2020年北京东城区高三一模数学试卷
2020年北京东城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 （其中是虚数单位），则（ ）．A. B. C. D.3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）．A. B. C. D.4.设函数，则（ ）．A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数5.已知曲线的方程为，则“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.一排个座位坐了个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与直线及的相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．A.B.C.D.8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为，则（ ）．A.B.C.D.9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的倍，若荷叶天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）．A.天B.天C.天D.天10.某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是，，，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设向量，不平行，向量与平行，则实数 .12.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则 ．13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．正主视图侧左视图俯视图14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（）、图（）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在中，，分别为，的中点，为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）（2）求证：．求直线和平面所成角的正弦值．17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，， ，，，求的面积．（1）（2）（3）18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：甲公司某员工乙公司某员工每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元．根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数．为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望．根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间；设函数，求证：当时，在上存在极小值．【答案】解析:∵，，∴．故选项正确．解析:∵，∴．故选．解析:抛物线的准线方程为：，与轴的交点的坐标为，故选B．解析:（1）（2）20.已知椭圆的右焦点为．求点的坐标和椭圆的离心率；直线过点，且与椭圆交于，两点，如果点关于轴的对称点为，判断直线是否经过轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．（1）（2）（3）21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：①；②；③是的因数（）．当时，写出数列的前五项．若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值．求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．C1.A2.B3.A4.∵，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴．故选．解析:要使曲线为焦点在轴上的椭圆，则，∴，即且，∴“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：．解析:根据题意，分步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法，个三口之家共有种排法；②将个整体元素进行排列，共有种排法；由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为．故选．解析:因为与即平行，且与的距离为，所以圆的半径．B 5.C 6.A 7.又因为圆心在直线上，且与，均垂直，所以由，解得交点坐标为，联立，解得交点坐标为，所以圆心坐标为的做点，所以圆方程为．故选．解析:设正项等比数列的公比为，由可得：，∵，∴，又与的等差中项为，∴，，，，∵，∴．∴．综上所述，答案选择．解析:荷叶覆盖水面面积与生长时间的函数关系式为．当时，长满水面，所以生长天时，布满水面一半．故选．解析:设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为，，，D 8.C 9.C 10.集合，，中元素个数分别为，，，则，，，，因为，且，，，所以，即．故选．11.解析:∵向量，不平行，向量与平行，∴，∴，解得实数．故答案为：．12.解析:根据题意，角的终边按逆时针旋转后经过点，则，，即①，②，联立①②，解得．（1）解析:由主视图可知，四棱锥的高为，底面是长为，宽为的长方形．故四棱锥的体积为．故答案为：．解析:①若抛物线方程为，则，四个点，，，，故抛物线过和抛物线方程为．②若抛物线方程为，则，∵，，，，∴抛物线过和抛物线方程为．综上所述，抛物线方程为或．解析:∵观影人数时，∴时，为成本，即，∴②中减低成本（表现为利润亏损减少），③中成本不变，∴②③正确．解析:∵，，分别为，的中点，∴，∵是的中点，∴，∴，13.或14.②③15.（1）证明见解析（2）16.（2）又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴．设为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线和平面所成角的正弦值是．解析:若选①．∴．又在中，∴，而，．∴，．见解析，面积为17.．而，．∴．若选②．∴．又．∴．又．∴．∴，．而．∴．若选③．∴，．又．∴．而，．∴，．，（1）（2）（3）而．∴．面积为．解析:甲公司员工在这天投递快件数的平均数为：，由表可知，众数为．设为乙公司每天投递件数，所得劳务费记为，则当时，元，当时，，∴的可能取值为，，，，，，，，，，∴的分布列为：元．由上表数据，甲公司每位员工在该月所得劳务费为元，（1）平均数：，众数：．（2）．（3）甲：元，乙：元．18.甲甲（1）（2）（3）乙公司每位员工在该月所得劳务费为元．解析:由得．由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为．由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：极小所以当时，在上存在极小值．（1）（2）当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为．（3）证明见解析．19.（1）（2）（1）（2）解析:因为椭圆所以焦点，离心率直线过点，所以，所以．由，得（依题意）．设 ，，则，．因为点关于轴的对称点为，则．所以，直线的方程可以设为，令，．所以直线过轴上定点．解析:，，，，．因为，所以，，又数列的前项互不相等，①当时，若，则，且对，都为整数，所以；若，则，且对，都为整数，所以；②当时，（1）焦点，离心率（2）定点坐标20.（1），，，，．（2）的值为，，．（3）证明见解析．21.（3）若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；若，则，且对，都为整数，所以；综上，的值为，，．对于，令，则．又对每一个，都为正整数，所以，其中“”至多出现个．故存在正整数，当时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及均为整数，所以，故常数．从而常数．故存在正整数，使得时，为常数．。
2020东城高三一模数学试题答案
东城区2019-2020学年度第二学期教学统一检测高三化学参考答案及评分标准2020.5注：学生答案与本答案不符时，合理答案给分。
选择题（共42分）题号1234567答案B D A A C A D 题号891011121314答案ADDBDCB综合题（共58分）15.（11分）（1）铁比铜活泼（2）①O 2＋4e －＋2H 2O =4OH－4Fe(OH)2＋O 2=4FeOOH ＋2H 2O②6：2：1③铁质文物在潮湿环境中表面生成疏松的FeOOH ，水、氧气能通过孔隙使铁继续发生吸氧锈蚀；在干燥空气中形成致密的Fe 2O 3，隔绝了铁与水和氧气的接触，阻碍锈蚀（3）①Fe 2O 3＋6NaCl ＋3H 2O =6NaOH ＋2FeCl 3（Fe 2O 3+H 2O ====2FeOOH ）②氯、溴、碘同主族，形成的阴离子随电子层数增加半径增大（或体积增大），穿透能力减弱（4）HNO 3和AgNO 3（5）16.（13分）（1）羰基羟基（2）（3）（4）保护—CH 2OHCl —（5）（6）（7）水解反应、消去反应17.（10分）（1）CO 32-＋H 2OOH -+HCO 3-（2）Cu 2(OH)2CO 3＋4CH 3COOH =2(CH 3COO)2Cu ＋3H 2O ＋CO 2↑（3）醋酸铜的溶解度随温度变化较大，温度越高溶解度越大，温度降低溶解度减小（4）2Cu 2+＋4I -=2CuI↓＋I 2（5）因为CuSCN 不吸附I 2，通过反应CuI(s)＋SCN-CuSCN(s)＋Cl -，使CuI 吸附的I 2释放出来与Na 2S 2O 3反应。
（6）6.4bv/a %18.（11分）（1）氧化（2）（3）H 2（4）Cu ＋NO 3-=NO 2—＋CuO 或H 2＋NO 3-======NO 2—＋H 2O（5）①Pd 表面单位面积吸附的2NO -数目减小②增大2NO 2—＋6H =N 2＋4H 2O ＋2OH -（6）先调节溶液的pH 到12，待NO 3—几乎完全转化为NO 2—后，调节pH 到419.（13分）（1）Ag +＋223S O -=Ag 2S 2O 3↓（2）H +、24SO -Pd-Cu/TiO 2得到的24SO -是氧化产物，必然要生成其他还原产物（3）22322S O + 2H S + SO + H O-+↓ （4）过量Ag +与223S O -结合，使c (223S O -)降低，Ag 2S 2O 3＋3S 2O 32-2[Ag(S 2O 3)2]3-逆向移动，析出沉淀（5）逐滴滴加AgNO 3时，Ag 2S 2O 3的溶解速率大于分解速率；迅速混合时部分Ag 2S 2O 3来不及溶解即发生分解，分解产物不能再溶于Na 2S 2O 3（6）Na 2S 2O 3和AgNO 3物质的量之比大于2:1，在不断搅拌下将AgNO 3溶液缓缓加入到Na 2S 2O 3溶液中。
北京市东城区2020学年度高三数学综合练习(一)
北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若将复数i i +2表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab的值为 ( ) A ．-2 B ．21- C ．2 D ．212.命题甲“sin sin αβ>”,命题乙“αβ>”,那么甲是乙成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.设B A ,为x 轴上两点,点P 的横坐标为2,且PB PA =,若直线PA 的方程为01=+-y x ,则直线PB 的方程为 ( )A.072=-+y xB.012=--y xC.042=+-y xD.05=-+y x 4.若非零向量a,b 满足=a +b b ,则下列不等关系一定成立的是 ( ) A .22>+a a b B .22<+a a bC .22>+b a bD .22<+b a b5.已知函数bx x x f +=2)(的图像在点))1(,1(f A 处的切线与直线320x y -+=平行,数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2009S 的值为( )A ．20082007 B ．20092008 C ．20102009 D ．201120106.数列{}n a 共有6项,其中三项是1,两项为2,一项是3,则满足上述条件的数列共有( )A ．24个B ．60个C ．72个D ．120个7.已知命题:“y y x ,⊥若∥z ,则z x ⊥”成立,那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形不能( ) A.都是直线 B.都是平面 C.y x ,是直线,z 是平面 D.z x ,是平面,y 是直线8.函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为( )A.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-122022x x x 或 B. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-122221x x x 或 C. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<≤-220221x x x 或 D. ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-02222x x x 且北京市东城区2020学年度综合练习（一）高三数学（理科） 第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2} 2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线C：x2−y2b2=1(b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．√2C．√3D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞) 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a→=（m，1），b→=（1，﹣2），c→=（2，3），若a→−b→与c→共线，则实数m ＝．12．在（x+2x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝，sin∠ABD＝．15．设函数f(x)={a(x+1)，x＜0，2x−a+2a−x，x≥0．给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a＞0)，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数f(x)=√x−2x2+1的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数f(x)=√x−2x2+1，令x−2x2+1≥0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知21+ai=1−i(a∈R)，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵21+ai=1−i，∴2＝（1+ai ）（1﹣i ）＝1+a +（a ﹣1）i ，∴{1+a =2a −1=0，即a ＝1． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 4．若双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x +1平行，则b 的值为（ ） A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b ＞0)的一条渐近线y ＝bx 与直线y ＝2x +1平行，可得b ＝2．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可． 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D 1﹣BCD ，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC ＝4，BC ＝3，DD 1＝2∴三棱锥的体积是13×12×4×3×2＝4故选：A ．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．x+1x＜−2C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+1x＜−2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12，√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．(√32，12)B．(−12，√32)C．(−√32，12)D．(−√32，−12)【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2；点M的初始位置坐标为(12，√32)，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（−√32，12）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”⇒AB→•AC→＞0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“|AB→+AC→|＞|AB→−AC→|”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．(0，√22)C．(0，√22]D．[√22，+∞)【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（y22，y），y＞0，所以PA的中点M（y2+24，y2），所以k OM=y2y2+24=2y2+y2=2y+2y，因为y+2y≥2√2，所以0＜1y+2y≤22=√24，所以k OM∈（0，√22]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，x （t ）∈（25，30），y （t ）∈（0，50）， 此时二者总和x （t ）+y （t ）∈（25，80），由图象可知存在点x （t ）＝10，y （t ）＝100， x （t ）+y （t ）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），若a →−b →与c →共线，则实数m＝ 3 ．【分析】先求出a →−b →=（m ﹣1，3），再由a →−b →与c →共线，列方程能求出实数m ．解：∵向量a →=（m ，1），b →=（1，﹣2），c →=（2，3），∴a →−b →=（m ﹣1，3）， ∵a →−b →与c →共线，∴m−12=33，解得实数m ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x +2x）6的展开式中常数项为 160 ．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：在(x +2x)6的展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •2r •x 6﹣2r ，令6﹣2r ＝0，求得r ＝3， 可得常数项为C 63•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则√1+1=√1+1=r，解得a＝1，r=√22，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2=12．故答案为：（x﹣1）2+y2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD=2√7，则CD＝2，sin∠ABD＝√2114．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又BD=2√7，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即(2√7)2=（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由ADsin∠ABD =BDsin∠A，即6sin∠ABD =2√7sin60°，解得sin∠ABD=3√2114．故答案为：2，3√21 14．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15．设函数f(x)={a(x +1)，x ＜0，2x−a +2a−x ，x ≥0．给出下列四个结论：①对∀a ＞0，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 无解； ②对∀t ＞0，∃a ∈R ，使得f （x ）＝t 有两解； ③当a ＜0时，∀t ＞0，使得f （x ）＝t 有解； ④当a ＞2时，∃t ∈R ，使得f （x ）＝t 有三解． 其中，所有正确结论的序号是 ③④ ．【分析】可取a ＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f （x ）的值域，即可判断①；取a ＝0，判断f （x ）的单调性，即可判断②；考虑a ＜0时，求得f （x ）的值域，即可判断③；当a ＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f （x ）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a ＝3，则f （x ）={3(x +1)，x ＜02x−3+23−x，x ≥0，当x ＜0时，f （x ）＝3（x +1）∈（﹣∞，3）；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣3+23﹣x ≥2√2x−3⋅23−x =2，当且仅当x ＝3时，取得等号， 故a ＝3时，f （x ）的值域为R ，∀t ∈R ，f （x ）＝t 都有解，故①错误； 对于②可取a ＝0时，f （x ）={0，x ＜02x +2−x ，x ≥0，可得f （x ）在R 上单调递增，对∀t ＞0，f （x ）＝t 至多一解，故②错误；对于③，当a ＜0时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递减，可得f （x ）＞a ；又x ≥0时，x ﹣a ＞0，即有2x ﹣a ＞1，可得2x ﹣a +2a ﹣x ＞2，则f （x ）的值域为（a ，+∞）， ∀t ＞0，f （x ）＝t 都有解，故③正确；对于④，当a ＞2时，x ＜0时，f （x ）＝a （x +1）递增，可得f （x ）＜a ；当x ≥0时，f （x ）＝2x ﹣a +2a ﹣x ≥2，当且仅当x ＝a 时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ， ∵AB ⊥AC ，∴Dx ⊥DC ，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，2，0）， CB →=（1，1，0），CP →=（0，﹣1，1）， 设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅CB →=x +y =0n →⋅CP →=−y +z =0，取y ＝1，得n →=(−1，1，1)； 取平面PCD 的一个法向量m →=(1，0，0)． 则cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=3×1=−√33． 由图可知，二面角D ﹣PC ﹣B 为钝角，∴二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值为−√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数f(x)=asin(2x −π6)−2cos 2(x +π6)(a ＞0)，且满足_______． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围． 从①f （x ）的最大值为1，②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f （x ）的图象过点(π6，0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f （x ），若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f （x ）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f （x ）＝1求得方程的解，根据方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m 的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同． 若满足③，利用f （x ）的图象过点(π6，0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝a sin （2x −π6）﹣2cos 2（x +π6） ＝a sin （2x −π6）﹣cos （2x +π3）﹣1 ＝a sin （2x −π6）﹣sin （﹣2x +π6）﹣1 ＝（a +1）sin （2x −π6）﹣1，若满足①f （x ）的最大值为1，则a +1＝2，解得a ＝1， 所以f （x ）＝2sin （2x −π6）﹣1； f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）令f （x ）＝1，得sin （2x −π6）＝1， 解得2x −π6=π2+2k π，k ∈Z ； 即x =π3+k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f （x ）＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x =π3或4π3；所以实数m 的取值范围是[4π3，7π3）．若满足②f （x ）的图象与直线y ＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π， 且f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以﹣（a +1）﹣1＝﹣3，解得a ＝1； 以下解法均相同．若满足③f （x ）的图象过点(π6，0)， 则f （π6）＝（a +1）sin π6−1＝0，解得a ＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为350=0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P （X ＝0）=C 20C 42=16， P （X ＝1）=C 21C 21C 42=23， P （X ＝2）=C 22C 42=16， 所以X 的分布列为 X1 2 P162316所以X 的期望为E （X ）＝0×16+1×23+2×16=1； （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，它的上，下顶点分别为A ，B ，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l 1，l 2，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝c ，bc ＝2，求得b ，再由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD |，|MN |，运用菱形和椭圆的对称性可得l 1，l 2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l ，运用基本不等式，计算可得所求最大值． 解：（Ⅰ）因为四边形AF 1BF 2为正方形，且面积为2， 所以b ＝c ，且12•2c •2b ＝2，解得b ＝c ＝1，a 2＝2，所以椭圆的标准方程：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设l 1的方程为y ＝kx +m 1，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 设l 2的方程为y ＝kx +m 2，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 联立{y =kx +m 1x 2+2y 2=2可得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2＝0， 由△＞0可得16k 2m 12﹣4（1+2k 2）（2m 12﹣2）＞0，化简可得2k 2+1﹣m 12＞0，① x 1+x 2=−4km 11+2k2，x 1x 2=2m 12−21+2k2，|CD |=√1+k 2•|x 1﹣x 2|=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2•√(−4km 11+2k2)2−4⋅2m 12−21+2k2=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 121+2k2，同理可得|MN |=√1+k 2•2√2⋅√1+2k 2−m 221+2k，因为四边形CDMN 为菱形，所以|CD |＝|MN |，所以m 12＝m 22，又因为m 1≠m 2，所以m 1＝﹣m 2，所以l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C ，M 关于原点对称，D ，N 也关于原点对称，所以{x 3=−x 1y 3=−y 1且{x 4=−x 2y 4=−y 2，MC →=（2x 1，2y 1），ND →=（2x 2，2y 2），因为四边形CDMN 为菱形，可得MC →•ND →=0， 即x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（kx 1+m 1）（kx 2+m 1）＝0，即（1+k 2）x 1x 2+km 1（x 1+x 2）+m 12＝0， 可得（1+k 2）•2m 12−21+2k 2+km 1•=−4km 11+2k2+m 12＝0，化简可得3m 12﹣2k 2﹣2＝0， 设菱形CDMN 的周长为l ， 则l＝4|CD |=8√2√1+2k 2⋅√2k 2+1−m 121+2k 2=8⋅√33√2+2k 2⋅√1+4k 21+2k2≤8√33•12(2+2k 2+1+4k 2)1+2k =4√3，当且仅当2+2k 2＝1+4k 2，即k 2=12时等号成立，此时m 12＝1，满足①， 所以菱形CDMN 的周长的最大值为4√3．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a=1+lnxx有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a=1+lnxx两个不等的正根．令g（x）=1+lnxx，x＞0，g′（x）=−lnxx2，令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，12）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）=1x−2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x=12a，当x∈（0，12a）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（12a，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（12a）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：x n=n2，T（2）为满足不等式x n−x t≥t∗（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，t3≥x3−x1 2，∴t3=max{x3−x2，x3−x12}，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2≥x3−x2+x2−x12=x3−x12，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2=∑m i=3(x i−x i−1)≥∑m i=3t i−1＞（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。
2020年北京东城高三一模数学试卷及答案
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………………………………14 分
(17)（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) asin(2x π) cos2(x π) 1
6
6
asin(2x π) cos(2x π) 1
6
3
asin(2x π) cos[(2x π) + π] 1
6
62
(a 1)sin(2x π) 1 6
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2020年5月东城一模数学
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数 学本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =I(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2(2)函数()f x (A) -(,]12 (B) [,)2+∞(C) -(,)[,)11+-∞∞U (D) -(,)[,)12+-∞∞U(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-(4) 若双曲线222:1(0)-=>y C x b b的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为(A) 1(B)(C) (D) 2(5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为正（主）侧（左）俯视(A)4 (B)6(C)8 (D)12(6) 已知1x <-，那么在下列不等式中，不．成立的是 (A) 210x -> (B) 12x x+<- (C) sin 0x x -> (D) cos 0x x +>(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(,122，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是(A))12 (B) (-12(C) ()12(D) ()-12(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uuu r>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为(A) (0]，1 (B) 2(0， (C) 2(0， (D)2[)+∞(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ；(B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降； (C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；(D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年高三一模数学(理)北京东城区试题Word版(无解析)
2020年高三一模数学（理）北京东城区试题Word 版（无解析）【一】本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为〔A 〕{3} 〔B 〕 {3,4} 〔C 〕{1,2} 〔D 〕{2,3} 〔2〕ABCD 为平行四边形，假设向量AB =a ，AC =b ，那么向量BC 为〔A 〕-a b 〔B 〕a +b〔C 〕-b a 〔D 〕--a b〔3〕圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕的距离为〔A 〕〔B 〔C 〔D 〔4〕某游戏规那么如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，假设飞标到圆心的距离大于12，那么成绩为及格；假设飞标到圆心的距离小于14，那么成绩为优秀；假设飞标到圆心的距离大于14且小于12，那么成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为〔A 〕316 〔B 〕14 〔C 〕34 〔D 〕116〔5〕数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于 〔A 〕130 〔B 〕120 〔C 〕55 〔D 〕50〔6〕1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为〔A 〔B 〔C 〕2 〔D 1〔7〕定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.假设函数()f x 在区间(1,)k k -〔k ∈Z 〕上有零点，那么k 的值为〔A 〕2或7- 〔B 〕2或8- 〔C 〕1或7- 〔D 〕1或8-〔8〕向量OA ，AB ，O 是坐标原点，假设AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，那么称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n n k θ=，那么y x -等于〔A 〕1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔B 〕1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- 〔C 〕1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- 〔D 〕1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
东城区2020届高三一模数学试卷(含答案)
北京市东城区2019-2020高三一模线上统练数学二一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}220A x x x =∈-=R ，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.52.在复平面内，已知复数z 对应的点Z 与复数2i -对应的点关于虚轴对称，则点Z 的坐标为（ ）. A.()2,1B.()2,1-C.()2,1--D.()1,2--3.已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）. A.3B. C.24.下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）. A.22y x x =+，0x >B.C.10xy -=D.5.已知两个向量a r ，b r，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知α和β是两个不同平面，l αβ=I ，1l ，2l 是与不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（ ）. A.l 与1l ，2l 都不相交B.l 与1l ，2l 都相交C.l 恰与1l ，2l 中的一条相交D.l 至少与1l ，2l 中的一条相交7.两条平行直线230x y -+=和340ax y +-=间的距离为d ，则a ，d 的值分别为（ ）. A.6a =，3d =B.6a =-，3d =C.6a =，3d =D.6a =-，3d =8.数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ）. A.2635a a b b +>+ B.2635a a b b +=+C.2635a a b b +<+D.26a a +与35b b +大小不确定9.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）. A.512π B.2π C.712π D.23π 10.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）.A.91010aB.91010a-C.4510aD.4510a -第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
东城区2020届高三一模数学试卷(含答案)
北京市东城区2019-2020高三一模线上统练数学二一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}220A x x x =∈-=R ，则满足{}0,1,2A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A.2B.3C.4D.52.在复平面内，已知复数z 对应的点Z 与复数2i -对应的点关于虚轴对称，则点Z 的坐标为（ ）. A.()2,1B.()2,1-C.()2,1--D.()1,2--3.已知点()2,A a 为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）. A.3B. C.24.下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）. A.22y x x =+，0x >B.C.10xy -=D.5.已知两个向量a r ，b r，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知α和β是两个不同平面，l αβ=I ，1l ，2l 是与不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（ ）. A.l 与1l ，2l 都不相交B.l 与1l ，2l 都相交C.l 恰与1l ，2l 中的一条相交D.l 至少与1l ，2l 中的一条相交7.两条平行直线230x y -+=和340ax y +-=间的距离为d ，则a ，d 的值分别为（ ）. A.6a =，3d =B.6a =-，3d =C.6a =，3d =D.6a =-，3d =8.数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（ ）. A.2635a a b b +>+ B.2635a a b b +=+C.2635a a b b +<+D.26a a +与35b b +大小不确定9.若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[]0,a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）. A.512π B.2π C.712π D.23π 10.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）.A.91010aB.91010a-C.4510aD.4510a -第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市东城区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市东城区高三一模数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{|10}A x x =->,{1,0,1,2}B =-,那么A B =A.{1,0}-B.{0,1}C.{1,0,1,2}-D.{2}2. 函数()f x =A.(1,2]-B.[2,)+∞C.(,1)[1,)-∞-+∞D.(,1)[2,)-∞-+∞3. 已知21i 1ia =-+(R)a ∈,则a = A.1 B.0 C.1-D.2-4. 若双曲线222:1y C x b-=(0)b >的一条渐近线与直线21y x =+平行,则b 的值为A.1D.25. 如图所示,某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形,则该三棱锥的体积为 A.4B.6C.8D.126. 已知1x <-,那么在下列不等式中,不．成立的是 A.210x -> B.12x x+<- C.sin 0x x ->D.cos 0x x +>7. 在平面直角坐标系中,动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为13(,)2,则运动到3分钟时,动点M 所处位置的坐标是 A.(3,21)2 B.13(,)22- C.()3,212- D.(,3)221-- 8. 已知三角形ABC ,那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 设O 为坐标原点,点(1,0)A ,动点P 在抛物线22y x =上,且位于第一象限,M 是线段PA 的中点,则直线OM 的斜率的范围为A.(0,1]B.2(0,)C.2(0,]D.2[,+)∞10. 假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间在理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示,被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是A.若在1t ,2t 时刻满足：12()()y t y t =,则12()()x t x t =B.如果()y t 数量是先上升后下降的,那么()x t 的数量一定也是先上升后下降的C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。