241抛物线的标准方程(2)
抛物线的标准方程式是什么
抛物线的标准方程式是什么在数学的广袤世界中，抛物线是一种常见且重要的曲线。
要深入理解抛物线，首先就得搞清楚它的标准方程式是什么。
咱们先来说说抛物线的定义。
简单来讲，平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹就叫做抛物线。
这个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程有四种形式，分别是：第一种，当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，标准方程是 y²＝2px（p ＞ 0）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离。
比如说，如果 p ＝ 2，那么抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
对于这个方程，它的开口是朝右的。
第二种，当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，标准方程是 y²＝－2px（p ＞ 0）。
此时，抛物线的开口是朝左的。
第三种，当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，标准方程是 x²＝2py（p ＞ 0）。
这种情况下，抛物线的开口是朝上的。
第四种，当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，标准方程是 x²＝－2py（p ＞ 0）。
相应地，抛物线的开口是朝下的。
为了更好地理解这些标准方程，咱们来举几个例子。
假设一个抛物线的焦点是 F(1,0) ，准线方程是 x ＝－1 。
因为焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离 p 是 2 ，所以这个抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
再比如，有个抛物线的焦点是 F(0, －2) ，准线方程是 y ＝ 2 。
这时候，焦点在 y 轴的负半轴上，p ＝ 4 ，那么这个抛物线的标准方程就是x²＝－8y 。
那这些标准方程是怎么来的呢？咱们可以通过几何方法来推导。
以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线 y²＝ 2px 为例。
假设抛物线上有一点 P(x,y) ，根据抛物线的定义，点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线的距离。
焦点 F 的坐标是（p/2, 0) ，准线方程是 x ＝ p/2 。
2.4.1-抛物线及其标准方程(2)
A．3 4
B．1
C．5 4
D．7 4
2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线 焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为 ( )
A.( 1 , 1) B. ( 1 ,1) C．(1,2)
4
4
D．(1，－2)
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程 是__________.
得 x＝2，∴点 P 的坐标为(2,2).
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【例3】点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离 小1，求点M的轨迹方程.
解：如图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于 它到直线x+4=0的距离. 根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线.
p
∵ 2=4，∴p=8, 因为焦点在x轴的正半轴 上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【变式训练4】点P与点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距 离小2，求点P的轨迹方程.
解：设点P的坐标为（x, y)，由已知条件 可知，点P与点F的距离等于它到直线 y+2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线.
∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH
与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别
交于点 N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，
|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中，BM∥AN，
∴||BACC||＝||BAMN||＝||BAFF||－ －11．
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是平面几何中的一种曲线，它是一种非常常见且重要的曲线形状。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
抛物线的标准方程是描述抛物线形状的数学表达式，它可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨抛物线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。
抛物线是关于准线对称的，它是一条开口向上或向下的曲线。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上任意一点为P（x,y），则P到焦点的距离为PF，即√((x-p)²+y²)，P到准线的距离为PM，即|x+p|。
根据抛物线的定义可得：√((x-p)²+y²)=|x+p|。
整理得到：(x-p)²+y²=(x+p)²。
展开得到：x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²。
化简得到：y²=4px。
这就是抛物线的标准方程。
从这个方程我们可以看出，抛物线的形状和焦点的位置密切相关，当p为正数时，抛物线开口向右，焦点在右侧；当p为负数时，抛物线开口向左，焦点在左侧。
而抛物线的开口方向由p的正负决定，抛物线的形状由p的大小决定。
抛物线的标准方程还可以进一步转化为其他形式，例如顶点坐标形式和参数方程形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，参数方程形式为x=at²，y=2at。
这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的相关知识，解决各种实际问题。
在物理学中，抛物线的运动规律被广泛应用。
例如，抛物线运动是一种自由落体运动，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线及其标准方程(2)
2.3.1抛物线及其标准方程（2）一、 复习回顾我们前面已经讨论了两种圆锥曲线——椭圆和双曲线，并通过标准方程研究了它们的几何性质。
据我了解，大家最喜欢的是体育课，很多同学尤其喜欢打篮球，队员的一个漂亮的投篮动作，不仅承载了队友的期望，而且也勾勒了一条美丽的弧线，这就是我们介绍的第三种圆锥曲线——抛物线，可见，抛物线就在我们身边。
我相信只要大家能发扬球场上不畏艰辛、勇于拼搏、团结协作精神，一定能把抛物线这部分内容学好，那就让我们一起努力吧！上一节课，我们通过几何作图法做出了抛物线，并归纳总结了定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线（F 不在l 上）这个定点F 叫焦点，定直线l 叫准线。
接着以抛物线的顶点为坐标原点，使焦点F 在x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，得到与之对应的抛物线的标准方程 p 表示焦点到准线的距离，进而又在实际问题中建立了抛物线的方程。
今天这节课将继续学习抛物线的标准方程，为研究其几何性质做好充分的准备。
展示课题1、 抛物线的标准方程（在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的焦点落在坐标轴的其他位置时方程形式会如何？）相同点：①顶点为原点; ②对称轴为坐标轴； ③定点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为2p . 不同点：①一次项变量为x(或y),则焦点在x(或y)轴上；若系数为正，则焦点在正半轴上，若系数为负，则焦点在负半轴上；②焦点在x(或y)轴的正半轴上，开口向右（或上）；焦点在x(或y)轴的负半轴上，开口向左（或向下）。
牢记结构形式：（二次和一次）一次焦点轴，符号定开口。
方程——开口——焦点——准线（同桌互相检查）2、 求焦点、准线例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：()22221y 4;(2)520;(3)2;(4)(0).x x y y x y ax a =-+===≠和准线。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
抛物线及其标准方程 (2)
· · F
H
K
O
· M · F
x
三、标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
K
l
O
y
.F
x
p p 其中 焦点 F（ 2 ，0），准线方程l：x = 2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
分组合作探究：
一条抛物线，由于它在坐标 系中的开口方向不同，方 程类型也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形 式，请同学们分组探究。
分组合作探究：
1、动点P的轨迹是什么曲线？ 2、动点P在运动过程中满足怎 样的几何条件？
二、抛物线定义
( l不经 平面内与一个定点F和一条定直线l 过点F ) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线
其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 l
四、四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y 2 px p ,0 p 0 2
2
准线方程
p x 2
y 2 px p ,0
2
p 0
2
p x 2
p y 2
p x 2 2 py 0,
p 0
2
2
x 2 py p 0
p 0, 2
p y 2
感悟归结:
x, 1、
y 的指数一个一次，一个二次。
2、焦点在一次项字母对应的坐标轴上。
3 、一次项系数的符号决定了抛物线的开口 方向（焦点在坐标轴的正半轴或负半轴）。
五、典型例题
例1：抛物线的标准方程是y2 = 4x， 求它的焦点坐标和准线方程.
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
241抛物线的标准方程
y
H p
M(x,y)
o
Fx
l
(x ? p)2 ? y2 ? x
化简得：y2 ?
2 px ?
p
2
(
p
?
0)
二、标准方程的推导
方案二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于L的直线为 x 轴
建立直角坐标系，设定点 F到直线 l的距离为p，动点 M(x, y)
则定点 F(0,0) ，直线l的方程 x ?? p ，由抛物线的定义
把点A（3,2）代入方程
，解得p= ，
∴其标准方程为
当焦点在y轴时，设其标准方程为： x2 =2py（p＞0），
同理可得， p= ，其标准方程为
综上所述，过点（ -3，2）的抛物线的标准方程为：
或
例3 .（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5．
解：设该抛物线的标准方程为 y2=2px（p＞0），
建系
设点
列式
化简
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y
.M
O
.
F
x
y
M.
.
F(0)
x
y .M
.
OF
x
l
l
l
方案(1)
方案(2)
问题：哪种方案的方程更简单呢？
方案(3)
二、标准方程的推导
方案一：以 L为 y轴，过点 F 垂直于L的直线为 x轴建立
直角坐标系 ,设动点 M (x, y)，定点F到直线 l的距离为 P，
则点 F ( p ,0) ,直线 l : x ? ? p
2
2
由抛物线的定义得：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
普通高中课程标准实验教科书—数学选修1-1[人教版B]
2.4.1 抛物线的标准方程
（第二课时）
教学目标：
熟练掌握抛物线的四个标准方程
教学重点：
四种抛物线标准方程的应用
教学过程
一、复习：
1、抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
2、抛物线的标准方程
二、引入新课
例2 点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l :x +5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程. 分析：由已知，点M 属于集合|}.5|1|||{+=+=x MF M P
将|MF |用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M 的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐.
仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M 的横坐标x 应满足x ＞－5,即点M 应在直线l 的右边，否则点M 到F 的距离大于它到l 的距离；其次，“点M 与点F 的距离比它到直线l ：x +5=0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x +4=0为准线的抛物线.
解：如图，设点M 的坐标为（x ，y ）.
由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线
x +4=0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4，
0）为焦点的抛物线.
.8,42
=∴=p p 因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：
y 2=16x
说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强
对抛物线定义的理解与认识.
例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.
分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程,关键是选择建立恰当的坐标系,并由此
使学生进一步认识坐标法.
解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程是)0(22
p px y =.由已知条件可得点A
的坐标是(40,30),代入方程得: .4
45402302=⨯=p p 即 所以所求抛物线的标准方程是x y 2452=
,焦点坐标是(8
45,0). 说明:此题在建立坐标系后,要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数p .
师:为使大家进一步掌握坐标法,我们来看下面的例3:
小结：本节课我们学习了抛物线的标准方程的简单应用
课堂练习：第64页练习A 、B。