的贡献主要集中在数学分析领域。
他提出的海涅归结原理是数学分析中的一个重要概念，对于理解函数的连续性、可微性和积分等概念具有重要意义。
海涅归结原理可以概括为：如果一个函数在某一点的极限存在，那么这个函数在该点附近的行为可以用一个多项式来逼近。
这个原理在数学分析中非常重要，因为它提供了一种研究函数行为的方法。
通过这个原理，我们可以将复杂的函数分解为简单的多项式，从而更好地理解和研究函数的性质。
在证明海涅归结原理的过程中，裴礼文采用了严谨的数学证明方法。
他首先定义了函数在某一点的极限存在，然后通过构造一个多项式序列，证明了该多项式序列在某一点收敛到函数的值。
最后，他证明了如果函数在该点的极限存在，那么这个多项式序列在该点的极限也必须存在，并且等于函数的极限。
这样，他就证明了海涅归结原理。
海涅归结原理的应用非常广泛。
在数学分析中，它可以用来研究函数的连续性、可微性和积分等性质。
例如，我们可以利用这个原理来证明某个函数在某个区间上是连续的或者可微的。
此外，海涅归结原理在解决一些具体的数学问题时也非常有用。
例如，我们可以利用这个原理来求解一些微分方程或者积分方程。
总的来说，裴礼文提出的海涅归结原理是一个非常重要的数学概念。
它不仅在数学分析中有广泛的应用，而且对于理解函数的性质和研究一些具体的数学问题也非常有帮助。
通过深入研究和应用这个原理，我们可以更好地理解和掌握数学分析的基本概念和方法。
同时，我们也应该认识到数学的发展是一个不断探索和发现的过程。
在这个过程中，像裴礼文这样的杰出数学家通过不断的研究和创新，为数学的发展做出了巨大的贡献。
他们的成果不仅丰富了数学理论体系，也为解决实际问题提供了重要的工具和思路。
除了海涅归结原理之外，裴礼文还提出了许多其他的数学概念和方法。
这些成果不仅在数学领域有重要的价值，也在其他领域产生了广泛的影响。
例如，裴礼文提出的某些数学方法被应用于物理学、工程学和经济学等领域，为解决一些实际问题提供了重要的思路和方法。
海涅定理在极限判别及运算中的应用
Ｉ土 ） 敛 ｎ 的 散 ｎ二
判断与运算 ， 能训练学生的创新思维及增强学生创 造性解决问题的能力， 达到提高工科数学分析的教 学实效的目的。
参考文献 ：
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性。
ｎ１ ２ ， 解析 构造函数ｆ 二二二 ｘ — １（ ＋ｘ） 当 （） ｘ ｘ ０ ｆ ｘ 经过 Ｔ ｙ ｒ 一 时，（ ） ａｌ 展开为 ： ｏ
当ｘ一 。 ｆ的极限不存在。 时
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４ 判断级数敛散性
级数实质是一个和式的极限， 因此运用 Ｈ ｎ ｅｉ ｅ
定理及其推论判断常数项级数的敛散性是一种有效
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结束语
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海涅定理极限
海涅定理极限海涅定理是极限理论中的一个重要概念，它由德国数学家海涅·韦洛斯基提出。
海涅定理在实数域中给出了数列收敛的必要和充分条件，以及收敛数列的性质。
本文将对海涅定理进行详细介绍，并探讨其在极限理论中的应用。
1. 引言极限理论是微积分和数学分析中的基础理论之一，它研究数列和函数的极限性质。
在极限的定义和性质中，海涅定理占据着重要的地位。
海涅定理不仅被广泛应用在数学分析领域，也在物理、工程学等科学领域具有重要作用。
2. 海涅定理的定义在数学中，海涅定理给出了数列收敛的必要和充分条件。
对于一个实数数列{a_n}，当存在实数L，对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|a_n - L|<ε成立，即对于任意给定的精度ε，总存在一个正整数N，使得数列的后续项都与实数L的差的绝对值小于ε。
如果满足这个条件，那么数列{a_n}就是收敛的，L为数列的极限。
3. 收敛数列的性质根据海涅定理，我们可以得出一些关于收敛数列的性质。
首先，收敛数列是有界的，即存在一个正实数M，使得对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M成立。
其次，数列的极限是唯一的，即如果数列收敛，那么它的极限是唯一确定的。
此外，收敛数列的任意子列都收敛于相同的极限。
4. 应用举例：极限计算海涅定理在实际计算中具有重要作用。
例如，我们可以利用海涅定理来计算一些复杂极限。
假设我们需要计算极限lim(n→∞)(1+1/n)^n，可以构造数列{a_n}，其中a_n=(1+1/n)^n。
利用数列的性质和海涅定理，我们可以证明这个极限等于常数e≈2.71828。
这个例子展示了海涅定理在极限计算中的应用。
5. 应用举例：泰勒展开海涅定理在泰勒展开中也有重要应用。
泰勒展开是将函数在某一点展开成无穷级数的形式，可以用于近似计算函数的值。
根据海涅定理，我们可以证明如果函数在某一点可导，那么其泰勒展开式在该点处收敛于该函数本身。
这为我们提供了一种近似计算复杂函数的方法。
关于函数极限存在定理-海涅(Heine)定理的教学探讨
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海 涅 定理 也 称 为 归结 原 则 ． 是 函数 极 限 存 在 的 基 本 定 理之 （ ｘ ） ， 则ｆ （ ≤ｈ （ ｘ ｎ ） ≤ｇ （ 。再 根 据数 列 极 限 的迫 敛性 知ｌ ｉ Ｉ １ １ ｈ （ ｘ ＝
是函数极限理论的基础。学生能否真正理解和掌握 ， 直接影 ｉ ｍｈ （ ｘ ） ＝ Ａ 。 响着对这 门课程 的后续学 习， 所 以这部分 内容教 学效果如何是 Ａ。最 后 由 归结 原 则知 ｌ 很 重要的 ， 以下是作者的点滴经验 。 ３ ． 利 用 海 涅 定理 。 可以 通 过 已知 的 函数 极 限 求数 列极 限 。 以ｘ 一 为例 ． 讲解海涅定理 例如， 已知ｌ ｉ ｍ（ １ ４ － 上） ： ｅ 。 由于ｌ ｉ ｍ ｎ ２ ＝∞， 则利用归结原则有 首先引导学生观察函数 图像 。 从 图像上分析 函数极限和由 １ ２ 函数值构成的数 列极 限之间的联 系。 使 学生从直观上理解海涅
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海涅定理在函数极限证明中的应用摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。
关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。
本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。
不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。
关键词：海涅定理；函数极限；数列极限Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit.Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。
而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。
也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。
除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。
其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。
海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。
数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。
因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。
近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。
此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。
还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。
根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。
1 预备知识定义1.1[]1 函数在0x 点的极限的定义：设函数()x f 在0x 点的附近（但可能除掉0x 点本身）有定义，又设A 是一个定数。
如果对任意给定的0>ε，一定存在0>δ，使得当δ<-<00x x 时，总有()ε<-A x f ，我们就称A 是函数()x f 在0x 点的极限，记为()A x f x x =→0lim （或者记为()()0x x A x f →→）.这时也称函数()x f 在0x 点极限存在，其极限是A 。
2 海涅定理的证明及推广定理 2.1[]1海涅定理 ()A x f x x =→0lim 的充分必要条件为对任何以0x 为极限的数列{}()0x x x n n ≠，都有()()∞→→n A x f n 。
证明 先证必要性。
由于()A x f x x =→0lim ，所以对任意的0>ε，存在0>δ，当δ<-<00x x 时，()ε<-A x f .但是0x x n →，故对0>δ，又可得正整数N ，n N >时，δ<-0x x n . 因为0x x n ≠，故上面的不等式可改写为δ<-<00x x n . 而对于适合这个不等式的n x ，其函数值()n x f 满足()ε<-A x f n .亦即当N n >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n x f 以A 为极限。
再证充分性。
用反证法，若()A x f x x ≠→0lim ，则对某一个0>ε，不能找到函数极限定义中的δ，也就是对任意的0>δ，都可以找到一点x '，00x x δ'<-<，使得()ε≥-'A x f ；特别地，若取δ为111,,,23，得到123,,,x x x 满足1001x x <-<，()1f x A ε-≥；20102x x <-<，()2f x A ε-≥； 30103x x <-<，()3f x A ε-≥；…………从左边一列可以看出()0n x x n →→∞，0n x x ≠，而右边一列却说数列()n x f 不以A 为极限，与假设矛盾。
充分性得证。
等价类型的海涅定理：定理2.2[]8设()x f 在M x >上有定义则()lim x f x A →∞=的充要条件是：对于任何以∞为极限的数列{}()n n x x M >，都有()A x f n n =∞→lim 。
证明 先证必要性。
因为lim ()x f x A →∞=，则得到对任意的0ε>，存在0M >，当x M >时有()f x A ε-<.但是n x →∞，故对0M >，可得正整数N ，当n N >时有n x M >。
又因为n x M >。
故上面的不等式可以改写为()-n f x A ε<.亦即当n N >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n f x 以A 为极限。
再证充分性。
用反证法，假设lim ()x f x A →∞≠，则对于某一个0ε>，不能找到函数极限定义中的M ，也就是对任意0M >都能找到一个点i x M >时，使得()f x A ε-≥。
特别地，当取1,2,3,4,M =时，得到1234,,,x x x x 适合111,()x f x A ε>-≥， ()333,x f x A ε>-≥， ()444,4x f x A >-≥，........从左边一列可以看出()n x n →∞→∞，n x M >，而右边一列却说数列()n x f 不以A 为极限，与假设矛盾。
充分性得证。
定理2.3[]8设()x f 在0x 的某一邻域()0,U x δ内有定义，则函数()x f 在点0x 连续的充要条件是：对任何含于()0,U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，都有()()0lim x f x f n n =∞→。
定理 2.4[]8设函数()x f 在点0x 的某空心右邻域()0,U x δ+有定义，则()A x f x x =+→0lim 的充要条件是：对任何以0x 为极限的单调递减数列{}()0,n x U x δ+⊂，都有()A x f n n =∞→lim 。
定理 2.5[]8设函数()x f 在点0x 的某空心左邻域()0,U x δ-有定义，则()A x f x x =-→0lim 的充要条件是：对任何以0x 为极限的单调递增数列{}()0,n x U x δ-⊂，都有()A x f n n =∞→lim 。
3 海涅定理的应用3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。
例3.1 若()0lim x x f x →与()0lim x x g x →且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠→0lim ,00x g x g x x 皆存在，则有 ()()()()00lim lim lim x xx x x x f x f x g x g x →→→=. 证明 设()()()f x H x g x =，()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=.又设{}()0x x x n n ≠是任意一个含于函数g f ,的定义域且以0x 为极限的数列。
那么()()()n n n x g x f x H =. 由海涅定理的必要性可得()()B x g A x f n x x n x x ==→→0lim ,lim .而根据数列极限的运算法则有()()()lim lim lim n n n n n n f x A H x g x B→∞→∞→∞==. 又由于数列{}n x 的任意性和定理2.1的充分性得()()()x g x f x H x x x x x x 0lim lim lim →→→=.例3.2 证明：若对任意的()0,x U a δ∈有()()()x h x g x f ≤≤，且()()b x h x f ax ax ==→→lim lim .则()b x g ax =→lim 。
证明 任作一数列{}()0,n x U a δ⊂，且()∞→→n a x n ，则由海涅定理知 ()()lim lim n n n n f x h x b →∞→∞==.因为()()()f x g x h x ≤≤，所以()()()n n n f x g x h x ≤≤.所以由数列极限的迫敛性知()lim n n g x b →∞=.又由海涅定理的充分性知()lim ox x g x →存在且收敛于b 。
例3.3 若极限()x f ox x →lim 存在，则此极限是唯一的。
证明 设A 和B 都是()x f 当0x x →时的极限，即()()B x f A x f x x x x ==→→0lim ,lim .作数列{}()0,n x U x δ⊂且()0n x x n →→∞，由海涅定理知()lim n n f x A →∞=且()lim n n f x B →∞=.由数列极限存在唯一性知A B =。
3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限，再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限。
1）求含有三角函数的数列极限例3.4 求极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→πn n n 41arctan ln 4lim 。
解 因为()()x x f arctan ln 4=在4π=x 处连续。
当n →∞，144n n ππ+→。
由海涅定理可知11lim 4ln arctan 4ln arctan lim 4ln arctan 0444n n n n n n πππ→∞→∞⎡+⎤⎡+⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 例3.5 求极限21lim tan n n n n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭。