谱线加宽与线型函数共28页文档

第九章光谱学

(1)起因:发光原子由于热运动，而产生的Doppler 频移所致。 (2)Doppler效应当热运动速度 v << c 时，v= v0(1+v0/c)
(3)线型函数：
g D (v) c / v0 m / 2 kT exp{mc (v v0 ) / 2kTv0 }
2 2 2
2 / vD (ln 2 / ) exp{4ln 2(v v0 ) / vD }
三、综合加宽 1、气体 (1)一般情况 g(v)= g D (v) g H (v)dv 取误差函数的形式

(2)特殊情况： A. 当 vn vD 时， g (v) g D (v) B. 当
vn vD
时， g (v) g H (v)
2、固体
(1)加宽机制
主要由晶格热振动(均匀加宽)和晶格缺陷所引起的非均匀加宽。因两者机理都较复杂,难以从理论上求得线型函数的具体形式,而只能依靠实验来获得光谱的宽度。
1、现象：当同一束激光同时完成了
（1）束缚态→束缚态（2）束缚态→连续态这两种激发过程时，这两种激发路径之间将产生竞争和干涉效应。
2、结果：（1）若束缚态→束缚态跃迁占主导地位，则跃迁线形为Lorentzian型。（2）反之，则跃迁线形为Fano型。
三、定义
I(υ)dυ=GFdυ 其中Fano线型因子为：其中δ＝（υ－υ0）/( GF＝（δ＋q）2/(δ2+1)
/2) vN
是以宽度为单位的频率失谐。
υ为入射光频， υ0为共振频率讨论：(1)当 Fano parameter q→∞时, 即 GF趋于GL 趋于Lorentzian线型（对称线型） (2)当q很小时， GF为非对称线型，Fano线型。

2-2 谱线加宽与线型函数

g( ,
0
)d 1
()
它说明，图2-2-1中线性函数曲线与横轴所围的面积等于1。由线性函数的定义，可以看出它的量纲为秒。
光谱线的宽度（线宽）一般说来，线性函数曲线是以中心频率ν0处为中心的对称曲线，ν=ν0处的函数值g(ν, ν0)最大，设在ν=ν1和ν=ν2处线性函数值降至最大值的一半：
2 v v0 2
2
(2-2-8)
有：
g N v, v0
v N 2 v v 0 2 v N 2
2
v N 2
（2-2-11）
或者改写成：
g N v, v0 gm
v N 2 v v 0 2
由于发光粒子处在上能级的寿命是有限的，故自发辐射发光的功率并不是全部集中在由跃迁上、下能级所决定的中心频率处。而是分布在此中心频率附近的很小频率范围内。可以用单色辐射功率P来描述这一分布规律，它定义为发光粒子在频率ν处、单位频率间隔内的自发辐射功率，它是频率ν的函数。在中心频率ν 0处，单色辐射功率最大。偏离中心频率时，单色频率功率便按一定的规律衰减。为了描述单色辐射功率随频率变化的规律，我们引入光谱线的线型函数，它定义为：
2-2 谱线加宽与线型函数
光谱线的线性函数及线宽对激光器的工作特性有很大的影响，本节讨论这两个概念以及自然加宽的线性函数和线宽。
一、线型函数线型函数的引入：将光源所发出的光通过光谱仪，在照相地板上的不同位置便可得到由若干条亮度不等的线所组成的光谱。其中每一条线称光谱线，它代表光源发光中的某一波长成分，不同光源所发光的波长成分不一样，也就是有不同的光谱。
Pt P0e2t

谱线宽度、展宽

4 2
4
2
1
(
0 )2
N 2
2
N
2
1
(
0 )2
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（2）碰撞加宽
a、气体分子间的碰撞、气体分子与容器的碰撞
碰撞
跃迁过程中断
跃迁时间t变小
E t h
E增大，能级变宽
b、晶体中原子与相邻原子间的耦合作用，可认为是碰撞
碰撞加宽的线型函数gL ( )
gL ( )
于原子发光的中心频率（
），只要在不偏离中心频率太大的范围内，
0
都可以产生受激跃迁。只是在
0时跃迁几率最大，偏离
时，跃迁几
0
率会变小。（
=
时跃迁几率最大）
0
原子能级跃迁线型函数
准单色光（入射光）谱线
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（2）原子与连续光辐射的作用
与上一情况相反：
g( )只在 0附近才有非零值，在此范围内可用( 0 )代替( )
系统的频率相符合辐射场，从而对原子系统进行激励、泵浦，但辐射场的利用率比较低，大部分辐射场都没有用上。
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§1-7 均匀加宽和非均匀加宽
一、均匀加宽
定义：在这类加宽中，每一个发光粒子所发的光对谱线
的任一频率都有贡献。
（1）自然加宽：粒子自发辐射过程中不可避免的增宽效应
g( )
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21( 0 ) g( )d
n2B21( 0 )
同理：
dn12 dt
n1B12( 0 )
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3.3谱线加宽和线型函数(精)

• 在经典模型中，原子中作简谐运动的电子由于自发辐射而不断消耗能量，因而电子振动的振幅服从阻尼振动规律
x(t ) x0 exp( t 2 ) exp( i 2 0t )
其中，0是原子作无阻尼简谐振动的频率，即原子发光的中心频率，为阻尼系数。这种阻尼运动不再是频率为0的单一频率（简谐）振动，而是包含有许多频率的光波，即谱线加宽了，此即形成自然加宽的原因。
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• 对x(t)作傅立叶变换，可求得它的频谱
x( )
0
x(t )e
i 2 t
dt x0 e e
2 0

t
i 2 ( 0 ) t
dt

2
x0 i ( 0 )2
• 辐射功率正比于电子振动振幅的平方，频率在~+d区间内的自发辐射功率为
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加宽机制之一——均匀加宽
homogeneous broadening
• 如果引起加宽的物理因素对每个原子都是等同的，则这种加宽称作均匀加宽 • 每个原子都以整个线型发射，不能把线型函数上的某一特定频率和某些特定原子联系起来，即每一发光原子对光谱线内任一频率都有贡献。
• The fact that both the emission and the absorption are described by the same lineshape function can be verified experimentally, follows from basic quantum mechanical considerations.
• The separation between the two frequencies at which the lineshape function is down to half its peak value is referred to as the linewidth.

谱线加宽与线型函数

•

由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中的机制是相同的，因而碰撞加宽的线型函数与自然加宽的线型函数一样。碰撞加宽线型函数：

碰撞线宽：

L
平均碰撞时间（发生碰撞的平均时间间隔）
均匀加宽－引起加宽的物理因素对每个原子都等同,每个发光原子都按整个线型发光。
dn2 dn n 21 A21n2 2 dt dt s
n2 (t ) n2 0e

t
s

求得自发辐射功率为
dn21 dn2 (t ) P(t ) h h n20hA21e dt dt
t
s
P0e

t
s

比较两式可得：

1
s

洛仑兹线型（Lorentzian lineshape）

=? 设在初始时刻t=0时能级E2上有n20个原子，则自发辐射功率随时间的变化规律可写为：
P(t ) n20 x(t ) n20x(t ) x* (t )
2
P(t ) n x e
2 t 20 0
P (t ) P0 e t

另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规律为
c m 2 g D , 0 e 0 2 KT
1 mc2 0 2 2 2 KT 0
g D , 0
g D 0 , 0
g D 0 , 0 / 2
该线型函数具有高斯函数的形式。
0
如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等于原子的中心频率ν0’。频率处在ν~ν+dν范围内的自发辐射光功率为：

1.6-光谱线增宽

实验表明: 不仅各条谱线的宽度不相同,而且在每条有限宽度的频率范围内,光强的相对强度也不一样.
➢描述光谱线加宽特性的物理量：线型函数和线宽
二. 谱线的线型函数
g(v)——描述单色辐射功率随频率变化的规律。 (给定了光谱线的轮廓或形状)
1定义:
g( ) I ( ) I ( )
I0 I ( )d
受激跃迁几率的修正
考虑了线宽后, 三种跃迁几率(A21、W21、W12）均按频率有一定的分布, 且与谱线线型函数 g (v)有关, 即
A21( ) A21 g( ) W21( ) B21 g( )v W12 ( ) B12 g( )v
第5页，共41页。
1.自发跃迁几率按频率分布函数A21(v)
q (v)dv应为
q(v)dv=q0 f(v)dv=n2 A21hv0 g(v)dv
q(v)=n2hv0A21(v)
在单位时间内,对应于频率v～v+dv间隔,自发辐射的原子跃迁数密
度公式为
第6页，共41页。
（1-47）
其中: A21(v)=A21g(v) 表示在总的自发
发射跃迁几率A21中, 分配在频率v处,单
3 .碰撞加宽的原因：①由于气体分子或原子间的碰撞作用使发光粒子突然中断发光而
缩短寿命所造成。（因碰撞将自己的内能转移
给基态原子而本身回到基态）
第21页，共41页。
②由于碰撞使波列发生无规则的相位突变所引起的波列缩短，等效于寿命缩短。（激发态的原子和其他激发态原子发生弹性碰撞）
由于碰撞的发生完全是随机的，我们只能了解它们的统计平均性质。设任一原子与其他原子发生碰撞的平均时间间隔为τc，它描述碰撞的频繁程度并称为平均碰撞时间。可以证明，这种平均长度为τc的波列可以等效为振幅呈指数变化的波列，其衰减常数为τc。由此可见，碰撞过程和自发辐射过程同样引起谱线加宽，而且完全可以从物理概念出发预见它的线型函数应和自然加宽一样，并可以表示为

光谱的线宽和线形

Is R1 R2 R
R
漂白（无吸收）： s , N 0, 0
无光泵的吸收系数
0 12 N
频率依赖饱和参数中心频率饱和参数
无饱和效应有饱和效应
饱和光强：其增益为弱光条件下的1/2 S=1
饱和光强
Is
I s1 c (12 ) s1
cR B12
仅为自发辐射，RA21 / 2 cA21 c 8 h 3 4 h
Z [amu]
1 23 85 85 7 7 133 44 87
[nm] 121.6 589.1 780.0 780.0 670.8 670.8 852.1 10m 6.8 GHz
T [K] 1000 500 300 144K 600 140K 300 300 300
D [GHz] 55.8
1.7 0.52 0.36 MHz 3.0 1.4 MHz 0.38 0.056 9.0 KHz
一、Doppler效应 (一级)
第3.2节 Doppler线宽
原子发射观察者不动辐射源动
相向运动时观察者感觉辐射场频率升高，反向时感觉频率降低
原子吸收观察者动辐射源不动
(原子感受到的光频率) (共振条件 0 = ’ )
原子实际吸收的光频 a L
e (or a ) 0 k 0 kz 0 (1z / c)
四、Lorentz线型与Gauss线型的比较
Doppler shift
G( ) 2
{( 0 )2 4ln 2}
ln 2 e , D
G( )d 1
D
0
D
4
ln
20
p
c
0
c
8kT ln 2 m
Center: G + L Wing: L

第19讲谱线加宽概述

谱线加宽的成因
19.1 谱线加宽的概念
多普勒效应。气体原子具有一定的速度分布，根据每个原子相对于探测器的速度不同，每个原子的谱线产生不同的偏移。
压力效应。原子周围的其他原子可以通过碰撞而中断该原子的发光过程；也可以导致该原子能级的偏移；这两种情形都会导致谱线加宽。
19.2 怎样描述谱线加宽
准单色场的能量密度可近似为：
0 ( 0 )
19.4 原子与准单色光场的相互作用
准单色光场作用下原子系统的受激跃迁几率
Wul Bul g( ; 0 ) d Bul g( ; 0 )0 ( 0 )d Bul 0g(0;0 )
dnlu
dt

ab

Blu

nl
19.3 谱线加宽情形下的跃迁几率
单色爱因斯坦系数与线型函数的关系
P0 dnul dt sp h 0 Aulnuh 0
19.3 谱线加宽情形下的跃迁几率
P( )d P0g( ;0 )d nu Aulh0g( ;0 )d

Blu g( ; 0 )
总的受激吸收几率定义为：
Wlu

1 nl

dnlu dt
ab

Wlu ( )d
Blu g( ; 0 ) d
19.4 原子与准单色光场的相互作用
什么是准单色光场
g( ; 0 )

0
0
0
19.4 原子与准单色光场的相互作用

1 2
gmax

1 2
g 0; 0
2 1
19.3 谱线加宽情形下的跃迁几率
什么是单色爱因斯坦系数

谱线加宽和线型函数

谱线加宽和线型函数谱线加宽是指在光谱图上，对于具有一定宽度的谱线进行可视化处理，以使其看起来更宽。

谱线加宽的目的是为了更好地表示谱线的形状和分布，并提供更准确的数据分析。

在实际应用中，谱线加宽常常与线型函数相结合使用。

线型函数是用数学方法表示谱线的形状和分布的函数。

不同的谱线具有不同的线型函数，常见的有高斯型、洛伦兹型等。

线型函数的参数可以用于描述谱线的峰值位置、峰值强度、峰宽等特征。

在光谱分析中，谱线加宽和线型函数是不可或缺的工具。

首先，谱线加宽可以通过增加谱线的宽度，提高谱线的稳定性和可视化效果。

这对于谱线弱或者峰位模糊的情况特别有用。

其次，线型函数可以用于对谱线进行数学拟合，以获得更准确的参数估计。

线型函数的选择要结合谱线的实际情况，比如高斯型适用于对称峰，洛伦兹型适用于非对称峰。

对于谱线加宽，常用的方法有直接加宽和卷积加宽。

直接加宽是在谱线的两侧增加一定宽度的矩形区域。

这样可以在光谱图上清晰地显示出谱线的分布范围，但是无法提供对谱线形状的详细描述。

卷积加宽是将谱线与一个适当的函数进行卷积，使谱线的宽度得到增大。

这样可以更好地反映出谱线的实际形状，但是过于复杂的卷积算法会增加计算量。

线型函数的选择应考虑谱线的实际形状和分布特点。

常见的线型函数有高斯型函数和洛伦兹型函数。

高斯型函数适用于对称峰，其形式为e^(-(某-μ)^2/2σ^2)，其中μ和σ分别是高斯峰的均值和标准差。

洛伦兹型函数适用于非对称峰，其形式为1/(1+((某-μ)/σ)^2)，其中μ和σ分别是洛伦兹峰的中心位置和半峰宽。

线型函数参数的估计可以采用最小二乘法或最大似然估计等方法。

最小二乘法通过最小化观测值与线型函数之间的差异来估计参数，最大似然估计则通过最大化观测值的可能性来估计参数。

这些方法可以给出关于谱线的位置、强度和宽度的估计值。

总之，谱线加宽和线型函数是光谱分析中常用的工具。

谱线加宽可以改善光谱图的可视化效果，线型函数可以用于对谱线进行数学拟合。

2-3 谱线加宽

2020年3月4日星期三
理学院物理系
§2.3谱线加宽.谱线宽度
㈡非均匀加宽发光原子只为光谱线内某一特定频率起作用
1.多普勒增宽发光原子相对于观察者（接收器）运动引起的谱线增宽。
⑴光的多普勒效应定义：光源和接受器之间存在相对运动时，接受器接受
到的频率不等于光源与接受器相对静止时的频率。
2020年3月4日星期三
0 )2

(1/
2
)2
ν0 — 中心频率，即 I(ν) ～ν分布关系为：
2020年3月4日星期三
理学院物理系
§2.3谱线加宽.谱线宽度
g N(ν) — 频率ν附近，单位频率间隔的相对光强随频率分布，则：
gN
( )

4
2 (
A
0 )2

(1/
2
)2
g N(ν)：自然增宽的线型函数.
中，因此，激活离子的能级将受到周围基质晶体的晶格场的影响。根据固体理论可知，晶体的晶格将随时间做周期性的振动，处于周期性变化的晶格场的激活离子的能级能量也将会在一定范围内发生变化，从而导致辐射场的频率范围也随之改变，引起谱线加宽。这种加宽被称为晶格振动加宽。由于温度越高，晶体的晶格振动越剧烈，导致激活离子的能级变化范围越大，因此，谱线宽度也会随着工作物质温度的升高而变宽。因为晶格振动对于所有激活离子的影响基本相同，因此，晶格振动加宽属于均匀加宽。在固体激光器中，固体工作物质中激活离子的自发辐射和无辐射跃迁造成的谱线加宽通常很小，引起谱线加宽的主要因素就是晶格振动加宽。

由 gN ( )d 1 得： A=1/，因此：
0
gN
( )

4
2