人教版九年级数学下册导学案 第27章

27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1 已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平分线，BC = 6cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？BC AD 证明画出它们的高，由前面的结论，我们有k，k，B CA D1BC ADS BC AD2△ABCk k1S B C A D△A B C B C A D2 k 2【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比 2 k……周长比13……面积比10000 ……2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差 为 60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是.例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边BC 上的高为 6，面积为12 5 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较 小三角形对应边上的高为______.例 3 如 图 ， D ， E 分 别 是 AC ， AB 上 的 点 ， 已 知 △ ABC 的 面 积 为 100 cm 2， 且AE AC A D AB 3 5，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D 点为AB 中点时，求S四边形BFED : S△ABC 的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP＝2，则DQ 的值为( )A．2 B．4 C．1 D. 1 23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于___ ___，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE ∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE 与△DCE 是同高，得到AE 与CE 的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高AD 和A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' .ADAB∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k.A DA B【典例精析】BG BC例1 解：∵△ABC ∽△DEF，∴(相似三角形对应角平分线的比等于相似EH EF4 8 6.比)，∴，解得EH = 3.2.∴EH 的长为3.2 cm.EH 4【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cmAB BC CA思考解：等于，如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，那么k，A BB C C A因此AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，AB BC CA kA B kB C kC A从而k.A B B C A A B C C AC B探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.相似比 2 13100 k……周长比 2 13100 k ……面积比 4 1910000 k2 ……2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm，40cm (2) 50cm2,8cm2DE DF 1例2解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴.AB AC 2 1又∵∠D=∠A，∴△DEF ∽△ABC ，相似比为.21∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为12 5 ，∴△DEF 的边EF 上的高为×6 = 3，2 21面积为12 5 3 5 .2【针对训练】14AE AD 3例3解：∵∠BAC = ∠DAE，且，∴△ADE ∽△ABC.AC AB 5∵它们的相似比为3 : 5，∴面积比为9 : 25.又∵△ABC 的面积为100 cm2，∴△ADE 的面积为36 cm2 .∴四边形BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).【针对训练】解：∵DE∥BC，D 为AB 中点，∴△ADE ∽△ABC ，AE AD 1∴，即相似比为1 : 2，面积比为1 : 4.AC AB 2CE 1又∵EF∥AB，∴△EFC ∽△ABC ，相似比为，AC 2∴面积比为1 : 4.设S△ABC = 4，则S△ADE = 1，S△EFC = 1，S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，1∴S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = .2当堂检测1. (1) √(2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 4 35. 解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，∴△ADE ∽△EFC.又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，∴AE : EC=2:3，则AE : AC =2 : 5，∴S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴S△ABC = 25.1AE DFS AE26. 解：过点D 作AC 的垂线，垂足为F，则 2 ，△ADE1S ECEC DF△DCE2AE 2∴. 又∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC.AC 32 2S AE 2 4∴，即S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.△ADES AC 3 9△ABC27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例学习目标：1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)【自主学习】一、知识链接据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.你知道他是怎么测量的吗？【合作探究】二、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 如图，木杆EF 长2 m，它的影长FD 为3 m，测得OA 为201 m，求金字塔的高度BO.【要点归纳】测高方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1 高：物2 高= 影1 长：影2 长【针对训练】1. 如图，要测量旗杆AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE 的长以及DE 和AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB 长的等式是（）AB AB ABEF DE BC A．B．C．D．DE BC EF BC DE EF ABDEA CDF第1 题图第2 题图2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6 米的楚阳同学站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_____米．思考还可以有其他测量方法吗？【要点归纳】测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.【针对训练】如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知AB = 2 米，且测得BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是（）A. 6 米B. 8 米C. 18 米D. 24 米探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q 和S，使点P，Q，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线 a上选择适当的点T，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R. 已知测得QS =45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ.例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点 B 和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D．此时如果测得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离AB．【要点归纳】测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m 和CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了?【分析】如图，设观察者眼睛的位置(视点) 为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD 于点H，K.视线FA，FG 的夹角∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区) 之内. 再往前走就根本看不到C 点了.二、课堂小结【达标练习】1. 小明身高1.5 米，在操场的影长为2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为60 米，则教学大楼的高度应为( )A. 45 米B. 40 米C. 90 米D. 80 米2. 小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )A. 0.5 mB. 0.55 mC. 0.6 m D . 2.2 m3. 如图，有点光源S 在平面镜上面，若在P 点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且PC＝24 cm，则点光源S 到平面镜的距离SA 为.第3 题图第4 题图4. 如图，为了测量水塘边A、B 两点之间的距离，在可以看到A、B 的点E 处，取AE、BE 延长线上的C、D 两点，使得CD∥AB. 若测得CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则A、B 两点间的距离为m.5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点D 到地面的距离DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离DC = 20 米，求旗杆的高度.6. 如图，某一时刻，旗杆AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：利用相似三角形测量高度【典例精析】例1 解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF. 又∵∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.BO OA EF201 2OA∴，∴BO=134 (m). EF FD FD 3因此金字塔的高度为134 m.【针对训练】1.C 2. 8【针对训练】B探究点2：利用相似三角形测量宽度例2 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.PQ PQQR QR PQ60∴，即，，PQ×90 = (PQ+45)×60.PS ST PQ QS ST PQ45 90解得PQ = 90.因此，河宽大约为90 m.例3 解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD.AB80BD AB∴，即，解得AB = 64.EC DC24 30因此，两岸间的大致距离为64 m.探究点3：利用相似解决有遮挡物问题例4 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点A，C 恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.EH EH8 1.AH 6 6.4∴，即，解得EH=8.EK CK EH 5 12 1.6 10.4由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C .当堂检测1. A2. A3. 12cm4. 20.DEEF5. 解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则，DC CA∵DE=0.5 米，EF=0.25 米，DG=1.5 米，DC=20 米，0.5 0.25∴，解得：AC = 10，故AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米).20 CA答：旗杆的高度为11.5 米.6. 解：如图：过点D 作DE∥BC，交AB 于点E，∴DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA : ED=1 : 1.2，∴AE = 8 m.∴AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，∴学校旗杆的高度为10 m.27.3 位似第1 课时位似图形的概念及画法学习目标：1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)【自主学习】一、知识链接如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？【合作探究】三、要点探究探究点1：位似图形的概念观察与思考下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？【要点归纳】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是:这两个图形是相似的，二是:要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．【针对训练】1. 画出下列图形的位似中心：第1 题图第2 题图2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是( )A. 两个三角形是位似图形B. 点A 是两个三角形的位似中心C. B 与D、C 与E 是对应位似点D. AE : AD 是相似比探究点2：位似图形的性质OA OB AB观察与思考从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，则，OA OBA BAB∥A′B′.右图呢？你得到了什么？【要点归纳】1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）3. 对应线段平行或者在一条直线上．【针对训练】如图，四边形木框ABCD 在灯泡O 发出的光照射下形成的影子是四边形A′B′C′D′，若OB : O′B′＝1 : 2，则四边形ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为( )A．4∶1 B． 2 ∶1 C．1∶ 2 D．1∶4探究点3：画位似图形1例1 把四边形ABCD 缩小到原来的.2(1) 在四边形外任选一点O (如图)；(2) 分别在线段OA 、OB 、OC 、OD 上取点A' 、B' 、C' 、D' ，使得OA OAOBOBOCOCODOD12；(3) 顺次连接点A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形A' B' C' D' 就是所要求的图形．思考对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OA OB OC OD 1OB、OC、OD 的反向延长线上取A 、B′、C′、D′，使得呢？OA OB OC OD 2如果点O 取在四边形ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．【针对训练】如图，△ABC，根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为1 : 5.(1) 位似中心O在△ABC 的一条边AB 上；(2) 以点C 为位似中心.【要点归纳】画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.二、课堂小结【达标检测】1. 下列图形中，不是位似图形的是( )2. 如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是( )A. 2 DE = 3 MNB. 3 DE = 2 MNC. 3∠A = 2∠FD. 2∠A = 3∠F3. 下列说法：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC 与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等.其中正确的有.4. 如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2 : 3，已知AB＝4，则DE 的长为_____．5. 如图，以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2 倍．6. 如图，F 在BD 上，BC、AD 相交于点E，且AB∥CD∥EF，(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明；(2) 若AB=2，CD=3，求EF 的长.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：位似图形的概念【针对训练】1.解：图略. 2. D探究点2：位似图形的性质【针对训练】D探究点3：画位似图形例1 解：如图所示：思考解：如图所示：【针对训练】解：（1）假设位似中心点O 为AB 中点，点O 位置如图所示. 根据相似比可确定A′，B′，C′的位置.（2）如图所示：当堂检测1. B2. B3.①③④4. 65. 解：①作射线OA 、OB 、OC；②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得2 ；③顺次连接A' 、B' 、C' 就是所要求图形.OA OB OCOA OB OC6. 解：（1）△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形；证明略.（2）∵AB∥CD∥EF,∴△BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，AB=2，CD=3，AB BE 2 BE EF 2 6∴，∴，解得EF= .DC EC 3 BC DC 5 5。