高考数学6.1不等式的概念与性质知识研习课件理(通用版)
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《不等式的性质》课件
不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析
高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课件理
所以恒成立(chénglì)的有②④.
答案：②④
第九页，共三十一页。
(2)(2018 年山东(shān dōnɡ)德州期中)已知a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下
列不等式恒成立(chénglì)的是( )
A.a2<b2<c2 C.ac<bc
B.ab2<cb2 D.ab<ac
解析：方法一，∵a<b<c 且 a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0.
答案：D
第十二页，共三十一页。
(4)(2018 年河北承德一中月考)下面(xiàmian)四个条件中，使 a>b 成 立的充分(chōngfèn)而不必要的条件是( )
A.a>b－1
B.a2>b2
C.a>b＋1
D.a3>b3
解析：显然当 a＝2，b＝2.5 时，a>b－1 a>b，A 错误；
当 a＝－2，b＝1 时，a2>b2 a>b，B 错误；a>b＋1⇒a>b，但
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
第二十五页，共三十一页。
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
方法三，由12≤ ≤aa－ ＋bb≤ ≤24， 确定的平面区域如图 6-1-1.
图 6-1-1
第二十六页，共三十一页。
当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12时， 取得最小值 4×32－2×12＝5.
第六章 不等式
第1讲 不等式的概念(gàiniàn)与性质
第一页，共三十一页。
1.了解现实(xiànshí)世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
答案：②④
第九页，共三十一页。
(2)(2018 年山东(shān dōnɡ)德州期中)已知a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下
列不等式恒成立(chénglì)的是( )
A.a2<b2<c2 C.ac<bc
B.ab2<cb2 D.ab<ac
解析：方法一，∵a<b<c 且 a＋b＋c＝0，∴a<0，c>0.
答案：D
第十二页，共三十一页。
(4)(2018 年河北承德一中月考)下面(xiàmian)四个条件中，使 a>b 成 立的充分(chōngfèn)而不必要的条件是( )
A.a>b－1
B.a2>b2
C.a>b＋1
D.a3>b3
解析：显然当 a＝2，b＝2.5 时，a>b－1 a>b，A 错误；
当 a＝－2，b＝1 时，a2>b2 a>b，B 错误；a>b＋1⇒a>b，但
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
第二十五页，共三十一页。
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
方法三，由12≤ ≤aa－ ＋bb≤ ≤24， 确定的平面区域如图 6-1-1.
图 6-1-1
第二十六页，共三十一页。
当 f(－2)＝4a－2b 过点 A32，12时， 取得最小值 4×32－2×12＝5.
第六章 不等式
第1讲 不等式的概念(gàiniàn)与性质
第一页，共三十一页。
1.了解现实(xiànshí)世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
不等式性质的ppt
x＜-1
例3.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) a b (3) -4a -4b
解：(1) ∵a＞b 2 2 ∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得 a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0 ∴两边都除以2，由不等式基本性质2 得
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是
负数；对于未给定范围的字母，应
分情况讨论.
1. 下列各数中,哪些是不等是x+3>6的 解?哪些不是?
-4; -2.5; 0;
1; 2.5 ;
3; 3.2; 4.8;
2. 用不等式表示: (1)a是正数;
8; 12. (2)y的2倍与1的差大于3;
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6×(-5) ＜ 2×(-5) (4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6,
(-2)×(-6) ＞ 3×(-6)
由上面规律填空: (1)当不等式两边加上或减去同一个数
(正数或负数)时,不等号的方向 不变 ;
(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号
的方向不变 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 ___改__变____
不等式的性质(1)
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高考数学一轮复习 第6章第1节 不等式的概念与性质课件 文 新课标
(方法1)因为函数y＝f(x)的图象过原点， 所以c＝0，故设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)． 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 所则以4amm－＋－nn2＝＝b42＝，，(m解＋得nmn)＝a＝－13.，(m－n)b，
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为1≤f(－1)≤2，所以3≤3f(－1)≤6. 又因为3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10. 故f(－2)的取值范围是[6,10]． (方法2)设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用．
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； (2)a－b＝0⇔ a＝b ； (3)a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＜ c. (3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. 推论1 a＋b＞c>⇔a ＞ c－b； 推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d.
所以5≤f(－2)≤11. 该同学的解答是否正确？如果错误，错 在哪里？并给出正确的解答．
关键提示：由已知可设f(x)＝ax＋b，主 要是把f(－2)表示为mf(－1)＋nf(1)的形 式．本题还可以用线性规划的解题思路进行 求解．
解：该同学的解答是错误的，错误的根 源在于②－①时使用了同向不等式相减．正 确解法如下：
所以只需证明C－A＞0，A－B＞0. 因为A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0， 所以A＞B.
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 因为1≤f(－1)≤2，所以3≤3f(－1)≤6. 又因为3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10. 故f(－2)的取值范围是[6,10]． (方法2)设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现 中的作用．
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； (2)a－b＝0⇔ a＝b ； (3)a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＜ c. (3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. 推论1 a＋b＞c>⇔a ＞ c－b； 推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d.
所以5≤f(－2)≤11. 该同学的解答是否正确？如果错误，错 在哪里？并给出正确的解答．
关键提示：由已知可设f(x)＝ax＋b，主 要是把f(－2)表示为mf(－1)＋nf(1)的形 式．本题还可以用线性规划的解题思路进行 求解．
解：该同学的解答是错误的，错误的根 源在于②－①时使用了同向不等式相减．正 确解法如下：
所以只需证明C－A＞0，A－B＞0. 因为A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0， 所以A＞B.
不等式及其性质 PPT
正
可乘性
可乘方
7
性
a>b>0
c>d>0 ⇒_a_c>_b_d_
a>b>0⇒_a_n_>_b_n
(n∈N，n≥2)
同向 同正
nn 8 可开方 a>b>0⇒__a_>___b__ (n∈N， 同正
n≥2)
状元随笔
（1）性质 3 是移项的依据。不等式中任何一项改 变符号后，可以把它从一边移到另一边。即 a ＋b>c ⇒a>c －b。性质 3 是可逆性的，即 a>b ⇔a ＋c>b ＋c。
a>b⇔_b_<_a_ a>b，b>c⇒_a_>_c_ a>b⇔_a_＋__c_>_b_＋___c __
4 可乘性
ac>>0b⇒_a_c_>_b_c_ ac<>0b⇒_a_c_<_b_c_
同向 5 可加性
a>b c>d
⇒_a__＋__c>__b_＋__d__
注意 可逆 可逆 c 的符
号
同向
同向同
6
不等式及其性质
最新课程标准： 理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
知识点一 实数大小比较
1．文字叙述 如果 a－b 是正__数__，那么 a>b； 如果 a－b__等_于 ___0__，那么 a＝b； 如果 a－b 是负__数__，那么 a<b，反之也成立。 2．符号表示 a－b>0⇔a__>__b； a－b＝0⇔a_＝___b； a－b<0⇔a__<__b。
跟踪训练 2 （1）已知 a<b，那么下列式子中，错 误的是（ ）
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
6
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
14
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
18
通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
10
2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
14
课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
15
考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
18
通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
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1 ．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等 式(组)的实际背景．
2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
3 ．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系．
4 ．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，
会设计求解的程序框图． 5．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
1．已知 a≥b，则下列正确的是( 1 1 A. ≥ a b a b C. 2＞ 2 c c
)
B．ac2≥bc2 D．(ac)2≥(bc)2
解析：因为c2≥0，a≥b，所以ac2≥bc2. 答案：B
2．“a＞2且b＞2”是“a＋b＞4”的( A．充分非必要条件
)
B．必要非充分条件
C．充要条件
2，故选A. 答案：A
a b 当 a＝b 时， ＋ ＝ a＋ b； b a a b 当 a≠b＞0 时， ＋ ＞ a＋ b. b a
考点三 不等式性质的应用 【案例 3】 已知－ 1 ＜ a＋ b＜ 3 且 2 ＜a－ b ＜4 ，求 2a ＋
3b的取值范围．
关键提示：将2a＋3b用a＋b和a－b表示出来，再利用不 等式的性质求解2a＋3b的范围．
＝
答案：
a ＞ d
b c
π π 4．已知－ ＜α＜β＜ ，求 α－β 的取值范围． 2 2
π π π π 解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜－β＜ ， 2 2 2 2 所以－π＜α＋(－β)＜π.又 α＜β，所以 α－β＜0， 所以－π＜α－β＜0，即 α－β∈(－π，0)．
1 ．比较大小可采用作差比较法，或作商比较法，要保 证推导过程的严密性(有依据)． 2 ．在使用不等式的性质时，要注意不等式成立的充分 条件．
当x＝1时，x3＝x2－x＋1；
当x＞1时，x3＞x2－x＋1.
a b 【即时巩固 2】 已知 a＞0， b＞0， 试比较 ＋ 与 a b a ＋ b的大小．
a b a b 解： ＋ －( a＋ b)＝ － b＋ － a b a b a 1 1 a－b b－a a－ b ＝ ＋ ＝(a－b) － ＝(a－b) ， a b a ab b
D．既不充分也不必要条件
解析：a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，但a＋b＞4⇒/ a＞2且b＞
3．已知 a＞b＞0，且 c＞d＞0，则 系是________．
Байду номын сангаас
a 与 d
b 的大小关 c
a d b c
a c 解析： 因为 a＞b＞0， c＞d＞0， 故 ＞1， ＞1， 所以 b d ac ·＝ db ac ·＞1，所以 bd a ＞ d b . c
3 3
1 1 ③a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
2 2
④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logb(1－a)． 其中正确的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
a b 2 a 2 b 解析：① 2＞ 2⇒c ·2＞c ·2⇒a＞b； c c c c
a＞b， 3 3 ②a ＞b ⇒ ab＞0
1 1 1a 1b D： a＜ b⇔2 ＜2 ⇔a＞b. 2 2 1 x y ＝ 为减函数 2
故选 D.
答案：D
【即时巩固 1】 已知 a，b，c∈R，给出下列推理： a b ① 2＞ 2⇒a＞b； c c 1 1 ②a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
a b 1 1 ⇒ ＞ ⇒ ＜ ； ab ab a b
③a2＞b2 不能推出 a＞b，由②得不成立； ④因为 1＋a＞1＞1－a＞0， 所以 loga(1＋a)＜0 且 logb(1 －a)＞0， 所以④不成立．
答案：B
考点二 比较大小
【案例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)(x－3)2与(x－2)(x－4)； (2)当x≥1时，x3与x2－x＋1. 关键提示：步骤：作差、变形、判断符号、结论． 解：(1)(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0， 所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)． (2)x3－(x2－x＋1)＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1)，
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； ； . (2)a－b＝0⇔ a＝b (3)a－b＜0⇔ a＜b
2．不等式的性质
(1)a＞b⇔b ＜ a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＞ c.
(3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c.
推论1 a＋b＞c⇔a > c－b；
推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c > b＋d. (4)a＞b，c＞0⇒ac bc；a＞b，c＜0⇒ac ＜bc. 推论1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac > bd； 1 1 ＜ 推论2 a＞b，ab＞0⇒ ； a b 推论3 0＜a＜b＜1⇒an ＜ bn(n∈N*，且n＞1)． n n (5)a＞b＞0⇒ a > b (n∈N*，且n＞1)．
6 ．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表 示二元一次不等式组． 7 ．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问
题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程． 9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简
单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
11．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，
并能运用它们进行一些简单推理． 12．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
13．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；
了解分析法和综合法的思考过程、特点． 14．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证 法的思考过程、特点． 15．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题．
考点一 不等式的性质 【案例 1】 使不等式 a＞b 成立的充要条件是( A．a ＞b
2 2
)
1 1 B. ＜ a b 1 1 D. a＜ b 2 2
C．lg a＞lg b
关键提示： 判定四个备选项中哪个经化简可与“a＞b” 等价．
解析：A：a2＞b2⇔|a|＞|b|； 1 1 a－b B： ＜ ⇔ ＞0； a b ab C：lg a＞lg b⇔a＞b＞0；
2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
3 ．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系．
4 ．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，
会设计求解的程序框图． 5．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
1．已知 a≥b，则下列正确的是( 1 1 A. ≥ a b a b C. 2＞ 2 c c
)
B．ac2≥bc2 D．(ac)2≥(bc)2
解析：因为c2≥0，a≥b，所以ac2≥bc2. 答案：B
2．“a＞2且b＞2”是“a＋b＞4”的( A．充分非必要条件
)
B．必要非充分条件
C．充要条件
2，故选A. 答案：A
a b 当 a＝b 时， ＋ ＝ a＋ b； b a a b 当 a≠b＞0 时， ＋ ＞ a＋ b. b a
考点三 不等式性质的应用 【案例 3】 已知－ 1 ＜ a＋ b＜ 3 且 2 ＜a－ b ＜4 ，求 2a ＋
3b的取值范围．
关键提示：将2a＋3b用a＋b和a－b表示出来，再利用不 等式的性质求解2a＋3b的范围．
＝
答案：
a ＞ d
b c
π π 4．已知－ ＜α＜β＜ ，求 α－β 的取值范围． 2 2
π π π π 解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜－β＜ ， 2 2 2 2 所以－π＜α＋(－β)＜π.又 α＜β，所以 α－β＜0， 所以－π＜α－β＜0，即 α－β∈(－π，0)．
1 ．比较大小可采用作差比较法，或作商比较法，要保 证推导过程的严密性(有依据)． 2 ．在使用不等式的性质时，要注意不等式成立的充分 条件．
当x＝1时，x3＝x2－x＋1；
当x＞1时，x3＞x2－x＋1.
a b 【即时巩固 2】 已知 a＞0， b＞0， 试比较 ＋ 与 a b a ＋ b的大小．
a b a b 解： ＋ －( a＋ b)＝ － b＋ － a b a b a 1 1 a－b b－a a－ b ＝ ＋ ＝(a－b) － ＝(a－b) ， a b a ab b
D．既不充分也不必要条件
解析：a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，但a＋b＞4⇒/ a＞2且b＞
3．已知 a＞b＞0，且 c＞d＞0，则 系是________．
Байду номын сангаас
a 与 d
b 的大小关 c
a d b c
a c 解析： 因为 a＞b＞0， c＞d＞0， 故 ＞1， ＞1， 所以 b d ac ·＝ db ac ·＞1，所以 bd a ＞ d b . c
3 3
1 1 ③a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
2 2
④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logb(1－a)． 其中正确的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
a b 2 a 2 b 解析：① 2＞ 2⇒c ·2＞c ·2⇒a＞b； c c c c
a＞b， 3 3 ②a ＞b ⇒ ab＞0
1 1 1a 1b D： a＜ b⇔2 ＜2 ⇔a＞b. 2 2 1 x y ＝ 为减函数 2
故选 D.
答案：D
【即时巩固 1】 已知 a，b，c∈R，给出下列推理： a b ① 2＞ 2⇒a＞b； c c 1 1 ②a ＞b ，ab＞0⇒ ＜ ； a b
a b 1 1 ⇒ ＞ ⇒ ＜ ； ab ab a b
③a2＞b2 不能推出 a＞b，由②得不成立； ④因为 1＋a＞1＞1－a＞0， 所以 loga(1＋a)＜0 且 logb(1 －a)＞0， 所以④不成立．
答案：B
考点二 比较大小
【案例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)(x－3)2与(x－2)(x－4)； (2)当x≥1时，x3与x2－x＋1. 关键提示：步骤：作差、变形、判断符号、结论． 解：(1)(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0， 所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)． (2)x3－(x2－x＋1)＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1)，
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； ； . (2)a－b＝0⇔ a＝b (3)a－b＜0⇔ a＜b
2．不等式的性质
(1)a＞b⇔b ＜ a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＞ c.
(3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c.
推论1 a＋b＞c⇔a > c－b；
推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c > b＋d. (4)a＞b，c＞0⇒ac bc；a＞b，c＜0⇒ac ＜bc. 推论1 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac > bd； 1 1 ＜ 推论2 a＞b，ab＞0⇒ ； a b 推论3 0＜a＜b＜1⇒an ＜ bn(n∈N*，且n＞1)． n n (5)a＞b＞0⇒ a > b (n∈N*，且n＞1)．
6 ．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表 示二元一次不等式组． 7 ．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问
题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程． 9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简
单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
11．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，
并能运用它们进行一些简单推理． 12．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
13．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；
了解分析法和综合法的思考过程、特点． 14．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证 法的思考过程、特点． 15．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题．
考点一 不等式的性质 【案例 1】 使不等式 a＞b 成立的充要条件是( A．a ＞b
2 2
)
1 1 B. ＜ a b 1 1 D. a＜ b 2 2
C．lg a＞lg b
关键提示： 判定四个备选项中哪个经化简可与“a＞b” 等价．
解析：A：a2＞b2⇔|a|＞|b|； 1 1 a－b B： ＜ ⇔ ＞0； a b ab C：lg a＞lg b⇔a＞b＞0；