第七章多元函数微积分学

第七章 多元函数微分法及应用
第一节 多元函数的基本概念（1课时）
要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。

了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。

重点： 二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。

难点：二元函数极限的定义与计算。

在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．
一．区域 1．邻域
定义1 设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点
),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ．即
{}{}
δδδ<-+-=<=2
02
000)()(|),(|),(y y x x y x PP P P U
几何解释：),(0δP U 是xoy 平面上以),(000y x P 点为中心，0>δ为半径圆的内部点),(y x P 的全体．
去心邻域：点0P 的去心邻域
{}00()|0U P P PP δ∧
=<<={}
2200(,)|0()()x y x x y y δ<-+-<
2．区域
设E 是平面上的一点集，P 是平面上的一点．
内点：如果存在点P 的某一邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则称P 为E 的内点． 开集：如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集．
如 {}41|),(221<+<=y x y x E 是开集
边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点， 也有不属于E 的点，则称P 为E 的边界点． 边界：E 的边界点的全体称为E 的边界．
如 1E 的边界是122=+y x 和422=+y x
二．二元函数概念
以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．
下面举几例子．
例1. 圆柱体的体积V 和它的底半径r ，高h 之间有关系式
h r V 2π=
这里，当h r ,在集合{}0,0|),(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定．
1．二元函数定义
定义2 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点D y x P ∈),(，变量z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量y x ,的二元函数(或点P 的点函数)，记为
),(y x f z =，(或)(P f z =)
其中y x ,称为自变量，z 称因变量，D 称该函数的定义域．数集
{}D y x y x f z z ∈=),(),,(|称该函数的值域．
2．二元函数定义域求法
二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．
（1）用算式表达的二元函数),(y x f z =，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；
（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域．
如：在例1中，0,0>>h r ．
例3．求二元函数)ln(y x z +=的定义域． 解 要使对数有意义，必须0>+y x ． 所以{}0|),(>+=y x y x D 满足0>+y x 的点的全体在几何上如何画出:
（1）先找边界0=+y x ， （2）再以点示面，确定位置．
函数的定义域{}0|),(>+=y x y x D 是无界开区域．
例4．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域．
x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)
,,(),,(lim
),,(0000000
，
0000000
(,,)(,,)
(,,)lim
y y f x y y z f x y z f x y z y
∆→+∆-=∆，
0000000(,,)(,,)
(,,)lim
z z f x y z z f x y z f x y z z
∆→+∆-=∆．
3．偏导数的几何意义
设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z = 上的一点，过0M 作平面0y y =截此曲面得一 条曲线，此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =， 则),(0y x f z =对x 偏导数
0000(,)|(,)tan x x x d
f x y f x y dx
α=== 就是曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率（即对x 的变化率）．
同样偏导数
0000(,)|(,)tan y y y d
f x y f x y dy
β===就是曲线在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率（即对y 的变化率）．
例5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=
442
2y y x z 在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角是多少？
解 因为1|2|)42(|tan 22)5,4,2(===∂∂===x x x x x z α，所以4
πα=． 三．高阶偏导数
定义 设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数
),(y x f x
z
x =∂∂，),(y x f y z y =∂∂ (它们仍是D 上的二元函数) ，若这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数
),(y x f z =的二阶偏导数．
按对变量求偏导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数
),()(22y x f x
z
x z x xx =∂∂=∂∂∂∂，),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂，。