东城区2020-2021学年第一学期高一数学试题(含答案)
高一数学（东城） 第 1 页（共 7 页）东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测高一数学 2021.1本试卷共4页，满分100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1}A =-，集合{}21B x x =∈=N ，那么AB =（A ）{1}（B ）{0,1}（C ）{1,1}-（D ）{1,0,1}-（2）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（A ）52-（B ）32- （C ） 32 （D ）52（3）若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为（A ）π （B ）π-1 （C ）π-2 （D ）12π- （4）下列命题为真命题的是 （A ）若a b >，则22a b > （B ）若0a b >>，则22ac bc > （C ）若a b <，0c >，则ac bc > （D ） 若0a b <<，0c >，则c c a b> （5）已知tan 1α=-，则222sin3cos αα-=（A ） 74-（B ） 12- （C ） 12 （D ） 34（6）若函数)(x f 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（A ）2()()f a f a < （B ）1()()f a f a< （C ）()(2)f a f a <（D ）2()(1)f a f a <-（7）已知2log 3a =，4log 5b =，8log 7c =，则（A）a b c<<（B）c a b<<（C）c b a<<（D）b c a<<（8）“,k kαβ=π+∈Z”是“tan tanαβ=”成立的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（A）（B）（C）（D）（10）已知函数()af x xx=+，给出下列结论：①a∀∈R，()f x是奇函数；②a∃∈R，()f x不是奇函数；③a∀∈R，方程()f x x=-有实根；④a∃∈R，方程()f x x=-有实根．其中，所有正确结论的序号是（A）①③（B）①④（C）①②④（D）②③④第二部分（非选择题共60分）二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
高一数学（东城）第2 页（共7 页）高一数学（东城） 第 3 页（共 7 页）（ 11 ）函数()f x x=的定义域为________． （12）已知函数()f x 是指数函数，若(1)4(3)f f =，则(2)f - (3)f -.(用“>”“<”“=”填空） （13）在平面直角坐标系xO y 中，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点P 12(,)13m ，则 tan α= ．保持角α始边位置不变，将其终边逆时针旋转π2得到角β，则cos β＝ ． （14）已知偶函数()2+f x x bx c =+，写出一组使得()2f x ≥恒成立的,b c 的取值：b = ，c = ． （15）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池， 其底面由两个长方形组成（如图所示）.若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建 价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为 ， ． 三、解答题：共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题7分）设全集U =R ,集合{}220A x x x =-<，{}10B x ax =∈->R . （Ⅰ）当1=a 时，求A B ，U A ；（Ⅱ）若UB A ⊆，求a 的取值范围．（17）（本小题7分）已知函数211,2,()2log (1), 2.x f x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-≥⎩（Ⅰ）求((3))f f 的值并直接写出()f x 的零点； （Ⅱ）用定义证明()f x 在区间(,2)-∞上为减函数. （18）（本小题9分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π0,(0,)2ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （Ⅰ）()f x 的单调递增区间；高一数学（东城） 第 4 页（共 7 页）（Ⅱ）()f x 在区间[0,]2π的最大值和最小值．条件①：函数()f x 最小正周期为π；条件②：函数()f x 图象关于点π(,0)6-对称； 条件③： 函数()f x 图象关于π12x =对称．注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题9分）已知函数1()21x f x a =-+是奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）（Ⅲ）若不等式()()20f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围． （20）（本小题8分）中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1θ,环境温度是0θ，则经过时间t （单位：分）后物体温度θ将满足：010=()e ktθθθθ-+-⋅ ，其中k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml 初始温度为98C 的水在19C 室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：C 下降到C 所用时间C 下降到C 所用时间（I ） 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t （单位：分）关于冷却后水温θ（单位：C ）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k 值．（精确到0.01）（II ）“碧螺春”用75C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I ）的条件下，200ml 水煮沸后在19C室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说 明理由．（A ）5 （B ）7 （C ）10（参考数据：ln79 4.369= ，ln71 4.263= ，ln66 4.190=，ln61 4.111=，ln56 4.025=）5东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测高一数学参考答案及评分标准 2021.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）C （4）D （5）B （6）D （7）C （8）B （9）A （10）B 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） （11）(,0)(0,2]-∞ （12）<（13）125 1213- （14）0b = 2c =（答案不唯一） （15） 15 10三、解答题（共5小题，共40分） （16）（共7分）解：（Ⅰ）10,1,2AB x x x ⎧⎫=<<>⎨⎬⎩⎭或10,2UA x x x ⎧⎫=≤≥⎨⎬⎩⎭或. .................4分（Ⅱ）当0a >时，1{}B x x a=>，若,U B A ⊆则有11,2a ≥解得2a ≤，此时02a <≤； 当0a =时，,B =∅满足UB A ⊆；当0a <时，1{}B x x a=<，满足UB A ⊆；综上，a 的取值范围是(,2]-∞. ........................7分（17）（共7分）解：（Ⅰ）((3))(1)0f f f ==．()f x 的零点为1和2． ........................3分（Ⅱ）12,(,2)x x ∀∈-∞,且12x x <，则121211()()1(1)22f x f x x x -=+-+--=2112(2)(2)x x x x ---， 由122x x <<，得210x x ->，1220,20x x -<-<，6所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()y f x =在区间(,2)-∞上为减函数. ........................7分（18）（共9分）解：（Ⅰ）选择条件①，②解答如下：由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.又()f x 图象关于点π(,0)6-对称，有πsin[2()]06ϕ⨯-+=，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=． 因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得51212k x k ππ-+π≤≤+π,k ∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ． ........................5分 （Ⅱ）因为02x ≤≤π，所以ππ4π2333x ≤+≤． 当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x取得最小值 ........................9分 如果选择条件①，③解答如下： 由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.又函数()f x 图象关于π12x =对称，有πsin(2)112ϕ⨯+=±，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．下同． 注：选择②③不能确定函数最小正周期，无法确定函数．（19）（共9分）解：（I ）因为()f x 为奇函数，定义域为R ， 所以()0=0f ，即102a -=，解得12a =. ........................2分 （Ⅱ）11()221xf x =-+为增函数． ........................4分7（Ⅲ）由奇函数()f x 在定义域R 上单调递增， 不等式()()20f x x f x m -++<恒成立， 得()()2f x x f x m ->+恒成立，即2x x x m ->+恒成立．由220x x m -->恒成立，有△440m =+<，得 1.m <-所以，m 的取值范围是(),1-∞-． ........................9分（20）（共8分）解：（I ）由010=()e kt θθθθ-+-⋅，得010e =ktθθθθ---，即010=lnkt θθθθ---，1001=ln t k θθθθ--． ........................3分 在环境温度为019C θ=，选取从198C θ=下降到90C θ=所用时间约为2分钟这组数据有1792=ln 71k ，即ln 79ln 710.052k -=≈； 选取从198C θ=下降到85C θ=所用时间约为3.4分钟这组数据有1793.4=ln 66k ， 即ln 79ln 660.053.4k -=≈；选取从198C θ=下降到80C θ=所用时间约为5分钟这组数据有1795=ln 61k ， 即ln 79ln 610.05;5k -=≈故0.05k ≈． ........................5分 （II ） 200ml 水煮沸后在19C 室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B ．........................6分理由如下： 由（I ）得7920ln19t θ=-，当75C θ=时，有20(ln 79ln 56) 6.88t =⨯-≈．所以200ml 水煮沸后在19C 室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳. ........................8分。
浙江省精诚联盟2020-2021学年高一上学期12月联考数学试题 含答案
绝密★考试结束前2020学年第一学期浙江省精诚联盟12月联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U N =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{0}B ．{1}C ．{2,3}D ．{0,1,2,3}2．函数3()xf x e x=-的零点所在的区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知1cos 62πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12C ．32-D ．324．已知22log 3,log ,ln 2a b e c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a b c>>5．若角θ满足条件sin cos 1θθ+<-，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数1()lnxf x a x+=-的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数．当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（已知ln193≈）A ．60B ．63C ．66D ．698．函数()||f x x x a =-在区间(0,1)上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,0)--B ．2]-C ．22⎫⎪⎣⎭D ．2,1)-二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．在下列函数中，既具有奇偶性又在区间(0,)+∞上为增函数的有（）A ．|lg |y x =B ．21y x=+C ．||2x y =D ．3y x=10．已知a ，b ，c 满足a b c >>，且0ac <，则下列不等式中恒成立的有（）A ．b ca a >B ．0b a c->C ．22b a c c>D ．11a c>11．下列说法正确的是（）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角B ．如果,αβ是第一象限的角，且αβ<则sin sin αβ<C ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为23πD ．若圆心角为23π的扇形的弦长为，则该扇形弧长为83π12．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”记{|()}A x f x x ==，{(())}B xf f x x ==|，则下列结论正确的是（）A ．对于函数1()f x x=，有A B =成立B ．对于函数1,()0,R x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð，有A B =成立C ．对于函数2()1f x ax =-，存在a R ∈，使得A B =成立D ．若()f x 是R 上的单调递增函数，则一定有A B =成立非选择题部分三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．角的α终边过点(1,2)-，则tan α=________．14．函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域为_______．15．已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像如右图所示，那么实数m 的值是________．16．函数()22()2ln()0f x x ax ax a =---≥恒成立，则实数a 的值为__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①22()()(2)g x f x g x +=，②22()()1g x f x -=，③1()()(2)2f xg x f x =这三条性质中任选一个，补充在下面的命题中．先要判断命题的真假．若命题为真，请写出证明过程，若命题为假，请说明理由．命题：若设函数(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，则()f x 与()g x 满足性质__________．注：如果选择多个性质分别作答，按第一个解答计分．18．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{|||1}B x x m =-≤．（Ⅰ）若实数0m =，求,A B A B ⋂⋃；（Ⅱ）若:p x A ∈是:q x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．（Ⅰ）求值：0.2508ln(π+++；（Ⅱ）已知sin()cos cos()2ππααα⎛⎫--+=-⎪⎝⎭，求2sin sin cos ααα+⋅的值．20．已知,(0,)a b ∈+∞，函数2()f x ax x b =-+满足(1)0f =．（Ⅰ）求41a a b++的最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x ≤．21．已知函数2ln ,1()1,1x x f x ax x x ≥⎧=⎨++<⎩，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个零点，求实数a 的取值范围．22．已知函数1()2,2xxf x a a R =⋅+∈．（Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性（只写结论，不需证明）；（Ⅱ）设函数()()2xg x f x a -=-⋅，当0a >时，对于12,[1,1]x x ∀∈-，总有()()1212a g x g x +-≤成立，求a 的取值范围．2020学年第一学期浙江省精诚联盟12月联考高一年级数学学科参考答案一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）C B BD C A C D二、选择题（本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．BCD10．ABD11．AD12．BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．2-14．(2,3)(3,)⋃+∞15．2-16．1或12-四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解答：满足性质①，2分命题为真命题．4分证明：2222()()22x x x x e e e e g x f x --⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222244x x x xe e e e --++-+=+8分（每个计算对给2分，下同）22(2)2x xe e g x -+==10分所以等式成立．（满足性质②，2分命题为真命题．4分证明：2222()()22x x x x e e e e g x f x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭22222241444x x x x e e e e --++-+=-==，所以等式成立．10分满足性质③，2分命题为真命题．4分证明：22()()224x x x x x xe e e e e ef xg x ---⎛⎫⎛⎫+--=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211(2)2224x x x xe e e ef x ----=⋅=，所以等式成立．10分18．解答：集合{1,2}A =，2分{|11}B x m x m =-≤≤+4分（1）若实数0m =，则{|11}B x x =-≤≤，5分所以{1}A B ⋂=，6分{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃．8分（2）若:p x A ∈是:q x C ∈的必要不充分条件，则A B ⊂．9分（写成子集不扣分）由1112m m -≤⎧⎨+≥⎩10分（写对一个给1分）所以实数m 的取值范围为[1,2]．12m ⇒≤≤．12分19．（10.2508ln(π+++1334421221ln 2e=⨯+++132122=+++（每算对一项给1分）5=6分（2）∵sin()cos cos()2ππααα⎛⎫--+=- ⎪⎝⎭∴2sin cos αα=3分（公式用对一个给1分）∴1tan 2α=∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+4分22tan tan tan 1ααα+=+5分35=6分20．（1）由已知，知1a b +=，1分41411a a b a b++=++2分411()a b a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3分4141b a a b=++++4分6410≥+=5分∴当且仅当14a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩即2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，等号成立6分∴411a b ++最小值为92．（2）1a b +=∵()0f x ≤∴20ax x b -+≤∴210ax x a -+-≤1分∴(1)[(1)]0x ax a ---≤2分1211,a x x a-==3分当11a a -=时，即12a =，不等式的解集为{1}4分当11a a ->时，即112a <<，不等式的解集为1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5分当11a a -<时，即102a <<，不等式的解集为11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦6分21．解：（1）由题意得0a >⎧⎨∆≤⎩2分即0140a a >⎧⎨-≤⎩4分得14a ≥6分（2）法一：由题意得2()1f x ax x =++在(,1)-∞恰有一个零点，7分又()f x 图象恒过点(0,1)则00a >⎧⎨∆=⎩或201110a a <⎧⎨⨯++≥⎩或0a =10分解得14a =或20a -≤≤12分法二：由题意得2()1f x ax x =++在(,1)-∞恰有一个零点，显然0x =不是零点．7分令210ax x ++=，则211a x x-=+，令1(,0)(1,)u x=∈-∞⋃+∞10分则2a u u -=+，由图象得14a =或20a -≤≤12分22．（1）当1a =时，()f x 为偶函数；2分当1a =-时，()f x 为奇函数；4分当1a ≠且1a ≠-时，()f x 没有奇偶性：6分（若第三种情况不完整，如写成当0,()a f x =为非奇非偶，或当2,()a f x =为非奇非偶，等，无论写几个，都给1分）（2）1()2,[1,1]2xxag x a x -=⋅+∈-令2xt =，记1()()a g x h t at t -==+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由题意，有max min 1()()2a h t h t +-≤7分应满足必要条件131(2)3222a h h a +⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭解得2475a ≤≤，8分于是得10a ->得122≤≤9分()h t在⎛ ⎝上单调递减，在⎤⎥⎦单调递增．10分所以只需1(2)21122a h h a h h ⎧+-≤⎪⎪⎨+⎪⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩即可11分解得5485a -≤≤12分（其他解法酌情给分，想法正确亦酌情给分）。
2020-2021学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷1(附解析)
2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1，2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {2}D. {1,2}2.已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和.若S3=3a1+3，则d=()A. −2B. −1C. 1D. 23.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是()A. y=2−xB. y=lnxC. y=1xD. y=sinx4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧(左)视图为()A.B.C.D.5.与圆x2+(y−1)2=5相切于点(2,2)的直线的斜率为()A. −2B. −12C. 12D. 26.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)=()A. −√3B. −√32C. √32D. √37. 设a ⃗ ，b ⃗ 是两个不共线向量，则“a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角”是“a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( )A. 242种B. 220种C. 200种D. 110种9. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|=3|FB|，则点A 到y 轴的距离为( )A. 5B. 4C. 3D. 210. 某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：①10人(含)以上团体购票9折优惠；②50人(含)以上团体购票8折优惠；③100人(含)以上团体购票7折优惠；④购票总额每满500元减100元(单张票价不优惠)．现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( )A. 1090元B. 1171元C. 1200元D. 1210元二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 设i 为虚数单位，则复数3+4i i = ______ ．12. 函数f(x)=√x −1+lnx 的定义域是______ ．13. 已知sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，则cosθ= ______ ，cos2θ= ______ ． 14. 已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，△ABC 为等边三角形.若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线，则双曲线M 的离心率为______ ．15. 已知函数f(x)=2[sinx]+3[cosx]，x ∈[0,2π]，其中[x]表示不超过x 的最大整数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1．①f(2π3)= ______ ；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．)，ℎ(x)=cosx，再从条件①、条件②这两个条件中选17.已知函数g(x)=sin(x−π6择一个作为已知，求：(Ⅰ)f(x)的最小正周期；]上的最大值．(Ⅱ)f(x)在区间[0,π2条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)；条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)．18.为了解果园某种水果产量情况，随机抽取10个水果测量质量，样本数据分组为[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](单位：克)，其频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)用分层抽样的方法从样本里质量在[250,300)，[300,350)的水果中抽取6个，求质量在[250,300)的水果数量；(Ⅱ)从(Ⅰ)中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300,350)的水果数量，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，质量m(单位：克)m<200200≤m<300m≥300等级规格二等一等特等价格(元/个)4710试估计果园该种水果的销售收入．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−2,0)，B(2,0)，且离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G(E,G不重合)，ET⊥x轴，垂足为T.求证：|TA||TB|=|GA||GB|．20.已知函数f(x)=1−ax2，a∈R．e x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线y=x，求该切线方程；(Ⅱ)若a=1，求证：当x>0时，f(x)>0；(Ⅲ)若f(x)恰有两个零点，求a的值．21.给定正整数m，t(m≤t)，若数列A：a1，a2，…，a n，…满足：a i∈(0,1}，a i=a i+t，a1+a2+⋯+a t=m，则称数列A具有性质E(t,m)．对于两个数列B：b1，b2，…，b n，…；C：c1，c2，…，c n，…，定义数列B+C：b1+c1，b2+c2，…，b n+c n，…．(Ⅰ)设数列A具有性质E(4,2)，数列B的通项公式为b n=n(n∈N∗)，求数列A+B 的前四项和；(Ⅱ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(4,m)，数列B满足b1=1，b2=2，b3=3，b4=4且b j=b j+4(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，……，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B 为常数列，求出m所有可能的值；(Ⅲ)设数列A i(i∈N∗)具有性质E(t,t−1)(常数t≥2)，数列B满足b1=1，b2=2，…，b t=t且b j=b j+t(j∈N∗).若存在一组数列A1，A2，…，A k，使得A1+A2+⋯+A k+B为常数列，求k的最小值.(只需写出结论)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={0,1，2}，∴A∩B={1,2}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵S3=3a1+3，∴3a1+3d=3a1+3，则d=1．故选：C．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，y=2−x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y=lnx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y=1为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；x对于D，y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间(0,1)上单调递增，符合题意．故选：D．由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：将几何体补充为正方体，如图1所示：则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧(左)视图如图2所示：故选：B．将几何体补充为正方体，结合图形得出该几何体的侧(左)视图．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了直观想象能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+(y−1)2=5，其圆心为(0,1)，设圆心为C，切点(2,2)为P，则K PC=2−12−0=12，则切线的斜率k=−2，故选：A．根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C，切点(2,2)为P，求出PC的斜率，由切线的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由图可知，T2=5π12−(−π12)=π2，则T=π，∴ω=2．又2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3．则f(x)=2sin(2x−π3)，∴f(π)=2sin(2π−π3)=2sin(−π3)=−√3．故选：A．由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f(π)．本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗|(|a⃗|−|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >)=0∵a⃗，b⃗ 是两个不共线向量，∴a⃗≠0⃗，即|a⃗|≠0，∴|a⃗|=|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，∴cos<a⃗,b⃗ >>0，∵<a⃗,b⃗ >≠0，∴a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，而a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，不妨设a⃗=(1,0),b⃗ =(2,2)，此时a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1≠0，故a⃗与(a⃗−b⃗ )不垂直，∴“a⃗与b⃗ 的夹角为锐角”是“a⃗⊥(a⃗−b⃗ )”的必要不充分条件．故选：B．根据向量垂直时数量积为0建立等式，可得到a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，反之不成立，再结合充分条件必要条件的定义可得结论．本题主要考查向量的有关性质，以及充分条件必要条件的判定，同时考查了学生转化的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，分3步进行分析：对于甲，不选马和羊，有10种选法，对于乙和丙，有1个人选择羊，有2种选法，剩下1人在剩下10个生肖中任选1个，有10种选法，则有10×2×10=200种不同的选法，故选：C．根据题意，分3步进行分析甲乙丙的选法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：焦点F到准线的距离为p=2，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l 于点E，延长AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以BCAC =BEAD=BFAF=13，记BC=x，则AC=3x，因为|AF|=3|FB|，所以BF=14AB=12x，AF=3BF=32x，因为CF=BC+BF=32x，F为AC的中点，所以AD=2FG=4，即点A到y轴的距离为4−p2=3．故选：C．根据题意得到p的值，过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C，再利用三角形相似得到BC和AC的关系，从而得到BF，AF，CF 的关系，求出AD=4，即可得到答案．本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．10.【答案】B【解析】解：由于需要购买47张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，若只按优惠政策①购买，则门票费用为47×30×90%=1269元；若将47分为17+17+13，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，门票费用为(17×30−100)×2+13×30×90%=1171元，因为1269>1171，所以门票费用最少为1171元．故选：B．分两种情况：只按优惠政策①购买，将47分为17+17+13，两次按优惠政策④，一次按优惠政策①购买，分别计算门票费用，取较小者的方案．本题考查函数的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】4−3i【解析】解：复数3+4i i=−i(3+4i)−i⋅i=4−3i ．故答案为：4−3i ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．12.【答案】[1,+∞)【解析】解：由题意得： {x −1≥0x >0，解得：x ≥1， 故函数的定义域是[1,+∞)， 故答案为：[1,+∞)．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．13.【答案】2√2【解析】解：因为sinθ=−13，θ∈(π,3π2)，可得cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(−13)2=−2√23， 可得cos2θ=2cos 2θ−1=2×(−2√23)2−1=79．故答案为：−2√23，79．由已知利用同角三角函数基本公式可求得cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：∵双曲线M 的实轴为△ABC 的中位线， ∴等边△ABC 的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2a,√3a)， 将其代入双曲线M 的方程有，4a 2a 2−3a 2b 2=1，∴a b=1，离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2=√2． 故答案为：√2．易知，等边△ABC 的边长为4a ，不妨取点B 为(2a,√3a)，将其代入双曲线的方程可得a =b ，再由e =√1+b 2a2，得解．本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．15.【答案】43 (−∞,32−2π]【解析】解：①f(2π3)=2[sin 2π3]+3[cos 2π3]=2[√32]+3[−12]=20+3−1=43；②若f(x)>x +a 对任意x ∈[0,2π]都成立，即为a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立， 当x =0或x =2π时，f(x)−x =1+3=4或4−2π； 当x =π2时，f(x)−x =2+1−π2=3−π2； 当x =π时，f(x)−x =1+13−π=43−π； 当x =3π2时，f(x)−x =12+1−3π2=32−3π2；当0<x <π2时，sinx ∈(0,1)，cosx ∈(0,1)， 可得a ≤20+30−π2=2−π2；同理可得当π2<x <π时，可得a ≤20+3−1−π=43−π； 当π<x <3π2时，可得a ≤2−1+3−1−3π2=56−3π2；当3π2<x <2π时，可得a ≤2−1+30−2π=32−2π． 综上可得，a 的取值范围是(−∞,32−2π]． 故答案为：43；(−∞,32−2π]．①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[x]的定义，可得所求值；②由题意可得a <f(x)−x =2[sinx]+3[cosx]−x 对任意x ∈[0,2π]都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[x]的定义，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[x]的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ， 因为PD ∩CD =D ， 所以AD ⊥平面PCD ， 又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面PCD ； (Ⅱ)解：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ，如图建立空间直角坐标系D −xyz ，因为PD =4，底面ABCD 是边长为2的正方形，所以P(0,0，4)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，E(1,1，2)，F(0,1，2)， 则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2x =0x +y +2z =0，所以m⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则sinθ=|cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√9×√5=4√515， 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4√515．【解析】(Ⅰ)利用直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理进行分析证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将直线与平面所成的角转化为两个向量的夹角进行求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理的应用，用向量法求解空间角时，关键是建立合适的空间直角坐标系，准确求出所需点的坐标．17.【答案】解：选择条件①：f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)cosx=(√32sinx−12cosx)cosx=√32sinxcosx−12cos2x=√32×12sin2x−1+cos2x2=√34sin2x−14cos2x−14=12sin(2x−π6)−14，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，可得12sin(2x−π6)−14∈[−12,14]，当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值14．选择条件②：f(x)=g(x)+ℎ(x)，(Ⅰ)f(x)=sin(x−π6)+cosx=(√32sinx−12cosx)+cosx=√32sinx+12cosx=sin(x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π．(Ⅱ)因为x∈[0,π2]，可得x+π6∈[π6,2π3]，所以sin(x+π6)∈[12,1]，当x+π6=π2，即x=π3时，f(x)有最大值1．【解析】选择条件①：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=1 2sin(2x−π6)−14，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求2x−π6∈[−π6,5π6]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．选择条件②：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=sin(x+π6)，利用正弦函数的周期公式即可求解；(Ⅱ)由已知可求得x+π6∈[π6,2π3]，利用正弦函数的性质，即可求解函数的最大值．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的周期公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)质量在[250,300)，[300,350)的该种水果的频率分别为0.008×50= 0.4，0.004×50=0.2，其比为2：1，所以按分层抽样从质量在[250,300)，[300,350)的这种水果中随机抽取6个，质量在[250,300)的该种水果有4个；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，6个水果中有2个质量在[300,350)，所以X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 42C 21C 63=35，P(X =2)=C 41C 22C 63=15，所以X 的分布列为：所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1；(Ⅲ)二等品的频率为(0.002+0.002)×50=0.2， 一等品的频率为(0.003+0.008)×50=0.55， 特等品的频率为(0.004+0.001)×50=0.25，则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个， 则销售收入约为4000×4+11000×7+5000撑10=143000元．【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图得到质量在[250,300)，[300,350)的该水果的频率，按照比例抽取即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到X 的所有可能取值，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望即可；(Ⅲ)根据频率分布直方图，得到该水果的频率，然后估计20000个水果中各等级的个数，求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图的相关知识，也考查了学生处理数据的能力．解题的关键是正确读取频率分布直方图中的信息． 19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{a =2e =c a =12a 2=b 2+c 2，解得：a 2=4，b 2=3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y =kx +m(m ≠0)， {y =kx +m x 24+y 23=1，整理可得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由题意可得△=0，即64k 2m 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=0，解得：m 2=3+4k 2设G(x1,0)，E(x0,y0)则x1=−mk ，x0=−4km3+4k2=−4km，因为ET⊥x轴，所以T(−4km,0)，|TA| |TB|=|−4km+2||2−(−4km)|=|−4k+2m||2m+4k|=|m−2k||m+2k|，又因为|GA||GB|=|−2+mk||2+mk|=|m−2k||m+2k|，所以可证：|TA||TB|=|GA||GB|．【解析】(Ⅰ)由题意及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意开始直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G，E的坐标，由题意可得G，E用直线的参数表示的坐标，进而求出|TA||TB|与|GA||GB|的表示，可证得|TA||TB|=|GA||GB|．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=ax(x−2)e x，所以f′(1)=−ae=1，故a=−e，所以f(1)=1−ae=2，所以切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x ，f′(x)=x(x−2)e x，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)=1−4e2>0，故x>0时，f(x)>0．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，①当a≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，②当a>0时，f(x)=ax(x−2)e x，当x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,2)上单调递减，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=1是函数的极大值，f(2)=1−4ae2是f(x)的极小值，因为√a )=1−a(−√a)2e−1√a=1−1e−1√a=1−1√a<0，所以f(x)在(−∞,0)上有且只有一个零点，由f(2)=1−4ae2，①若f(2)>0，即a<e24，f(x)在区间(0,+∞)上没有零点．②若f(2)=0，即a=e24，f(x)在区间(0,+∞)上只有一个零点．③若f(2)<0，即a>e24，由于f(0)=1，所以f(x)在区间(0,2)上有一个零点．由(Ⅱ)知，当x>0时，e x>x2，所以f(4a)=1−16a 3e4a =1−16a3(e2a)2>1−16a3(2a)2=1−1a>0，故f(x)在区间(2,4a)上有一个零点，因此a>e24时，f(x)在区间(0,+∞)上有两个零点，综上，当f(x)有两个零点时，a=e24．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)，由导数的几何意义可得k切=f′(1)，进而由点斜式写出切线的方程．(Ⅱ)当a=1时，f(x)=1−x2e x，对f(x)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，进而可得f(x)的最小值f(2)=1−4e2>0，即可证明．(Ⅲ)对于函数f(x)=1−ax2e x，a∈R，分两种情况①当a≤0时，②当a>0时，分析f(x)的单调性，最值，进而得函数f(x)的零点．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为2+ 10=12，(II)由题知m≤4，数列A i(i∈N∗)满足a i=a i+4，b j=b j+4(j∈N∗)，故只要考虑数列A i，B j的前四项，取A1，A2，…A5，A6为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，；0，0，1，0，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为4，4，4，4，所以m=1成立；取A1，A2，A3为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使A1+A2+A3+B的前四项为4，4，4，4，所以m=2成立；取A1，A2，…A5，A6为1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使A1+A2+⋯+A6+B的前四项为7，7，7，7，所以m=3成立；当m=4时，A i的前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，A1+A2+⋯+A k+B不会是常数列，综上，m=1，2，3．t(t−1)．(III)12【解析】(I)数列A+B的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，代入可求；(II)由题知m≤4，a i=a i+4，b j=b j+4，只要考虑数列A i，B j的前四项，分情况检验即可求解满足条件的m，(III)结合已知条件代入直接求解．本题以新定义为载体，主要考查了数列性质的综合应用，考查了考生的逻辑推理的能力．。
2020-2021学年重庆市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0, 1}≠{1, 0}B.{0}∈{0, 1, 2}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.4 3B.0C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M<NB.M＝NC.不能确定D.M>N4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|x<2或x>3}B.{x|2<x<3}C.{x|13<x<12} D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.1B.89C.10277D.987. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2≤a≤−1或3≤a≤4B.−2<a≤−1或3≤a<4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同B.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）下列各不等式，其中不正确的是（）A.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0) B.a2+1>2a(a∈R)C.√ab≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.0<x<1B.x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列命题正确的是（）A.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2B.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a≥b1+b给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.正整数集是闭集合B.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________ 四、解答题：（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年北京市东城区高一上学期期末物理模拟试卷解析版
OA 长度是 AB 长度的 4 倍。求：
（1）物体做匀加速运动的时间；
（2）物体全程平均速度的大小。
18．（10 分）跳伞运动员做低空跳伞表演，他从 224m 的高空离开飞机开始下落，最初未打 开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞，运动员以 12.5m/s2 的加速度匀减速下降，为 了运动员的安全，要求运动员落地的速度不得超过 5m/s（g＝10m/s2）。求： （1）运动员打开降落伞后做匀减速下降时，是处于超重状态还是失重状态，并说明原因；
A．量杯中的钢球受到一个力的作用 B．各容器中的钢球都受到两个力的作用 C．口大底小的普通茶杯的侧壁对钢球有弹力作用 D．口小底大的普通茶杯的侧壁对钢球有弹力作用 4．（3 分）如图所示是一沿笔直公路做匀加速直线运动的汽车的速度计．某同学在汽车中观 察速度计指针位置的变化，开始时指针指示在如图甲所示的位置，经过 7s 后指针如图乙， 下列说法正确的是（ ） ①右速度计直接读出的是汽车运动的平均速率； ②右速度计直接读出的是汽车 7s 时的瞬时速率； ③汽车运动的加速度约为 5.7m/s2； ④汽车运动的加速度约为 1.6m/s2．
光滑的，各容器的底部均处于水平面内，下列说法中正确的是（ ）
A．量杯中的钢球受到一个力的作用
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B．各容器中的钢球都受到两个力的作用 C．口大底小的普通茶杯的侧壁对钢球有弹力作用 D．口小底大的普通茶杯的侧壁对钢球有弹力作用 【解答】解：如果将各容器的侧壁搬离，我们可以知道钢球还能处于静止状态，所以各 容器的侧壁对钢球均无弹力作用，因此各容器中的钢球都受到两个力的作用，即重力与 水平底部的支持力，故 B 正确，A、C、D 错误。 故选：B。 4．（3 分）如图所示是一沿笔直公路做匀加速直线运动的汽车的速度计．某同学在汽车中观 察速度计指针位置的变化，开始时指针指示在如图甲所示的位置，经过 7s 后指针如图乙， 下列说法正确的是（ ） ①右速度计直接读出的是汽车运动的平均速率； ②右速度计直接读出的是汽车 7s 时的瞬时速率； ③汽车运动的加速度约为 5.7m/s2； ④汽车运动的加速度约为 1.6m/s2．
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
北京市东城区2020-2021学年高一上学期期末考试英语试题(含答案)
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12.The online activity for teens will be onห้องสมุดไป่ตู้
A.November 9B.November 10
C.November 11D.November 12
13.If you go to the event at King George Square bus station, you may
I'm 14 years old and in ninth grade. A little while ago, I was walking home from school and saw some writing on a___1___of a house I was passing. It said, “Happiness is a direction, not a destination.” I had been having a bad day and just reading this brightened my day a little. I saw the___2___everyday while walking home from school and one day decided to___3___something on the fence for someone else to see. I took out a pen and wrote one of my favorite quotes down. When I came back to the fence, I saw another quote under mine in the same handwriting as the first one. I___4___on another, and we kept at this pattern for quite a while. One day, I was writing yet another quote on the fence and the old man, one of my neighbors, who___5___the fence saw me. He came out and I thought he would___6___me for writing on his fence; he was not known to be a very friendly person. He gave me a quick look and then read the quotes on the fence, all 20 or so of them. Without saying a word, he went back inside. I was a bit___7___for a while, and didn't go back to the fence, but when I did, I noticed not more quotes but two words in totally___8___handwriting had been added: “Thank you.”
北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则AB =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1()nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为（A ）111 （B ）19 （C ）311 （D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin2α= （A ）625（B ）1225 (C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）3(,[,)3-∞+∞ （B ）[（C ）5(,][,)22-∞-+∞ （D ）[,22- （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ； ②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值； ④对于任意点Q ，△1ACQ 都不是锐角三角形. （A ）① ③ （B ）② ③ （C ）② ④ （D ）① ④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()cos f x x x =-，则()3f π= ；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为 . （13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为B y D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立； ④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
北京市2020-2021学年高一上学期期末数学试题汇编：函数选择题 (答案详解)
2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题一．选择题（共23小题）1．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是 A ．B ．C ．D ．2．（2020秋•通州区期末）函数且在上单调递减，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．（2020秋•西城区校级期末）函数的图象是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“函数”．若函数是“函数”，则实数的取值范围是 A ．，，B ．，，C ．，D ．，5．（2020秋•朝阳区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•西城区期末）函数的定义域是 A ．B ．C ．，，D ．，，7．（2020秋•石景山区期末）下列函数中，在区间上为减函数的是 A ．B ．C ．D ．(0,)+∞()()2xf x -=3()f x x =()f x lgx=1()f x x=,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩…1)a ≠R a ()(1,)+∞(0,1)1[,1)31(0,]3|(1)|y lg x =-()()f x R x R ∈()()f x f x -≠-()y f x =X -sin cos y x x a =++X -a ()(-∞1)(1-⋃)+∞(-∞2)(2-⋃)+∞[1-1][2-2](0,1)()sin y x=y =3y x =-y lgx=11y lgx x =+-()(0,)+∞(1,)+∞(01)(1⋃)+∞[01)(1⋃)+∞(1,1)-()11y x=-2x y =(1)y ln x =+2xy -=8．（2020秋•朝阳区期末）已知函数可表示为 1234则下列结论正确的是 A ．（4）B ．的值域是，2，3，C ．的值域是，D ．在区间，上单调递增9．（2020秋•东城区期末）已知为奇函数，且当时，，则的值为 A ．B ．C ．D ．10．（2020秋•海淀区期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•丰台区期末）下列函数是奇函数的是 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•西城区校级期末）以下函数既是偶函数又在上单调递减的是 A ．B ．C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）已知函数是奇函数，且当时，，则 A ．B ．0C ．1D ．214．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ()y f x =()x02x <<24x < (46)x < (68)x ……y()(f f )3=()f x {14}()f x [14]()f x [48]()f x 0x >()2f x x =-1()2f -()52-32-3252(0,)+∞()2y x=-12y x=1y x -=3y x =()()2xf x =2()log f x x=2()f x x =3()f x x =(0,)+∞()4()f x x =()f x =1()(2xf x =12()log ||f x x =()f x 0x >21()f x x x=+(1)(f -=)2-y x y x ()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④15．（2020秋•石景山区期末）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是 A ．B ．C ．D ．16．（2020秋•海淀区校级期末）如图是函数的图象，是图象上任意一点，过点作轴的平行线，交其图象于另一点，可重合）．设线段的长为，则函数的图象是 A ．B．H H t ()sin (0)y x x π=……(,)A x y A x (B A B AB ()f x ()f x ()C ．D ．17．（2020秋•昌平区期末）已知函数．若存在实数，，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 A ．，B ．C ．，D ．18．（2020秋•西城区校级期末）已知函数的定义域是，满足（2）且对于定义域内任意，都有成立，那么（2）（4）的值为 A ．1B ．2C ．3D ．419．（2020秋•通州区期末）已知函数，则 A ．是奇函数，且在上单调递增B ．是奇函数，且在上单调递减C ．是偶函数，且在上单调递增D ．是偶函数，且在上单调递减20．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，值域为区间，的是 A ．B ．C ．D ．21．（2020秋•大兴区期末）已知函数是上的减函数，则的范围是 A ．B ．，C ．D ．，22．（2020秋•海淀区校级期末）已知偶函数在上单调递减，若（1），（2），，则，，的大小关系为 A ．B ．C ．D ．23．（2020秋•东城区期末）若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是 A ．（a ）B ．C ．（a ）D ．2()f x x k =-m n ()fxk ()(1-0](1,)-+∞(2-0](2,)-+∞()f x (0,)+∞f 1=x y ()()()f xy f x f y =+f f +()()(1)(1)f x ln x ln x =++-()(f x )(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)[2)+∞()2()2f x x =()21x f x =+()||2f x x =+1()f x x x=+5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R a ()(,0)-∞[4-)+∞(,4)-∞-[4-0)()f x (,0)-∞a f =b f =1()2c f =-a b c ()a b c >>a c b >>b a c >>c a b>>()f x R 0a >()2()f a f <1()()f a f a<f (2)f a <2()(1)f a f a <-2021北京高一数学上学期期末汇编：函数选择题参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，且在上是增函数，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，在上是减函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．2．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：若函数在上为减函数，则满足，即，得，故选：．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】求出函数的定义域，利用定义域进行排除即可．【解答】解：由得，即函数的定义域为，排除，，，故选：．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用定义域是否满足，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．4．【分析】根据题意，设，则有，结合“函数”的定义可得方程无解，结合余弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，则，则，若函数是“函数”，即无解，A ()2x f x -=B 3()f x x =RC ()f x lgx =D 1()f x x=(0,)+∞B R 00130a a a <<⎧⎨-⎩ (01)13a a <<⎧⎪⎨⎪⎩ (103)a <…D 10x ->1x >(1,)+∞A B D C ()sin cos f x x x a =++()()2cos 2f x f x x a +-=+X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=()sin cos f x x x a =++()sin()cos()sin cos f x x x a x x a -=-+-+=-++()()2cos 2f x f x x a +-=+()y f x =X -()()2cos 20f x f x x a +-=+=又由，，必有或，即的取值范围为，，，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是理解“函数”的含义，属于基础题．5．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．【解答】解：．是奇函数，当时，函数为增函数，满足条件．函数的定义域为，，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．．当时，函数为减函数，不满足条件．．函数的定义域为，关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．6．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】可看出前三个选项的函数在上都是增函数，从而只能选．【解答】解：，和在上都为增函数，在上是减函数．故选：．【点评】本题考查了反比例函数、指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．8．【分析】根据表格，结合函数定义域和值域的性质分别进行判断即可．【解答】解：由题意知（4），得（4）（3），故错误，函数的值域为，2，3，，故正确，错误，在定义域上不单调，故错误，故选：．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的判断，结合函数定义域和值域的关系是解决本题的关键，是基础题．cos [1x ∈-1]1a <-1a >a (-∞1)(1-⋃)+∞A X -A sin y x =01x <<B [0)+∞C 01x <<D (0,)+∞A 010x x >⎧⎨-≠⎩01x x >⎧⎨≠⎩(01)(1⋃)+∞C (1,1)-D 11y x=-2x y =(1)y ln x =+(1,1)-2x y -=(1,1)-D f 3=(f f )f =2=A {14}B C ()f x D B9．【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．【解答】解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则，故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质是否满足进行判断即可．【解答】解：．函数为偶函数，不满足条件．．函数的定义域为，，为非奇非偶函数，不满足条件．．函数为奇函数，且当时，为减函数，满足条件．．函数为奇函数，当时为增函数，不满足条件．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数的性质是解决本题的关键，是基础题．11．【分析】根据题意，依次分析选项函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，是奇函数，符合题意，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．12．【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断即可．【解答】解：对于，函数在递增，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数既是偶函数又在上单调递减，符合题意；故选：．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．1(2f 0x >()2f x x =-113(2222f =-=-()f x 113()()222f f -=-=C A B [0)+∞C 0x >1y x=D 0x >C A ()2x f x =B 2()log f x x =C 2()f x x =D 3()f x x =D A (0,)+∞B C D (0,)+∞D13．【分析】由奇函数定义得，（1），根据的解析式，求出（1），从而得到．【解答】解：是定义在上的奇函数，，（1），又当时，，（1），，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．14．【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【解答】解：由图可知，点纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：．【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．15．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：．【点评】本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则（这里的是漏斗中剩下液体的体积）与成正比（一次项），根据圆锥体积公式兀，可以得出中，为正数，另外，与成反比，可以得出^中，为正数．所以选择第二个答案．16．【分析】根据线段的长和之间的关系，通过取特殊点及某一段上的的值，得出相应的函数值，从而判断出正确选项即可．【解答】解：当时，，两点重合，此时，故排除，；当时，是关于的一次函数，其图象是一条线段，故选：．【点评】考查导函数的图象与图象变化，以及识图能力，体现了数形结合的思想，属基础题．(1)f f -=-0x >f (1)f -()f x R ()()f x f x ∴-=-(1)f f -=-0x >21()f x x x=+f ∴2112=+=(1)2f ∴-=-A A C 1212t 12B V V t 13V =2r h 2H at bt =+a t r H at =2bt +b AB x x 2x π=A B ()0f x =C D (0,2x π∈()2f x x π=-x A17．【分析】求出函数在定义域上单调递增，由此建立方程的两个不相等的非负实数根，再由，求出的范围．【解答】解：由函数，可知函数在区间上单调递增，要使得函数在区间上的值域为，只需，即，的两个不相等的非负实数根，所以，解得，即实数的取值范围为，，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，涉及到一元二次方程的实数根的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．【分析】由（4）（2）（2）（2），可得（4），从而得到所求．【解答】解：（4）（2）（2）（2），（4）．（2）（4），故选：．【点评】本题考查抽象函数的应用，求出（4），是解题的关键，是基础题．19．【分析】由已知结合函数奇偶性定义及复合函数的单调性进行检验即可判断．【解答】解：，则，故为偶函数，当时，单调递减，故选：．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …k 2()f x x k =-()f x ()f x f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220x x k --=124400k x x k =+>⎧⎨=-⎩V …10k -<…k (1-0]A f (22)f f =⨯=f +2f =f 2=f (22)f f =⨯=f +2f =f ∴2=f ∴f +123=+=C f 2=2()(1)(1)(1)f x ln x ln x ln x =++-=-()()f x f x -=()f x 01x <<2()(1)f x ln x =-D20．【分析】由题意，求出各个函数的值域，可得结论．【解答】解：由与，故它的值域为，，故错误；由于，故它的值域为，故错误；由于，故它的值域为，，故正确；由于，当时，，当 时，，故它的值域为，，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．21．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得，解之即可得答案．【解答】解：因为函数是上的减函数，所以，解得，即的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．22．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，因为（1），（2），，又，则．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质比较函数值的大小，属于基础题．23．【分析】可取，从而可判断出选项，都错误；可得出，根据是上的减函数可得出（a ），从而判断错误，这样只能选．【解答】解：时，，，，都错误；2()20f x x =…[0)+∞A ()21011x f x =+>+=(1,)+∞B ()||22f x x =+…[2)+∞C 1()f x x x=+0x >()2f x …0x <()2f x -…[2)(+∞-∞⋃2]D C 051a a <⎧⎨+⎩…5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩…R 051a a <⎧⎨+⎩…40a -<…a [4-0)D ()f x (,0)-∞()f x (0,)+∞a f =b f =11()(22c f f =-=12102>>>b a c >>C 1a =A B 2a a <()f x R f (2)f a >C D 1a =21,a a a a==∴21()(),()()f a f a f a f a==A ∴B，，是上的减函数，（a ），即错误；，，且是上的减函数，，即正确．故选：．【点评】本题考查了举反例说明不等式不成立的方法，减函数的定义，配方法的运用，考查了计算能力，属于基础题．0a > 2a a <()f x R f ∴(2)f a >C 22213(1)1()024a a a a a --=-+=-+>21a a ∴>-()f x R 2()(1)f a f a ∴<-D D。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。