(完整word版)第一章求极限练习题答案

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第一章求极限练习题答案

n dAl l th i nb ea rgo1．求下列极限：(1) 解：原式===22221lim(1)n n n n →∞++-2221lim 21n n n n n →∞++-+22112lim 211n n n n n→∞++-+(2) 解：原式==(3) 解：原式20lim(1)x x x →+12lim[(1)]x x x →+2e 3x →==(4) 解：原式=3x →x →141lim (1)xx x e →∞-=1(5) 求.解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-0x ≠当当当lim cos cos cos 242nn x x x→∞==cos cos (2cos sin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞ 1cos sin22lim 2sin 2n n nx xx →∞-sin lim 2sin 2n nn x x →∞ ==(6) 解：原式==sin 2lim()sin 2n n nx x x x →∞A sin x x limx lim x (7) limx lim x 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令 2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (8)解：原式=n →∞Al th ng i nt hi n g2n n →∞→∞==1.3 函数的极限作业1.根据函数极限的定义,验证下列极限:(1) 解: ,要使, 即,31lim0x x→∞=0ε∀>3311|0|||x x ε-=<||x >只要取,则当时,恒有 , 所以. X =||x X >31|0|xε-<31lim0x x→∞=(2) 解: ,要使,2x →=0ε∀>|4||2|2x ε-=<<还要使，即，或，只要取,0x ≥44x -≥-|4|4x -<min{2,4}δε=则当时,恒有 , 所以. 0|4|x δ<-<|2|ε-<42x →=2.求下列数列极限:(1) 22212lim(12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而，，2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++故222121lim(122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ (2)解：原式=n →∞2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 解：原式=-9(2) 解：原式==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+a re (3)解：原式=1x→11x x →→==(4) 解：原式=x →∞x =(5) 解：原式=2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(6) 解：原式=2121lim()11x x x →---211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+4.设，分别讨论在，和23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪-⎩()f x 0x →1x →时的极限是否存在.2x →解：，，故不存在.0lim ()2x f x -→=0lim ()1x f x +→=0lim ()x f x →，趋向无穷大，故不存在.1lim ()2x f x -→=1lim ()x f x +→1lim ()x f x →，，故.2lim ()1x f x -→=2lim ()1x f x +→=2lim ()1x f x →=1.43．求下列函数极限：(1) =-9(3) ==4225lim 3x x x →+-224lim 2x x x →--2lim(2)x x →+1x →1x x →→==(7) 00h h h →→→===(9) =x →∞x =ngsin(11) =2(21)(32)lim(21)xx xx→∞--+226723lim4412xx xx x→∞-+=++(13) lim lim0x x==(15) =2121lim(11x x x→---211(1)11lim lim112x xxx x→→---==--+2. 设，分别讨论在，时的左右1100()01112xxxf xx xx-⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪<<⎪≤<⎪⎩()f x0x→1x→极限，并说明这两点的极限是否存在.解：，，故001lim()lim11x xf xx--→→-==-00lim()lim0x xf x x++→→==00lim()lim()x xf x f x-+→→≠不存在.，lim()xf x→11lim()lim1x xf x x--→→==11lim()lim11x xf x++→→==.11lim()lim()x xf x f x-+→→=1lim()1xf x→=1.51．求下列极限：(1)00sin3sin3lim lim333x xx xx x→→=⋅=00tan333(3)lim limsin444x xx xx x→→==2220002sin22(5)24()2x x xxxxxx→→→⋅===注:在，.0(0,)Uδ2sin02x≥220002(5)4x x xxx→→→===Al ng snt he (7) 解: 原式=0x →0x →=202sin sin lim sin 2x x x x x x→→+==42021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换.错原式=0x →0→ (8)1sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式==2022sin cos 2sin 222lim2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++0sin (cos sin )222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++===00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++A 02lim 12x x x β→A 1β注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.错 =01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-202112lim 12x x xx x βββ→+=+33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim(lim[(1]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++113330(13)lim(13)lim[(13)]xx x x x x e →→+=+=4. 当时，下列函数中哪些是的高阶无穷小，哪些是的同阶0x →x x无穷小，哪些是的低阶无穷小？x32(1)1000x x+322001000lim lim(1000)0x xx xx xx→→+=+=解：因为321000()x x o x+=所以3(2)2sin x32002sin sinlim lim2sin0x xx xxx x→→=⋅=解：因为3sin()x o x=所以(3) 解:ln(1)x+100ln(1)lim lim ln(1)1xx xxxx→→+=+=因为ln(1)~x x+所以(4) 解: ，1cos x-20002sin sin1cos22lim lim lim(sin)022x x xx xx xxx x→→→-===A因为1cos()x o x-=所以(5) 解: 因为==2，故是的同sinx x+sinlimxx xx→+sinlim(1xxx→+sinx x+x阶无穷小.解: 因为==，x→131233sin11lim[()cosxxxx x→A A∞的低阶无穷小.或：因为=xx→0x→是的低阶无穷小.x→x思考题：1．==9=911331lim(39)lim9(13xxx x x xxx x→+∞→+∞+=+A A1331lim9[(1]3x xxxx→+∞+A0e2．，因为当时，.arccotlimxxx→=∞0x→arccot2xπ→习题2.2 1．求下列函数的导数：解：2(1)cosy x x=+'sin2y x x=-+(3) 解：（注：）sin cosy x x e=++'cos1y x=+(cos)'0e=(5) 解2cos2xy='2cos(cos)'22x xy=A==2cos(sin)('222x x x-A A2cos(sin)22x x-cos sin22x x-A解：(7)sin3y x='3cos3y x=解：2(9)sin(1)y x x=++2'(21)cos(1)y x x x=+++解：3(11)lny x=+1139'(ln)'(3ln)'222y x xx x x=+=+=(6) 解：=6(21)y x=+5'6(21)2y x=+A512(21)x+(10) 解：=ln(ln)y x=1'(ln)'lny xx=11ln x xA(11) 解：ln(sin)y x=1''(sin)'siny xx=+1cossinxx+A2．在下列方程中，求隐函数的导数：(1)解：cos()y x y=+'sin()(1')y x y y=-+⋅+(2)解：222333x y a+=113322'033x y y--+=3. 求反函数的导数：(1)解：lny x x=+1111dxdydydx x===+(2) 解：，故arcsin xy e=sin lnx y=1cos lndxydy y=⋅4. 求下列函数的导数(1) 解：2siny x x='y=22sin cosx x x x+(5) 解：3(3)lny x x=23221'3ln3lny x x x x x xx=+=+解：1ln1lnxyx-=+21ln1ln'(1ln)x xx xyx+---=+211lnyx=-++eanrb22212'0(1ln)(1ln)yx x x x=-⋅=-++(7) 解21cosy xx=1'2cosy xx=+2x1(sinx-12cosxx+2x1(sinx-(9)ln(y x=+''y x=+==解：(10) 解：12 (0)xy x e a=->112'2x xy xe x e=+A(ln(x xa a a--(11) arccos xyx=-arccosln(1lnxy xx=-+-解：1'yx=-+2arccos1xx x=+2arccos xx=-ln(13)xy x=2ln ln(ln)x x xy e e⋅==解：ln ln11'2ln2lnx xy x x x xx-=⋅⋅=⋅(14) cos(sin)xy x=解：，对该式两边求导数得ln cos ln siny x x=11'sin ln sin cos cossiny x x x xy x=-+cos'(sin)(sin ln sin cos tan)xy x x x x x∴=-+(15) 解：，对该式两边求导y x=11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x=+--+数得1111'2(1)2(1)yy x x x=---+Al t he (10)解：arcsin lnx y x =-'[ln(1(ln )'y x =++-(1'1x+(2)x -1x +1x4. 求反函数的导数：(1)解：ln y x x =+1111dxdy dydx x===+arcsin xy e =解：，故求下列参数方程的导数：sin ln x y =1cos ln dx y dy y =⋅'y 211(1)(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-⋅+-+===+-+解： (2) 解：3233131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dy dy at t t dt dxa x at t dx a t dt t +-⋅-+===+-⋅-+(3) 解：2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若在点连续，且。

极限部分练习题答案

《极限部分练习题》参考答案1. 42lim416--→x x x解1 ()()()()()()84244x 48422lim 42lim4424344243416416++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x()()()()84216x 416lim4424316+++-+-=→x x x x x x 418888448424lim4424316=++++=++++=→x x x x x .解2 ()()4122121lim 222lim 42lim41644416416=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式4+x ，显然解2比解1简单.2. 求a 的值，使得411lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x a解 a aa xx aa xx xx e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，41=∴-a e ，即4=ae ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x sin 11sinlim 解 101sin 1lim 11sinlim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x xx x x x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限xx x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1lim ∞→时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.4. 当∞→n 时，n 1sin2与k n1等价，则=k ？解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→kn kn k k n n n n n n n ，2=∴k .5. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x xx x xx x x x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→2121212212212212211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→2121212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x xx xxe e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→11221lim 1221lim 21212. 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 21121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？解在()3222+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .8. xxx 3sin 11lim0--→解1 ()()()()xx xx x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim113sin 1111lim 3sin 11lim000 ()()616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2~1111xx x ---+=--，所以当0→x 时，()2~1111x x x ---=--，于是由无穷小量替换法得613lim 3sin 11lim 00==--→→x 2xx x x x .9. xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→12lim 解1 31212212211lim 21lim 1121lim 1121lim 12lim e e e x x x x x x x x x x xx x x x xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→131131lim 131lim 12lim 331x x x x x x x xx xx333311131lim 131lim e e x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→. 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0解 110sin lim 1sin lim sin 11sinlim 000=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x 1sin lim 0时应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.11. 623lim 2232--++-→x x xx x x解 ()()()()()5231lim 2321lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .12. hx h x h 330)(lim -+→解1 ()()2220322033333lim 33lim limx h xh x hh xh h x hx h x h h h =++=++=-+→→→. 解2 ()()()[]()()[]2220220333lim lim limx x x h x h x hx x h x h x h hx h x h h h =++++=++++=-+→→→.【注】解1中分子是直接将二项式()3h x +展开再减3x ，而解2中分子是直接对()33xh x -+应用立方差公式. 13. 321lim3--+→x x x解 ()()()()()()41211lim 2133lim 2132121lim 321lim3333=++=++--=++-++-+=--+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 14. ()x x x x -+++∞→)2)(1(lim解 ()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-+++∞→+∞→212121lim )2)(1(lim()()()()23123123lim2323lim 2121lim222=++++=++++=+++-++=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x x x x x x x x . 【注】仿上步骤可知，()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-++-∞→-∞→212121lim )2)(1(lim()()()()+∞=+++-+=++++=+++-++=-∞→-∞→-∞→123123lim2323lim 2121lim222x x xxx x x x x x x x x x x x ，即极限()x x x x -++-∞→)2)(1(lim不存在，所以()x x x x -++∞→)2)(1(lim 也不存在，故将原题改为()x x x x -+++∞→)2)(1(lim .15. xx xx x e e e e 2223lim ++-+∞→解1 21231lim 23lim 322=++=++--+∞→-+∞→x x x x x x x x e e e e e e .解2 令xe u =，则当+∞→x 时，+∞→u ，故由无穷小量分出法，有212311lim 231lim23lim32222=++=++=+++∞→+∞→-+∞→uu u u u u e e e e u u x x xx x .16. xxx x 3sin sin 2tan 2lim+-+→ 解 ()()()xx x xx x x xxx x x sin 2tan 2sin sin 2tan 2sin 2tan 2lim sin sin 2tan 2lim3030+++++++-+=+-+→→ ()()xx x x x x x x x x x sin 2tan 2sin 1cos 1lim sin 2tan 2sin sin tan lim 2030+++-=+++-=→→ ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅-=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin cos 1lim 20（以下分3种作法） ① 原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin 2sin 2lim 220 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅⋅=→x x x x x x x xxx sin 2tan 21cos 1sin 242sinlim 2222220 241221111121sin 2tan 21lim cos 1lim sin lim 22sin lim21002020=⨯⨯⨯⨯=+++⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→→→x x x x x x x x x x x .② 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅+⋅-=→x x x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11sin cos 1lim 220 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅+=→x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim cos 11lim000=⨯⨯⨯=+++⋅⋅+=→→→x x x x x x x .③ Θ当0→x 时，2~cos 12x x -，且22~sin x x ，∴由无穷小量替换法，原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 12lim 220⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x sin 2tan 21cos 121lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim 2100=⨯⨯⨯=+++⋅⋅=→→x x x x x . 17. xx x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 22解 x x xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→222111lim 1lim xx x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞→∞→11111lim 11111lim 1 1111lim 11lim 111=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→--∞→ee x x xx xx . 18. ()xx x 3sin 21ln lim 0+→ 解1 ()()()xx x xx x x x x x x x x x x 33sin 21ln lim 32333sin 221ln 21lim 3sin 21ln lim 21000+=⋅⋅+=+→→→()x x x x xx 33sin lim 21ln lim 320210→→+= ()321ln 3233sin lim 21lim ln 320210=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→e x x x x x x . 解2 ()3232lim 3sin 21ln lim 00==+→→x x x x x x （Θ当0→x 时，x x 2~)21ln(+，且x x 3~3sin ）.19. 9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，求=a ？解 Θa a a a a x x aa xx a a x aa x x xx x x e e e x a x a x a x a x a x a a x a x 21lim 1lim 11lim 11lim lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. ∴92=a e ，两边取对数，得3ln 29ln 2==a ，3ln =a .20. ()x x xx ++-∞→100lim2解 ()()()xx x xx xxx xx x x x x -+-+++=++-∞→-∞→100100100lim100lim 22225011001100lim100100lim100100lim2222-=-+-=-+=-+-+=-∞→-∞→-∞→xxx x x xx x x x x x x x .【注】解题过程中要特别注意的是，由于-∞→x ，故x ＜0，于是作到第3步骤后，分母中的根式x x x x x x 1001100110022+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（同样的情况前面也有遇到，请参见第14题【注】的第4步骤）.。

数学极限练习题考研

数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。

掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。

下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。

【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。

2020高等数学辅导讲义练习题参考答案

《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。

（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶）（C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

极限基础练习题及答案

极限基础练习题及答案极限是微积分中非常重要的一个概念，它在解决许多高阶数学和物理问题时起到了至关重要的作用。

针对极限的练习题有助于我们巩固和扩展对此概念的理解。

下面将为大家提供一些常见的极限基础练习题及答案。

1. 求极限(a) lim(x→0) sin(x)/x(b) lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)解答：(a) 对于极限lim(x→0) sin(x)/x，我们可以利用泰勒展开式展开sin(x)，得到sin(x)=x-1/6x^3+O(x^5)，其中O(x^5)表示x^5阶无穷小。

将此结果代入极限式中，可以得到lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) (x-1/6x^3+O(x^5))/x = lim(x→0) (1-1/6x^2+O(x^4)) = 1。

因此，该极限等于1。

(b) 对于极限lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)，我们可以将分子和分母都除以x^2，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (2 + 3/x)/(1 - 5/x) = (2 + 0)/(1 - 0) = 2/1 = 2。

因此，该极限等于2。

2. 求极限(a) lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)解答：对于极限lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)，我们可以将分子和分母同时除以e^x，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (1 + 2/e^x)/(1 - 3/e^x)= (1 + 0)/(1 - 0) = 1。

因此，该极限等于1。

3. 求极限(a) lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x(b) lim(x→∞) (3x^2 + 2x - 1)/(2x^2 - 5)解答：(a) 对于极限lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x，我们可以将分子有理化，得到lim(x→0) ((sqrt(1 + 3x) - 1)(sqrt(1 + 3x) + 1))/(x(sqrt(1 + 3x) + 1))。

第一章求极限练习题答案

2 1 21求下列极限:(1)lim n 22n n 1 (1 n)2解：原式= lim n22n n 1 n 22n=limn2t=2n阿1 2 x)x 解：原式=ymJ(1 x/] 12=e 2 (3) ^3解: 原式limx 3x 3(x 3)( d x 2)⑷ limx1)lim x 1叮=1(5)当x 0时，求lim cos- cos' L n 2 x C °S 刁 =lim n cos x cos x L (2cos-^sin 2 4 2n=limnX . Xcos sin2 2n 12 sin n2n=limnsin x 2n sin =2nxsinx 歹、 lim( g ) n X x 7sin n 2nsin x(6)lim x2 . 1 x sin x..2x 2 1 21x g- lim x x 一 2x 2limxlimx1 n2 n 1 1 y n ~2n lim( n n 1 n(n __ 2 n 2 n 2 2 ~2 n J) 22 n n n n(n 1)2_2n n n 1 而limn故 lim( ---------- n n 2 n 1y nn(n 2 2nD n(n 1)2 2n n 1limnn 2 n 2(8)”m( . n 3,；n .n .n) 解原式2= lim( (n乜)n. n 3 , n \ n . n 21.3函数的极限作业1.根据函数极限的定义，验证下列极限:¥: 角O13XmH X。

要使&。

1春，即|x|31只要取X [31]，则当|x| X 时恒有1130|X所以lim ^3x30.(2) lim . x 2x 4解：0要使"2| J|x 4| 2还要使x 则当0 |x0，即卩 x 4 4，或 |x 4| 时，恒有|'上2| 丄nL4| 4，只要取 , 所以lim \ xx ，min{2 ,4}, 2.求下列数列极限:(1) lim( n解：令y n 」-n n 1 n(n 1)因尹】n n nn(n 1)而 lim 2 2 -------nn n n1故 lim( ----------n n 2n 12 n 2 n 2 n 21 n2 n n 2n n n4 n -2 n n 2.n )y n n(n1 2 L2n卫n(n 1) 2 _ n 1lim 飞 n n-L22 n 1n 2 n limp, n 3，nn/ n 3屛(n Vn)、=nim(,n 3.n .n .J(2)1 2， -)n解3.求下列函数极限:、n n )27(1) limx I 解：原式=-9(2)lim 「 x 2x 2解：原式=[im(x 2)=4x . 1 x x 2 1 =lim x3 x (1 x x)2 ___ __ 2 lim ____________ ______ 1 ( ,3 x A x)(x 1) x 1 ( ；3 x J x)(x 1) lim( ■、x 2 1 . x 2 x1)解：原式=0广1干1 (5) lim x (2x 1)(3x 2)(6)(2x 2 11)211)4.设 f (x)解: 解：原式=0宁廿解：原式=lim (x 1)x 1 x 213x 2x x 1x>1x 2时的极限是否存在.lim f (x) x 0 2， lim x 0lim f(x)2， lim x 1x 1lim x 2 f(x)1， lim x 2f(x) 1， f(x)1.43.求下列函数极限:3 x 1 x x 21=lim x ,分别讨论f(x)在故lim f (x)不存在.x 0 f (x)趋向无穷大，故1，故 lim f (x) x 2m 2H XHXx (1 x) ____ 3 1 (；3 x .1 x)(x 2 1)1.f (x)不存在.X /Vm2HX 一一4-4=2)lim --------- x 1 (.3 x2、1 x)(x 1) 、2 4h h7X叫H hhhh叫叫Hh1 -h0 4lim x 1 , lim f(x) lim1x 1x 1x 1lim f (x) lim f (x)x 1x 1⑶ lim^tan3x lim 3xx 0sin4x x 0 4xlim f(x)不存在.lim f(x)X 0x 1⑼ lim( 、.、x 21 x(11)lim x(2x 1)(3x 2)2 (2x 1) =lim6x 2 7x 2 4x 2 4x 1(13)lim x limx24x 2(15) I x m 1( x 21、 r (x 1)「 1) = lim 2lim 1 x 1 x 1x 21 x 1x 1121x 0x 12.设 f (x)0 x 0 ，分别讨论 f (x)在x 0， x 1时的左右x 2 *2x x 2x 0 x 1 11 x 2极限，并说明这两点的极限是否存在解: lim f (x) lim ——x 0x0 x 11 , linn f (x) x 0lim xx 0，!心)lim f(x)1.51.求下列极限:(1) sin 3xlim x 0sin 3xlim3 3x 0lim f(x) 1.(5) lim 02cosx 1 cosxx m2、、2sin — 2sin2i2.xsin - 2_ 2xsin 2xx 2 100在U0(0,)0 42.x sin -.1 cosx 1 cosxm oH X xsin x cosx22sin2sinHX2 2 2 1T X 2 X 4• 2 x sin —2原式= lim-01 xsin x cos xsin 2 - G 1 xsin x cosx)22xsin x sin x --- glim i.2 x x 0sin —21一 1 xsin x cosx21 xsin x sin x = -lim 2x0(f)22lim (竺^ x 0 x.2sin xx 2)=4 注意：代数和中的一部分不能用无穷小替换2错原式二佃一1—x 0 • 2X r -------------- :—f 、sin 一(、1 xsinx cosx)2lim0 x 21x 2(1 xsinx cosx) 4m o H X1 sin x cosxdisin x cos x解:原式= lim x 0 2sin - cos- 2sin 2—2 2 2 2 x ~2 =limx .x,x . x 、 sin (cos sin ) 2 2 2 x 、 sin ) 2 2 0 x sin (cos 2x 2" = lim x 0 sin2x cos 2 .x sin Jimx x 0 x . cos sin.xsin 2 x 2 2 x =lim 2 -0 x 2 g 1 = -注意：代数和的一部分不能用无穷小替换错 lim-01 1 sin x cosxK 叫1 2x 2x 1 sin x cos xx 2(9) hm(1^1H xe 3 (11) lim( ^^)x 2lim[(1 x x 2x 2“1 12x(13川叫(1 333x)x lim[(1 3x)3x]e4. 0时，下列函数中哪些是x 的高阶无穷小, 哪些是x 的同阶无无穷小？(1) x 3 1000x 2解：因为 3 lim — x 0 1000 x 2x lim x 0 (x 2 1000x) 所以 x 3 1000x 2 o(x) 2sin 3x 2sin 3 x 解：因为 lim ----------- x 0 xlim 2sin x所以sin 3x o(x)ln(1 x)解:因为 limx ln(1 x)0 xlim ln(1 x 01x){1所以 ln(1x)〜x1 cosx 解:1 因为lim 1x 0cosx x 2si n 2° lim 20 x.xsi n —lim(sin 刍——)0 ，xx 0、 2 2所以 1 cosx o(x) (5) x sinx 解：因为无穷小.X-SinX= lim(1 SinX ) =2, 故 x sinx 是 x 的同阶 x x 0x(6) Vtan x 解：因为 I]叫 ^tan x= lim[(sin x 、+ 1 1、 )3g 厂gj )=cos 3 x x 3x00 x叫3的低阶无或：因为思考题:1. lim (3xx19x )xarccotx2. limx 0xzgx cosx =0，sin xlim 9(1 ”吐3xgx= lim x9[(1 ,因为当x 0时,故3 tan X 是x 的低阶无穷小.1严=9e 0=9arccot x(1) y习题2.2 1.求下列函数的导数:cosx x 2解: y' si nx 2xsin x x cose 解：y' cosx 1(注：(cose)' 0)(5)cos 2 —解 y' 2cos x g(cos-)'2 2 2x .. = 2cos ㊁a sin2 '= 2cos*g( sinf)x . x cos^gsin =1 . -sin x 2⑺y si n3x 解: y' (9) y sin (x 2x 1)解(11) y In x In x 3解:(6)y (2x 1)6解：y'(10)y In (In x)解：y'(11)y3cos3 xInxIn (sin x)556(2x 1) g2=12(2x 1)y' ©I n x)'(3 Inx)'2y' (2x 1)cos(x x丄(In x)'= —g^ =InxInx x1)丄2xy' —(sinx)'= 1 g 1 —gsosx = 1 cot xsin x , x 2 * x sin x 2x2.在下列方程中，求隐函数的导数: (1)y cos(x y)解：ysin(xy) (1 y')故y'汽蛊弋2(2)x 3y 3 a 3 解：2x32 3y13y0，故 y'3.求反函数的导数:(1)yInx解：21 dy dxarcsinx 卄⑵ ye 解:x sin In故 dy cosIn1 cosI n y y ------- y y 4.求下列函数的导数(1) yx 2s inx 解：y'2xs inx x 2 cosx(3) y x 3In x 解：y' 3x 21nxx 3 - 3x 2 In x xx 2 (5) y 屮1 In xx1 In x 1 In xy' xIn x)2 x(1 In x)2y'(12 In x)22x(1 In x)y' 2xcoslxx 2(sin 1)|(1)' = 2xcos- 解:2y x_ 1 1= 2xcos — si n —x x(9) ln(x解: y' =(x 4x 24)'(12x 2*=) 4x 2 4(10)1 y' 2xe x1 x 2ge x g 1 1 xx x 2xa =y' 2xe x e x 一2x . x1x(a0)(11) yarccosx , 1. 1 x 2 小In解:y' 1x arccosx、1 x 2 ________x 2 1 .1 x x 1(a In a)— JxarccosxIn(1 、 12x 2*1x 2xa x (x 2) In x1 x. 1 x(13) y arccosx(1 .1x x 2) *；1 x 2 Inx解:In x In xee (lnx)2y' In xx(14) y cosx(sin x)解：Q Incosxlnsin x ,sin xln sin xarccosx2 x2ln2xInx 1In x对该式两边求导数得1 cosx cosx sin xy' (sin x)cosx( sinxln sinx cosxtanx)(1)Q ln y ln12(1 x)(10)arcs inx1 1 r r tx ln(1 x) ln(1 x),对该式两边求导2 2y'1 1(x 1 x2)xy' 1 X2arcs inxx2[ln(1 、1 x2)]' (l nx)'x x 1 x2arcsinxx2TV—12g(i TV)'1 .1 xx 1 x2arcsinx—X2—1=X2—1 :1 x2121 x22x)x x 1 x2arcsinxx2, rr (1 d_x2) x2x 1 x2arcsinx—x厂厂X2—1X.12x ；1 x2arcsinxx2~x24.求反函数的导数:(1) y x Inx解:dxdy 1dydxarcs inxy e解：x sinlny，故coslnX y1t 1解: tFVdydx(ty'(t)x'(t)cosl n yy5.1)2 t 2(t4(t 1)1(t 1)2求下列参数方程的导数y':1)—LJt 16at(1 t 3) 3at 2 3t 2(1 t 3)2 3at(2 t 3) 3a(1 x 3) 3at 3t 23a(1 2t 3)(1 t 3)2(2) lim—血 lim F(x) F(a)所以 f(x) (x a) F(x)在 x a 可导x ax a x a例题：设f(x)可导，求下列函数y 的导数 3 (1) y f (x 2) dx(2) y f(sin 2x) f (cos 2 x)解：(1) y' (f(x 2))'f'(x 2) (x 2)'2x f '(x 2)(2 )字(f (sin 2x))' (f (cos 2 x))' dx2 2 2 2f '(sin x)(sin x)' f '(cos x)(cos x)'2sin xcosx f '(sin 2 x) 2cos xsin x f '(cos 2 x)3atx ln(1 t 2)y t arcta ntdydy d t11 t2 2tt 2 2t 1 t 22 .若F(x)在点a 连续，且F(x) 0问：(1) f (x)x a F (x)(1)f '(a)limf(x) f(a)lim (X a) F (x) 0lim F(x) F(a)X ax a Xax a x af '(a)f (x) f (a) limlim(X a)F(x) F(a)X ax aX ax af '(a)f '(a)所以 f(x)X a F(x)在 xa 不可导f (x) (x a) F (x)在点x a 是否可导?f ⑵叫 f(x) f(2)• •军角3 2 t t a13dy dxdy dt dxdt1 t 3t(2 t 3) 1 2t 3解：由已知 limF(x) F(a) 0x a例题: 设 f(x)X 2 x 2，函数 f(x)在 x ax bx 22处可导，应如何选取常数 a 和 b 解: lim f (x) lim (ax b) 2a b lim f (x) x 2limx 24因为f (x)在x 2处可导，所以连续，从而有2a(1)limx 2ax b 4 x 2limx 2ax(2a x 2d lim4 a x 2x 2sin 2x [ f '(sin 2 x) f '(cos 2 x)]xx 2 4 lim --------x 2 x 2 x 2因为 f(x)在x 2处可导则f (2) f ⑵即：a 4(2) 由(1)( 2)可得:4例题：设f (x).1sin 1 cosx x 0 x 0求 f '(x) f "(0)解：x0时,f'(x) f'(0) 所以 A 3 14x sinx3 . 1 4x sinx lim f(x) f(0)x 0lim x 01 x cos- x2 1 x cos- x 4 • 1x sin x x/ 4 • 1 (x sinx-4) x sin x cosx cosx)'sin x lim(x x 03 1sin x 2si n 2° 2 x 1-) f'(x)4x 3.1 sin x 2 1 x cos- x sin x f'(x) f "(0) limx 0x 0f '(0)limx 04x 3s in 1 x21 -x cos sin xxx 0。

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1．求下列极限：(1) 2221lim (1)n n n n →∞++- 解：原式=2221lim 21n n n n n →∞++-+=22112lim 211n n n n n→∞++-+=2 (2) 20lim(1)x x x →+解：原式=12lim[(1)]x x x →+=2e(3) 32lim3x x →- 解：原式=3x →=x →=14(4) 1lim (1)x x x e →∞-解：原式=1(1)lim1xx e x→∞-=1(5) 0x ≠当时，求lim cos coscos242nn x xx→∞.解：原式=cos cos(2cossin )2422lim2sin 2n n n n x x x x x →∞=1cos sin 22lim 2sin 2n n nx xx →∞-=sin lim 2sin 2n nn x x →∞=sin 2lim()sin 2nn n x x x x →∞=sin x x (6) 21sinlim x x 解：原式=21limx x x=limx=limx =(7)22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n=+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++(8) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==1.3 函数的极限作业1. 根据函数极限的定义,验证下列极限: (1) 31lim0x x→∞= 解: 0ε∀>,要使3311|0|||x x ε-=<,即||x >只要取X =,则当||x X >时,恒有 31|0|x ε-<, 所以31lim 0x x →∞=.(2) 42x →= 解: 0ε∀>,要使|4||2|2x ε-=<<,还要使0x ≥，即44x -≥-，或|4|4x -<，只要取min{2,4}δε=,则当0|4|x δ<-<时,恒有|2|ε<,所以42x →=. 2. 求下列数列极限:(1) 22212lim()12n nn n n n n n n→∞+++++++++ 解：令2221212n ny n n n n n n n =+++++++++ 因 2222(1)(1)12122211n n n n n n ny n n n n n n n n n n ++++++++=≤≤=++++++++ 而2(1)12lim 2n n n n n n →∞+=++， 2(1)12lim 12n n n n n →∞+=++，故222121lim()122n n n n n n n n n →∞+++=++++++(2) n →∞解：原式=2n n →∞→∞==3．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+- 解：原式=-9(2) 224lim 2x x x →-- 解：原式=2lim(2)x x →+=4(3) 21lim1x x →-解：原式=14x x →→==-(4) x →∞ 解：原式=0x =(5) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+ 解：原式=226723lim4412x x x x x →∞-+=++ (6) 2121lim()11x x x →--- 解：原式=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 4. 设23 2 0() 1 01 1 x>11x x f x x x x ⎧⎪+≤⎪=+<≤⎨⎪⎪-⎩ ，分别讨论()f x 在0x →，1x →和2x →时的极限是否存在.解：0lim ()2x f x -→=，0lim ()1x f x +→=，故0lim ()x f x →不存在. 1lim ()2x f x -→=，1lim ()x f x +→趋向无穷大，故1lim ()x f x →不存在. 2lim ()1x f x -→=，2lim ()1x f x +→=，故2lim ()1x f x →=.1.43．求下列函数极限：(1) 225lim 3x x x →+-=-9(3) 224lim 2x x x →--=2lim(2)x x →+=4 1x →14x x →→==-(7) 000h h h →→→===(9) x →∞=0x =(11) 2(21)(32)lim (21)x x x x →∞--+=226723lim 4412x x x x x →∞-+=++(13) limlim0x x == (15) 2121lim()11x x x →---=211(1)11lim lim 112x x x x x →→---==--+ 2. 设10100()01112x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪<<⎪≤<⎪⎩，分别讨论()f x 在0x →，1x →时的左右极限，并说明这两点的极限是否存在. 解：001lim ()lim11x x f x x --→→-==-，00lim ()lim 0x x f x x ++→→==，00lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠ 故lim ()x f x →不存在.11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim11x x f x ++→→== 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→= 1lim ()1x f x →=. 1.51．求下列极限：(1) 0sin 3sin 3lim lim 333x x x xx x→→=⋅=00tan 333(3)limlim sin 444x x x x x x →→==222200022sin 222(5)lim 2sin 224()2x x x x x x x xx→→→⋅===⋅ 注:在0(0,)U δ，2sin 02x ≥.222000222(5)lim 2sin24x x x x x x x →→→===(7) 02cos lim sin 2x x x →解: 原式=2021sin cos lim sin cos )2x x x xx x →+- =2002sin sin lim lim 1sin 2x x x x x x x →→++ =2021sin sin lim2()2x x x xx →+220sin sin 2lim ()x x x x x →=+=4 注意: 代数和中的一部分不能用无穷小替换. 错原式=0x →220212lim 1cos )4x x x x x →+ (8) 01sin cos lim1sin cos x x xx xββ→+-+-解: 原式=2022sin cos 2sin 222lim 2sin cos 2sin 222x x x x x x x βββ→++=0sin (cos sin )222lim sin (cos sin )222x x x x x x x βββ→++=00sin cos sin 222limlim sin cos sin222x x x x x x x x βββ→→++=02lim 12x x x β→=1β 注意: 代数和的一部分不能用无穷小替换.错 01sin cos lim 1sin cos x x x x x ββ→+-+-=202112lim 12x x x x x βββ→+=+ 33333(9)lim(1)lim[(1)]xx x x e x x →∞→∞+=+=244424(11)lim()lim[(1)]22x x x x x e x x +---→∞→∞--=+=++113330(13)lim(13)lim[(13)]x x x x x x e →→+=+=4. 当0x →时，下列函数中哪些是x 的高阶无穷小，哪些是x 的同阶无穷小，哪些是x的低阶无穷小？32(1)1000x x +322001000lim lim (1000)0x x x x x x x→→+=+=解：因为 321000()x x o x +=所以3(2)2sin x 32002sin sin lim lim 2sin 0x x x x x x x→→=⋅=解：因为 3sin ()x o x =所以(3) ln(1)x +解: 100ln(1)limlim ln(1)1x x x x x x→→+=+=因为ln(1)~x x +所以 (4) 1cos x -解: 2002sin sin1cos 22limlim lim(sin )022x x x x xxx xxx →→→-===因为，1cos ()x o x -=所以(5) sin x x + 解: 因为 0sin limx x x x →+=0sin lim(1)x xx→+=2，故sinx x +是x 的同阶无穷小. (6): 因为 0x →=1312033sin11lim[())cos x x xx x→=∞，故是x的低阶无穷小.或：因为0x→=0x →0x →x 的低阶无穷小. 思考题：1．11331lim (39)lim 9(1)3xxxx xxx x x →+∞→+∞+=+=1331lim 9[(1)]3x xx x x →+∞+=90e =9 2．0arccot limx x x →=∞，因为当0x →时，arccot 2x π→.习题2.2 1．求下列函数的导数：2(1)cos y x x =+解：'sin 2y x x =-+(3) sin cos y x x e =++解：'cos 1y x =+ （注：(cos )'0e =） (5) 2cos 2x y =解 '2cos (cos )'22x x y ==2cos (sin )()'222x x x -=2cos(sin )22x x -cos sin 22x x -=(7)sin 3y x =解：'3cos3y x =2(9)sin(1)y x x =++解：2'(21)cos(1)y x x x =+++3(11)ln y x =解：1139'(ln )'(3ln )'222y x x x x x=+=+=(6) 6(21)y x =+解：5'6(21)2y x =+=512(21)x + (10) ln(ln )y x =解：1'(ln )'ln y x x ==11ln x x(11)ln ln(sin )y x =解：1'(sin )'sin yx x =+11cos sin2x x x+2．在下列方程中，求隐函数的导数： (1)cos()y x y =+解：'sin()(1')y x y y =-+⋅+(2)222333x y a +=解：113322'033x yy --+=3. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dx dy dy dx x==+(2) arcsin x y e =解：sin ln x y =，故1cos ln dx y dyy=⋅=4. 求下列函数的导数(1) 2sin y x x =解：'y =22sin cos x x x x +3(3)ln y x x=23221'3ln 3ln y x x x x x x x=+=+解： (5) 1ln 1ln xy x-=+解：21ln 1ln '(1ln )x xx x y x +---=+211ln y x=-++ 22212'0(1ln )(1ln )y x x x x =-⋅=-++ (7) 21cosy x x=解1'2cos y x x =+2x 1(sinx -12cos x x +2x 1(sin)x -(9)ln(y x ='y x =+==解：(10)12(0)xxy x e a =->解：112'2xxy xe x e=+(ln (x x a a a --(11) arccos ln xy x =-arccos ln(1ln xy x x=--解：1'y x=-+2arccos 1x x x =-+2arccos x x =- ln (13)x y x =2ln ln (ln )x x x y e e ⋅==解： ln ln 11'2ln 2ln x x y x x x x x-=⋅⋅=⋅ (14) cos (sin )xy x =解：ln cos lnsin y x x =，对该式两边求导数得11'sin ln sin cos cos sin y x x x x y x=-+cos '(sin )(sin ln sin cos tan )x y x x x x x ∴=-+(15) 11x y xx -=+解：11ln ln ln(1)ln(1)22y x x x =+--+，对该式两边求导数得1111'2(1)2(1)y yxx x =---+11(1x xx x --+ (10)2arcsin lnx xy x =-解：'[ln(1(ln )'y x=++(11x +-1x +21(2)21x x --1x +1x4. 求反函数的导数：(1)ln y x x =+解：1111dxdy dydx x==+arcsin x y e =解：sin ln x y =，故1cos ln dx y dy y =⋅=求下列参数方程的导数'y ： 211(1)(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩242(1)2(1)'()1(1)1'()1(1)t t t dy y t t t dx x t t t +-⋅+-+===+-+解：(2)3233131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解：322332323326(1)333(2)(1)3(1)333(12)(1)at t at t dydy at t t dt dx a x at t dxa t dt t +-⋅-+===+-⋅-+(3)2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩ 解：222111221dy dyt dt tdx t dx t dt t-+===+2．若()F x 在点a 连续，且()0F x ≠。