D5_1n维Euclid空间中点集初步知识
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维欧氏空间中的点集
3
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
在 n 维向量空间 Rn 中，按照以下定义内积：
设 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2,
n
x, y xi yi i 1
构成一个 n 维 Euclid 空间.
, yn ) Rn
对于 x ( x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2, , yn ) Rn
(5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
15
聚点
关于聚点，下面三条是等价的：
(1) a是A的聚点；
(2) a的任意邻域内，至少含有一个属于A而 异于a点；
(3) 存在A中互异的点所成的点列 xn,
lim
n
xn
a
See P.4定义1.2
16
内部、边界、外部、导集、闭包 定义：(1) A的全体内点所成的集合，称为A的内部， 记作 A ,或 int A
Rn 中的向量的长度（或范数）定义为： x ( x, x) x12 x22 xn2
定义距离
( x, y) x - y ( x1 - y1)2 ( x2 - y2 )2 ( xn - yn )2
4
2. Rn中点列的极限
定义1.3(邻域)：设a Rn ,d 0,称点集
U(a,d )= x Rn | ( x,a) d 为点a的d邻域,简记为
U (a);
显然，在R1, R2, R3 中, U(a,d分别是以a为中心以d为
半径的开区间、开圆和开球.
o
U (a,d )=：x Rn | 0 ( x,a) d ---点a的去心d邻域。
d
d
M0
d
d
M0
ad
a
ad x
5
点列的极限
n维欧氏空间中的点集——【多元函数微分学】
y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
9
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域
；点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 有界集: 对于平面点集E, 如果存在某一正数r, 使得
E U(O,r), 其中O为坐标原点.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
3
三、 平面点集R2的基本知识
平面点集:
xoy平面上满足某一条件的一切点的集合
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D
。 。
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
8
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
O.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
十一章第一节欧几里得空间上的基本定理
o
o
E x, y | x 2 y 2 4 x, y | x 2 y 2 1； E x, y |1 x 2 y 2 4； E x, y |1 x 2 y 2 4。
如果E包含了它的所有聚点， 即E E，称E是闭集。 规定空集合是开集也是闭集。
2
(1)
(2) (3)
(ii) 圆: C ( x , y ) x 2 y 2 r 2 .
(iii) 矩形: S ( x, y ) a x b, c y d ,
也常记作： S [a , b] [c , d ].
(iv) 点 A ( x0 , y0 ) 的 邻域 :
( x , y ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
与
( x, y )
| x x0 | , | y y0 |
( 圆形 )
( 方形 ).
y
y d
C
O
S
r
x
O a
c
(a) 圆 C
y
b x
图 10 – 1
y
(b) 矩形 S
O
A
x
O
A
a
a
a
x
（1）R2邻域
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某一正 数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 的点 P ( x , y ) 的全 体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
U ( P0 , ) P | PP0 |
E
o
E x, y | x 2 y 2 4 x, y | x 2 y 2 1； E x, y |1 x 2 y 2 4； E x, y |1 x 2 y 2 4。
如果E包含了它的所有聚点， 即E E，称E是闭集。 规定空集合是开集也是闭集。
2
(1)
(2) (3)
(ii) 圆: C ( x , y ) x 2 y 2 r 2 .
(iii) 矩形: S ( x, y ) a x b, c y d ,
也常记作： S [a , b] [c , d ].
(iv) 点 A ( x0 , y0 ) 的 邻域 :
( x , y ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2
与
( x, y )
| x x0 | , | y y0 |
( 圆形 )
( 方形 ).
y
y d
C
O
S
r
x
O a
c
(a) 圆 C
y
b x
图 10 – 1
y
(b) 矩形 S
O
A
x
O
A
a
a
a
x
（1）R2邻域
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 是某一正 数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 的点 P ( x , y ) 的全 体，称为点 P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
U ( P0 , ) P | PP0 |
E
n维欧几里得空间
定义3设P0∈Rⁿ是一固定点，δ>0为一实数，则集合{P|ρ(P，P0)<δ)称为以P0为中心的δ邻域，记作U(P0， δ)。
谢谢观看
基本介绍
在 解 析 几 何 和 数 学 分 析 中 ， 我 们 对 一 维 欧 几 里 得 空 间 R ¹( 即 R ， 实 直 线 ) ， 二 维 欧 几 里 得 空 间 R ²( 即 实 平 面 ) 和 三 维 欧 几 里 得 空 间 R ³( 即 现 实 的 三 维 立 体 空 间 ) 有 了 比 较 深 入 的 了 解 。 现 在 ， 我 们 讨 论 n 维 欧 几 里 得 空 间 。
n维欧几里得空间
n维欧氏空间
目录
01 基本介绍
02 相关概念及性质
n维欧几里得空间(n-dimensional Euclidean space)是现实空间的抽象与推广，简称n维欧氏空间。n维欧 氏空间在代数中是定义了内积的n维线性空间，记为Rn，其元素是n维向量，即n元有序(实)数值，并利用内积规 定向量x的模|x|是其与自身的内积的平方根|x|=√∑ni=1x2i。在几何中，借用普通空间中点坐标与其向径作为 以原点为起点的向量的坐标相同之例，也把n维欧氏空间的向量看做点而把n维欧氏空间Rn看做点空间，因而也可 讨论Rn中的几何图形，如直线、超平面等。在数学分析中，经常借用代数和几何中n维欧氏空间的概念，特别是 常使用Rn的向量(元素)x的模|x|的另一名称范数的概念。在提到x∈Rn时常只说x是n元数组而不一定提到它是n维 欧氏空间的元素，因而还常把x的模，即范数|x|特别称为x的欧几里得范数 。
定义1设n是正整数，由n个实数构成的有序数组的全体组成的集合，称为n维点集或n维欧几里得空间，记作 Rⁿ，即
相关概念及性质
谢谢观看
基本介绍
在 解 析 几 何 和 数 学 分 析 中 ， 我 们 对 一 维 欧 几 里 得 空 间 R ¹( 即 R ， 实 直 线 ) ， 二 维 欧 几 里 得 空 间 R ²( 即 实 平 面 ) 和 三 维 欧 几 里 得 空 间 R ³( 即 现 实 的 三 维 立 体 空 间 ) 有 了 比 较 深 入 的 了 解 。 现 在 ， 我 们 讨 论 n 维 欧 几 里 得 空 间 。
n维欧几里得空间
n维欧氏空间
目录
01 基本介绍
02 相关概念及性质
n维欧几里得空间(n-dimensional Euclidean space)是现实空间的抽象与推广，简称n维欧氏空间。n维欧 氏空间在代数中是定义了内积的n维线性空间，记为Rn，其元素是n维向量，即n元有序(实)数值，并利用内积规 定向量x的模|x|是其与自身的内积的平方根|x|=√∑ni=1x2i。在几何中，借用普通空间中点坐标与其向径作为 以原点为起点的向量的坐标相同之例，也把n维欧氏空间的向量看做点而把n维欧氏空间Rn看做点空间，因而也可 讨论Rn中的几何图形，如直线、超平面等。在数学分析中，经常借用代数和几何中n维欧氏空间的概念，特别是 常使用Rn的向量(元素)x的模|x|的另一名称范数的概念。在提到x∈Rn时常只说x是n元数组而不一定提到它是n维 欧氏空间的元素，因而还常把x的模，即范数|x|特别称为x的欧几里得范数 。
定义1设n是正整数，由n个实数构成的有序数组的全体组成的集合，称为n维点集或n维欧几里得空间，记作 Rⁿ，即
相关概念及性质
1n维欧氏空间中点集
内点 聚点 对某点集E来说，n中的点边界点 或孤立点
外点 外点
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
13
有界闭集和紧集
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
Ui
iI ,
F
Ui
iI
存在有限个开集同样覆盖F。
F
n
Ui
i 1
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集， 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
有许多便于应用的性质 )．
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 Ec 来认识 E.
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)： 距离空间(X,d)中所有和定点P0的距离小于定数 的点的
全体，即集合P | d (P, P0 ) 称为点 P0的 邻域，记作U (P0, )或U (P0 )
显然，在1, 2 , 3, U (P0 , )分别是以P0 为中心以为 半径的开区间、
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。 由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间， 称为(X,d)的子空间。
外点 外点
(1) 内点一定是聚点，外点一定不是聚点； (2) 聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点； (3) 孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点； (4) E中的点要么是聚点，要么是孤立点； (5) 界点要么是聚点，要么是孤立点。
(6) 对于任意两个互不相交的闭集，一定存在两个互不相交的开集 分别包含这两个闭集。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
13
有界闭集和紧集
有限覆盖定理：设F为n维欧氏空间有界闭集，则对任意的覆盖F的开集族：
Ui
iI ,
F
Ui
iI
存在有限个开集同样覆盖F。
F
n
Ui
i 1
定义：设M为度量空间X的子集，若对于X的任意一族覆盖M的开集， 一定存在其中有限个开集仍然覆盖M，则称M为X的紧集。
有许多便于应用的性质 )．
(ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开
集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 Ec 来认识 E.
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3
度量空间中点集的一些基本概念——邻域
定义(邻域)： 距离空间(X,d)中所有和定点P0的距离小于定数 的点的
全体，即集合P | d (P, P0 ) 称为点 P0的 邻域，记作U (P0, )或U (P0 )
显然，在1, 2 , 3, U (P0 , )分别是以P0 为中心以为 半径的开区间、
称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间或距离空间。 由性质(2)立刻可以得到度量的对称性，即d(x,y)=d(y,x).
若(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也是一个度量空间， 称为(X,d)的子空间。
空间几何知识点总结
空间几何知识点总结空间几何是数学中的一个重要分支，通过研究空间内点、线、面的位置、相互关系以及性质等，帮助我们更好地理解和应用于实际生活中的问题。
本文将对空间几何的一些基本知识点进行总结，以帮助读者更好地掌握这个领域。
一、点、线、面的基本要素在空间几何中，点、线和面是三个最基本的概念。
它们是空间中几何运算的基础要素，彼此之间相互关联。
1.1 点点是空间几何中最基本的要素，它没有长度、宽度和高度，只有位置坐标。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
两个点之间的距离可以通过距离公式来计算。
1.2 线线是由无数个点组成的，它是一维的，表示两个点之间的连续直线段。
线用小写字母表示，如a、b、c等。
线的长度可以通过两点间的距离来计算，也可以根据直线段的特性进行相应的计算。
1.3 面面是由无数个点和线组成的，它是二维的，具有长度和宽度，但没有厚度。
面用大写字母表示，如ABC、DEF等。
面可以通过三个或更多的点构成，其中的点称为面上的顶点，而连接这些顶点的线称为边。
面的面积可以通过相应的测量公式进行计算。
二、空间中的形状和图形在空间几何中，形状和图形是研究和描述空间中物体的重要方法。
2.1 点、线、面的关系点、线、面这三个要素之间有着紧密的联系。
例如，两个点可以确定一条线，而三个点可以确定一个面。
线和面也有着特殊的关系，如一条线可以在一个面内，两个面可以通过一条线相交等。
2.2 平行和垂直平行和垂直是形容线和面之间关系的重要概念。
当两条线没有交点时，它们是平行的；当两条线或两个面的夹角为90度时，它们是垂直的。
平行和垂直的概念在空间几何中具有广泛的应用。
2.3 多面体多面体是由多个面组成的物体，常见的有立方体、四面体等等。
多面体的边数、顶点数和面数有一定的关系，通过相关公式可以进行计算。
三、空间中的测量和证明空间几何不仅涉及到形状和图形的研究，还包括测量和证明的方法。
3.1 距离和长度的测量空间中的点、线和面之间的距离和长度可以通过测量的方法进行求解。
5.1n 维Euclid空间中的点集初步
区域
连通的开集称为区域。
区域与它的边界的并称 为闭区域。
有时也把开区域和闭区域统称为区域.
例如， 平面上,开圆盘是开区域，闭圆盘是闭区域. y 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 点集 ( x, y ) x 1 是开集， 但非区域 .
凸集 : 若 A R n , 若联结 A 中 任意两点的线段都属于 A, 即若 x1 , x 2 A , 则 t [0,1] , tx1 (1 t ) x 2 A , 则称 A 是 R n 中的凸集 .
例2 设 A {( x , y ) R 2 | x 2 y 2 0,1 x 2 y 2 4} .
则A {( x, y ) R 2 | 1 x 2 y 2 4}, ext A {( x , y ) R 2 | 0 x 2 y 2 1, x 2 y 2 4}, A {( x, y ) R 2 | x 2 y 2 1, x 2 y 2 4} {(0,0)},
1 o 1 x
显然任何凸集都是连通 的，因此任何凸集都是 区域。
小结
n维Euclid空间 n维Euclid空间中点列的极限的定义及性质 （性质见定理1.2） 理解开集、闭集、连通集和区域的概念
作业：
习题5.1( A) 1, 2, 5( 2)( 3)( 4)
n
都有A中的点 .
集合 A A A 称为 A 的闭包.
若 A A , 则称 A 为闭集.
由此知，闭集关于极限 运算是封闭的。
和有 【注】 若 A , 则 A 为闭集。因此，单点集 限点集都是闭集。
若 a A , 但 a A , 则称 a 为 A 的孤立点 .
D5_1n维Euclid空间中的点集的初步知识.
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u
中的长度：
1.2、Rn 中的点列的极限
定义1.1 设 一固定点，若当
是 中的一个点列，其中
又设 时，
是 中的 即
使得
则称点列 的极限存在，且称 为它的极限，记作
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这时也称点列 收敛于a.
定理1.1 设点列
点 aRn, 则
都有
定理1.2 设 是 中的收敛点列，则
定义1.3 设
称点集
为以 为中心、 为半径的开球或 邻域， 称
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为点 a的去心 邻域.
注：点列 收敛于 a 可以描述为：
使得
定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 a 的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且ห้องสมุดไป่ตู้
即
使得
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是闭集.
注：一个点集是不是“非开即闭？”
定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ于空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
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利用对偶原理：
(1) 空集φ于空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是开集.
大家都在嘲笑俄罗斯，但我知道俄罗斯将来一定会 发达，因为那里的人2天没吃饭了饿着肚子还排队， 而我们有2个人也要挤的不可开交。
-----浙江大学教授郑强
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第五章
多元函数微分学及其应用
一元函数微分学 推广
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定理1.4 中点列 收敛于 中的点 是 中的Cauchy点列.
1.3、R n 中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作
集合
称为 的闭包.
若
但
则称 为 的孤立点. 若
则称 为闭集.
注： (1) 集合 的聚点一定属于 吗？
利用对偶原理：
(1) 空集φ于空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
1.4、R n 中的紧集与区域
设 是 中的一个点集， 若存在一个常数
使得对于所有的 都有
则称 是有界集。
否则称为无界集.
定义1.6 设 是 中的一个点集， 设 是 中的一个点集， 若 中的任意
规定： 加法
1
数乘
.
称为一个n 维实向量空间（实线性空间）。
1 、
若定义内积
n
成为一个n 维Euclid空间。
维
E
u
中的长度：
1.2、R n 中的点列的极限
定义1.1 设 一固定点，若当
是 中的一个点列，其中
又设 时，
是 中的 即
使得
则称点列 的极限存在，且称 为它的极限，记作
这时也称点列 收敛于a. 定理1.1 设点列
两点 都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则 称 是连通集. 连通的开集称为开区域. 开区域与它的边 界的并称为闭区域.
设 是 中的一个点集， 若连接 中的任意两点的
线段都属于 ，即若
则称 是 中的凸集.
凸集都是连通的.
作业
P10 1， 4(1)(3) , 5(2)(4)
第三节
感 谢
(2) 什么样的集合对极限运算封闭？
定义1.3 设
称点集
为以 为中心、 为半径的开球或 邻域， 称
为点a的去心邻域.
注：点列 收敛于a可以描述为： 使得
定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 a的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即
使得
于是由
取
且
于是 注： 若 则 为闭集。
注：
且三者不交。
对于 中的任一点集 必有
特别的，开球与它的边界之并称为闭球。 例1.2
定理1.6
是开集
注： 中的开区间
中的闭区间
是闭集.
注：一个点集是不是“非开即闭？”
定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
第五章
多元函数微分学及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 n维Euclid空间中
点集的初步知识
1.1、 n 维Euclid空间
1.2、R n 中的点列的极限 1.3、R n 中的开集与闭集 1.4、R n 中的紧集与区域
1.1、 n维Euclid空间R n
点 aRn, 则
都有 定理1.2 设 是 中的收敛点列，则
(1) 点列 的极限唯一； (2) 是有界点列，
(3) 若
则
(4) 若 收敛于 ，则它的任一子列也收敛于 定理1.3 中的有界点列必有收敛子列. ( 中的点列 的收敛子列的极限也称为 的极限点） 设 是 中的点列，若
使得 则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作
1.3、R n 中的开集与闭集
定义1.2 设 是 中的一个点集，
中的点列
使得
若存在 则称 为
的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作
集合
称为 的闭包.
若
但
则称 为 的孤立点. 若
则称 为闭集.
注： (1) 集合 的聚点一定属于 吗？
利用对偶原理：
(1) 空集φ于空间 是闭集；
(2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集.
1.4、R n 中的紧集与区域
设 是 中的一个点集， 若存在一个常数
使得对于所有的 都有
则称 是有界集。
否则称为无界集.
定义1.6 设 是 中的一个点集， 设 是 中的一个点集， 若 中的任意
规定： 加法
1
数乘
.
称为一个n 维实向量空间（实线性空间）。
1 、
若定义内积
n
成为一个n 维Euclid空间。
维
E
u
中的长度：
1.2、R n 中的点列的极限
定义1.1 设 一固定点，若当
是 中的一个点列，其中
又设 时，
是 中的 即
使得
则称点列 的极限存在，且称 为它的极限，记作
这时也称点列 收敛于a. 定理1.1 设点列
两点 都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则 称 是连通集. 连通的开集称为开区域. 开区域与它的边 界的并称为闭区域.
设 是 中的一个点集， 若连接 中的任意两点的
线段都属于 ，即若
则称 是 中的凸集.
凸集都是连通的.
作业
P10 1， 4(1)(3) , 5(2)(4)
第三节
感 谢
(2) 什么样的集合对极限运算封闭？
定义1.3 设
称点集
为以 为中心、 为半径的开球或 邻域， 称
为点a的去心邻域.
注：点列 收敛于a可以描述为： 使得
定理1.5 设 是 中的一个点集，
则
即 为 的聚点
当且仅当 a的任意去心邻域包含 中的点.
证：
存在 中的点列
且
即
使得
于是由
取
且
于是 注： 若 则 为闭集。
注：
且三者不交。
对于 中的任一点集 必有
特别的，开球与它的边界之并称为闭球。 例1.2
定理1.6
是开集
注： 中的开区间
中的闭区间
是闭集.
注：一个点集是不是“非开即闭？”
定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集；
(2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集.
第五章
多元函数微分学及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 n维Euclid空间中
点集的初步知识
1.1、 n 维Euclid空间
1.2、R n 中的点列的极限 1.3、R n 中的开集与闭集 1.4、R n 中的紧集与区域
1.1、 n维Euclid空间R n
点 aRn, 则
都有 定理1.2 设 是 中的收敛点列，则
(1) 点列 的极限唯一； (2) 是有界点列，
(3) 若
则
(4) 若 收敛于 ，则它的任一子列也收敛于 定理1.3 中的有界点列必有收敛子列. ( 中的点列 的收敛子列的极限也称为 的极限点） 设 是 中的点列，若
使得 则称 是 中的基本点列或Cauchy点列.
单点集和有限集都是闭集。
定义1.4 设
(1) 若存在 使
则称 是集
的内点. 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作
(2) 若存在 使
则称 是集
的外点.由 的所有外点构成的集合称为 的外部，
记作
(3) 若对任何
中既含有 中的点，
也含有不是 中的点， 则称 是集 的边界点. 由 的 所有边界点构成的集合称为 的边界， 记作