区段叠加法作弯矩图
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
叠加法作弯矩图32
D
4
支座反力 RA=15KN
6KN q=2KN/m
8KN q=2KN/m
RB=11KN
C 2m
梁分CA、AD、DB、BF段。
各控制面弯矩分别为：
A 4m
RA
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
12 4
8
10
的拼凑。
ql2/8
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁
的弯矩图。
支座反力（可不求） 梁分两段：AB段和BD段。
AB段： A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段： B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
B
2
A
1
步骤：1. 荷载分解(分解）
2. 作分解荷载的弯矩图（查表9-1）
3. 作荷载共同作用下的弯矩图（叠加）
注意：
弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处 纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图举例
F
q
F
q
=
+
A
BA l
B l
A
B
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
分段叠加法作弯矩图
q
0
ql A
ql
B C D
ql
l
l
2q l
l
第三章 静定梁与静定钢架
习题6
Qingdao Technoligical University
本章重点：
梁和刚架的内力图
0
3 ql 2
3 2 ql 2
ql
q
C 1 ql 2
A
B
l
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
P
本章重点：
梁和刚架的内力图
l
l/2
l/2
用叠加法作直杆M 图的步骤
• (1)竖：用截面法求杆端弯矩。
Qingdao Technoligical University
• (2)联：将杆两端弯矩纵标联以虚线
• (3)叠加：以联线为基础，叠加杆跨 上荷载所产生的简支梁弯矩图。
练习:
q
1 2 ql 16
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
l/2
q
C
q
l/2
1 2 ql 16
1 ql 8
1 2 ql 16
l/2
q
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
分段叠加法作弯矩图的方法：
Qingdao Technoligical University
第三章 静定梁与静定钢架
（1）计算控制截面的弯矩值:
选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
本章为全书 第三章 静定梁与静定钢架 最重要的一章
分段叠加法作弯矩图
分段叠加法作弯矩图
作弯矩图时,可采用叠加法，使绘制工作得到简化。
（1）叠加发作简支梁的弯矩图
应当注意,这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拼合.图2－6d中的纵坐标M0，如图 和M的纵坐标一样，也是垂直于杆轴AB，而不是垂直杆A'B’。
小结：梁弯矩图的一般作法
利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：
（1）选定外力的不连续点（如集中力、集中力偶的作用点,分布力的起点和终点等)为控制截面,求出任制裁面的弯矩值。
（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直意直杆段的弯矩图
结论：任意直杆段的弯矩图的特性和与其相应的（长度、承受荷载q和两端弯矩MA、MB均相同）简支梁的竖向力YA、YB(Y0A、Y0B）和弯矩图完全相同，因此,我们可以用前面所属的叠加法来绘制任意直杆段的弯矩图。
具体作法如下：先求出杆段两端截面的弯矩图MA、MB。作直线的 图, 然后依此直线为基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的M0图（如d所示）
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用作者：詹景元石煜威朱芳振来源：《建材发展导向》2015年第03期摘要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。
但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。
文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构1 叠加法的介绍1.1 叠加法的前提条件材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。
由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。
同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。
一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。
在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。
因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
1.3 叠加法的使用准备梁的内力采用叠加法来求解时，必须要对简单梁承受单个基本荷载时的内力分布比较熟悉，这样叠加计算才会比较简单便捷。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
区段叠加法
1.1.3区段叠加法作直梁弯矩图
在小变形情况下，依据力的独立性原理，复杂荷载引起的弯矩图，可分区段用单一荷载引起的弯矩图叠加的方法，即区段叠加法进行
绘制。
可按以下三个步骤进行：
●一求控制弯矩：首先，求两杆端的弯矩，常可直接判断（对于简支梁两端铰支处、悬臂梁的悬臂端，若无集中力偶作用，其弯
矩均为零；若有集中力偶作用，其弯矩即等于该集中力偶）；其次，求外力不连续点处的弯矩（如集中力作用点、均布荷载的起点和终点、集中力偶作用点两侧的弯矩），用载面法即可方便求得。
●二引直线相连：将相邻二控制弯矩用直线相连（当二控制截面间无横向荷载作用时，用实线连接，即为该区段弯矩图形；当二
控制截面间尚有横向荷载作用时，则用虚线连接，作为新的“基线”，然后再按下面的第“三”步叠加）。
●三叠简支弯矩：在新的“基线”上，叠加该区段按简支梁求得的弯矩图（注意：所叠加的二竖标均应垂直于原杆轴）。
现以图1-3所示简支伸臂梁为例，用区段叠加法绘制其弯矩图。
其计算步骤示于图1-3b-d中（具体计算过程从略）。
图1-3“区段叠加法”分步示意图
（二）对于曲线弯矩图叠加曲线弯矩图的情况
找出一些控制弯矩值（至少三点），中间连以适当曲线，主要是定好弯曲方向，一般为连续光滑曲线。
分段叠加法作弯矩图
l/2
q 1 ql2 16
l/2
q
1 ql2 16
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）计算控制截面的弯矩值: 选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、
分布荷载的始点和终点）为控制截面，
（2）分段叠加作弯矩图： 当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值
的直线； 当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作
M图 FQ图
A支座的反力 大小为多少, ql2 / 2 M图 方向怎样? FQ图
M图
FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线,且 凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图 有尖点,且指向与荷载相同;从左向右看，剪力图突变 方向与力的方向相同。 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化;从左向右看，顺时针力矩，M图向下突变。
1m
1m
7kN
练习2
本章重点： 梁和刚架的内力图
60kN
24kN
A
D0
B
E
0.2m
18kN
0.2m
0.2m
66kN
M图
FQ图
例: 作内力图
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图
无剪力杆的 弯矩为常数.
M图
自由端有外
力偶,弯矩等于外
FQ图 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
用叠加法作直杆M 图的步骤
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1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图
F
q
B
F
q
B
A
A
＋
l
l
1/2qL2+FL
A
l
B
1/2qL2
FL
A
F
B
1 m Fl 4
A
FBA1 m Fl 4CC
l 2
l 2
1 Fl 4
l 2
l 2
C
l
1 Fl 4
支座反力RA=15KN RB=11KN
6KN q=2KN/m C 2m
8KN
q=2KN/m
梁分CA、AD、DB BF段。
各控制面弯矩分别为： MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
A 4m RA
D 2m
E 2m
B 2m RB
F
12 4
8
10
80 kN m
A
160 kN
D
E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
130 kN
1m 1m
130
2m
4m
40
Fab 160 1 2 107 L 3
ql2 4016 80KN m 8 8
130
kN
160
kNm
210
340
280
MA
q
MB
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
A
B
l
A
B
MB
MA 1/8qL2
6kN
2kN m
B
梁分两段：AB段和BD段。 AB段A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
A
C
D
2m
2m
B 4
2m
2 A
D 1
4