人教版_2021年中考数学二轮复习--几何综合题(附答案)
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案解直角三角形的应用综合题专训1、(2018扬州.中考模拟) 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50cm，拉杆的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D．在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．（1）求⊙A的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服．某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE为80cm，=64°．求此时拉杆BC的伸长距离．（精确到1cm，参考数据：，，）2、(2017南京.中考模拟) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．3、(2018嘉兴.中考模拟) 已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H．（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30 ，连接AG交PD于F，连接BF，tan∠BFE= ，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6 ，连接QG交BC于点M，求QM的长．4、(2019金华.中考真卷) 如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。
若EF=AB，求∠OCE的度数．5、(2019包河.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。
备考2023年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案反比例函数系数k的几何意义综合题专训1、(2014苏州.中考真卷) 如图，已知函数y= （x＞0）的图象经过点A、B，点A 的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC=1（点C位于点A的下方），过点C 作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．（1）求△OCD的面积；（2）当BE= AC时，求CE的长．2、(2017重庆.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC面积为2时，求点B的坐标．（3） P为线段AB上一动点（P不与A、B重合），在（2）的情况下，直线y=ax ﹣1与线段AB交于点P，直接写出a的取值范围．3、(2018吴中.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．（3）若把上一问中的反比例函数记为y1，点B′，C′所在的直线记为y2，请直接写出在第一象限内当y1＜y2时x的取值范围．4、(2018深圳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．5、(2018潘集.中考模拟) 如图，点C在反比例函数y= 的图象上，过点C作CD⊥y 轴，交y轴负半轴于点D，且△O DC的面积是3．（1）求反比例函数y= 的解析式；（2）若CD=1，求直线OC的解析式．6、(2018高安.中考模拟) 已知矩形ABCD的长AB=2，AB边与x轴重合，双曲线y= 在第一象限内经过D点以及BC的中点E．（1）求A点的横坐标；（2）连接ED，若四边形ABED的面积为6，求双曲线的函数关系式．7、(2017新泰.中考模拟) 已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b ＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q 也在该函数y=kx+b的图象上．（1） k的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y= 图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若= ，则b的值是．8、(2021镇江.中考模拟) 如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例=3函数y= （k＞0）的图象交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S△ADG（1）k=；（2）求证：AD=CE；（3）如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积．9、(2017聊城.中考真卷) 如图，分别位于反比例函数y= ，y= 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且= ．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y= 的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．10、(2019九江.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF =4S△DFO，求点D的坐标．11、(2017西华.中考模拟) 如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= 的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？12、(2017黄冈.中考模拟) 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC 不重合的部分的面积为S．（1）求k的值；（2）当S= 时，求P点的坐标；（3）写出S关于m的关系式．13、(2019花都.中考模拟) 如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．14、(2020.中考模拟) 如图，抛物线L: （常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线于点P，且OA·MP=12.（1）求k值；（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.15、如图，点在反比例函数的图象上，轴于点M，点B是反比例函数的图象上一动点，过点作轴于点N．（1）求反比例函数的解析式．（2）连接MN，BM．小华说：“当时，随着的增大而减小．”你同意小华的说法吗?请说明理由．反比例函数系数k的几何意义综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。
备考2021年中考数学二轮复习：图形的性质_四边形_矩形的性质,综合题专训及答案
与
的重叠部分为
，在坐
标平面内是否存在一点 ，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请
说明理由.
15、 (2020绵阳.中考真卷) 如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN ＝4，BN＝6．
（1） 求BC，CD； （2） 点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交 AC于点I，设运动时间为t秒． ①将△AHI沿AC翻折得△A I，是否存在时刻t，使点 恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理
（1） 当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. （2） 如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的
结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数. （参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75） 10、 (2020百色.中考模拟) 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角 线BD上.
的图象
（1） 求点B的坐标.
（2） 若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式. 2、
(2019辽阳.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形
的边
的图象经过点 ，点 的坐标为 ，
.
交 轴于点 ，
轴，反比例函数
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 点 为 轴上一动点，当
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2021年中考数学二轮复习--几何综合题Ⅰ、综合问题精讲:几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点:⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵掌握常规的证题方法和思路．⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等)．Ⅱ、典型例题剖析【例1】(南充，10分)⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．(1)求证:DF是⊙O的切线．(2)若AE＝14，BC＝12，求BF的长．解:(1)证明:连接OD，AD． AC是直径，∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED．故∠B＝∠BED，即DE＝DB．点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线．(2)设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-(不合题意，舍去)． 则 BF 的长为2．点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】(重庆，10分)如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证:BD＝CD 。
证明:因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE而∠BDE＝∠AB D ＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC在△ADB 和△ADC 中，∠BAD＝∠CADAD ＝AD∠ADB ＝∠ADC所以 △ADB≌△ADC 所以 BD ＝CD 。
(注:用“AAS”证三角形全等，同样给分) AB C D E点拨:要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．【例3】(内江，10分)如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。
求:四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。
⎭⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32∆⇒=⋅= ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形【例4】(博兴模拟，10分)国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．解:不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828．图2－4－4(4)中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=12， 利用勾股定理，可求得333121FH EF FH ∴=-=所以⑷中线路总长为:4EF+EF=433(113 2.732.-=+≈显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．【例5】(绍兴)如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH⊥BE 于H ，连结EF 。
⑴求证:∠CEF＝∠BAH ,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
⑴证明:∵CE 切⊙O 于E ，∴∠CEF=∠EBC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90°∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH⑵解: ∵CE 切⊙O 于E∴CE 2=CF ·BC ，BC=2CE=6∴CE 2=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92点拨:熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．Ⅲ、综合巩固练习:(100分；90分钟)一、选择题(每题3分，共21分)1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为( )A ．0．036π平方米;B ．0．81π平方米;C ．2π平方米;D 、3．24π平方米2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是( )A ．正三角形;B ．正方形;C ．圆;D ．不能确定3．下列说法:①如果两个三角形的周长之比是1:2，那么这两个三角形的面积之比是1:4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为( )A ．700，400 B ．700，550 C ．700，400或550，550 D ．无法确定5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为( )A ．98B ．196;C ．280D ．2846．在△ABC 中，若23|sin 1|(cos )0A B -+-=，则∠C 的度数为( ) A ．60o B ．30 o C ．90 o D ．45 o7．下列命题中是真命题的个数有( )⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。
2，则它的斜边长为10 ；⑵直角三角形的最大边长为 3 ，最短边长为l ，则另一边长为 2 ；(3)在直角三角形中，若两条直角边为n 2－1和2n ，则斜边长为n 2＋1；⑸等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每题3分，共27分)8．如图2－4－8所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 cm ．将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A 、B 、C ′三点在一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是_____．9．若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为346,,,S S S 则346,,,S S S 由大到小的排列顺序是:__________.10若菱形的一个内角为60°，边长为4，则它的面积是__________．11 已知数4，6，请再写出一个数，使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．12一油桶高 0．8m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口(小口靠近上壁)斜插入桶内，一端到桶底内壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．87m ，则桶内油面的高度为__________.13 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm ，则腰上的高为__________cm ．14 在平坦的草地上有 A 、B 、C 三个小球，若已知 A 球和 B 球相距3米，A 球与C 球相距1米，则B 球与C 球可能相距________米．(球的半径可忽略不计，只要求填出一个符合条件的数)15 如果圆的半径为3cm ，那么60°的圆心角所对的弧长为____cm ．16 如图2－4－9所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔAIJ =1，则S正方形ABCD =______.三、解答题(每题13分，52分)17. 已知:如图 2－4－10所示，在 Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A ＝90°，点D 为BA 上任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点．试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论．18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修路方案，画图并简述步骤．19. 如图 2－4－11所示，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60○，∠BPO=30○，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结果保留四个有效数字)并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度．20. 如图2－4－12所示，EF为梯形ABCD的中位线．AH平分∠DA B交EF于M，延长DM交AB于N．求证:AADN是等腰三角形．。