量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章

第七章：粒子在电磁场中的运动

P367——7.1，7.2

证明在磁场B

中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：

[]

z

y x

c

q i v v B ˆ,2μ

= （1） []

x

z y

c

q i v v B ˆ,2μ

= （2） []y x z c

q i v v B ˆ

,2

μ

=

（3） [证明]根据正则方程组：

x x p H

x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=q A c q p H 2

21ˆ μ

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

-=x x x A c q p v

ˆˆ1ˆμ 同理 ⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛-=y y y A c

q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p p ˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=y y x x y x

A c q p A c q p v v

ˆˆ,ˆˆ1,2μ

]

[]

y

x

A A

c

q ˆ,ˆ2

2

μ+ （4） []

0ˆ,ˆ=y x p p

又A ˆ []

z x y

y x B c y x i c v v 22

,μμ

=

⎪⎪⎭

⎝∂-∂⋅

=

（因A B ⨯∇=ˆˆ）

其余二式依轮换对称写出。

P368证明在规范变换下

ψψρ*

= （1） [

]ψψμψψψψμ

*

*

*-

-=A c

q p p

j ˆˆ21 （2）

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=A c q p v ˆμ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式）

ψψc

iqf

e

→ （4）

则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：

ρ

ρψ

ψψψψψ

ρ='=⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛='*

*

-*

c

iqf

c iqf c iqf c iqf

e

e e e

又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入

()t r f A A , ∇+→

ψψψψμc

iqf

c iqf c

iqf

c

iqf

e

P e e

p e

j *

-

*

-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-='21 （5） 注意到算符的对易关系

推广到三维：()

)(F )(F ,ˆr i

r p

⋅∇=∇ 6） 令c

iqf e

r

=)(F 则有：

c

iqf e

p -=e

p c

iqf （7）

=-e p c iqf

(8)

将（7）（5）式成为：

()()

j A c

q p p f A c

q f c q p e e f c q p e e

j c

iqf

c iqf c iqf c iqf =--=∇+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇--⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+=*

***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9）

在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：

τ

ψψτψψτ

ψψτψψμd e f A e c

q d e p e d e f A c q p e d A c q p A c q p v c iqf

c iqf

c

iqf c iqf

c iqf

c

iqf

⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-

=

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-=

'⎪⎭

⎫ ⎝⎛'-''=

⎪⎭⎫

⎝⎛'-'='*

-

*-

*

-

*

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰ˆˆˆˆˆˆ

前式第一个积分可重复用（7）式，得：

v d A c q p d f A c q d f c q p e

e

v c

iqf

c

iqf '

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇+-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∇+=

'⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰**

*

-

μτψψτψψτψψμ ˆˆˆ

命题得证

P382——7.4 7.1——3.13 7.2——3.12

7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》225P ）

解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则

)B ,0, （1）

)0,Bx （2）

满足关系 A ⨯

粒子的x q p x C qB z ε-⎥⎥⎦

⎤+⎪⎭⎫2

2

（3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成

()()()

z

p y p i z y e

x z y x +=ψψ,, （4）

其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。

()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=

因此()x ψ满足方程