北京四中初二暑假开学数学测试卷
2023-2024第二学期北京四中开学测试高三数学
高 三 数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,1)−，则(1i)z +=（A ）3i +（B ）2i + （C ）1i + （D ）1i −2. 已知全集U =R ，集合{|21}x A x =<，{|20}B x x =−<，则()U A B = （A ）{|2}x x >（B ）{|02}x x ≤< （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|2}x x ≤3. 给定直线m ，n 和平面α，则 是m ∥n 的一个必要非充分条件（A ）//m α，//n α（B ）m α⊥，n α⊥ （C ）//m α，n α⊂（D ）m ，n 与α成角相等4. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量. 如图所示是一位猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是（A ）492（B ）382 （C ）185（D ）1235. 电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（A ）0.384（B ）13 （C ）0.128 （D ）0.1046. 三个数a ，b ，c 成等比数列，若1a b c ++=，则b 的取值范围是（A ）1[0,]3（B ）1[1,]3−− （C ）1[0,)3 （D ）1[1,0)(0,]3−7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且3()()2f x f x −=，当10x −≤<时，3()log (63)f x x =−+，则(2024)f 的值为（A ）1−（B ）2− （C ）2 （D ）18. 若直线2y kx =+与双曲线622=−y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（A ）1515(,)33−（B ）15(0,)3 （C ）15(,0)3− （D ）15(,1)3−−9. 已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，若||||1MB MC ==，且AB MB MC =+，12MB MC ⋅=−，则CA CB ⋅=（A ）0（B ）1 （C ）3 （D ）310. 如图，曲线C 为函数sin y x =（5π02x ≤≤）的图像，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动. 两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动. 在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)m n ，乙粒子的坐标为(,)u v ，若记()n v f m −=，则下列说法正确的是（A ）()f m 在区间π(,π)2上是增函数 （B ）()f m 恰有2个零点（C ）()f m 的最小值为2−（D ）()f m 的图像关于点5π(,0)6中心对称二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数lg lg(52)y x x =+−的定义域是_____.12. 若5(2)ax −的二项展开式的第3项的系数为10−，则实数a 的值为_____.13. 在ABC ∆中，若ABC ∆的面积为6，5c =，4tan 3A =，则a 的值为_____. 14. 设函数(2),,()ln ,.x x x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩（1）若1a =，则()f x 的零点的个数为_____；（2）若()f x 的值域为[1,)−+∞，则实数a 的取值范围是_____.15. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点1(1,0)A −，2(0,2)A −，3(3,0)A ，4(0,4)A ，5(5,0)A −，6(0,6)A −，7(7,0)A ，8(0,8)A ，并按这样的规律继续下去. 给出下列四个结论：① 对于任意正整数n ，4||4n n A A +=；② 存在正整数n ，1||n n A A +为整数；③ 存在正整数n ，12n n n A A A ++∆的面积为2022；④ 对于任意正整数n ，12n n n A A A ++∆为锐角三角形.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，πsin cos()6b A a B =−. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c =，__________，求a .从①7b =，②π4C =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）设3AD =，2AB =，若二面角D AE C −−的余弦值为5719，求AP 的长.18.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下： 甲公司某员工A 乙公司某员工B 3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 70 1 4 4 2 2 2每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.（直接写出结果）19.（本小题满分15分） 设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点. 已知椭圆C 的离心率为12，2ABF ∆的周长为8. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB ∆的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分15分） 已知函数21()(1)e 12x f x x x =−−+，()sin g x x ax =−，其中a ∈R . （Ⅰ）证明：当0x ≥时，()0f x ≥；（Ⅱ）用max{,}m n 表示m ，n 的最大值，记()max{(),()}F x f x g x =. 问：是否存在实数a ，使得对任意x ∈R ，()0F x ≥恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分15分）已知{}n a 是公差不为0的无穷等差数列. 若对于{}n a 中任意两项m a ，n a ，在{}n a 中都存在一项i a ，使得i m n a a a =，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）已知3n a n =，32n b n =+（1,2,3,n =），判断数列{}n a ，{}n b 是否具有性质P ； （Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，证明：{}n a 的各项均为整数； （Ⅲ）若120a =，求具有性质P 的数列{}n a 的个数.。
2020-2021学年北京四中八年级(上)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京四中八年级（上）开学数学试卷1. 若a >b ，则下列不等式正确的是( )A. 3a <3bB. ma >mbC. −a −1>−b −1D. a2+1>b2+12. 下列计算正确的是( )A. a 3⋅a 4=a 12B. a 6÷a 2=a 3C. (−2a 2b)3=−6a 6b 3D. −2a 2+3a 2=a 23. 一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为( )A. x >−1B. x ≥1C. −1<x ≤1D. x ≤14. 下列结论正确的是( )A. 3的平方根是√3B. −27没有立方根C. 立方根等于本身的数是0和1D. √−53=−√535. 下列命题是假命题的是( )A. 所有的实数都可以用数轴上的点表示B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行6. 已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为( )A. 17B. 22C. 17或22D. 无法确定7. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，过点O作OF ⊥OE ，若∠AOC =42°，则∠BOF 的度数为( )A. 48°B. 52°C. 64°D. 69°8. 如图，长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2的关系为( )A. ∠1+∠2=180°B. ∠2=4∠1C. ∠2=∠1+90°D. ∠1+∠2=150°9.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则()A. y>z>xB. x>z>yC. y>x>zD. z>y>x10.在平面直角坐标系中，点A(0,a)，点B(0,4−a)，且A在B的下方，点C(1,2)，连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为()A. −1<a≤0B. 0<a≤1C. 1≤a<2D. −1≤a≤111.若式子√x−1有意义，则实数x的取值范围是______．12.已知点P(a−2,2a−8)在x轴上，则点P的坐标为______．13.若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是______．14.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A(如图1)．求作：l的平行线，使它经过点A．小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：如图2所示：(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．老师说：“小凡的作法正确．”请回答：小凡的作图依据是______．15. 比较大小：4−√15 ______12(填“>”，“<”，“=”)． 16. 如图，∠A =50°，∠ABD =35°，∠ACB =70°，且CE 平分∠ACB ，则∠BEC =______°.17. 如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6内部有一个正五边形B 1B 2B 3B 4B 5，且A 3A 4//B 3B 4，直线l 经过B 2、B 3，则直线l 与A 1A 2的夹角α=______°.18. 阅读下面求√m(m >0)近似值的方法，回答问题：①任取正数a 1<√m ；②令a 2=12(a 1+m a 1)，则ma 2<√m <a 2；③令a 3=12(a 2+m a 2)，则ma 3<√m <a 3；……以此类推n 次，得到ma n<√m <a n ．其中a n 称为√m 的n 阶过剩近似值，ma n 称为√m 的n 阶不足近似值． 仿照上述方法，求√11的近似值： ①取正数a 1=3<√11；②于是a 2= ______ ，则______ <√11<a 2； ③√11的3阶不足近似值是______ ．19. 解不等式组{3(x +3)>4x +7x −1≥x−73并写出它的所有整数解．3+|2−√5|−√(−2)2；20.(1)计算：√−27(2)已知2a2+3a−4=0，求代数式3a(2a+1)−(2a+1)(2a−1)的值．21.如图，E、F分别在AB、CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF，垂足为G．求证：AB//CD．22.新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行.新修订的分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试.将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图：a.线上垃圾分类知识测试频数分布表成绩分组50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x <100频数39m128b.线上垃圾分类知识测试频数分布直方图c.成绩在80≤x<90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽样调查样本容量为______ ，表中m的值为______ ；(2)请补全频数分布直方图；(3)小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩80分为良好，那么估计小明所在的社区良好的人数约为______ 人；(4)若达到测试成绩前十五名的可以颁发“垃圾分类知识小达人”奖章，已知居民A的得分为88分，请问居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？23.在正方形网格中沿水平方向确定x轴，竖直方向确定y轴，建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为(3,1)和(−1,2)．(1)按要求在网格中画出平面直角坐标系xOy，并写出点C的坐标为______；(2)若将△ABC进行平移，使点A的对应点为原点O，在网格中画出平移后的三角形OB′C′；(3)点P为x轴上一点且满足S△BCP=S△BCA，请直接写出点P的坐标．24.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表；(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．25.如图，在平面直角坐标系中，线段AB=10，AB⊥x轴，B(−13,0)，将线段AB沿x轴向右平移10个单位长度得到线段CD，点A的对应点是点D，连接AD，点E 在线段AB上，且BE=3．(1)请直接写出点C，点E的坐标；(2)若动点Q从点D出发沿线段DA向终点A运动，动点P同时在四边形ABCD的边上从点A出发，沿A−D−C的方向向终点C运动，点P与点Q的速度比是1：2，点P，Q各自到达终点后停止运动，当运动时间为4秒钟时，线段PQ的中点M的坐标为(−10,10)，求P，Q两点的速度；(3)在(2)的条件下，求点P经过几秒，△PQE的面积是△ADE面积的一半，并直接写出点P的坐标．26.如图，已知AB//CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．(1)求证：∠AMG+∠CNG=∠MGN；(2)如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°，求∠AME的度数；(3)如图③，若点P是(2)中的EM上一动点，PQ平分∠MPQ.NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ//NH，直接写出∠JPQ的度数．27.如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→⋯…，则20分钟时粒子所在点的坐标是______，2020分钟时粒子所在点的坐标是______．28.在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动(不与点G重合)，过点D作DE//AC交AB于点E．(1)如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠AFD=______；若∠B=40°，则∠AFD=______；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；(2)点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．29.对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)给出如下定义：若|x1−x2|≥|y1−y2|，则|x1−x2|为点P1与点P2的“分解距离”，即(P1,P2)=|x1−x2|；d分解若|x1−x2|<|y1−y2|，则|y1−y2|为点P1与点P2的“分解距离”，即(P1,P2)=|y1−y2|；d分解点P1，P2的“和距离”为|x1−x2|与|y1−y2|的和，即d和(P1,P2)=|x1−x2|+|y1−y2|.根据以上材料，解决下列问题：(1)已知点A(1,2)，则d分解(A,O)=______；d和(A,O)=______；(2)若点B(x,5−x)在第一象限，且d分解(B,O)=3.求点B的坐标；(3)①若点C(x,y)(x≥0,y≥0)，且d和(C,O)=3.请写出符合题意的三个点C的坐标______，在图1中描出相应的点并观察图形，判断这些点是否在一条直线上______(填“是”或“否”)；②若点E满足d分解(E,O)=4，请在图2中画出所有符合条件的点E组成的图形；若点F满足d和(F,O)≤4，请在图3中画出所有符合条件的点F组成的区域，用阴影部分表示；(4)已知M(m,2m+2)，N(1,0)，①点M与点N的“分解距离”的最小值是______，及此时相应的M点坐标______；②点M与点N的“和距离”的最小值是______，及此时相应的M点坐标______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵a>b，∴3a>3b，∴选项A不正确；∵a>b，∴m<0时，ma<mb；m=0时，ma=mb；m>0时，ma>mb，∴选项B不正确；∵a>b，∴−a<−b，∴−a−1<−b−1，∴选项C不正确；∵a>b，∴a2>b2，∴a2+1>b2+1，∴选项D正确．故选：D．根据不等式的性质逐一判断，判断出正确的不等式是哪个即可．此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．2.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故原题计算错误；B、a6÷a2=a4，故原题计算错误；C、(−2a2b)3=−8a6b3，故原题计算错误；D、−2a2+3a2=a2，故原题计算正确；故选：D．利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项计算法则分别进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，关键是熟练掌握各计算法则．3.【答案】B【解析】解：根据数轴可知：不等式组的解集是x ≥1，故选：B ．根据数轴上表示的解集得出选项即可．本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示不等式组的解集是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：A 、3的平方根是±√3，不符合题意；B 、−27的立方根是−3，不符合题意；C 、立方根等于本身的数是0和±1，不符合题意；D 、√−53=−√53，符合题意，．故选：D ．根据平方根的定义判断选项A ；根据立方根的定义判断选项B ，C ，D ．本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的概念，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：A 、所有的实数都可以用数轴上的点表示，A 正确；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B 正确；C 、两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么同旁内角不互补，C 错误；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，D 正确，故选：C ．根据数轴上的点与实数是一一对应关系、垂线的性质和平行线的性质进行判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，解答时，要灵活运用课本知识．6.【答案】B【解析】解：①若4是底边，则三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22；②若4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8<9，∴不能组成三角形，综上所述，这个等腰三角形的周长为22．故选：B．分4是底边和腰长两种情况，结合三角形的任意两边之和大于第三边讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．7.【答案】D【解析】解：∵∠BOD=∠AOC(对顶角相等)，∠AOC=42°(已知)，∴∠BOD=42°，∵OE平分∠BOD(已知)，∠BOD=21°(角平分线的性质)，∴∠BOE=12∵OF⊥OE(已知)，∴∠EOF=90°(垂直定义)，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−21°=69°，∴∠BOF=69°．故选：D．利用对顶角的性质以及角平分线的性质得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF 的度数．此题主要考查了垂直定义以及对顶角和角平分线的性质．能够正确得出∠BOE的度数是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°−∠2，∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°−∠2，∵∠4+∠1=90°，∴180°−∠2+∠1=90°，即∠2=∠1+90°，故选：C．先根据平角的定义得出∠3=180°−∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，根据∠4+∠1=90°即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x，则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，去掉一个最低分，平均分为y，则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，y>z>x，故选A．10.【答案】B【解析】解：∵点A(0,a)，点B(0,4−a)，且A在B的下方，∴a<4−a，解得：a<2，若在AB，BC，AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，∵点A，B，C的坐标分别是(0,a)，(0,4−a)，(1,2)，∴区域内部(不含边界)没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C(1,2)的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的3个都在线段AB上，∴3≤4−a<4．解得：0<a≤1，故选：B．根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．本题考查了坐标与图形的性质，分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB 上为解决本题的关键．11.【答案】x≥1【解析】解：依题意得x−1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．根据二次根式的性质可以得到x−1是非负数，由此即可求解．此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12.【答案】(2,0)【解析】解：∵点P(a−2,2a−8)在x轴上，∴2a−8=0，解得：a=4，故a−2=4−2=2，则点P的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案．此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：在坐标轴上的点的性质．13.【答案】8【解析】【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的每一个内角为135°，∴每一个外角的度数是180°−135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为8．14.【答案】内错角相等，两直线平行【解析】解：如图所示：由平移的性质可知：∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1．∴EF//l(内错角相等，两直线平行)．故答案为：内错角相等，两直线平行．【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．15.【答案】<【解析】解：∵4−12=72，∴(72)2−(√15)2=494−15<0，∴4−12<√15，∴4−√15<12，故答案为：<．先比较4−12与√15的大小，然后根据不等式的性质即可求出答案．本题考查实数大小比较，解题的关键是比较4−12与√15的大小，本题属于基础题型．16.【答案】120【解析】解法一：∵∠A=50°，∠ACB=70°，∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−70°=60°，∴∠EBC=∠ABC−∠ABD=60°−35°=25°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=12∠ACB=35°，∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180°−25°−35°=120°．解法二：∵CE平分∠ACB，∴∠DCE=12∠ACB=35°，∴∠BEC=∠BDC+∠DCE=∠A+∠ABD+∠DCE=50°+35°+35°=120°．故答案为：120．利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用角的和差定义求出∠EBC，利用角平分线的定义求出∠ECB，可得结论．本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型．17.【答案】48【解析】解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=(6−2)×180°=720°，∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=720°6=120°，∴∠CA2A3=∠A2A3C=180°−120°=60°，∴∠C=180°−60°−60°=60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，∴∠B2B3B4=540°5=108°，∵A3A4//B3B4，∴∠EDA4=∠B2B3B4=108°，∴∠EDC=180°−108°=72°，∴α=∠CED=180°−∠C−∠EDC=180°−60°−72°=48°，故答案为：48．延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，得出∠CA2A3=∠A2A3C=60°，则∠C=60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，由平行线的性质得出∠EDA4=∠B2B3B4=108°，则∠EDC=72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．本题考查了正多边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．18.【答案】1033310660199【解析】解：a2=12(a1+m a1)=12(3+113)=103；m a2=11103=3310，a3=12(103+3310)=19960，m a3=1119960=660199．故答案为：②103；3310；③660199．根据材料中的公式，将a1的值代入求出a2，a3即可解答．本题主要考查估算无理数的大小，是阅读型问题，解决此类问题时，要认真阅读材料，根据材料中的步骤逐步计算．19.【答案】解：解不等式3(x+3)>4x+7，得：x<2，解不等式x−1≥x−73，得：x≥−2，则不等式组的解集为−2≤x<2，所以不等式组的整数解为−2、−1、0、1．【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】解：(1)原式=−3+√5−2−2=√5−7；(2)原式=6a2+3a−[(2a)2−1]=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1，∵2a2+3a−4=0，∴2a2+3a=4，∴原式=4+1=5．【解析】(1)先化简立方根，绝对值，算术平方根，然后再计算；(2)先根据单项式乘多项式，平方差公式计算乘法，然后去括号，合并同类项化简，最后利用整体思想代入求值．本题查看实数的混合运算，整式的混合运算，理解立方根，算术平方根的概念以及平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．21.【答案】证明：∵EC⊥AF，∴∠1+∠C=90°，又∵∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∵∠1=∠D，∴∠2=∠D，∴AB//CD．【解析】因为EC⊥AF，所以∠1+∠C=90°，又因为∠2+∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠2，已知∠1=∠D，则有∠2=∠D，故AB//CD．本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．注意同角的余角相等及等量代换的应用．22.【答案】50 18 800【解析】解：(1)由题意可得，本次抽样调查样本容量为50，表中m的值为：50−3−9−12−8=18，故答案为：50，18；(2)由(1)值m的值为18，由频数分布表可知80≤x<90这一组的频数为12，补全的频数分布直方图如右图所示；=800(人)，(3)2000×12+850即小明所在的社区良好的人数约为800人，故答案为：800；(4)由题意可得，88分是第10名或者第11名，故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．(1)根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；(2)根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；(3)根据题目中的数据，可以计算出小明所在的社区良好的人数；(4)根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23.【答案】(1,4)【解析】解：(1)如图所示：点C的坐标为：(1,4)；故答案为：(1,4)；(2)如图所示：△OB′C′即为所求；(3)点P为x轴上一点且满足S△BCP=S△BCA，则点P的坐标为(2,0)，(−8,0)．(1)直接利用已知点画出平面直角坐标系即可；(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)利用等积变换即可得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．24.【答案】解：(1)(2)依题意可知{4≤x1+x3+x4≤144≤x2+x4≤144≤x4≤14，若x1=4，x2=3，x3=4，∴4≤x4≤6，又x4是整数，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；(3)∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+2③+④得，3(x1+x2+x3+x4)≤70，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，此时x1=5，x2=9，x3=5，x4=4满足题意，故答案为：23．【解析】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据表中的规律即可得到结论；(2)根据题意列不等式即可得到结论；(3)根据题意列不等式，即可得到结论．25.【答案】解：(1)由题意四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=10，∵B(−13,0)，∴OB=13，∴OC=3，∵BE=3，∴E(−13,3)，C(−3,0)．(2)设点P速度为v单位/秒，则点O速度为2v单位/秒．4秒后点P横坐标为：−13+4v，点Q横坐标为：−3−8v，=−10，由题意，−13+4v+(−3−8v)2解得v=1，因此点P速度为1单位/秒，则点O速度为2单位/秒．(3)①点Q停止运动前，即t≤5时，点P横坐标为：−13+t，点Q横坐标为：−3−2t，∵S△PQE=1S△ADE，2AD，即|−13+t−(−3−2t)|=5，∴PQ=12或5．解得t=53②点Q停止运动且点P在线段AD上运动，即5<t≤10时，AD，所以不成立．此时PQ>12③点Q停止运动且点P在线段DC上运动，即10<t≤20时，此时S△PQE=S△ADE，所以不成立．,10)或(−8,10)．综上所述，满足条件的点P坐标为(−343【解析】(1)求出OB，OC，可得结论．(2)设点P速度为v单位/秒，则点O速度为2v单位/秒．利用镇店之宝公式，构建方程求解即可．(3)分三种情形：①点Q停止运动前，即t≤5时，②点Q停止运动且点P在线段AD 上运动，即5<t≤10时，③点Q停止运动且点P在线段DC上运动，即10<t≤20时，分别求解即可．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，动点问题等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】(1)证明：如图①，过点G作GE//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//GE，∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，∴∠AMG+∠CNG=∠MGN；(2)如图②，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，在△HNG中，∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=(∠E+∠EMF)+∠IMH=∠E+(∠EMF+∠IMH)=∠E+∠AME∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+12∠AME∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+(∠E+∠AME)+(∠E+12∠AME)=180°(∠G+2∠E)+3 2∠AME=180°，即90°+32∠AME=180°，∴∠AME=60°；(3)∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，∴∠JPQ=∠JPN−12∠MPN=12(∠ENC−12∠MPN)=12(∠AOE−12∠MPN)=12∠AME=30°．【解析】(1)过点G作GE//AB，根据AB//CD得出AB//CD//GE，再由平行线的性质即可得出结论；(2)设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，点在△HNG中由三角形内角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG=180°，再由MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°可得出90°+32∠AME=180°，由此可得出结论；∠MPN，由此得出结论．(3)根据PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC可得出∠JPQ=∠JPN−12本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理，难度较大．27.【答案】(10,0)(990,40)【解析】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→⋯…，发现：当x=0时，有两个点，共2个点，当x=1时，有3个点，x=2时，1个点，共4个点；当x=3时，有4个点，x=4，1个点，x=5，1个点，共6个点；当x=6时，有5个点，x=7，1个点，x=8，1个点，x=9，1个点，共8个点；当x=10时，有6个点，x=11，1个点，x=12，1个点，x=13，1个点，x=14，1个点，共10个点；…，有(n+1)个点，共2n个点；当x=n(n−1)2①当2+4+6+8+10+⋯+2n=20时，n=5，=10，即20分钟时粒子所在点的坐标是(10,0)；∴x=5×42②当2+4+6+8+10+⋯+2n≤2020，≤2020且n为正整数，∴n(2+2n)2此时当n=44时，2+4+6+8+10+⋯+88=1980，当n=45时，2+4+6+8+10+⋯+90=2070，∵1980<2020<2070，∴2020在45行，=990，此行有46个点，第45行：x=45×(45−1)2∴2021个粒子所在点的坐标为(990,40)．故答案为：(10,0)；(990,40)．根据前几个点的坐标变化寻找规律即可．本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．28.【答案】115°110°【解析】解：(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠B=180°−100°−30°=50°，∵DE//AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=40°+12×140°=40°+70°=110°；故答案为：115°；110°；②∠AFD=90°+12∠B；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=∠B+1 2(180°−∠B)=90°+12∠B；(2)如图2所示：∠AFD=90°−12∠B；理由如下：由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=1 2∠EDB=12∠C，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°−∠BAG−∠AHF=180°−12∠BAC−∠B−∠BDH=180°−12∠BAC−∠B−12∠C=180°−∠B−12(∠BAC+∠C)=180°−∠B−12(180°−∠B)=180°−∠B−90°+12∠B=90°−12∠B．(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；②由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；(2)由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=12∠EDB=12∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．29.【答案】2 3 C1(0,3)；C2(1,2)；C3(3,0)(答案不唯一)是43(−13,43) 2 (−1,0)【解析】解：(1)∵点A(1,2)，点O(0,0)，且|1−0|<|2−0|，∴d分解(A,O)=|2−0|=2，d和(A,O)=|1−0|+|2−0|=1+2=3，故答案为：2；3；(2)∵点B(x,5−x)在第一象限，∴{x>05−x>0，解得：0<x <5，①当|x −0|≥|5−x −0|时， d 分解(B,O)=|x −0|=3， 解得：x =3， 此时B 点坐标为(3,2)； ②当|x −0|<|5−x −0|时， d 分解(B,O)=|5−x −0|=3，解得：x 1=2，x 2=8(不合题意，舍去)， 此时B 点坐标为(2,3)， 综上，B 点坐标为(3,2)或(2,3)；(3)①若点C(x,y)(x ≥0,y ≥0)，且d 和(C,O)=3，则符合题意的三个点C 的坐标可以为C 1(0,3)；C 2(1,2)；C 3(3,0)， 如图：设直线C 1C 2的解析式为y =kx +b ， 把C 1(0,3)；C 2(1,2)代入可得： {b =3k +b =2， 解得：{k =−1b =3，∴直线C 1C 2的解析式为y =−x +3， 当y =0时，−x +3=0， 解得：x =3，∴C 3(3,0)在直线C 1C 2上，即C 1(0,3)；C 2(1,2)；C 3(3,0)是在同一条直线上，故答案为：C1(0,3)，C2(1,2)，C3(3,0)(答案不唯一)；是；②设E点坐标为(x,y)，当|x−0|≥|y−0|时，d分解(E,O)=|x−0|=4，解得：x=±4，且−4≤y≤4，当|x−0|<|y−0|时，d分解(E,O)=|y−0|=4，解得：y=±4，且−4≤x≤4，综上，所有符合条件的点E组成的图形如图：设F点坐标为(x,y)，(F,O)=|x−0|+|y−0|≤4，d和∴|y|≤4−|x|，当x≥0，y≥0时，y≤4−x，当x≥0，y<0时，y≥x−4，当x<0，y≥0时，y≤x+4，当x<0，y≤0时，y≥−x−4，∴所有符合条件的点F组成的区域如图：(4)①i)当|m −1|≥|2m +2|时，d 分解(M,N)=|m −1|， m −1≥2m +2时， 解得：m ≤−3， m −1≥−2m −2时， 解得：m ≤−13，综上，当|m −1|≥|2m +2|时，m ≤−13， 此时当m =−13时，|m −1|取得最小值为43，ii)当|m −1|<|2m +2|时，d 分解(M,N)=|2m +2|， 由i)可得，当m >−13时，|m −1|<|2m +2| 此时|2m +2|无最小值，∴点M 与点N 的“分解距离”的最小值是43，此时M 点坐标为(−13,43)； 故答案为：43；(−13,43)；②设y =d 和(M,N)=|m −1|+|2m +2|， 当m ≤−1时，y =−m +1−2m −2=−3m −1， 此时y 随m 的增大而减小， ∴当m =−1时，y 有最小值为2，当−1<m <1时，y =−m +1+2m +2=m +3， 此时y 随m 的增大而增大，当m ≥1时，y =m −1+2m +2=3m +1， 此时y 随m 的增大而增大， ∴当m =1时，y 有最小值为4，综上，当m =−1时，点M 与点N 的“和距离”的最小值为2，此时M 点坐标为(−1,0)， 故答案为：2；(−1,0)．(1)根据新定义内容及两个点的坐标列式计算；(2)根据第一象限点的坐标特点求得x 的取值范围，然后根据新定义内容分情况讨论求解；(3)①根据新定义内容写出符合条件的C 点坐标，然后利用待定系数法和一次函数图象上点的坐标特征进行分析判断；②设E 点坐标为(x,y)，根据新定义内容分析当d 分解(E,O)=4时，点E 的坐标取值范围，从而作出图形；设F点坐标为(x,y)，根据新定义内容分析d和(F,O)≤4时，x与y所以满足的函数关系，然后利用数形结合思想作出图形；(4)①根据新定义内容分情况分析m的取值范围，然后结合绝对值的意义取最小值，从而确定点的坐标；(M,N)=|m−1|+|2m+2|，根据新定义内容分情况讨论y与m的函数关系②y=d和式，然后结合一次函数性质分析最值．本题属于新定义类型题目，考查一次函数的应用，题目新颖，需要具备一定的理解能力，运用数形结合思想及分类讨论思想解题是关键．第31页，共31页。
北京市第四中学2021-2022学年八年级上学期开学测试数学试卷
初二数学开学测试班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题（每小题3分，共30分）1．在平面直角坐标系中，点(3,2)P −在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列计算正确的是( )A．6=− B ．3= C ．3= D ．4=±3. 若a b >，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a c b c +>+B ．c a c b −>−C ．22ac bc >D ．a b c c> 4．下列各图中，作ABC ∆边AC 上的高，正确的是( )A. B. C. D. 5．下列命题是假命题的是( )A ．同一平面内，两直线不相交就平行B ．对顶角相等C ．互为邻补角的两角和为180︒D ．相等的两个角一定是对顶角6．如右图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，若∠BOE ＝72°，则∠AOF 的度数为（ ）A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°7．如图，五边形ABCDE 中，AB ∥CD ，∠1+∠2+∠3等于( )A ．90°B ．180°C ．210°D ．270°第7题 第8题8. 如图，直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（5，3）的点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．59．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初一级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是( )A ．选“责任”的有120人B ．本次调查的样本容量是600C ．选“感恩”的人数最多D ．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.810．已知关于x ，y 的方程组34,3.x y a x y a +=−⎧⎨−=⎩，其中31a −≤≤，下列命题正确的个数为（ ）①当a ＝−2时，x 、y 的值互为相反数； ②5,1.x y =⎧⎨=−⎩是方程组的解； ③当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4−a 的解；④若x ≤ 1，则1 ≤ y ≤ 4．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每小题2分，共16分）11．8−的立方根等于 ．12．若点(3,21)M a a +−在y 轴上，则a 的值是 ．13．一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数为 ．14．已知1x =，3y =是二元一次方程25kx y +=的一个解，则k = ．15．如图，不添加辅助线，请添加一个能判定//DE BC 的条件： ．第15题 第16题16．将一副三角板如图所示摆放，当//BC DE 且点F 落在AB 边上时，则∠EFB的度数为 ．17．已知关于x 的不等式组1x x m >−⎧⎨<⎩的整数解共有2个，则m 的取值范围是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的等边△12OA A 的一条边2OA 在x 轴的正半轴上，O 为坐标原点．将△12OA A 沿x 轴正方向依次向右移动2个单位，依次得到△345A A A ，△678A A A ⋯，则顶点2021A 的坐标为 ．C三、解答题（共54分）19．（本题8分，每小题4分）（1）计算：(21+−（2）求等式中x 的值：23681x =．20．（本题6分）解不等式组32,12125x x x x <+⎧⎪⎨++⋅⎪⎩①②并把解集在数轴上表示出来．21．（本题6分）完成推理填空．如图：//EF AD ，12∠=∠，70BAC ∠=︒，把求AGD ∠的过程填写完整．//EF AD ，2∴∠= ，( )又12∠=∠，13∴∠=∠，//AB ∴ ，( )BAC ∴∠+ 180=︒，( )又70BAC ∠=︒，110AGD ∴∠=︒．22．（本题6分）如图，ABC ∆中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，50CAB ∠=︒，60C ∠=︒，求DAE ∠和BOA ∠的度数．23．（本题6分）我国5G 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G 产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分（满分为100分）如下：83 92 64 55 77 87 75 95 73 95 82 84 76 87 5385 75 96 86 97 79 67 81 74 88 85 86 78 89 98将数据进行分组整理，并绘制不完整的统计表，频数分布直方图．5060x <6070x <7080x <8090x <90100x 请根据所给信息，解答下列问题：（1）直接写出a ，b 的值；（2）补全频数分布直方图；（3）据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：当060x <时为“不满意”，当6090x <时为“满意”，当90100x 时为“非常满意”，估计使用该公司这款5G 产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．24．（本题7分）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形ABC 中任意一点0(P x 0)y 经平移后对应点为10(4P x − 03)y +，已知(0,2)A ，(4,0)B ，(1,1)C −−，将三角形ABC 作同样的平移得到三角形111A B C ．（1）画出三角形111A B C 并写出坐标：1(A ， )，1(B ， )，1(C ， )；（2）三角形111A B C 的面积为 ；（3）已知点P 在y 轴上，且三角形PAC 的面积等于三角形ABC 面积的一半，则P 点坐标是 ．25．（本题7分）为方便教师利用多媒体进行教学，某学校计划一次性采购A 、B 两种类型的激光翻页笔，已知购买2支A 型激光翻页笔和4支B 型激光翻页笔共需180元，购买4支A 型激光翻页笔和2支B 型激光翻页笔共需210元．（1）问购买一支A 型激光翻页笔和一支B 型激光翻页笔各需多少元？（2）经过老师申报，学校调查研究，需要采购60支激光翻页笔以满足教育教学需要．根据该中学的财政预算情况，用于购买这批激光翻页笔的资金不超过2130元，并且A 型激光翻页笔的数量不少于B 型激光翻页笔的2倍，请设计出最省钱的购买方案．26 （本题8分）已知如图①，BP 、CP 分别是ABC ∆的外角CBD ∠、BCE ∠的角平分线，BQ 、CQ 分别是PBC ∠、PCB ∠的角平分线，BM 、CN 分别是PBD ∠、PCE ∠的角平分线，BAC α∠=．（1）当40α=︒时，BPC ∠= ︒，BQC ∠= ︒；（2）当α= ︒时，//BM CN ；（3）如图②，当120α=︒时，BM 、CN 所在直线交于点O ，求BOC ∠的度数；（4）在60α>︒的条件下，直接写出BPC ∠、BQC ∠、BOC ∠三角之间的数量关系： ．B 卷（满分20分）1.（本题6分）对于实数x y 我们定义一种新运算(,)L x y ax by =+（其中,a b 均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(,)L x y ，其中,x y 叫做线性数的一个数对．若实数,x y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的,x y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若(,)3L x y x y =+，则(2,1)L = ，3(2L ，1)2= ；（2）已知(,)32L x y x y =+，若(,2)L m m −为正格线性数，则满足不等式组6(,2)(,2)30L m m L m m −⎧⎨−<⎩的所有m 的值为 ．2.（本题7分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合），连接CP ．（1）当72B ∠=︒时；①若54CPB ∠=︒，则ACP ∆ “倍角三角形”（填“是”或“否” )；②若BPC ∆是“倍角三角形”，求ACP ∠的度数；（2）当ABC ∆、BPC ∆、ACP ∆都是“倍角三角形”时，直接写出BCP ∠的度数.备用图1 备用图2北京四中2021—2022学年度第一学期 开学测试 初二年级（数学学科） 第8页 共8页3.（本题7分）在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点叫“等轴距点”． 如图1，P ，Q 为两个“等轴距点”.作PE x ∥轴，QE y ∥轴，E 为交点；作PF y ∥轴，QF x ∥轴，F 为交点．我们把由此得到的长方形PEQF 叫做P ，Q 两点的“轴距长方形”．如图2，在平面直角坐标系中，()2,2A ，()1,1B −都是“等轴距点”，长方形ACBD 为A ，B 两点的“轴距长方形”．图1 图2 备用图(1) A ，B 两点的“轴距长方形”AC BD 的周长为____；(2) 点M 为“等轴距点”，B ，M 两点的“轴距长方形”为周长等于8的正方形，求M 点的坐标；(3) 在平面直角坐标系中，是否存在“等轴距点”N ，使得A 、N 两点的“轴距长方形”的周长为12？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
北师大版20192020学年度八年级数学暑假开学考试适应性训练题二(含答案)
北师大版 2021-2021 学年度八年级数学暑假开学考试测试题二〔含答案〕1．点关于轴的对称的点的坐标是〔〕A ．B ．C．D．2．“ *表〞示一种运算符号，其意义是：a*b=ab+a﹣ b，那么〔 1*2 〕 *[3* 〔﹣ 1〕 ] 等于〔〕A ． 1B ．2C．﹣ 1 D ．23．如图，一棵大树在离地面 6 米高的 B 处断裂，树顶 A 落在离树底部 C 的 8 米处，那么大树数断裂之前的高度为〔〕A ． 16 米B． 15 米C．24 米 D ．21 米4．无理数12 1 的大小在以下两个整数之间〔〕A ． 1 与 2B． 2 与 3C． 3 与 4D． 4 与 55．在以下图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕A ．正三角形B ．线段C．直线D．正方形6．以下计算正确的选项是〔〕A ．=±3B． |﹣ 3|=﹣ 3C．=3D．﹣ 32=97． a,b 为两个连续的整数,且 a<<b, 那么 a+b 的值为 ()A ． 7B ．8C． 9 D ． 108．以下长度的三条线段能组成三角形的是()A ． 1，2， 3B． 3， 8， 4C． 6， 4， 5 D ．5， 2， 842〕9． ( -5a c -5ab c) ÷(-5ac〕等于〔A ． -a6b2-cB ．a5-b2cC． a3 b2-a4cD． a3+b210．点 A(－2， 5)关于 x 轴对称的点的坐标是〔〕A ． (2， 5)B． (－2，－ 5)C． (2，－ 5)D． (5，－ 2)11．袋中装有 6 个黑球和n 个白球，经过假设干次试验，发现“假设从袋中任摸出一个球，恰是白球的概率为〞，那么这个袋中白球大约有________个．12．如图，∠ 1= ∠ 2，AC=AD ，由以下条件：①AB=AE，② BC=ED，③∠ C=∠ D ，④∠ B=∠ E，其中能推出△ABC≌△ AED 的一个条件是______________. 〔把所有的正确答案的序号都填在横线上〕．13．假设成立，那么的取值范围为________．14．化简｜ 1－ ｜＝ ________.15．：如图．在△ ABC ，△ ADE 中，∠ BAC=∠ DAE =90 °，AB=AC ，AD =AE ，点 C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD =CE ；②∠ ACE+∠ DBC =45°；③ BD ⊥ CE ；④∠ BAE+∠DAC =180 °．其中正确的有 ______．16．如果，那么的值为 ______ ．17．当 x____________时，x 21 在实数范围内有意义。
北京市八年级(下)开学数学试卷含答案
18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABOC 是矩形，点 A 在 y 轴上，若点 C 的坐标为（1，2），则点 B 的坐标为 ______．
19. 已知：平行四边形 ABCD，求作菱形 AECF，使点 E、 点 F 分别在 BC、AD 边上． 下面是小明设计的尺规作图过程 作法：如图， ①连接 AC；
10. 如右图，在▱ABCD 中，直线 l⊥LBD．将直线 l 沿 BD 从 B 点匀速平移至 D 点，在运动过程中，直线 l 与 ▱ABCD 两边的交点分别记为点 E、F．设线段 EF 的长 为 y，平移时间为 t 则下列图象中，能表示 y 与 t 的函 数关系的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 9 小题，共 27.0 分） 11. 已知，菱形 ABCD 中，对角线 AC=10，BD=7，则此菱形的面积为______． 12. 已知一次函数 y=2x-3，点 A（x1，y1）、点 B（x2，y2）在此函数图象上，若 x1＞x2，
则 y1______y2（填“＞”或“＜”或“=”）
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13. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的中线，若∠A=a ，则∠BCD 的度数为______（用含 a 的代数式表示）
14. 某复印社的收费 y 元）与复印页数 x（页）的关系如下表，则 y 与 x 的关系式为 ______．
x
100
200
400
∴△FAO≌△ECO． ∴OE=OF． 又∵OA=OC， ∴四边形 AECF 是平行四边形，（______）（填推理的依据） ∵EF⊥AC， ∴四边形 AECF 是菱形，（______）（填推理的依据） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 57.0 分） 20. 如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F．求证：DE=DF．
北京四中初二数学开学检测试卷
初二数学开学检测试卷(考试时间90分钟试卷满分100分)试题部分一．选择题(3’× 10)1．将点P(-4，3)先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点，则点的坐标为__________．A．(-2，5) B．(-6，1) C．(-6，5) D．(-2，1)2．若是完全平方式，则值是__________．A．±2 B．±1 C．±4 D．13．下列说法中错误的个数是__________．(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。
(4)不相交的两条直线叫做平行线。
(5)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。
A．1 B．2 C．3 D．44．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是__________。
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°5．给出下列四个命题，其中真命题的个数为__________．(1)平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，(2)若，b不大于0，则P(-a，b)在第三象限内(3)在x轴上的点，其纵坐标都为0(4)当m≠0时，点P(，)存第四象限内A．1 B．2 C．3 D．46．若方程组的解是则方程组的解是_______。
7.关于的不等式的解集是，则的取值是__________。
A．0 B．-3 C．-2 D．-18．如图，，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=__________。
A．20° B．40°C．50°D．60°9．如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将__________。
北师大版2019年暑假开学考试八年级数学模拟测试题2(附答案)
北师大版2019年暑假开学考试八年级数学模拟测试题2（附答案）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°2．如图，点E是CD上一点，EF平分交AB于点F，若，则的度数为A．B．C．D．3．如图所示的四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，其中是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，四边形OABC为正方形，OA=8,D是AB上的一点，且BD=165,N是AC上的一动点，当△BDN的周长最小时，点N的坐标为( )A．(6,2) B．(5,3) C．(4,4) D．2812,55⎛⎫ ⎪⎝⎭5．下列运算正确的是A．B．C．D．6．若三角形的底边长为21a +，高为21a -，则此三角形的面积为（ ）． A ．241a - B ．2441a a -+ C ．2441a a ++ D ．2122a -7．下列计算正确的是 A ．B ．C ．D ．8．下列语句正确的是（ ） A ．的平方根是±8 B ．－3是9的平方根 C ．的立方根是D ．（－1）2的立方根是－19．下列各式中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．点P (3，－2)关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2) B ．(3，2) C ．(－3，2) D ．(－3，1)11．如图，请你画出方格纸中的图形关于点O 的中心对称图形，整个图形的对称轴的条数为____条．12．如图，已知AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ，则∠B+∠D=_____度．13．已知2A x =， B 是多项式，在计算B A +时，小马虎同学把B A +看成了B A ÷，结果得212x x +，则B A +=__________． 14．计算的结果为___________15．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是______________. 16．如果定义为与中较大的一个，那么________．值为___.18．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF ＝40°，那么∠BEF的度数为___．19．20．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=_____°．21．如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD ＝CD.求证：AD＝BD.22．小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题：(1)从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到次反面，反面出现的频率是；(2)当他抛完5000次时，反面出现的次数是，反面出现的频率是；(3)通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于.23．已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合)．(1)如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；(2)如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)？24．（题文）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，OD平分∠BOF,∠BOE=50，求∠AOC，∠AOF，∠EOF的度数．25．一如图，已知四边形ABCD中，，，，，且，连接BD，试判断的形状，并说明理由．26．已知实数+1的整数部分为m，小数部分为n．（1）求m，n的值；（2）在平面直角坐标系中，试判断点（m﹣1，n﹣1）位于第几象限；（3）若m，n+1为一个直角三角形的斜边与一条直角边长，求这个直角三角形的面积．27．如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，如果第三次拐的是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，问∠C是多少度？请说明理由.参考答案1．A【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=110°，∴∠HAA′=70°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×70°=140°，故选：A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．2．C【解析】【详解】∵，∴∠AED=，∵EF 平分，∴∠DEF =∠AED=69°，∵，∴∠AFE=∠DEF.故选C.3．A【解析】【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．【详解】①不是轴对称图形，本选项错误；②不是轴对称图形，本选项错误；③不是轴对称图形，本选项错误；④是轴对称图形，本选项正确．故选：A．【点睛】考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．4．B【解析】解：连结OD交AC于点N′．∵BD=165，∴AD=245．∵OABC是正方形，∴B和O关于直线CA对称．∵△BDN的周长最小时，BN+ND最小，为OD．易求直线AC为：y=-x+8，直线OD为：35y x=，∴8{35y xy x=-+=，解得：5{3xy==，∴N的坐标为（5，3）．故选B．点睛：解答本题时，要找准B关于直线AC的对称点O，然后求出直线AC，OD的解析式，联立解方程组即可．5．D【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式的法则逐项进行计算即可得. 【详解】 A 、原式，不符合题意； B 、原式，不符合题意； C 、原式，不符合题意； D 、原式，符合题意，故选D ． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、单项式除以单项式等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 6．D【解析】解：三角形的面积=()()121212a a +-=()21412a -=2122a -．故选D ． 7．C 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐个分析即可. 【详解】 A. , 本选项错误；B. , 本选项错误；C. , 本选项正确；D. , 本选项错误.故选：C 【点睛】本题考核知识点：整式运算. 解题关键点：掌握整式运算法则. 8．B【解析】分析: 因为如果一个数的平方是a,则这个数是a的平方根,表示为:,即表示数a的平方根,其中正的平方根是a的算术平方根,如果一个数的立方是a,则这个数是a的立方根,表示为:.详解: A选项,因为的值是8,8的平方根是,所以的平方根是, 所以A选项错误, B选项因为-3的平方是9,所以－3是9的平方根,所以B选项正确,C选项,因为的立方是,的立方是,所以的立方根是,所以C选项错误,D选项, （－1）2等于1,1的立方根是1,所以（－1）2的立方根是1,所以D选项错误,故选B.点睛:本题主要考查平方根和立方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握平方根和立方根的定义.9．D【解析】【分析】根据同类项定义、幂的运算法则，逐个分析可以得出答案.【详解】A.左边不是同类项不能合并；B.，故错；C.，故错；D.，故正确.故正确选项为:D.【点睛】本题考核知识点:幂的运算. 解题关键：熟练运用同底数幂乘除法则，幂的乘方法则. 10．A【解析】分析：关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等．详解：P(3，－2)关于y轴对称的点坐标为：(－3，－2)，故选A．点睛：本题主要考查的是关于y轴对称的两个点之间的关系，属于基础题型．明确对称点的性质是解题的关键．11．4【解析】如图所示，图形中的虚线是对称轴，所以对称轴有4条.故答案为4. 12．90【解析】试题解析： AC BD BC CE AC DC ⊥==，，∴ABC ≌△DEC ，.B DAE A D ∴∠=∠∠=∠， 90A B ∠+∠=︒90B D ∴∠+∠=． 故答案为：90． 13．3222x x x ++【解析】先根据2122B x x x ÷=+,可计算出B=322x x +,再计算3222B A x x x +=++,故答案为: 3222x x x ++. 14．【解析】分析：首先化简二次根式，进而合并二次根式求出答案即可. 详解：，故答案为：.点睛：此题考查了二次根式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 15．xy=z 【解析】试题分析：观察数列可发现所以这一列数据所揭示的规律是前两个数的积等于第三个数．根据规律x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，则x 、y 、z 满足的关系式是xy=z ． 考点：规律探究题．16．【解析】【分析】根据规则计算出与，比较大小即可得到答案．【详解】∵－（﹣3）×2=6，－（﹣3）+2=5，∴（﹣3）*2=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了有理数的乘法，根据规律解题是解题的关键．17．1【解析】由题意可得：===.故答案为1.18．60°.【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．【详解】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，∴∠CFB=180°-∠B=140°，又∵∠CFE：∠EFB=3：4，∴∠CFE=∠CFB=60°，∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CFE=60°，故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．19．+|故答案为：20．62【解析】【分析】先根据同旁内角互补两直线平行知AB∥CD，据此依据平行线性质知∠APM=∠CQM=118°，由邻补角定义可得答案．【详解】解：∵∠A+∠C=180°，∴AB∥CD，∴∠APM=∠CQM=118°，∴∠CQN=180°-∠CQM=62°，故答案为：62．【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．21．见解析【解析】【分析】根据HL，证Rt△BDF≌Rt△ADC，再根据全等三角形性质可得AD＝BD.【详解】证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴AD＝BD.【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质.解题关键点：运用HL证三角形全等. 22．(1) 7 ；70% (2) 2502；50.04% (3) 抛掷总次数【解析】分析：仔细审题，确定表格中的数据特点，根据表格获取数据求解.详解：（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30％，那么，小明抛完10次时，得到7次反面，反面出现的频率是=0.7=70%；（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是5000-2498=2502，反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%；（3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.点睛：此题主要考查了频率的相关知识，是基础题，考查从表中获取和处理数据的能力以及概率的基础知识.23．（1）证明见解析；（2）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．理由见解析；（3）∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．【解析】【分析】（1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解；（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出a∥b∥PE，由此即可得出结论；（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．∵a∥b，PE∥a，∴PE∥b，∴∠2=∠DPE，∴∠3=∠1+∠2，即∠CPD=∠PCA+∠PDB；（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，∵直线a∥b，∴a∥PE，∴∠1=∠EPC，∵∠3=∠EPC-∠EPD，∴∠3=∠1-∠2，即∠CPD=∠PCA-∠PDB；（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，∵∠PFA是△PCF的外角，∴∠PFA=∠1+∠3，∵a∥b，∴∠2=∠PFA，∴∠2=∠1+∠3，∴∠3=∠2-∠1，即∠CPD=∠PDB-∠PCA．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，利用两直线平行，内错角相等进行推导是解答此题的关键．24．∠AOC=40 °，∠AOF=100 °，∠EOF=130°【解析】分析：根据题意即可推出∠EOD=90°，∠BOD=40°，既而得，∠AOC=40°，∠BOF=80°，得：∠EOF=130°，∠AOF=100°．详解：∵OE⊥CD于点O，∴∠EOD=90°(垂直的定义) ，∵∠BOE=50°，∴∠BOD=90°-50°=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°（对顶角相等），∵OD平分∠BOF，∴∠BOF=2∠BOD=80°（角平分线的定义），∴∠AOF=180°-80°=100°，（平角的定义）.∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=130°．答：∠AOC=40 °，∠AOF=100 °，∠EOF=130°.点精：本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角.25．是直角三角形．理由见解析.【解析】【分析】在直角△ABD中，根据勾股定理求得BD的长度；在△BCD中，求得BC2=BD2+CD2，利用勾股定理的逆定理可以判定△BCD是直角三角形．【详解】是直角三角形．理由如下：如图，在中，，，，由勾股定理得，即；在中，，，，，，，是直角三角形．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理及勾股定理的逆定理.26．（1）m＝2，n＝；（2）第四象限；（3）．【解析】【分析】（1）根据无理数的估计解答即可；（2）根据平面直角坐标系中象限的特点解答即可；（3）根据勾股定理求得直角三角形另一条直角边的长，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）∵，∴，∴m＝2，n＝=；（2）∵m-1=2-1＞0，n-1=-1=＜0，∴点（m﹣1，n﹣1）位于第四象限；（3）由题意可知，直角三角形的斜边长为2，一条直角边长为，由勾股定理可得另一条直角边为1，∴直角三角形的面积为：.【点睛】本题题考查了无理数的估计、平面直角坐标系中象限的特点及勾股定理，解题的关键是根据无理数的估计求得m、n的值．27．∠C=150°.【解析】【分析】作BP∥AM，得∠A=∠ABP=120°，再证BP∥CN，得∠C=180°-∠PBC，可得答案.【详解】解：如图，过B点作BP∥AM，∴∠A=∠ABP=120°（两直线平行，内错角相等）.∴∠PBC=30°.∵AM∥CN，∴BP∥CN.∴∠C=180°-∠PBC（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠C=150°.【点睛】本题考核知识点：平行线性质. 解题关键点：作平行线，根据平行线性质求出角的度数.。
北京市八年级数学暑假作业04
一、 选择题下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±3 2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3. 下列运算正确的是A ．532a a a =+B ．532a a a =⋅C ．3332)(b a ab = D ．5210a a a =÷4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．125. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6. 在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为3.50元，方差分别为2S 甲＝18.3，2S 乙＝17.4，2S 丙＝20.1，2S 丁＝12.5．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．48. 如右图，正方形ABCD 的顶点2A ，2B ， 顶点CD 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面 积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是二、填空题9. 41x -x 的取值范围是 ．10. 一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ． 11. 观察下列等式： 1=1，2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为 ． 12. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ， 使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．三、解答题13. 027(4)6cos302--π-+-．14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．15. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、CA 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC ．16. 先化简，再求值：2212111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，其中2x =-．17. 列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m 、宽6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x 值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与反比例函数ky x =的图像交于点A(-3,4),AC ⊥x 轴于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB 绕着点A 转动时,与x 轴的交点为B(a,0), 并与反比例函数ky x=图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式.并写出自变量a 的取值范围．四、解答题19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了若干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息回答下列问题：（1）a= ，b= ;组别 做家务的时间 频数 频率 A 1≤t ＜2 3 0．06B 2≤t ＜4 20cC 4≤t ＜6 a0．30D 6≤t ＜88 bEt ≥840．08（2）在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;（3）全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为 半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．（1）请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若 DE:EC=12, 2BC =，求⊙O 的半径．22. 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4= ， i2011=______________，i2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．五．解答题23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．24. 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC上，且60MON ∠=．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0) （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P 的坐标.参考答案：一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）13.解：原式=164--分=1 ……5分14. 解：+①②得：23x x+=1x=．……2分将1x=代入②得：12y-=，……4分11xy=⎧∴⎨=-⎩……5分15. 证明：∵AC平分BCD BC∠，平分ABC∠，∴ACB DBC=∠∠……2分在ABC△与DCB△中，ABC DCBACB DBCBC BC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ABC∴△DCB≌△……4分AB DC∴=．……5分16. 解：原式=()()()()()()22111111111x x xx x xx x x x xx-+---+÷==+--·……3分-1y=当2x =-时，原式=211.22-+=-……5分 17. 解：据题意，得1(8)(6)862x x --=⨯⨯．解得12122x x ==，．1x 不合题意，舍去．2x ∴=．18．解: (1)∵4=3k- 12k =- ∴12y x-=……2分(2)∵BC =a -(-3)=a +3 AC =4, ∴14(3)2ACB S a ∆=⨯⨯+ ……4分=2a +6 (a >-3)……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1） 15，0.16；……2分 （2）144︒；……3分（3）271000[(1584)50]100054050⨯++÷=⨯=（人）……5分 答：该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有540人 20．解： 在△ABE 中，AE BC ⊥，5AB =， 53cos =B∴BE=3,AE=4.∴EC=BC-BE =8-3=5. ∵平行四边形ABCD, ∴CD=AB=5.∴△CED 为等腰三角形.……2分∴∠CDE =∠CED ． ∵ AD//BC, ∴∠ADE =∠CED ． ∴∠CDE =∠ADE ．在Rt △ADE 中,AE =4,AD=BC =8,41tan .82CDE ∴∠== 21．解：（1）直线CE 与O ⊙相切 证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD ,∠ACB =∠DAC ． ∵,ACB DCE ∠=∠ ∴.DAC DCE ∠=∠……1分 连接OE,则.DAC AEO DCE ∠=∠=∠90,90.90.2DCE DEC AEO DEC OEC ∠+∠=∴∠+∠=∴∠=分∴直线CE 与O ⊙相切．22222 AB 2(2)tan 2,tan 2, 6.3,2tan D tan D 1., 3.4 ,CO 66-r)3, 5ACB BC BC AB BC ACB AC ACB DCE CE DE DC CE Rt CDE CE O Rt CE O CE EO r r ∠===∴=⋅∠==∠=∠∴∠=∴=⋅∠=∆=∆=+=+=分在中分设⊙的半径为r, 则在中即解得分22．解：(1)4i =1，2011i=-i 20121i =……3分(2)方程2220x x -+=的两根为 1+i 和 1-i ……5分五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）OED BC AM N N'23.解：（1）2(4)12(1)m m ∆=---2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是21m m ≠-≠且的 一切实数． ……3分（2）∵ 正整数m 满足822m ->， ∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+，∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y x x =++．∴ A 点、B 点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k =2也是符合题意的答案． 24. 解： (1) AM CN MN =+……2分 （2）AM CN MN =+……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠= 在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分 ∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON ∆≅∆.……5分 ∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3) .MN CN AM =+……7分 25．解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩…。
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四中初二暑假开学数学测试试卷
（考试时间为90分钟，试卷满分为100分）
班级___________学号_________ ___________分数__________
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1、点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，已知PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距
离是（）
A. 5cm
B. 2cm
C. 小于2cm D．不大于2cm
2、下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3、已知a＜b，则下列不等式中不正确的是( )
A．4a＜4b B．a+4＜b+4 C．－4a＜－4b D．a－4＜b－4
4、如图ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＣ，图中与∠ＣＡＢ互余的角共有( )
A.１个
B.２个
C.３个
D.４个
5、下列命题中，真命题是( )
A．两点之间，直线最短；
B．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
C．与已知直线垂直的直线有且只有一条；
D．在平面过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
6、已知点P(a+b，ab)在第二象限，则点Q(a，b)在（）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
7、等腰三角形中，有两条边的长分别是3cm和7cm，第三边的长是( )
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．10cm
8、分解因式的结果为（）
A．B． C. D.
9、如图所示，下列推理不正确的是( )
A．若∠1=∠C，则AE∥CD
B．若∠2=∠BAE，则AB∥DE
C．若∠B+∠BAD=180°，则AD∥BC
D．若∠C+∠ADC=180°，则AE∥CD
10、若关于x的一元一次不等式（1-m）x ＞ m-1的解集是x＜-1，则m的取值围是（）
A．m≤1 B. m＜1 C. m＞1 D. m≥1
二、填空题：（每小题2分，共20分）
11、分解因式：=___________.
12、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，BD是∠ABC的平分线，则∠BDC=___________.
13、已知点M在第四象限，且点M到x轴、y轴的距离分别为2和3，则点M的坐标为_______________.
14、为了估计湖里有多少条鱼，先捕了100条鱼做好记号，然后放回湖里，过了一段时间待带有标记的
鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现带有记号的鱼只有2条，则湖里鱼的条数大约
是___________条.
15、若,则＝___________.
16、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D＝192°，∠B－∠D＝24°，则∠GEF＝______．
17、在代数式b+at 中，当t=2时它的值是35，当t=5时它的值是50，则a的取值是___________，b的取
值是___________.
18、已知点O是△ABC的高CD、BE所在直线的交点，∠A=60°,则∠BOC=____________.
19、①多边形的外角和一定小于角和。
②三角形的一个外角等于两个角和。
③一个n 边形的每个
角都相等，且、外角度数之比4∶1，那么这个多边形是十边形。
④一个多边形边数增加1条，
那么外角和就增加180°⑤如果三角形的一个角等于另外两个角的和，那么这个三角形是直角
三角形。
⑥两直线被第三条直线所截，同位角相等。
以上说法中正确的是___________________.
(把所有正确说法的序号全部添上)
20、画一个三角形，在它的三个顶点和三边的中点处各画一个小圆圈，然后把1、2、3、4、5、6分别
填写到这六个小圆圈里，使三角形每条边上3个数的和都相等，试在左图给出一种符合要求的填
法，在右图中给出使每条边上三个数的和最小的填法.
三、解答题：（每小题5分，共50分）
21、解方程组：
22、计算：
23、解不等式组并写出不等式组的正整数解.
24、先化简，再求值：，其中x=6，y = -2.
25、填空题：如图，AB∥CD，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°，∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，求∠BCP的
度数．
解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）
∴___________∥___________, ( )
∴∠CPN+∠ =180°，( )
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴∠PCD=180°—∠CPN=180°—150°=30°，（等量代换）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC =∠___________，（）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD=___________，（等量代换）
∴∠BCP=∠BCD—∠PCD=___________°— _____________°＝___________°
26、在边长为1的方格中平移△ＡＢＣ，
（1）先使点A移到点M，
（2）在第一次平移的基础上，再使点C移到点N，请在方格图中分别画出两次平移后的三角形并尝试计
算出第二次平移中边BC所扫过区域的面积.
27、某中学为了培养学生的社会实践能力，要求学生参加一项社会调查活动.为此，小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭的人均月收入情况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（收入取整数，单位：元）.
分组频数频率
1000～1200 3 0.060
1200～1400 12 0.240
1400～1600 18 0.360
1600～1800 0.200
1800～2000 5
2000～2200 2 0.040
合计50 1.000
请你根据以上提供的信息，解答下列问题:
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）请你估算该小区600个家庭中人均收入较低（不足1400元）的家庭个数大约有多少？
28、已知:如图，四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C=70°，AE平分∠BAD,交BC于点E,EF ⊥AE交CD于点F,
（1）求∠BAE的度数;
（2）写出图中与∠AEB相等的角并说明理由.
29、今年夏天，我国舟曲县遭受了特大泥石流灾害，夏老师假期得到的一笔稿费8500元，现在他准备将这笔钱购买帐篷和棉被两种防寒用品支援灾区，他考查了某商场正在销售的帐篷和棉被，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.
（1）请你算出帐篷和棉被的单价各是多少元？
（2）夏老师准备购买这两种防寒品共80件，送给舟曲灾区，他想每种商品都要购买，且帐篷的数
量要多于棉被的数量，你能否帮夏老师设计设计，他共有几种购买方案可选？（要求写出具体的
购买方案）
30．阅读理解
在△ABC中，D是BC的中点．如果用表示△ABC的面积，则由等底等高的三角形的面积相等，可得．同理，如图b，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，可得．
结论应用
已知：△ABC的面积为42，请利用上面的结论解决下列问题：
（1）如图1，若D、E分别是AB、AC的中点，CD与BE交于点F，则△DBF的面积为____________；
类比推广
（2）如图2，若D、E是AB的三等分点，F、G是AC的三等分点，CD分别交BF、BG于M、N，CE分别交BF、BG于P、Q，求△BEP的面积；
探究新知
（3）如图3，问题（2）中的条件不变，求四边形EPMD的面积．
参考答案：
一、选择题
1、D
2、B
3、C
4、C
5、D
6、C
7、B
8、B
9、D 10、C
二、填空题
11、12、13、14、10000 15、16、17、5，25 18、或19、③⑤
20、
三、解答题
21、22、1 23、，正整数解为1，2
24、原式==16
25、解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）
∴PN∥CD, (同位角相等，两直线平行 )
∴∠CPN+∠PCD =180°，( 两直线平行，同旁角互补 )
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴∠PCD=180°—∠CPN=180°—150°=30°，（等量代换）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC =∠BCD，（两直线平行，错角相等）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD=（等量代换）
∴∠BCP=∠BCD—∠PCD=50 °—30 °＝20°
26、（1）如右下图，
（2）
27、（1）10；0.1；图略
（2）180人
28、（1）
AE平分，
（2），理由如下：
29、（1）设帐篷的单价为x元，棉被的单价为y元，
帐篷的单价为120元，棉被的单价为90元；
（2）设购买帐篷a件，则购买棉被件，
为整数，，或43.
所以有三种方案：41顶帐篷，39床棉被；42顶帐篷，38床棉被；43顶帐篷，37床棉被。
30、（1）7；
（2）设
、E为AB的三等分点，
同理可得，
，①
②
由①②可得，，.
（3）设
、E为AB的三等分点，
同理可得，
①
②
由①②可得，，。