华东师大版九年级数学下册 26.2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 上课课件
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0 c2_＝__ 0
O 对左x称侧轴， 2在xba＜11y＜轴00
x 开口向上，a＞0
对x称 轴b在2 ＞y轴0 右侧，2xa＞2 0
新课进行时
x b3 y
2a3
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7
2(x 2)2 1.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为(2,-1).
新课进行时 核心知识点二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式 y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化 成顶点式y=a(x-h)2+k？
第二十六章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
华东师大版 九年级数学下册 教学课件
目录
CONTENTS
1 新课目标 3 新课进行时
2 情景导学 4 知识小结
5 随堂演练
6 课后作业
1
新课目标
新课目标
新课进行时
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗? 2
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 y 1 (x 6)2 3 可以看作是由 y 1 x2
2
2
怎样平移得到的?
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么?
新课进行时
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配方的吗?
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式.
新课进行时
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象?
解:先利用图形的对称性列表
2
x
…3
y 1 (x 6)2 3 … 7.5
2
4 5 6 7 8 9…
5 3.5 3 3.5 5 7.5 … y
然后描点画图，得到图象如右图. 10
5
O
5
10 x
新课进行时
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21的图象，说出其性质. 2
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征 开口_____向__上______________ 开口_____向__下______________ 对称轴为__y___轴 对称轴在y轴的__左__侧 对称轴在y轴的__右__侧 经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
x=0时，
y=c.
O
对x=称0x 轴 2是ba11y=轴0 ，
x b4 2a4
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x
开口向下，a＜0
对右x称侧 轴，2bx在a2＞2 ＞y轴00
新课进行时
知识要点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx ＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.（难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c 的顶点坐标、对称轴.（重点）
2
情景导学
情景导学
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴
增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(h ,k) x=h
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
(顶点式)
公式法
顶点：
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
对称轴： x b
2a
5
随堂演练
随堂演练
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
直线x=1
随堂演练
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 23，y2）是抛物线上两
点，则y1>y2.其中正确的是（ ）B
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
新课进行时
y=ax²+bx+c
ax2
b a
x b 2 2a
b
2
c
2a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a x
b
2
b2
c
2a 4a
新课进行时
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21化成y=a(x-h)2+k的形式? 2
新课进行时
配方可得 y 1 x2 6x 21 2
1 (x2 12x 42) 2
1 (x2 12x 62 62 42) 2
1 [(x2 12x 62 ) 62 42] 2
1 [(x 6)2 6] 2
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可 得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1
的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即
(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
新课进行时
然后描点、连线，得到图象如下图.
y -4 -2
0 -2 -4 -6 -8
24
由图象可知，这个函数 x 具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=1时，函数取得最 大值，最大值y=-2.
新课进行时 练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
随堂演练
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
y
图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是（2）.
–2
的形式，即
y ax2 bx c a(x
b
)2 4ac b2 .
2a
4a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
( b , 4ac b2 ). 2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
新课进行时
归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
y x b
2a
(h ,k) x=h
当x<h时，y随着x的增 当x<h时,y随着x的增大 大而减小；当x>h时，而增大；当x>h时， y随着x的增大而增大. y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
情景导学
y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6
一次函数图象的性质填空：
y
y
k1 _＞__ 0
k3 _＜__ 0
k2 _＜__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
y=k3x+b3
y=k2x+b2
新课进行时
问题2 二次函数 y ax2 bx c 的图象如下图所示，请 根据二次函数的性质填空：
x b1
O 2x x=-1
随堂演练
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
Hale Waihona Puke 1 2x2
;
直线x=1.25
5 4
,
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教案_19
26．2.2二次函数ax2＋bx＋c的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象与性质知识与技能1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象．2．理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．情感、态度与价值观1．结合探究函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法．2．在探究二次函数y＝ax2＋k性质的过程中，培养学生的成功感，进一步增强学生学习的自信心．重点二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．难点理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．一、创设情境，导入新课1．同学们还记得一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象的关系吗？2．你能由此猜想二次函数y＝x2与y＝x2＋1的图象之间的关系吗？________，那么y ＝x2与y＝x2－1的图象之间又有何关系？________.教师投影出示问题．引出课题——y＝ax2＋k的图象和性质．学生观察、思考、回顾回答．学生猜想、交流，初步了解本节课所要研究的问题．二、合作交流，探究新知1．实践例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1和y＝x2－1的图象．解：先列表：教师课件演示例题中的两个函数图象的画图过程．教师引导：(1)画图步骤：①列表；②描点；③连线．(2)两个函数可以在一个表格中列出自变量与函数对应值表．(3)两条抛物线也在同一坐标系中画出．学生课前画出这三条抛物线，课上结合自己的图象仔细观察课件中的图象．2．思考讨论(1)抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？(2)抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？(3)它们的形状由什么决定？它们的位置关系由什么决定？结论：①教师先让学生观察自己画出的图象，再观看多媒体动画演示．通过图象上下平移，让学生观察总结得出结论．教师引导：两条抛物线的关系，可以从以下几个方面来探究：形状、大小、位置．学生仔细观察、大胆猜想、细致总结，小组交流．②三条抛物线的形状大小完全一样，抛物线y＝x2向上平移1个单位就可得到抛物线y ＝x2＋1，向下平移1个单位就可得到抛物线y＝x2－1.③抛物线y＝x2、y＝x2＋1、y＝x2－1形状由二次项系数决定，图象的位置由常数项＋1、－1决定．教师适时引导、点拨：仔细观察平移过程，你发现了二次函数y＝x2、y＝x2＋1、y＝x2－1图象的大小、形状有什么规律？它们之间位置有什么规律？教师补充完善．3．思考把抛物线y＝2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3、4个单位呢？由此，你会得出怎样的猜想？把你的想法说给同学听听．小结：(1)一般地，把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位，就得到抛物线y＝ax2＋k；把抛物线y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位，就得到抛物线y＝ax2－k.(2)抛物线y＝x2＋1与y＝x2－1可以经过怎样的相互平移得到？教师引导学生画图、观察、思考、归纳总结得出结论．教师点拨：抛物线y＝x2＋1沿y轴向下平移1个单位得到抛物线y＝x2，再向下平移1个单位就得到抛物线y＝x2－1；反之y＝x2－1也可以向上平移得到抛物线y＝x2＋1.学生类比观察、归纳总结，小组交流得出结论．三、运用新知，深化理解例2(补充) 在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1，指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标．解：列表可以看出，抛物线y＝－x2－1是由抛物线y＝－x2＋1向下平移两个单位得到的．y＝－x2－1的开口方向：向下；对称轴：y轴；顶点坐标(0，－1)．y＝－x2＋1开口方向：向下；对称轴：y轴；顶点坐标(0，1)．教师投影例2，让学生独立完成后，再小组交流．教师引导：例2中的两个函数图象与例1中的图象相比，开口方向不同，平移规律不变．学生独立解决后，与同伴交流看法．小结：抛物线y＝ax2＋k(k＞0)向下平移2k个单位就可得到抛物线y＝ax2－k(k＞0)；抛物线y＝ax2－k(k＞0)向上平移2k个单位就可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0)．抛物线y＝ax2＋k开口方向由a的符号决定(a＞0，开口向上；a＜0，开口向下)，对称轴都是y轴，顶点坐标(0，k)．教师引导学生得到平移规律．y＝ax2＋k型的二次函数图象平移由k决定，k由小变大，则向上平移，反之，向下平移，平移的距离是大k与小k的差．四、课堂练习，巩固提高1．教材P10练习．2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．通过本节课的学习，你有哪些收获？从二次函数y＝ax2＋k的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和大小等方面去总结．2．你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听听．师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识．教师聆听同学的收获的同时，认真解决同学的疑惑，教师补充完善．学生归纳、总结自由发言，学生体会、反思．六、布置作业1．学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”．2．教材P24习题26.2第1(1)题．。
华东师大版九年级下册数学26.2二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时二次函数y
a>0
a<0
图象
26.2 二次函数的图像与性质
(续表)
(1)抛物线开口向上，并向上无限延 (1)抛物线开口向下，并向下无限延
伸．
(2)对称轴是直线 x＝－2ba，顶点坐 b 4ac－b2
图象 标(3是)在－对2a称，轴的4a左侧.，即当_x_<_－__2b_a 与 性质 时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴
26.2 二次函数的图像与性质
[备选例题] 如图 26－2－33，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图 象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为(12，1)， 下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；④a＋b ＋c＜0.其中正确的个数是( C )
A．1 C．3D．4
B．2
图26－2－33
26.2 二次函数的图像与性质
活动2 教材导学
1．二次函数的一般式化顶点式
(1)画函数 y＝x2－2x＋3 的图象时，我们可以把函数关系式 配方成__y_＝__(_x_－__1_)_2＋__2_______． (2)画函数 y＝12x2－Байду номын сангаасx＋3 的图象．
①先配方：
y＝12(x2－__4_x___)＋__3__(一次项和二次项放括号里，并提出
26.2 二次函数的图像与性质
新知梳理
知识点一 把二次函数y＝ax＋2 bx＋c(a≠0)化为顶点式 若把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 展开，将发现 y＝a(x－h)2＋k ＝ax2－2ahx＋(ah2＋k)，即是说二次函数 y＝a(x－h)2＋k 可 以化为二次函数的一般式 y＝ax2＋bx＋c 的形式．反过来，二 次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)也可通过配方法转化为 y＝a(x －h)2＋k(a≠0)的形式．
华东师大版九年级数学下册26.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-第4课时
一、课前预习 阅读课本第16～18页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入 1．同学们回顾一下如何确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的 开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的增减性．
2．你能作出 y＝12x2－6x＋21 的图象吗？
三、新知探究 ●探究1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1. 说出下列函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标：
(1) y 2x2 x 3
(2) y 3x2 4x 1
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标 为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
例：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
答案：(1)直线x＝1，顶点坐标为(1，3)； (2)图象略； (3)y1＜y2.
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，试确定
a、b、c、2a＋b、2a－b、a＋b＋c、a－b＋c的符号．
解析：a＋b＋c、a－b＋c的符号，要看当x＝1和x＝－1时，
对应的y值的正负性，涉及2a与b的问题，往往要看对称轴．
26．2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
（第4课时）
教学目标 1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象． 2．会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、 对称轴，并确定y随x的增减性． 3．由抛物线y＝ax2＋bx＋c来判断a、b、c、2a＋b、2a－b、a －b＋c、a＋b＋c的符号． 教学重点和难点 重点：1.用配方法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标； 2．会用描点法画y＝ax2＋bx＋c的图象并能说出图象的性质． 难点：由y＝ax2＋bx＋c的图象，得出a、b、c及与a、b、c有 关代数式的正、负．
26.2.2 二次函数y=ax2 bx c的图象与性质 第4课时 华东师大版九年级下册数学
A.y=(x-4)2+7
B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7
D.y=(x+4)2-25
2.抛物线y=-2(x-2)2+3化为y=ax2+bx+c,则a= -2 ,b= 8 ,c= -5 .
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.已知二次函数y=-2x2+4x-3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是( A )
注意:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 问题2：你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 2
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3：二次函数 y 1 (x 6)2 3 可以看作是由 y 1 x2 怎样平移得到的？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.函数y＝ 1 (x－2)2＋1图象开口 向上 ，对称轴为直线 x＝2 ，
2
顶点坐标是 (2，1).
2.函数y＝ 1 (x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝ 1 x2的图象
2
2
向右平移2个单位再向上平移1个单位 得到的.
1
3.函数y＝ 2 (x－2)2＋1具有哪些性质? 当x＜2时，函数值y随x的增大而减小，当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；
2
2
平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
华东师大版数学九年级下册 26.2.2 第4课时 二次函数y=ax2-bx+c的图象与性质 教案
6.2 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与性质教学目标 【知识技能】1.经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的过程.2.能通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次函数的性质. 【数学思考与问题解决】通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程，让学生从中学会探索新知识的方式、方法. 【情感态度】经历求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合的数学思想方法. 【重点难点】重点：通过配方法把二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)化成y=a(x-h)2+k(a ≠0)的形式，求对称轴和顶点坐标.难点：二次函数性质的综合应用. 教学过程 一、复习回顾1.写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴. (1)y=2x 2；(2)y=3(x-1)2；(3)y=-x 2+1；(4)y=3(x-2)2+3.2.填空：(1)x 2+6x+______=(x+______)2； (2)x 2-25x+______=(x-______)2； (3)x 2+6x-9=(x+______)2+______； (4)x 2-5x+8=(x-25)2+______. 二、情境引入不画出图象，你能直接说出函数y=-21x 2+x-25的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?三、问题探究问题1 (1)将函数y=x 2-12x+42写成y=a(x-h)2+k 的形式，并确定这个抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.说明：①复习回顾第2题学生不难完成，对有困难的学生要给予引导. ②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫做配方法.并指出与用配方法解一元二次方程的异同点.(2)根据解题方法，解决情境引入中的问题.问题2 你能根据上面的方法写出抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗?说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识.最后教师给出解答.y=ax 2+bx+c=a(x 2+a b x)+c=a(x 2+a b x+(a b 2)2-(a b 2)2+c=a(a b 2)2+ab ac 442-.所以顶点坐标为(-a b 2，a b ac 442-)，对称轴为直线x=-a b2；若a>0，则抛物线的开口向上，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x=-a b 2时，函数值y 取最小值a b ac 442-；若a<0，则抛物线的开口向下，当x>-a b 2时，函数值y 随x 的增大而减小，当x<-ab2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x=-a b 2时，函数值y 取最大值abac 442-.这就是二次函数y= ax 2+bx-c 的图象特征与性质.问题3 请你画出二次函数y=-2x 2+4x+6的图象. (学生讨论合作完成)解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2-2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-2［(x-1)2-1］+6=-2(x-1)2+8.因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 由对称性列表：描点、连线，如图所示.说明：(1)列表选值时，应以对称轴直线x=1为中心，间距要适当，函数值可由对称性得到.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.思考：画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，应注意什么?四、巩固练习1.基础练习.(1)抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是直线x=______.(2)二次函数y=2x2-2x-1的图象的顶点是______，当x______时，y随x的增大而减小.(3)教材第18页练习第1、2题(1)(3).(4)教材第18页练习第3题(2)(4).2.拓展练习.(1)开口向下的抛物线y=(m2-2)x2+2mx+1的对称轴经过点(-1，3)，则m=______.(2)已知抛物线y=x2-(a+2)x-9的顶点在坐标轴上，求a的值.五、本课小结本节课你有哪些收获?(1)教师引导学生从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值及平移规律等总结.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的画法.六、作业必做题1.教材第18页练习第2题(2)(4).2.教材第18页练习第3题(1)(3). 选做题3.当a>0时，求抛物线y=x 2+2ax+1+2a 2的顶点所在的象限.4.已知抛物线y=x 2-4x+h 的顶点在直线y=-4x+1上，求抛物线的顶点坐标. 板书设计二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质 说出抛物线y=-21x 2+x-25的开口方向、对称轴和顶点坐标. y=ax 2+bx+c=a(x 2+a bx)+c =a ［x 2+a b x+(a b 2)2-(ab 2)2］+c=a ［(x+a b 2)2-224a b］+c=a(x+a b 2)2+a b ac 442二次函数y=ax 2+bx+c 的图象特征： 1.开口方向： 2.对称轴： 3.顶点坐标： 4.升降：二次函数y=ax 2+bx+c 的性质：。
华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和 性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大 而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的 当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞ 增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向 下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛 物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2
华东师大版九年级下册数学26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(1)
特征是( A
) B．顶点坐标相同 D．都有最大值
A．对称轴为y轴 C．开口方向相同
12．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2， y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A．a＞0 C．a≥0 B．a＜0 D．a≤0
A
)
13．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C
8．将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位，则所得
y＝2x2＋1 ． 图象对应的函数关系式为____________
9．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，
4 ． －3 ，c＝______ 则a＝_______
1 1 10．在同一个直角坐标系中作出y＝2x2，y＝2x2－1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； 1 1 (2)抛物线y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？
B
)
4．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，1)的抛物线的表
2＋1 答案不唯一 ， 如 y ＝ x 达式___________________________．
1 2 5．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－ 2 x ＋1的图象上，
y1＜y2 且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系为_____________ ． 下 6．二次函数y＝－3x2－4的图象开口向_________ ，顶点坐标为 (0，－4) ，对称轴为______ y 轴，当x＞0时，y随x的增大而 ____________ 增大 ，因为a＝－3＜ 减小 ；当x＜0时，y随x的增大而_________ __________
1 2 解：图象略．(1)y＝ x 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；y 2 1 2 ＝ x －1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1) 2
华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x
新华东师大版九年级数学下二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(含答案).docx
（新课标）华东师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞06．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或27．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A．6 B．5 C．4 D．38．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________ ．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________ （填“上升”或“下降”）．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________ ．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________ ．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________ ．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= _________ ．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________ 个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：二次函数的性质．分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，∴其顶点坐标在第一或四象限，∵当x=0时，y=2，∴抛物线一定经过第二象限，∴此函数的图象一定不经过第三象限．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小考点：二次函数的性质．分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．解答：解：∵y=2x2，y=x2开口向上，∴A不正确，∵y=﹣2x2，开口向下，∴有最高点，∴C不正确，∵在对称轴两侧的增减性不同，∴D不正确，∵三个抛物线中都不含有一次项，∴其对称轴为y轴，∴B正确，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．解答：解：∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2考点：二次函数的性质．专题：数形结合；分类讨论；方程思想．分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．解答：解：分三种情况：点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B．5 C．4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A． y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．故选：C．点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．二．填空题（共6小题）9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 1 ．考点：二次函数的性质．分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，∴m﹣1=0，解得m=1，故答案为：1．点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．解答：解：∵y=2x2﹣1，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为：上升．点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，∴抛物线的对称轴为直线x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，即直线x=2．故答案为：x=2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3 ．考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案为：a＜﹣3．点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．解答：解：由题意得，﹣=2，解得m=8．故答案为：8．点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．考点：二次函数的图象．分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；解答：解：列表得：﹣2 ﹣1 0 1 2y=2x28 2 0 2 8y=2x2+1 9 3 1 3 9点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A （2，0）．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，解得x=，x=，当m=时，m2+=（）2+===3，当m=时，m2+=（）2===3，m2+=3．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．解答：解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为（，）；（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），∴，∴；（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，∴m2﹣m﹣6=m，即m2﹣2m﹣6=0，解得，．点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．解答：解：（1）无数；（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．解得：x1=﹣1，x2=﹣2．∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得a=﹣1．∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．根据“伴侣二次函数”定义可得∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．当﹣h≠m时，a1=﹣a2当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．（1）请求出该函数图象的对称轴；（2）在坐标系内作出该函数的图象；（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．解答：解：（1）；（2）图象（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点所以直线x=1为所求直线当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，令﹣x2+2x+3=kx+b整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0即：k2﹣4k+16﹣4b=0又因为y=kx+b，过点p（1，5）所以5=k+b所以k2﹣4=0解得k=±2，当k=2时，b=3；当k=﹣2时，b=7所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
解：有公共点．由(1)可得，该二次函数的表达式为 y＝－136x2＋98x＋3. b2－4ac＝982－4×－136×3＝26245＞0， ∴二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴有两个公共点． ∵－136x2＋98x＋3＝0 的解为 x1＝－2，x2＝8， ∴公共点的坐标是(－2，0)和(8，0)．
【答案】C
10．【中考·黄石】以 x 为自变量的二次函数 y＝x2－2(b－2)x
＋b2－1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围
是( A )
A．b≥54 C．b≥2
B．b≥1 或 b≤－1 D．1≤b≤2
11．【中考·云南】已知二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经 过 A(0，3)，B－4，－92两点．
(2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对 称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的一个动点，求 点Q的纵坐标yQ的取值范围．
解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1，
∵点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到 对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6， ∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6， －21)，∵点Q为抛物线上点M、N之间(含点M、N)的 一个动点，∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5.