最新易拉罐的优化设计知识分享

易拉罐形状和尺寸的最优设计

组员：邢登峰，张娜，刘梦云

摘要

研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以

节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）

易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部

分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解，

结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易

拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模

型：

2min (,)

(,)0.0

0s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩

用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度

与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之

比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型

圆台面积 2

()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93

时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下

底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分

割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱

体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐最优设计数学建模

问题重述

在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：

1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

一、问题的提出

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青

岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：

1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3. 设易拉罐的中心纵断面如图

⑴所示，即上面部分是一个正圆台，

下面部分是一个正圆柱体，什么是它

的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二、模型假设

1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。

2、易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。

3、实际测量允许有一定的误差。

4、问题二中的假设：

①在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；

②假设易拉罐侧面和底面的厚度相

同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；

三．模型的假设与求解

问题一：

我们测得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（单位mm）：(以后尺寸均以其为基本单位)

问题二：

本题建立在易拉罐是一个正圆柱体的基础之上，如图（2）

假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同。

1．符号说明：

r：易拉罐的半径；

h：易拉罐的高；

v：易拉罐内体积（容积）；

sv：易拉罐所用材料的体积；

b：易拉罐除顶盖外的厚度；

α：顶盖厚度参数，即顶盖厚度bα。

（2）

2．问题分析与模型

由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。

易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖

材料

2222

sv=(()-r )(h+(1+)b)+b r r b b r ππαπαπ++

将上式化简，并以,b α为参数，看作,r h 为自变量。

有2223(,)2(1)2(1)(1)sv r h rhb r b r b h b b παππαππα=+++++++

作简化，因为b r ，则23

,b b 很小，所以可将带23,b b 的项忽略。 有2

(,)(,)2(1)sv r h s r h rhb r b ππα≈=++ 记2

(,)g r h r h v π=-（v 是已知的，即罐容积一定）。 得数学模型

min (,)s r h

2(,)0.00g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩

3． 模型求解