《三角函数》复习教案

《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ三角函数知识框架图第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π=；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=.2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈,当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

如：k=3，如下图中标有号码3的区域就是2θ终边所在位置．yx123 4 14举一反三：【变式1】已知θ是第二象限角,求角3θ的终边所处的位置. 【答案】3θ是第一或第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第二象限角，即22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，∴22,36333k k k Z πθπππ⋅+<<⋅+∈, 当3k n =时，22,633n n k Z πθπππ+<<+∈,∴3θ是第一象限角， 当31k n =+时，522,63n n k Z πθπππ+<<+∈, ∴3θ是第二象限角， 当32k n =+时，3522,233n n k Z πθπππ+<<+∈, ∴3θ是第四象限角， ∴3θ是第一或第二或第四象限角. 方法二：k=2，如下图中标有号码2的区域就是3θ终边所在位置．由图知：3θ的终边落在一，二，四象限. 【变式2】已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm ）.【答案】29cm.类型二、任意角的三角函数例2. 若sin cos 0θθ>，则角θ在 象限. 【答案】第一或第三 【解析】方法一：由sin cos 0θθ>知（1）sin 0cos 0θθ>⎧⎨>⎩或（2）sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩由（1）知θ在第一象限，由（2）知θ在第三象限， 所以θ在第一或第三象限.方法二：由sin cos 0θθ>有sin 20θ>，所以()222k k k Z πθππ<<+∈, 即()2k k k Z ππθπ<<+∈当2()k n n Z =∈时，θ为第一象限，当21()k n n Z =+∈时，θ为第三象限 故θ为第一或第三象限.方法三：分别令57116666πθπππ=、、、，代入sin cos 0θθ>，只有6πθ=、76θπ=满足条件， 所以θ为第一或第三象限.【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.举一反三： 【变式1】确定tan(3).sin 5cos1-的符号.【答案】原式小于零【解析】因为3,5,1-分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan(3)0->，sin50<，cos10>，所以原式小于零.【变式2】已知tan cos >0αα⋅，tan 0sin αα<，则α是第 象限角. 【答案】二【解析】∵tan 10sin cos ααα=<，∴cos 0α<，tan 0α<，则α是第二象限角. 【变式3】求sin |cos |tan |sin |cos |tan |x x xx x x ++的值. 【答案】当x 为第一象限角时，值为3；当x 为第二、三、四象限角时，值为-1. 例 3.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为射线430(0)x y x +=>，则2sin (sin cot )cos αααα++的值是（ ）1.5A2.5B 8.5C 9.5D 【答案】C【解析】在角α的终边上任取一点(3,4)P -，则有5r =， 则原式44398()554255--=⋅++=-，故选C . 举一反三：【变式】已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求sin α、cos α、tan α的值【解析】|r a ==（1）当0a >时，r =，∴sin 5α=，cos 5α=，tan 2α=；（2）当0a <时，r =，∴sin α=cos α=，tan 2α=. 【课堂练习】1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ． 2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在直线y=x 上D ．在直线y=－x 上 ． 3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cos α= ，tan α= ． 4．tan(－3)cot5cos8的符号为 ．5．若cos θtan θ＞0，则θ是 ( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一、二象限角D ．第二、三象限角 【课后检测】1． 已知α是钝角，那么α2 是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角2． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是 （ ）A ．3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 453．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)C ．(π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D ．( π4， π2 )∪(3π4，π) 4．若sinx= － 35，cosx =45 ，则角2x 的终边位置在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若4π＜α＜6π，且α与－ 2π3终边相同，则α= ．6． 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 8．如果θ是第三象限角，则cos(sin θ)·sin(sin θ)的符号为什么？9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．参考答案：【课堂练习】 1．{α|α=k π+ π4 ，k ∈Z} 2． A 3.－ 513 ， － 125． 4．＋ 5． C【课后检测】1． A 2． B 3． B 4． D 5．16π3 6．一、二7．{2k π+ π2＜x ＜2k π+π或2k π+3π2＜x ＜2k π+2π ，k ∈Z} 8．负 9． 2cm 2．第2课 同角三角函数的关系及诱导公式【学习目标】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin αcos α=tan α，tan αcot α=1， 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题 ． 【考点梳理】考点一、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：222222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α.2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin ααα=α=αα. 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α⋅α=αα=α⋅α=要点诠释：①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如221sin cos =α+α，221sec tan tan 45=α-α==，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.2.απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.要点诠释：1、诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆.2、在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号。