量子力学-变量可分离型的三维定态问题 Ⅲ. 三维各向同性谐振子 Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程
量子力学-变量可分离型的三维定态问题 Ⅰ.有心势 Ⅱ. Hellmann-Feynman定理
Hˆ ,Lˆ 2 ,Lˆ z
Pˆ r2 2m
l(l 1)2 2mr2
R kl
2k 2 2m
R kl
令
k2
2E
2
其中 ， Pˆr
i
1 r
d dr
r＝ i d dr
1 r
k2
2E
2
当 l 0 ，则有
2 2m
1 r
d2 dr 2
r Rk0
2k 2 2m
Rk0
从而得
1
d2 d 2
R k 0
于是有
2 2
2
e2 4 0r
u(r)
Eu(r)
变量分离
u(r)
RnlYlm
l (r) r
Ylm
（要求，当 r 0 ， l 0）
代入得
d2 dr2
l
(r)
l(l r2
1)
l
(r)
2E 2
l (r)
2e2 402r
l (r)
0
要求为束缚态，则 E<0 。令
(
8E 2
)1
2
r
2e2 402
2 1 8E a0
rmax a0n2 ，这与玻尔轨道相同
3) 概率密度随角度的变化：
d unlm
2 r2dr
Ylm
2 d
0
在 (, ) 方向的单位立体角中，发现
粒子的概率为
wlm()
Ylm
2
2l 1 4
(l (l
m)! m)!
Plm (cos)
2
l
wlm()
ml
l
Yl*mYl m
ml
2l 1 4
量子力学课程教学大纲
量子力学课程教学大纲一、课程说明（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；课程名称：量子力学所属专业：物理学专业课程性质：专业基础课学分：4（二）课程简介、目标与任务；课程简介：量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。
课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。
本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。
课程目标与任务：1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。
2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。
3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。
《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。
《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
量子力学讲义6-2(最新版)
x y z
ψ n lm (r , θ , ϕ ) —ψ 011 ,ψ 01−1 ,ψ 010
r
也可取为
ψ n n n —ψ 100 ,ψ 010 ,ψ 001
x y z
可以证明 ⎡ψ 011 ⎤ ⎡ −1/ 2 ⎢ψ ⎥ = ⎢1/ 2 ⎢ 01−1 ⎥ ⎢ ⎢ψ 010 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢
⎣
l = N − 2nr = N , N − 2, N − 4, ,1( N 奇)或0( N 偶)
nr = 0,
1,
2,
N −1 N 或 , 2 2
(17) (18)
E 由此可证明， N 能级的简并度为
例如，N=偶数情况，(对N=奇数,证明类似)
1 f N = ∑ (2l + 1) = ( N + 1)( N + 2) 2 l = 0,2, , N
x y z x y z
1 1 1 Enx ny nz = (nx + ) ω + (n y + ) ω + (nz + ) ω 2 2 2 = ( N + 3 / 2) ω，
(21) 与(14)式相同。类似可求出能级简并度，因为 对于给定N，有 nx = 0, 1, 2, , N − 1, N , n y + nz = N , N − 1, N − 2, , 1, 0,
Rnr l (r ) ∼ r e
l −α 2 r 2 / 2
F (−nr , l + 3 / 2, α 2 r 2 ),
经归一化后，表为
Rnr l (r ) = α
l + 2 − nr 3/ 2
⎡2 (2l + 2nr + 1)!!⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ π nr ![(2l + 1)!!] ⎦
量子力学变量可分离型的三维定态问题
r 0
2 k 。 E klm 2m
对于自由粒子，亦可选 ( p x , p y , p z ) 力学量完全集，其共同本征函数为 作为
2
1 ipr / e u px p y pz (2 1 )3 ikr 2 e ukx k ykz 3 2 (2)
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ z 作为力学量完全集，有 而前述，H 共同本征函数组
1 [ljl 1 (kr) (l 1)jl 1 (kr)]Pl (cos )l 1) j jlPl 1 (cos )] [cl1 l 1Pl (cos ) c l 2l 3 2l 1 l0
即
2 E T V (1 )T m
在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚 态的条件为 0<m<2
即仅当
r 2 V(r)
0 时，才有束缚态。
r0
B．在
r 0 时，径向波函数应满足 rR(r) 0
由径向方程
d2 dr2 (rR(r)) l(l 1) r2 (rR(r)) 2m(E V(r)) h2 (rR(r)) 0
量子力学变量可分离型的三维定态问题
ˆ 不显含 t 时 当 H ， ˆ ih H t 有特解
φ n (r, t) u n (r)e iE n t /
ˆ(r, pˆ)un (r) E n u n (r) H
所以通解为 ψ(r, t) c n φ n (r, t)
n
现处理变量可分离型的位势问题。 §5.1 有心势
2 u klm (r, , ) k jl (kr)Ylm (, )
eikr 可按它展开
e
ik r
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学内蒙古民族大学绪论单元测试1.卢瑟福粒子实验证实了（）。
答案:原子的有核模型2.斯特恩-盖拉赫实验证实（）。
答案:原子的自旋磁矩取向量子化.3.康普顿效应证实了（）。
答案:光的量子性4.戴维逊-革末实验证实了（）答案:电子的波动性5.下列各物体哪个是绝对黑体（）答案:不能反射任何光线的物体6.光电效应证明光具有粒子性。
（）答案:对7.黑体辐射证明光的能量是量子化的，具有粒子属性。
（）答案:对8.电子衍射实验证明电子具有粒子性。
（）答案:错9.写出德布罗意关系式___，___。
答案:null10.Einstein的光量子假说揭示了光的___性。
答案:null11.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么？答案:null12.Bohr的氢原子理论解决了哪些问题？答案:null13.金属的光电效应的红限依赖于什么？答案:null第一章测试1.完全描述微观粒子运动状态的是（）。
答案:波函数2.完全描述微观粒子运动状态变化规律的是（）。
答案:薛定谔方程3.粒子处于定态意味着（）。
答案:粒子的力学平均值及概率密度分布都与时间无关的状态4.一维运动的粒子，所处状态为，则粒子在处单位体积内出现的概率为（）。
答案:5.下列条件不是波函数的必备条件的是（）。
答案:归一6.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:对7.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:错8.写出德布罗意波的表达式]___，___答案:null9.光电效应证明光具有___性。
答案:null10.电子衍射实验证明电子具有___性。
答案:null11.波函数是否自由粒子的能量本征态？为什么？如果是，能量本征值是多少？答案:null12.平面单色波所描述的态下，粒子具有确定的动量，称为动量本征态，动量的本征值为，在动量表象中写出此量子态。
答案:null13.微观粒子与经典粒子的粒子性的相同点是什么？不同点是什么？答案:null第二章测试1.粒子处于宽度为为的无限深对称方势阱中，则粒子的能级为（）。
量子力学定态问题简介
o
L
x
III ( x ) 0
2 可设阱内通解为 II( x) A cos kx B sin kx ——式中A和B是待定常数 由波函数的连续性条件, 有
令
k
2
2mE
则
d 2ΦII ( x) 2 k ΦII ( x) 0 2 dx
？
ΦII(0) 0故Fra bibliotekA 0
kL n ,
金属中的电子由于金属表面势 能（势垒）的束缚被限制在一 个有限的空间范围内运动。
/G2S/Template/View.aspx?act ion=view&courseType=0&courseId=7488
-e -e
-e -e
-e
-e -e
如果金属表面势垒很高，可以 将金属表面看为一刚性盒子。 如果只考虑一维运动，就是一 维刚性盒子。
II (0) I (0) 0 II ( L) III ( L) 0
I
II
V(x) =0
III
V(x) →∞
•在阱内，不含时薛定谔方程为
2 2
V(x) →∞
I ( x ) 0,
d Φ ( x ) E Φ ( x ) II 2 II 2m dx 2 d II ( x) 2mE ( x ) 0 2 2 dx
i Et ˆ E H ( r , t ) ( r ) e i ˆ H Et 0 t ( x, t ) ( x) e x (, ) V(x) •由波函数在阱壁上的连续性,有
2 2 ˆ H V ( x) 2m x 2
定态波函数为:
n ( x)e iEnt /
量子力学的矩阵形式及表示理论 Ⅰ. 量子体系状态的表示 Ⅱ. Dirac 符号介绍
2. 能量与 Px 无关，即每一条能级对
Px是简并的，即简并度是无穷大，所以
npz aPx unpxpz dpx
仍是 Hˆ 的本征态，本征值仍为
Enpz
Pz2 2me
(n
1) 2
qB me
第十六讲
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方 程，恒定均匀场中带电粒子运动。 D. 磁通量的量子化
当
A A A f , f
t
U eiF(r,t),
F(r,
t)
qf
Hˆ 1 (Pˆ qA)2 q V(r) 2
i Hˆ t
这即为量子力学规范不变性。
B. 正常塞曼效应
当氢原子，类氢离子或碱金属等原子 置于较强的外磁场中，将会发现他们的每 一条标志光谱线分裂为三条，这就是通常 称的简单塞曼效应 或正常塞曼效应。( 而 每条能级均分裂成单数能级（2l+1）条， 分裂能是相等的)
e
f
(r,t)
f
(a , t )
而
f
(r,
t
)
r
dr
A (r,
t
)
两条 路径相 位差为
e
r
dr A(r,t)
r
dr A(r,t)
a
a
(路径2）
(路径1）
e
dr
A(r, t )
e
(
A)
ds
s
e
B
ds
e
S
当电子的波函数在无电磁场路径上绕
复连通区域一周，则其相位变化为
第六章 量子力学的矩阵形式及 表示理论
Ⅰ. 量子体系状态的表示
Ⅱ. Dirac 符号介绍
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i Pˆ 2 q A P q2 A2 q V
t 2
2
该方程有性质 1. 概率守恒
i* 1 * P2 q * A P q2 *A2 q* *V
t 2
2
i * 1 P2* q A P* q2 A2* q * V*
t 2
2
i (*) 1 (*Pˆ 2 Pˆ 2* ) q A (*P Pˆ* )
J ej 0 （ Plm (cosθ )是实函数）
J
em r sin
unlm
2
概率电荷通量矢仅在 e 方向上有，
且大小对 对称。因此，通过截面 d
的环电流元为
dI
em r sin
unlm
2 d
环电流产生的磁矩
e
Mz SdI 2 m Bm
B
e 2
9.273 1024焦耳/特斯拉，称为玻尔磁子.
qB 2
Lˆ z
V(r) (r)
E(r)
考虑碱金属和类氢离子 q e ，V(r)
是有心力场。若无磁场时，
Pˆ 2
2
V(r)
unlm
Enlunlm
则
Enlm
Enl
eB m 2
所以，原来是 (2l+1) 重简并的能级，在外
磁场下分裂为(2l+1)条，各条能级的能量
差为
eB 2
L
L
eB 2
称为拉摩频率
n3
5.6 5.7 5.9 5.12 5.15
第十五讲
第五章 变量可分离型的三维定态问题
Ⅲ. 三维各向同性谐振子
A. 本征值和本征函数
B. 本征值和本征波函数性质的讨论
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方
程，恒定均匀场中带电粒子运动。
A. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程 B. 正常塞曼效应 Normal Zeeman
荷为 q 的粒子，在电磁场中的经典哈密顿
量为 H 1 p qA(r,t) 2 q(r,t) 2m
其中 P 为正则动量
因此，在量子力学中，带电粒子在外 电磁场及外场中的薛定谔方程为
i 1 i qA2 q(r,t) V(r)
t 2
取库仓规范 ， A 0 ，得 Pˆ A A Pˆ
由于原子很小，在实验室中，产生的 磁场在原子范围内可看作一均匀场（ B ）
A 1 Br 2
(Ax
,
Ay
, Az
)
1 2
(Byz
Bz y,
Bz x
Bxz,
Bx y
Byx)
取 B 方向为 z 方向，则
A 1 (yB, xB,0) 2
i
t
1 2
(Px
q 2
yB)2
(Py
q 2
xB)2
Pz 2
V( r )
()
l
Yl*m
Ylm
ml
2l 1 4
Pl
(cos0)
2l 1 4
b. 关于氢原子能级和波函数的讨论 4）电流分布和磁矩（电流的概率分布） 根据概率通量矢
j
i 2
(u*nlmunlm
unlmu*nlm )
er
r
e
r
e
1 r sin
概率电荷通量矢为
J ej
其分量 Jr ejr 0 （ Rnl 是实函数）
作为力学量完全集来分类 。
3
Enxnynz
(nx
ny 3
nz
) 2
(N )
2
N nx ny nz
nxnynz unx (x)uny (y)unz (z)
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程， 恒定均匀场中带电粒子运动
A. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程 在经典力学中，当质量为 m 的带有电
由于电子空间运动（处于 unlm 态），
氢原子的磁矩是量子化的
Mz Lz
e 2
gl
e 2
称为轨道回磁比。如取 e 2 为单位，gl 1
这是电子轨道运动产生的磁矩特征。 5） rs 的平均值 (如氢原子处于 unlm 态)
s 1 n2
rs
(2s
1)a0
rs1
s 4
[(2l
1)2
s2
]a
2 0
rs2
0
其中，r0 1
，r 1
1 n2a0
，r 2
(2l
2 1)n3a 02
E. 类氢离子：类氢离子是核中有 z 个
质子，外面仅有一个电子：如
He , Li , Be
只要 e2 ze2 ，并代
a
4ze02 2，而
mNme mN me
，得类氢离子能量本征值
En
ze2 80an
2
Ⅱ. Hellmann－Feynman定理（海尔曼－
m1 m2 m1 m2
的粒子在势场 V(r) 中运动。
P,Er
(R,r,t)
1 (2)3
2
ei(PREPt) /
uEr
(r)eiErt /
pˆ 2
2
V(r
)
uEr
(r)
EruEr
(r)
2. 氢原子：
a. 氢原子的能量本征值和本征函数
相互作用只与质子和电子间的距离
r 有关
2 2
2
e2 4 0r
u(r)
Eu(r)
变量分离
u(r)
RnlYlm
l (r) r
Ylm
代入得
d2 d2
l
()
l(l 1) 2
l
()
l
()
1 4
l
()
0
其中
(
8E 2
)1
2
r
a0
402 e2
1 2 a0 2E
由 0， ，方程的渐近解的
讨论可令
l ()
l1e
1 2
vl
()
代入方程得
vl [2(l 1) ]vl (l 1 )vl 0
这是一合流超几何方程
v [ ]v v 0
它有解 F(, ,) 和 1F( 1,2 ,)
F(, ,) 称为合流超几何函数。
unlm(r,,) RnlYlm
2 na0
3
2
(n l)!
1
2n(n
l
1)!
2
(2l
1
1)! nl
en
2
F(nr ,2l
2,n )
Ylm
n
8En 2
例 有 l=2 和 l=1 两条能级。在无外 场下发生跃迁的光波频率为
E
由偶极矩跃迁选择定则
1
m mi
mf
0
1
eB 2
eB 2
m 1 m 0 m 1
C. 带电粒子在均匀强磁场中的运动
当磁场足够强时，B2 项不能忽。这时
薛定谔方程为
1 (Pˆ qA)2u Eu 2
令 则有
2
m
， r
，
2E
，
2 2
(R)
[
2
l(l 2
1) ](R )
0
当 ，方程的渐近形式为
2 2
(R)
2
(R
)
0
由
2 2
(e2 / 2 )
(e2 / 2 )
e2 2 / 2
e2 /2
~
e2 2 / 2
所以，在 有渐近解
R ~ e2 2
当 0 ，方程的渐近形式为
这时，
Hˆ
Pˆ 2 2M
pˆ 2 2
V(r)
Hˆ R
Hˆ r
[R , Pˆ ] i
Pˆ pˆ 1 pˆ 2 iR
M m1 m2 R m1r1 m2 r2
m1 m2
[x ,pˆ ] i
m1 m2 m1 m2
pˆ
( pˆ 1 m1
pˆ 2 m2
)
ir
r r1 r2
这样，一个体系可看作二部分运动合 成，一是质心运动，它是自由运动；另一 个是相对运动,是一个质量为
费恩曼定理）
若 Hˆ Hˆ () ( 是 Hˆ 中含有的某一参
量)，其本征态 un () ( 已归一) ，本征值 En () 。于是有
un (),
Hˆ ()
un ()
En ()
例如：求 r1,r2 ，
r 1
z a0n2
1 an2
r2
(2l
2 1)2
ze2 40 a n3
(l
1
1 2)a2
qA)
Pˆ
qA
(i
)(
i
qf
)
i qf
e
1 2m
Pˆ
qA
(i
)(
i
qf
) 2
i qf
e
qeiF(r,t) q f eiF(r,t) V(r)eiF(r,t) t
1
Pˆ qA qf
2
i
e
qf
qei F( r ,t )
q
f
eiF(r,t) V(r)eiF(r,t)
2m
t
A A A f ,
从而证得
f t
i 1 (Pˆ qA)2 q V t 2m
Hˆ
即经规范变换
U
ei
qf
，方程的结构形式不
变，物理可观测量保持不变。
B. 正常塞曼效应
当氢原子，类氢离子或碱金属等原子 置于较强的外磁场中，将会发现他们的每 一条标志光谱线分裂为三条，这就是通常 称的简单塞曼效应或正常塞曼效应。（而 原来能级分裂成单数能级（2l+1）条）