卷积和相关
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
卷积定理和相关定理.ppt
|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
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信号与系统—signals and systems
R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
相关运算和卷积运算的区别和联系
相关运算和卷积运算的区别和联系
相关运算是通过将两个信号在时间轴上进行滑动并逐个相乘后求和得到的。
它主要用于测量两个信号之间的相似度，以及在匹配过程中用来寻找匹配位置。
而卷积运算是将一个信号反转后和另一个信号进行乘积并求和得到的。
它主要用于信号的滤波、平滑、增强等处理。
2.联系：
虽然相关运算和卷积运算看似截然不同，但它们在某些方面是相似的。
首先，它们都是一种线性运算，即它们满足叠加原理，即两个信号的相关或卷积等于它们的分别进行相关或卷积之和。
其次，在频域上，相关运算和卷积运算都对应着乘积运算。
因此，我们可以使用傅里叶变换将它们转换到频域中进行处理。
总的来说，相关运算和卷积运算是信号处理中非常重要的运算方式，它们可以用于信号的分析、滤波、增强等多种应用场景。
理解它们的区别和联系对于提高信号处理的技能和水平具有重要意义。
- 1 -。
卷积和相关
I 0 ( xi ) I 0 ( ) P( x i )d
线 光 源 的 夫 琅 和 费 衍 射
二、卷积 convolution定义
若f(x)与h(x)有界且可积, 定义
g ( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
*: 卷积符号
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
f(0)h(x)
f( 2)h(x- 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果.。需用卷积运算来描述
g ( x) f ( )h( x )d
f ( x ) h( x )
一、卷积概念的引入 由线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射，经过推 导，最后得到
1
(图d,e)
9 x2 (4)2＜ x ＜3， g x x2 1 d 3x (图f) 2 2
(5)x≥3，
g x f x h x 0
(图g,h)
综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:
0 x0 x x2 2 0 x 1 12 1 x 2 g x f x h x 2 9 3x x 2 x 3 2 2 0 x3
平移量等于两者的平移量之和。
8、函数 f ( x, y) 与
卷积的本质及物理意义(整理)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
卷积的物理意义，解释的真幽默！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
图像处理基本算法-卷积和相关
图像处理基本算法-卷积和相关在执⾏线性空间滤波时，经常会遇到两个概念相关和卷积⼆者基本相似，在进⾏图像匹配是⼀个⾮常重要的⽅法。
相关是滤波器模板移过图像并计算计算每个位置乘积之和的处理卷积的机理相似，但滤波器⾸先要旋转180度相关的计算步骤：（1）移动相关核的中⼼元素，使它位于输⼊图像待处理像素的正上⽅（2）将输⼊图像的像素值作为权重，乘以相关核（3）将上⾯各步得到的结果相加做为输出卷积的计算步骤：（1）卷积核绕⾃⼰的核⼼元素顺时针旋转180度（2）移动卷积核的中⼼元素，使它位于输⼊图像待处理像素的正上⽅（3）在旋转后的卷积核中，将输⼊图像的像素值作为权重相乘（4）第三步各结果的和做为该输⼊像素对应的输出像素超出边界时要补充像素，⼀般是添加0或者添加原始边界像素的值可以看出他们的主要区别在于计算卷积的时候，卷积核要先做旋转。
⽽计算相关过程中不需要旋转相关核。
离散单位冲击：我们将包含单个1⽽其余全是0的函数成为离散单位冲击。
重要性质：⼀个函数与离散单位冲击相关，在冲击位置产⽣这个函数的⼀个翻转版本。
f 函数w 滤波器模板eg：f（x，y）0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0w（x，y）1 2 34 5 67 8 9相关 f*w =0 0 0 0 00 9 8 7 00 6 5 4 00 3 2 1 00 0 0 0 0卷积f*w=0 0 0 0 00 1 2 3 00 4 5 6 00 7 8 9 00 0 0 0 0相关的⽤途：图象的匹配。
卷积和相关
1 2 * R12 ( ) T f1 (t ) f 2 (t )dt ，其中星号表示复共轭。 T 2
卷积和相关
如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是两个不同的函数，则称为 互相关函数, 表示为
R12 ( ) ，如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是同一个函数，则称为自相关函数， 表示为 R( ), Rxx ( ) 等。
f ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d f1 ( t ) f 2 ( t )
卷积和相关
任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身
f (t ) * (t ) f ( ) (t )d f (t )
f (t ) * (t T ) f (t T )
R ( ) R ( ) f ( t ) f ( t ) 12 21 注意： 1 ， 2 次序一般不可交换。可证
当
f 1 ( t ) ， f 2 ( t ) 为实函数时，有 R12 ( ) R21( )
R( ) R* ( )
R( ) R ( )
相关定理：
R( ) lim
FT ( )
S ( )
卷积和相关
自相关函数的性质： * R ( ) R ( ) ，实部为 的偶函 1、复对称性： 数，虚部为 的奇函数 2 R ( 0 ) f ( t ) dt E 能量 2、对于能量信号： T 1 2 2 对于功率信号： R(0) T f (t ) dt 平均功率 T 2 3、 R(0) R( ) 4、周期信号自相关也是同周期的周期函数
北交 通信系统原理 主要知识点第2章
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
(2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
(3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2. 随机过程统计特征(1) 二维随机变量统计特征。
(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
(3) 高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
(2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析（1）现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
（2）几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
（3）信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2.随机过程统计特征（1）二维随机变量统计特征（2）广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
（3）高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征（1）理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
（2）窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是统分析的最主要的数学方法。
傅里叶分析是从时域、频域描述信号的有效方法。
狭义而言，通信过程更是信号与传输信道在频域相适应的过程。
往往信号和系统的频域特征分析更有利于解决传输问题。
第二章信号与噪声分析经典例题[例 2-1] 求图2-1所示信号f(t)的频谱。
解：这一结果表明，频谱是两部分构成，为虚轴上奇对称于原点。
证实了奇对称实信号的频谱为虚频谱奇对称形式。
[例2-2] 由随机过程定义，典型的数学表达式是无法写出的。
一般地，在一个确知形式的时间函数中，若其中一个（或2个）变量是随机的，称准随机过程。
设随机过程，其中是均值为0、方差为的高斯变量，是内均匀分布的相位随机变量，且与统计独立。
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g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. 二维函数的卷积:
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x, y )
f ( , )h( x , y )d d
三、卷积的物理意义和几何意义
物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点 光源对应的像强度分布的卷积.
3、可分离变量
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x , y )
f ( , )h( x , y )d d
f x ( ) h( x )d
f ( ) h( y ) d
g x ( x) g y ( y )
-1/2 1 rect(t) 1 rect(t)
t
0 1/2 1 -1/2 rect(t) 0 1/2
t
2.将rect(t)折叠后不变;
3.将一个rect(-t)移位至给定的 x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
t
-1/2 0 1/2 x0-1/2 x0 x0+1/2
4.二者相乘;乘积曲线下 面积的值 即为g(x0).
5、卷积符合结合律 f (x, y) h1(x, y) h2 (x, y) f ( x, y) h1( x, y) h2 ( x, y)
6、坐标缩放性质
若f ( x, y) h( x, y) g ( x, y ) 1 则f (ax, by) h(ax, by) g (ax, by) ab
f (ax, by) h(ax, by ) f a , b h ax a , by b d d
1 ab
ห้องสมุดไป่ตู้
f a , b h ax a , by b d a d b
7、卷积位移不变性
1
(图d,e)
9 x2 (4)2＜ x ＜3， g x x2 1 d 3x (图f) 2 2
(5)x≥3，
g x f x h x 0
(图g,h)
综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:
0 x0 x x2 2 0 x 1 12 1 x 2 g x f x h x 2 9 3x x 2 x 3 2 2 0 x3
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
*
d
x
0
d
t (x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1
根据上述计算结果画出了g(x)=f(x)*h(x)的完整 曲线，如图（i）。
5.卷积运算举例(续) 例2：求解 解:
x 1 x 1 g ( x) rect( ) * rect( ) 2 2
由卷积定义和矩形函数表达式，有：
x 1 x 1 g x rect rect 2 2 1 x 1 = rect rect d 2 2 0 x 1 = rect d -2 2
若f ( x, y ) h( x, y ) g ( x, y ) 则f ( x x0 , y y0 ) h( x, y ) f ( x, y ) h( x x0 , y y0 ) g ( x x0 , y y0 )
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
f ( x' )h( x x' )dx' g ( x)
六.卷积运算举例(难点) 例1：设有二函数，分别为:
求:
x 1 f x x step x , h x rect 2 g x f x h x
4、卷积符合交换律
f ( x, y) h( x, y) h( x, y) f ( x, y) 令 x y f x, y h x, y f , h x , y d d h , f x , y d d h x, y f x, y
I 0 ( xi ) I 0 ( ) P( x i )d
线 光 源 的 夫 琅 和 费 衍 射
二、卷积 convolution定义
若f(x)与h(x)有界且可积, 定义
g ( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
*: 卷积符号
(a)-2≤x≤0
(b)0≤x≤2
图1-3-5 例2卷积运算过程
0 x d 2 x 2(1 x ) 2 2 g ( x) 0 x d 2 x 2(1 ) 2 x2 0
x 2
2 x 0
卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个 观测仪器对输入信号的作用过程，等等。
相关运算：常用于比较两个函数的关联 性，相似程度，用于信号检测
一、卷积概念的引入
物体分布
成像系统
像平面分布
一、卷积概念的引入
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生 的分布为h(x)
f() 1 0 2
成像
f( 1)h(x- 1)
第二讲 卷积和相关 （convolution and correlation） 是两种运算关系(或过程)；都是含参量的无穷积分， 与FT、线性系统关系密切。
都是两个函数通过某种运算得到另一函数。 一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）， 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用 特点） 另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到 的结果。 “某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入 函数作用的数学描述。
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
卷积运算是积分运算，积分运算是连续的叠加 求和，积分运算具有叠加性和均匀性。
af ( x, y) bh( x, y) g( x, y) af ( x, y) g( x, y) bh( x, y) g( x, y)
2、复函数的卷积 根据卷积运算的线性性质，复函数的卷积运算可以 转化为实函数的卷积运算
f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置.
f(x)与梳状函数即脉冲阵列的卷积运算
f(x)与梳状函数的卷积运算可在每个脉冲位置产 生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
练习
若
f ( x) h( x) g ( x)
几何意义：可采用图解分析法帮助理解卷积运算的 含义。其运算过程分为折叠，位移，相 乘，积分4个步骤 卷积运算的两个效应：⑴展宽效应 ⑵平滑化效应
四、卷积计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t); 2.将h(t)折叠成h(-t); 3.将h(-t)移位至给定的x, h[-(t -x)]= h(x -t); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x). 练习: 计算 rect(x)*rect(x)
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
f ( x, y) f R ( x, y) if I ( x, y) h( x, y) hR ( x, y) ihI ( x, y) g R ( x, y) f R ( x, y) hR ( x, y ) f I ( x, y ) hI ( x, y ) g I ( x, y) f R ( x, y) hI ( x, y ) f I ( x, y ) hR ( x, y )
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果