2020-2021大连市高三数学上期末第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前 n 项和公式求出公比，由此能求出结果．
【详解】
∵ Sn 为等比数列an的前 n 项和，
2S2 S3 S4 ， a1 2 ，
2 1 q3 2 1 q4
∴ 22 2q
，解得 q 2 ，
1 q
1 q
∴ a2 a1q 4 ，故选 B．
数列 an 为等比数列， a1 1， a7 8a4 ，
q6 8q3 ，解得 q 2 ，
an a1qn1 2n1 ，
数列
1 an
的前
n
项和为
Sn
，
S5
1
1 2
1 4
1 8
1 16
1
1
1 25
1 1
31 16
．
2
故选 A ．
【点睛】
本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
D．56
8．已知等比数列
an
的各项都是正数，且
3a1,
1 2
a3
,
2a2
成等差数列，则
a8 a6
a9 a7
A． 6
B． 7
C． 8
D． 9
9．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C=120°，c= a，则
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a 与 b 的大小关系不能确定
中， a6 a11 ，所以 a6
0, a11
0, a6
a11, a1
15 2
d
，有
Sn
d 2
[(n 8)2
64]，
所以当 n 8时前 n 项和取最小值.故选 C.
12．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据新运算的定义, x a x a x2 x a2 a ,即求 x2 x a2 a 1恒成
前 n 项和 Sn 的最小值为 S6 .
故答案选 C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将 Sn 的最小值转化为 an 的正负关系是解题的关键.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得： Sn 3 3 2n , Sn 3 2n 3 ，
由等比数列前 n 项和的特点可得数列 an 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，数列的通项
【详解】
设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q，（q＞0）
由题意可得
2
1 2
a3
3a1
2a2，即
q2-2q-3=0，
解得 q=-1（舍去），或 q=3，
故 a8 a9 a6 a7 q2 q2 9．
a6 a7
a6 a7
故选：D．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
C．8
D．9
B A1 B ，若不等式 x a x a 1对任意的
实数 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A． 1 a 1
B． 0 a 2
C． 1 a 3 22
二、填空题
D． 3 a 1
2
2
13．已知 a 0 ， b 0 ，当 a 4b2 1 取得最小值时， b __________．
，
∵a＞0，b＞0，
∴a﹣b
，
∴a＞b 故选 A．
【点睛】
本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．
10．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列 an 的公比为 3，且 aman 9a22
∴ a2 3m2 a2 3n2 a22 3mn4 9a22 ∴mn 6
10．已知正项等比数列
an
的公比为 3 ，若 aman
9a22 ，则
2 m
1 2n
的最小值等于（
）
A．1
B． 1 2
C． 3 4
D． 3 2
11．等差数列an中，已知 a6 a11 ，且公差 d 0 ，则其前 n 项和取最小值时的 n 的值
为( )
A．6
B．7
12．在 R 上定义运算 ： A
ab
ab
ab
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
6．A
解析：A
【解析】 【分析】 先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前 n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断 a6 0 ，再通过数列的正负判断 Sn 的最小值.
【详解】
∵等差数列an中， a3 a9 0 ，∴ a3 a9 2a6 0 ，即 a6 0 .又 a7 0 ，∴an 的
2020-2021 大连市高三数学上期末第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和.若 2S2 S3 S4 ， a1 2 ，则 a2 （ ）
A．2
B．-4
C．2 或-4
D．4
2．等差数列an中，已知 a7 0 ， a3 a9 0 ，则an 的前 n 项和 Sn 的最小值为
ab
14．已知函数
f
(x)
x
1 x
，数列 {an } 是公比大于
0
的等比数列，且 a6
1，
f (a1) f (a2 ) f (a3) f (a9 ) f (a10 ) a1 ，则 a1 _______.
15．计算： lim
3n2 n
________
n 1 2 3 n
16．如图，在 ABC 中， C , BC 4 时，点 D 在边 AC 上， AD DB ， 3
公式： an 3 2n1 ，
设 bn b1qn1 ，则： b1qn1 b1qn 3 2n1 ，解得： b1 1, q 2 ，
数列 bn 的通项公式 bn 2n1 ，
由等比数列求和公式有：Tn 2n 1 ，考查所给的选项： Sn 3Tn ,Tn 2bn 1,Tn an ,Tn bn1 .
（）
A． S4
B． S5
C． S6
D． S7
3．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn 3) (n N*) 在函数 y 3 2x 的图象上，等
比数列{bn}满足 bn bn1 an (n N*) ，其前 n 项和为 Tn ，则下列结论正确的是（ ）
A． Sn 2Tn
( 3)n1 . 2
故选 B.
【点睛】
本题考查了数列前 N 项和公式的求法，利用公式 an Sn Sn1 是解题的关键. 5．C
解析：C 【解析】 【详解】
因为直线 x y 1a 0,b 0 过点 1,1 ,所以 1 + 1 1 ,因此
ab
ab
(4a b)( 1 + 1) 5 b + 4a 5 2 b 4a 9 ,当且仅当 b 2a 3时取等号,所以选
7．A
解析：A
【解析】
由等差数列的性质得， a5 a6 28 a1 a10 ，其前10 项之和为
10a1 a10 10 28 140 ，故选 A.
2
2
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q，（q＞0），由题意可得关于 q 的式子，解之可 得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得．
∴ 1 (m n)( 2 1 ) 1 (2 m 2n 1) 1 (5 2) 3 ，当且仅当 m 2n 4
6
m 2n 6
2n m 2 6 2
4
时取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
立,整理后利用判别式求出 a 范围即可
【详解】
A B A1 B
xa x a
x a = x a 1 x a x a x a 1 x2 x a2 a x a 1对于任意的实数 x R 恒成立,
x2 x a2 a 1,即 x2 x a2 a 1 0 恒成立,
ab
A．6
B．8
C．9
D．10
6．数列 {an } 为等比数列，若
a1
1，
a7
8a4
，数列
1 an
的前
n
项和为
Sn
，则
S5
(
)
A． 31 16
B． 15 8
C．7
D．31
7．已知等差数列 an ,前 n 项和为 Sn , a5 a6 28,则 S10 ( )
A．140
B．280
C．168
＝0.
(1)求 A；
(2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B＝ 1 ，AD＝ 129 ，求△ABC 的面积．
7
2
25．已知函数 f x x 1 x 1 ．
（1）解不等式 f x 2 ；
（2）设函数 f x 的最小值为 m ，若 a ， b 均为正数，且 1 4 m ，求 a b 的最小
B．Tn 2bn 1
C．Tn an
D．Tn bn1
4．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1＝1，Sn＝2an1，则 Sn ＝( )
A． 2n1
B． ( 3)n1 2
C． ( 2 )n1 3
辽宁省大连市2020届高三数学上学期教学质量检测试题理(PDF)
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rx-y+2 注。 14.若实数 x,y 满足不等式组才 2x十y-2�0 ，存在可行解 （x,y） 满足 mx-y-6m = O，则实数 m 的最小值
L4x-y-4《0
为
15. 在水平桌面上，有两两相切且半径均为 2 的四个黑球，有 一 个自球与这四个黑球均相切，则该自球球面上的
点到桌面距离的最大值为
C.11
D.12
①当 k=l 时， f(x） 注 0 恒成立；②当护 2 时，只川的零点为 Xo 且 一 I＜岛＜寸：③当是 ＝ ＋时， x = l 是
J(x） 的极值点；④若 f(x） 有三个零点，则实数h的取值范围为（0，去）
A. ①②④
B.①③
C.②③④
D.②④
第E卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13.已知函数列。 ＝ax3 -ax（α＞O）的图象在 x= O 和工 ＝ 1处的切线互相垂直，则“ ＝
#(v(.""#%"(6A"%"(8(""#o"& 2("#P
Q(o ""(( 2 #P (8 (""#'
2021届辽宁省大连市高考一模数学试题(含答案)
注意事项：2021年大连市高三第一次模拟考试数学1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。
2.本试卷分第｜卷〈选择题）和第川卷（非选择题〉两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
l己知集合A ={x jx 2 -4x <o}, B = {x ii x I ＜斗则AU E =A .(0,2)B .(-2,4)c.（叫2)U(4，叫D .（叫－2)U (O ,+oo)/,l 2.己知复数z ＝乒－：( i为虚数单位〉，则lzl=l +l A. 1 B . "2 C . 2 D. 2"23.己知两条不重合的直线m 、刀和平面α，则ml/n 的一个充分不必要条件是A.m CZ.α，n cαB .m II α，n/1αC.mJ_α，n J_α D.ml!α，n cα4.娟的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，；脑就越大．它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．，在数学中，利用烟：可以解决如下问题：有.n 个互不相等的数，需要比较「(log 2n!) l 次C n ！表示n 的阶乘：「斗表示的是向上取整函数，如「2.11=.3）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这－些数从小到大排序，需要比较的次数为A . 8 : B. �， ..‘二C .l O·< ·: D. jJ 5若双曲线C ：三－l =l 的右焦点到它的一条渐近线的距离是·�Ji ，则c 的离心率为9 bL. 血’A A.2B.JiC.i D .」主3 3 6.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液：“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、直肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方，则P (B I A )=A._!_B.三C.l D . i 10 5 4第1页2021年大连市高三第一次模拟考试数学参考答案一、 选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.B二、 选择题9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD三、 填空题13.10 14. 3 15. [12,24]四、 解答题17.解：（Ⅰ）选用测角仪和米尺，如图所示2分(1) 选择一条水平基线HG (图1)，使H ，G ，B 三点在同一条直线上4分 (2)在H ，G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α，β，CD a =，测得测角仪器的高是h6分 (3)经计算得建筑物sin sin sin()a AB h αβαβ=+− (也可以为tan tan tan tan a h αβαβ+−)8分 （Ⅱ）（1）测量工具问题（2）两次测量时位置的间距差（3）用身高代替测角仪的高度10分 注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可.18. （Ⅰ）证明：在三棱台ABC DEF −中，DE AB ∥，因为BE AD =所以四边形ABED 为等腰梯形因为1BE DE ==，2AB = 所以可得3ABE π∠=2分第18题图第2页在ABE中，由余弦定理可得AE =222BE AE AB +=所以AE BE ⊥4分 因为平面ABED ⊥平面BCFE 且平面ABED 平面BCFE BE =，AE ⊂平面ABED所以AE ⊥平面BEFC6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知AE ⊥平面BEFC ，因为BC ⊂平面BCFE 所以AE BC ⊥，又BA BC ⊥，且AE ，BC ⊂平面ABEDBC ⊥平面ABED ，又BC ⊂平面ABC所以平面ABC ⊥平面ABED在平面ABED 内过B 作BH ⊥BA则BH ⊥平面ABC8分 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BH 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系由题意可得(0,2,0)A，1(0,2E ，(000)B ，，，(3,0,0)C，3(0,2D 因为13(,0,0)22EF BC == 所以31(,22F 所以3(,1,0)2DF =−，333(,,)222AF =−， 设平面AEF 一个法向量为n 000(,,)=x y z 则00003023330222EF x AF x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=−+=⎪⎩nn ，所以00000330x x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩ 取01y =，则得0z =所以n= 10分 设直线DF 与平面AEF 成角为θ则sin |cos ,|||||DF DF DF θ⋅=<>=⋅nn n== 直线DF 与平面AEF . 12分 法二：由(1)可知BC ⊥平面ABEDy第3页因为EF BC ∥，所以EF ⊥平面ABED又EF ⊂平面AEF所以平面AEF ⊥平面ABED过D 作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF又平面AEF 平面ABED AE =所以DG ⊥平面AEF所以DF 在平面AEF 内的射影为GF所以DFG ∠为直线DF 与平面AEF 所成的角10分 在ADE 中，1sin 302DG DE =⨯=，又12FD AC ==在RtDGF中，1sin 13DG DFG DF ∠=== 直线DF 与平面AEF. 12分19. 证明：（Ⅰ）因为24(1)n n S a =+①，所以当2n 时，有2114(1)n n S a −−=+② 所以①−②，得221(1)(1)n n a a −−=+2分 所以有12n n a a −−=或10n n a a −+=又因为{}n a 是正项数列所以12n n a a −−=所以数列{}n a 是公差为2的等差数列4分又因为1n =时，有2114(1)a a =+，解得11a =所以21n a n =−6分 （Ⅱ）法一： 由（Ⅰ）可得2(121)2n n n S n +−==7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T =<，当2n =时，2156114436T =+=<， 当3n =时，31149611493636T =++=<9分当4n 时，因为21111(2)(1)1n n n n n n <=−−−第18题图第4页所以1111111114934451n T n n <+++−+−++−−611613636n =−< 综上对任意*n N ∈，有6136n T <12分 法二：由（Ⅰ）可得2(121)2n n n Sn +−== 7分 所以21n b n = 所以222111123n T n=++++ 当1n =时，161136T=<，当2n =时，2156114436T =+=<， 9分 当3n 时，因为2211111()(2)1211n n n n n <=−−−+ 所以111111115111111()()4224351142231n T n n n n <++−+−++−=++−−−++5111561()321336n n =−+<<+ 综上对任意*n N ∈，有6136n T < 12分20.解（Ⅰ）①设甲向前跳的步数为Y ，乙向前跳的步数为Z 所以1(2)(2)4p Y p Z ==== 1(3)(3)2p Y p Z ====1(4)(4)4p Y p Z ====所以111115()()2442416p Y Z >=⨯+⨯+= 3分 ②由①知X 的所有可能取值为4,5,6,7,8所以1(4)16p X ==,1(5)4p X ==,3(6)8p X ==,1(7)4p X ==,1(8)16p X == 所以X 的分布列为5分第5页所以X 的数学期望11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=6分 （Ⅱ）法一由题知1213,24p p == 当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+8分 211223211111()()()()()2422n n n n n n n n p p p p p p p p −−−−−−−=−−=−==−−=− 所以11()2n n n p p −=+− 1132211111()()()()()22222n n n n n p p −−−=+−+−==+−+−++− 所以112()323n n p =−+（3n ≥） 因为1213,24p p ==所以112()323n n p =−+ 11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p = 12分 法二 由题知1213,24p p ==当3n ≥时，121122n n n p p p −−=+ 8分 1121()2n n n n p p p p −−−−=−−，所以11212n n n n p p p p −−−−=−− 所以1{}n n p p −−是首项为14，公比为12−的等比数列 所以11()2n n n p p −−=−， 所以112211()()()n n n n n p p p p p p p p −−−=−+−++−+121111()()()2222n n −=−+−++−+111[1()]111242()123231()2n n −−−=+=−+−−11分 当n 为奇数时23n p <，当n 为偶数时23n p >且数列{}n p 为递减数列 所以n p 的最大值为234p =12分21解：（Ⅰ）方法一：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c =所以1(1,0)F −，2(1,0)F 所以1253||||422PF PF +=+=2分 所以24a =，2a =所以2223b a c =−=所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=4分方法二：设半焦距为c ，因为221PF F F ⊥，所以1c = 由题意得222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，2分 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.4分 解（Ⅱ）方法一：设直线:(1)l y k x =−，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y 由题知(2,0),(2,0)A B −联立22(1)3412y k x x y =−⎧⎨+=⎩，消y 整理得2222(34)84120k x k x k +−+−= 所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分由,,A M Q 三点共线可得010122y y x x =++ 由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−− 所以222012222021(2)(2)(2)(2)x y x x y x −−=++ 因为2222112233(4),(4)44y x y x =−=− 所以2012121220121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2)42()x x x x x x x x x x x x x x −−−−++==++++++9分 所以222220222022164124(2)1343416412(2)943434k k x k k k k x k k −−+−++==−+++++由题可知02x > 所以002123x x −=+解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 方法二：设直线:1l x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)Q x y由题知(2,0),(2,0)A B −联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消x 整理得22(34)690t y ty ++−= 所以122122634934ty y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩6分 所以有12123()2y y y y t =+由,,A M Q 三点共线可得010122y yx x =++由,,B N Q 三点共线可得020222y y x x =−−8分 所以01212121021211222(2)(1)2(2)(3)3x y x y ty ty y y x y x y ty ty y y −−−−===++++因为12123()2y y y y t=+ 所以121001223()212323()32y y y x x y y y +−−==+++10分 解得04x =11分 所以点Q 在直线4x =上12分 22.（Ⅰ）解：因为()ln f x x x ax a =−+(0)x >所以()ln 1f x x a '=+−由()0f x '>得1a x e −>由()0f x '<得10a x e −<<所以()f x 的单调递减区间为1(0,)a e−，单调递增区间为1(,)a e −+∞2分 所以函数()f x 有极小值点1a x e −=，无极大值点4分 （Ⅱ）证法一：证明：由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号5分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e −−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号7分令()()h x g x x =−，则1()ln x x m h x x x e −+'=− 因为1m − 所以111e e x x x x m −−−+ 所以()0h x ' 因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零 所以()h x 在(0,)+∞为增函数10分不妨设120x x >>则12()()h x h x >所以1122()()g x x g x x −>− 所以1212()()1g x g x x x −>−12分 证法二：证明:不妨设120x x >> 若证1212()()1g x g x x x −>−成立 只需证1122()()g x x g x x −>−成立令()()h x g x x =−即证12()()h x h x >5分 只需证()h x 在(0,)+∞为增函数因为函数()h x 在(0,)+∞的任意子区间内不恒为零所以只需证()0h x ' 由题有1()ln x x m h x x x e−+'=− 即证1ln x x m x x e−+7分 因为1m −只需证11ln x x x x e−−8分 由（1）可知当1a =时，()0f x所以ln 1x x x −，当且仅当1x =时取等号10分 又因为1111(1)(1)1x x x x x e x e e−−−−−−−−= 当01x <<时110,10x x e −−<−<，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 当1x =时，11(1)(1)0x x x e e−−−−= 当1x >时，110,10x x e −−>−>，所以11(1)(1)0x x x e e −−−−> 所以0x >时111x x x e−−−，当且仅当1x =时取等号 所以11ln x x x x e −−成立，当且仅当1x =时取等号 所以1212()()1g x g x x x −>−成立.12分2021年高三第一次模拟考试数学试题注意事项：］.答卷前，考生务必将自己的的：名、准考证号填写；（E答屈卡上。
2021年辽宁省大连市高考数学一模试卷(附答案详解).d
2021年辽宁省大连市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知集合A={x|x2−4x<0}，B={x||x|<2}，则A∪B=()A. (0,2)B. (−2,4)C. (−∞,2)∪(4,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)2.(2021·安徽省·模拟题)已知z=2i1+i，i是虚数单位，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知两条不重合的直线m、n和平面α，则m//n的一个充分不必要条件是()A. m⊄α，n⊂αB. m//α，n//αC. m⊥α，n⊥αD. m//α，n⊂α4.(2021·辽宁省大连市·模拟题)熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1865年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用.在数学中，利用熵可以解决如下问题：有n个互不相等的数，需要比较[(log2n！)]次(n!表示n的阶乘；[x]表示的是向上取整函数，如[2.1]=3)就可以将这些数从小到大排序.现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为()A. 8B. 9C. 10D. 115.(2021·辽宁省大连市·模拟题)若双曲线C：x29−y2b2=1的右焦点到它的一条渐近线的距离是3√3，则C的离心率为()A. 2B. √3C. 43D. 2√336.(2021·辽宁省大连市·模拟题)我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则P(B|A)=()A. 15B. 310C. 35D. 347.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知函数f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<π2)，曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线与直线√3x−3y+1=0互相垂直，则函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到图象的解析式是()A. y=2cos(x−π3) B. y=2cosxC. y=2cos(x+π6) D. y=2cos(x+π3)8.(2021·辽宁省大连市·模拟题)如图所示，在三棱锥A−BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2CB=4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 32πB. 40πC. 40√103π D. 64√23π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.(2021·辽宁省大连市·模拟题)《高中数学课程标准》(2017版)给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是()A. 甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B. 甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C. 甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D. 乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高10.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知a>0，b>0，且4a+b=ab，则()A. ab ≥16B. 2a +b ≥6+4√2C. a −b <0D. 1a 2+16b 2≥1211. (2021·辽宁省大连市·模拟题)已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−2，焦点为F ，O 为坐标原点，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是C 上两点，则下列说法正确的是( )A. 点F 的坐标为(0,2)B. 若|AB|=16，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为8C. 若直线AB 过点(0,4)，则以AB 为直径的圆过点OD. 若直线OA 与OB 的斜率之积为−14，则直线AB 过点F12. (2021·重庆市市辖区·模拟题)已知函数f(x)=lg(√x 2−2x +2−x +1),g(x)=2x +62x +2，则下列说法正确的是( )A. f(x)是奇函数B. g(x)的图象关于点(1,2)对称C. 若函数F(x)=f(x)+g(x)在x ∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N =4D. 令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a +1)>4，则实数a 的取值范围是(−1,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·辽宁省大连市·模拟题)二项式(1+x)5展开式中含x 2项的系数为______ ． 14. (2021·辽宁省大连市·模拟题)我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”是指从塔的顶层到底层).则宝塔的顶层有______ 盏灯．15. (2021·辽宁省大连市·模拟题)已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，∠BAD =π3，平面内有动点E ，满足|ED|=2|EC|，则(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______ ． 16. (2021·辽宁省大连市·模拟题)△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若该三角形的面积为√5，且sin(A −B)=(3−4cosA)sinB ，则c 的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (2021·辽宁省大连市·模拟题)如图，AB 是底部不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)(Ⅰ)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB 的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式．(Ⅱ)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差情况进行说明．18.(2021·辽宁省大连市·模拟题)如图，在三棱台ABC−DEF中，平面ABED⊥平面BCFE，AB=1．BA⊥BC，BC=3，BE=DE=DA=12(Ⅰ)求证：AE⊥平面BCFE；(Ⅱ)求直线DF与平面AEF所成角的正弦值．19.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知正项数列{a n}前n项之和为S n，满足4S n=(a n+1)2．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)若数列{b n}满足b n=1S n ，其前n项和为T n，证明：T n<6136．20.(2021·辽宁省大连市·模拟题)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．(Ⅰ)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．(Ⅱ)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N∗)的概率记为p n，求p n的最大值．21.(2021·辽宁省大连市·模拟题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,32)在C上，且PF2⊥F2F1．(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与坐标轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上．22.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=xlnx−ax+a，a∈R．(Ⅰ)求f(x)的极值点；(Ⅱ)若g(x)=12x2lnx+x+m+1e x−1−14x2+x，证明：对任意m∈(−∞,−1]，x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，有g(x1)−g(x2)x1−x2>1．答案和解析1.【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】解：集合A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={x||x|<2}={x|−2<x<2}，∴A∪B={x|−2<x<4}=(−2,4)．故选：B．求出集合A，B，利用并集定义能求出A∪B．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】B【知识点】复数的模、复数的四则运算【解析】解：∵已知z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)=1+i，∴|z|=√2，故选：B．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．本题主要考查复数的模的定义和求法，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断、空间中直线与平面的位置关系【解析】解：A：由m⊄α，n⊂α，得m与n可能平行，相交，异面，∴A错误，B：由m//α，n//α，得m与n可能平行，相交，异面，∴B错误，C：由m⊥α，n⊥α，根据垂直同一平面的两直线平行，得m//n，反之不一定成立，∴C 正确，D：由m//α，n⊂α，得m与n可能平行，相交，异面，∴D错误，故选：C．直接利用线面垂直的判定和性质，线面平行的判定和性质得出结果．本题考查线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的空间想象能力的应用，属于基础题型．4.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：根据题意有6个互不相等的数，需要比较[(log 26！)]次， ∵log 26！=log 2720，且9=log 2512<log 2720<log 21024=10， ∴[(log 26！)]=10， 故选：C ．根据题意得出有6个互不相等的数，需要比较[(log 26！)]次，然后进行计算得出结论． 本题考查归纳推理，属于基础题．5.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义 【解析】解：根据题意，设双曲线C ：x 29−y 2b 2=1的一个焦点为(c,0)，其中一条渐近线的方程为y =b3x ，即bx −3y =0， 若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为3√3， 则有√a 2+b 2=b =3√3， 则c =√a 2+b 2=6，则双曲线的离心率e =ca =63=2； 故选：A ．根据题意，设双曲线的焦点为(c,0)，由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得√a 2+b 2=b =√3，可得b 的值，由双曲线的几何性质计算求出c 的值，由离心率公式即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．6.【答案】D【知识点】条件概率【解析】解：某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A 表示选出的两种中有一药，事件B 表示选出的两种中有一方， 则P(A)=C 32+C 31C 31C 62=45，P(AB)=C31C31C62=35，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=3545=34．故选：D．利用古典概型分别求出P(A)，P(AB)，由此能求出P(B|A)．本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．7.【答案】A【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<π2)，则f′(x)=2cos(x+φ)，因为曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线与直线√3x−3y+1=0互相垂直，故f′(π2)=2cos(π2+φ)=−2sinφ=−√3，所以sinφ=√32，又|φ|<π2，所以φ=π3，故f(x)=2sin(x+π3)，则函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到图象的解析式为y=2sin(x−π6+π3)=2sin(x+π6)=2cos(x−π3)．故选：A．利用导数的几何意义求出φ的值，从而得到f(x)的解析式，然后再利用图象的变换法则进行求解即可．本题考查了曲线的切线的应用，主要考查了导数几何意义的理解和应用，特殊角的三角函数的应用，三角函数的图象变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【知识点】球的表面积和体积【解析】解：设CD的中点为M，因为三角形ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，所以AM=DM=CM=2√2，且AM⊥CD，过M作MN⊥CD，又平面ACD⊥平面BCD，且平面ACD与平面BCD的交线为CD，所以MN⊥平面ACD，AM⊥平面BCD，则三棱锥的外接球球心在MN上，设外接球的半径为R，由AB⊥BC，则AB=2√3，AM⊥BM，则BM=√(2√3)2−(2√2)2=2=BC，又CM2=BM2+BC2，所以三角形BCM为等腰直角三角形，设球心为O，CM的中点为P，则MP=CP=BP=√2，则OM=√R2−CM2=√OB2−PM2−BP，即√R2−(2√2)2=√R2−(√2)2−√2，解得R=√10，所以三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×10=40π，故选：B．根据三棱锥的图形的特征找到球心的位置，然后根据勾股定理求出半径，进而可以求解．本题考查了求解三棱锥的外接球的表面积问题，考查了数形结合思想以及学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AC【知识点】总体密度曲线、频率分布直方图【解析】解：根据雷达图可看出，甲的数学运算素养为5分，乙的为4分，∴A正确；甲的逻辑推理素养为4分，乙的为5分，∴B错误；甲的六个核心素养中只有数学运算素养为5分，∴C正确；乙的六个核心素养中，有3个为5分，∴D错误．故选：AC．根据雷达图即可判断每个选项的正误，从而得出正确的说法．本题考查了对雷达图的理解及看图能力，属于基础题．10.【答案】ABD【知识点】基本不等式【解析】解：a>0，b>0，ab=4a+b≥2√4ab，当且仅当a=b时取等号，解得ab≥16，即ab的最小值为16，A正确；由已知得4b +1a=1，所以2a+b=(2a+b)(4b +1a)=6+8ab+ba≥6+2√8ab⋅ba=6+4√2，当且仅当8a b =ba 时取等号，B 正确；由已知无法判断a ，b 的大小，故a −b <0无法判断，C 错误； 因为4b +1a =1， 所以1a =1−4b ，所以1a 2+16b 2=1−8b +32b 2，结合二次函数的性质可知1b =18，即b =8时取等号，此时取得最小值12， 故以1a 2+16b 2≥12，D 正确． 故选：ABD ．由已知结合基本不等式及相关结论，二次函数的性质分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题．11.【答案】AD【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：∵抛物线C ：x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−2， ∴C 的解析式为：x 2=8y ，对于A ：准线方程为y =−2，故焦点F(0,2)，故A 正确； 对于B ：设l AB ：y =kx +b(k ≠0)，则{y =kx +b x 2=8y，整理得：x 2−8kx −8b =0，故x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−8b ，故AB 中点为(4k,4k 2+b)， ∵|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 2+32b =16， ∴b =81+k2−2k 2，∴d =4k 2+b =81+k2+2k 2=81+k 2+2(k 2+1)−2≥2√16−2=6，当且仅当81+k 2=2(k 2+1)时“=”成立，当k =0时，距离是8，6<8，所以最小值为6，故B 错误；对于C ：设l AB ：y =kx +4，则b =4，则|AB|=√1+k 2⋅√64k 2+32b =8√1+k 2⋅√k 2+2，AB 的中点(4k,4k 2+4)到O 的距离d =4√k 4+3k 2+1≠|AB|2，故以AB 为直径的圆不过点O ，故C 错误； 对于D ：K OA ⋅K OB =y 1x 1⋅y 2x 2=x 128⋅x 228x1⋅x 2=x 1x 264=−14，∴x 1x 2=−16=−8b ，故b =2，即l AB ：y =kx +2，过F(0,2)，故D 正确．故选：AD ．根据准线方程求出焦点，判断A ，设出直线AB 的方程，联立方程组，求出AB ，结合基本不等式的性质判断B ，根据弦长公式判断C ，根据斜率之积为−14，求出b ，判断D ． 本题考查了抛物线的方程及性质，考查弦长公式以及中点坐标公式，考查转化思想，是中档题．12.【答案】BCD【知识点】函数的奇偶性、函数的最值、命题及其关系【解析】解：A ：∵√x 2−2x +2−x +1=√(x −1)2+1−(x −1)>0恒成立，∴函数f(x)的定义域为R ，∵f(0)=lg(√2+1)≠0，∴f(x)不是奇函数，∴A 错误， B ：将g(x)的图象向下平移两个单位得y =2x +62x +2−2=2−2x2+2x ， 向左平移一个单位得ℎ(x)=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，∵ℎ(−x)=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x)，∴ℎ(x)图象关于(0,0)对称， ∴g(x)的图象关于(1,2)对称，∴B 正确，C ：将f(x)的图象向左平移一个单位得m(x)=lg(√x 2+1−x)，∵m(−x)+m(x)=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0，∴m(x)为奇函数， f(x)关于(1,0)对称，∴F(x)若在1+a 处取得最大值，则F(x)在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，∴C 正确，D ：F(a)+F(−2a +1)>4⇔f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， f(x)=lg(√(x −1)2+1−x +1)=−lg[√(x −1)2+1+(x −1)]， 设m(x)=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， ∵t′=√x 2+11=√x 2+1+x √x 2+1>0，∴t =√x 2+1−x 为增函数，∴m(x)=lg(√x 2+1−x)为增函数，∴f(x)=lg(√(x −1)2+1−x +1)=−lg[√(x −1)2+1+(x −1)]为减函数， 又g(x)=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，∴F(x)为减函数，∵F(x)的图象关于(1,2)对称，∴F(a)+F(−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)∴F(−2a +1)>F(2−a)则−2a+1<2−a，∴a>−1，∴D正确．故选：BCD．利用奇偶性的定义可得A错误，利用图象的平移可得B正确，利用平移和奇偶性可得C 正确，利用单调性可得D正确．本题综合考查了函数的奇偶性、对称性，单调性，用好定义是解题的关键．13.【答案】10【知识点】二项式定理【解析】解：由于二项式(1+x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅x r，r=0，1， (5)故展开式中含x2的项的系数是C52=10，故答案为：10．由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含x2的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】3【知识点】等比数列的求和、数列的综合应用【解析】解：根据题意，设从上到下，每层的灯的数目组成数列{a n}，则数列{a n}是公比为2的等比数列，=127a1=381，则有S7=a1(1−27)1−2解可得a1=3，即宝塔的顶层有3盏灯，故答案为：3．根据题意，设从上到下，每层的灯的数目组成数列{a n}，由等比数列的定义可得数列{a n}是公比为2的等比数列，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．15.【答案】[12,24]【知识点】向量的数量积，【解析】解：因为平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠BAD=π3建立如图所示坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5,2√3)，D(2,2√3)， 设E(x,y)，∵平面内有动点E ，满足|ED|=2|EC|，∴(x −2)2+(y −2)2=4[(x −5)2+(y −2√3)2]， 即：(x −6)2+(y −2√3)2=4， 故(x −6)2≤4⇒4≤x ≤8，∵(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0)⋅(x,y)=3x ∈[12，24]． 故答案为：[12,24]．建立坐标系，求出各点的坐标，再结合|ED|=2|EC|，求出点E 的坐标满足的等式，最后结合数量积即可求解结论．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】√10【知识点】正弦定理【解析】解：因为sin(A −B)=(3−4cosA)sinB ， 所以sinAcosB −sinBcosA =3sinB −4sinBcosA ， 即sinAcosB =3sinB(1−cosA)， 故a ×a 2+c 2−b 22ac=3b ×(1−b 2+c 2−a 22bc)，整理得b 2+c 2−a 2=3bc −c 2， 所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =3bc−c 22bc=32−c 2b，因为S △ABC =12bcsinA =√5，所以sinA =2√5bc，因为sin 2A +cos 2A =1，所以(2√5bc)2+(32−c2b )2=1，化简得，54b 2−3c 2⋅b +c 24+20c 2=0，由△=(−3c2)2−4⋅54⋅(c24+20c2)≥0，得c4≥100，所以c≥√10，所以c的最小值为√10．故答案为：√10．根据两角差的正弦公式可将原等式变形为sinAcosB=3sinB(1−cosA)，再结合正弦、余弦定理，将角全部化为边，可推出cosA=32−c2b；由S=12bcsinA，可得sinA=2√5bc，然后代入sin2A+cos2A=1，并将其整理成关于b的一元二次方程，由△≥0，得解．本题考查解三角形的应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和两角差的正弦公式，将问题转化为一元二次方程根的问题是解题的关键，考查转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)选用测角仪与米尺即可，如图所示：①选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上；②在H、G两点用测角仪测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测得测角仪的高度是h；③经计算得建筑物AB=asinαsinβsin(α−β)+ℎ(或atanαtanβtanα−tanβ+ℎ)；(Ⅱ)①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替测角仪的高度．(注：如果有其它的合理测量方法，相应给分；第二问中，写出以上三种原因中之一即可)．【知识点】解三角形的实际应用【解析】(Ⅰ)选用测角仪与米尺，画出图形，利用测角仪测得角度，利用米尺测得测角仪的高度和基线的长，利用解三角形的知识求出建筑物的高度；(Ⅱ)从测量工具、两次测量时位置的间距差和用身高代替测角仪的高度等方面考虑． 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了实践操作能力，是中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：取AB 中点M ，连接ME 、MD ，因为BE =DE =DA =12AB =1，所以四边形ADEM 和四边形BEDM 都是菱形，△MBE 为正三角形，所以AE ⊥MD ，因为BE//MD ，所以AE ⊥BE ，因为平面ABED ⊥平面BCFE ，平面ABED ∩平面BCFE =BE ， 所以AE ⊥平面BCFE ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AE ⊥平面BCFE ，所以AE ⊥EF ，因为BA ⊥BC ，所以EF ⊥ED ，又因为AE ∩ED =E ，所以EF ⊥平面ADE ， 因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AED ， 因为DN ⊥AE ，所以DN ⊥平面AEF ， DN =12MD =12，在三棱台ABC −DEF 中，因为ED =12AB ，所以DF =12AC =√AB 2+BC 2=√132，所以直线DF 与平面AEF 成角的正弦值为DNDF =12√132=√1313．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(Ⅰ)只须证明AE 垂直于平面ABED 和平面BCFE 的交线BE 即可；(Ⅱ)根据直线与平面成角定义计算．本题考查了直线与平面垂直的判定问题，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)正项数列{a n }前n 项之和为S n ，满足4S n =(a n +1)2.①当n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2.②①−②得：a n −a n−1=2或a n +a n−1=0(舍去)， 故a n −a n−1=2， 当n =1时，解得a 1=1，所以a n =2n −1． 证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：S n =n(1+2n−1)2=n 2，所以b n =1n 2，所以T n =1+122+132+⋯+1n 2， 当n =1时，T 1=1<6136， 当n =2时，T 2=1+14=54<6136， 当n =3时，T 3=1+14+19=4936<6136，当n ≥4时，由于1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ≥2)，则T n <1+14+19+13−14+14−15+⋯+1n−1−1n =6136−1n <6136． 故T n <6136．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式的应用和等差数列的定义求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用求和公式和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等差数列的求和，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)①设甲向前跳的频数为Y ，乙向前跳的频数为Z ，则P(Y =2)=P(Z =2)=14， P(Y =3)=P(Z =3)=12，P(Y =4)=P(Z =4)=14，∴P(Y >Z)=12×14+14×(12+14)=516．②由①知X 的所有可能取值为4，5，6，7，8， ∴P(X =4)=116，P(X =5)=14，P(X =6)=38， P(X =7)=14，P(X =8)=116， ∴X 的分布列为：∴E(X)=4×116+5×14+6×38+7×14+8×116=6．(Ⅱ)由题意知p 1=12，p 2=34， 当n ≥3时，p n =12p n−1+12p n−2，p n −p n−1=−12(p n−1−p n−2)=14(p n−2−p n−3)=⋯=(−12)n−2(p 2−p 1)=(−12)n ，∴p n =13(−12)n +23，(n ≥3)， ∵p 1=12，p 2=34，∴p n =13(−12)n +23， 当n 为奇数时，p n <23，当n 为偶数时，P n >23，且数列{P n }为递减数列， ∴p n 的最大值为34．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)①设甲向前跳的频数为Y ，乙向前跳的频数为Z ，则P(Y =2)=P(Z =2)=14，P(Y =3)=P(Z =3)=12，P(Y =4)=P(Z =4)=14，由此能求出P(Y >Z)． ②由①知X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．(Ⅱ)由p 1=12，p 2=34，当n ≥3时，p n =12p n−1+12p n−2，推导出p n =13(−12)n +23，(n ≥3)，从而p n =13(−12)n +23，当n 为奇数时，p n <23，当n 为偶数时，P n >23，且数列{P n }为递减数列，由此能求出p n 的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵PF 2⊥F 2F 1；∴c =1，则F 1(−1,0)，F 1(−1,0)， ∴|PF 2|+|PF 1|=52+32=4=2a ， ∴a =2，b 2=3，∴C 的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)证明设直线y =k(x −1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(x 0,y 0)， 由题意知A(−2,0)，B(2,0)，联立直线和椭圆得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，由A ，M ，Q 三点共线得y 0x 0+2=y 1x 1+2， 由B ，N ，Q 三点共线得y 0x 0−2=y 2x 2−2， 所以(x 0−2)2(x0+2)2=y 12(x 2−2)2y 22(x1+2)2，代入y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)， 所以(x 0−2)2(x 0+2)2=4−2(x 1+x 2)+x 1x24+2(x 1+x 2)+x 1x 2，代入x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，化简得(x 0−2)2(x+2)2=19， 由题意知x 0>2， 解得x 0=4，所以点Q 在直线x =4上．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由题意知c ，然后根据|PF 2|+|PF 1|=2a 可求出a ，可得方程， (Ⅱ)由A ，M ，Q 三点共线得y 0x 0+2=y 1x 1+2，由B ，N ，Q 三点共线得y 0x 0−2=y 2x 2−2，联立，消去y ，再消去x ，可得．本题考查直线与椭圆的综合应用，计算比较复杂，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=xlnx −ax +a(x >0)，∴f′(x)=lnx +1−a ， 由f′(x)>0，解得：x >e a−1， 由f′(x)<0，解得：0<x <e a−1， 故f(x)在(0,e a−1)递减，在(e a−1,+∞)递增， 故函数f(x)有极小值点x =e a−1，无极大值点； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知当a =1时，f(x)≥0， 故xlnx ≥x −1，当且仅当x =1时“=”成立，又x−1−x−1e x−1=(x−1)(e x−1−1)e x−1，当0<x<1时，x−1<0，e x−1−1<0，故(x−1)(e x−1−1)e x−1>0，当x=1时，(x−1)(e x−1−1)e x−1=0，当x>1时，x−1>0，e x−1−1<0，故(x−1)(e x−1−1)e x−1>0，故x>0时，x−1≥x−1e x−1，当且仅当x=1时“=”成立，故xlnx≥x−1e x−1成立，当且仅当x=1时“=”成立，令ℎ(x)=g(x)−x，则ℎ′(x)=xlnx−x+me x−1，∵m≤−1，∴x−1e x−1≥x+me x−1，∴ℎ′(x)≥0，∵函数ℎ(x)在(0,+∞)的任意子区间内不恒为0，故ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，不妨设x1>x2>0，则ℎ(x1)>ℎ(x2)，故g(x1)−x1>g(x2)−x2，故g(x1)−g(x2)x1−x2>1．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；(Ⅱ)求出xlnx≥x−1，得到xlnx≥x−1e x−1成立，当且仅当x=1时“=”成立，令ℎ(x)= g(x)−x，求出函数的导数，结合m≤−1，得到ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．。
2020-2021大连市高二数学上期末第一次模拟试卷(及答案)
2020-2021大连市高二数学上期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①2．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．813．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯5．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．16．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.57．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．358．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <9．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③10．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3211．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．16．袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X ==_______．17．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．18．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______． 19．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．20．在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是__________．三、解答题21．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．22．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm ），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm 的为优质树苗.（1）求图中a 的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗 60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k …0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82823．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,...,90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数. 24．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．25．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A，2A，3A，乙协会编号为4A，丙协会编号分别为5A，6A，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.年网民26．随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从20092018人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据.（互联网普及率=（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率=（手机网民人数/人口总数）×100%） （Ⅰ）从20092018-这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X 为手机网民普及率超过50%的年数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记20092018-年中国网民人数的方差为21s ，手机网民人数的方差为22s ，试判断21s 与22s 的大小关系.（只需写出结论）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 2．A解析：A 【解析】 【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.5．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项. 【详解】由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误； 由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.74.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+， 当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.9．C解析：C【解析】【分析】【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选C.10．D解析：D【解析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论. 【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D. 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.11．A解析：A 【解析】 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P ==, 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P-=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】设实数x∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7⩾55解析：38【解析】设实数x∈[1,9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7⩾55，得x⩾6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为963918 P-==-.故答案为3 8 .14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：1 3【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD 上时，BEBC >，求出劣弧CD 的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A ={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点， 当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >， 设圆的半径为r ，劣弧CD 的长度是23rπ， 圆的周长为2r π，所以()21323rP A r ππ==，故答案为13. 【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.15．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考解析：2 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念结合2544262=⨯+，可得最后结果为2. 【详解】学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除. ∵2544262=⨯+，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为2. 【点睛】本题主要考查系统抽样，属于基础题；从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N 个个体进行编号；（2）当Nn为整数时，抽样距即为N n ；当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N'能被n整除．16．【解析】【分析】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球由古典概型求得概率【详解】由题意可知最后一次取到的是红球前3次有1次取到红球所以填【点睛】求古典概型的概率关键是正确求出基本事件总数解析：4 27【解析】【分析】由题意可知最后一次取到的是红球，前3次有1次取到红球，由古典概型求得概率。
2020年辽宁大连市高三第一次模拟考试理数试题(含答案)
2020年辽宁大连市高三第一次模拟考试数学(理科)本试卷共6页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其中第II卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则集合A∩B为(A){－2，－1，0，1，2}(B){－1，0，1，2}(C){－1，0，1，2，3}(D){－2，－1，0，1，2，3}(2)若复数z满足z(1＋i)＝2，则z的虚部为(A)－1(B)1(C)－i(D)i(3)下列函数中是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数的是(A)y＝ln|x|(B)y＝cosx(C)y＝－x2(D)y＝x3(4)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4＋a5＝12，则S8的值为(A)14(B)28(C)36(D)48(5)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35µg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m'空气质量为二级，超过7Sµg/m3为超标。
如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位：µg/m3)的日均值，则下列说法正确的是(A)10天中PM2.5日均值最低的是1月3日(B)从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高(C)这10天中恰有5天空气质量不超标(D)这10天中PM2.5日均值的中位数是43(6)已知抛物线y 2＝4x.上点B(在第一象限)到焦点F 距离为5，则点B 坐标为(A)(1，1)(B)(2，3)(C)(4，4)(D)(43)(7)设非零向量m ，n ，则“m ⊥n ”是“|m ＋2n|＝|m －2n|”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)如图是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的部分图象，则ω，φ的值分别为(A)1，3π(B)1，－6π(C)2，－6π(D)2，6π(9)设数列{a n }的前n 项和为S n 。
2020大连高三第一次模拟考试数学文科(试题)试卷答案
(2 + 2 ) x2 2sin x2 − x22 + 2 x2 = (2 + 2 ) x1
x2 x1 x2 − x1 0 得证. ....... .... ....... ........... ............12 分
(22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（13） 4 ； （14） 2 ； (15) 1； 16．100 .
三. 解答题 （17）(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题意可知 f (x) = 2sin x cos x − 2 cos2 (x + ) = 2sin 2x −1，...3 分 4
由 2k − 2x 2k + (k z) ，．.. ....... .... ..................4 分
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题 （1）（B）；（2）（A）；（3）（A）；（4）（D）；（5）（D）；（6）（C）；（7）
（C）；（8）（D）；（9）（B）； （10）（D）；（11）(C)；（12）（A）. 二.填空题
4
| AF | 3 + cos2 cos +
3
1(当且仅当cos =1时取得等号）......12 分
cos
(21)（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意得： f ( x) = 2sin x − x2 + 2 x ，定义域为 xR .
f ( x) = 2 cos x − 2x + 2 ，..... .......... ...............................1 分 f ( x) = −2sin x − 2 0 ， f ( x) 在 xR 上为减函数.
2020-2021高三数学上期末一模试卷(及答案)(3)
2020-2021高三数学上期末一模试卷(及答案)(3)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100C ．-110D ．1103．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD6．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4017．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-8．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．329．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．3210．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ． 16．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当42b =2a c =，ABC ∆的面积为______.17．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．18．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．19．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.三、解答题21．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值．22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A ．{2}4，B ．{16}，C ．{3}5，D ．{1}2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数3．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠4．已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若a c b c ⊥⊥，，则//a bB ．若////a b a α，，则//b αC ．若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D ．若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5．将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种6．若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．13-D ．17．设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B ．复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C ．复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D ．复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10．已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线12y =+是一条切线D ．()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11．已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是减函数C ．0f=D ．1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12．“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．13．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ⊥；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16．已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．(1)求曲线G 的方程：(2)若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19．对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．1．C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C 2．B【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．D【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4．D【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D 5．B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6．A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 2sin 4παα⎛⎫- ⎪⎝⎭得()22225cos sin cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7．C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x xf x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe e x xg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sinπe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8．A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a=+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ==，所以==ce a故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.9．BCD【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππ22cos isin i 1i 4422z ⎫⎫=--=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD.10．BC【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得0x ≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC 11．ACD【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f=∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.12．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13．24π[]π,6π【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r =（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14．【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：15．(1)证明见解析(3)14AP AD =，作图见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；（2） FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,21,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-=== ⎝，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m =，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,42cos ,22n m n m n m⎛⋅- ⋅===-⋅，所以平面与BCEF 与平面FGH（3）如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16．(1)1a ≥-(2)证明见解析【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x xx x x ->，1x >，再构造函数得到e e xx >，得到()()e 1e 1x x x x->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【详解】（1）由已知得，1ln a x x-≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x-=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；（2）法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x xx x x->，设()()e e ,e e x xh x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e1xx x x->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1xx x >-成立．即证11ln ex x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17．(1)335(2)分布列见解析，()275E X =(3)()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；（2）X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X3456P1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18．(1)24y x=-(2)（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【详解】（1）设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+==uuu r uuu r()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++=-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；（2）（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，020,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()2220001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+- 点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()00120028401x a y k k y y y -+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19．(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；（3）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021大连市高三数学上期中第一次模拟试卷带答案
2020-2021大连市高三数学上期中第一次模拟试卷带答案一、选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S2．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或73．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）4．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )AB ．34 C ．32或D ．345．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．56．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720207．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 411．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 15．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 18．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．在中，若，则__________． 三、解答题21．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．22．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 25．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长． 26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知222,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.2．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.3．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。