量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 科学出版社第7章
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第7章
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中 为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是 势的变换式：
v′
。 写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c
曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
量子力学(曾谨言)
d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
17
n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 E ( , T ) kT （Rayleigh–Jeans） 2 c
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出 同实验观测极为吻合的黑体辐射公式， 即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
E ( ) c1 e
3 c2 / T
E ( ) 8kT / c
14
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 nh 显示，即能量模式是不连续 的。
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性， 是指物体，小到光子、电子、原子，大 到子弹、足球、地球，都既有波动性， 又有粒子性。 频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称 为光子，或光量子。 光子的粒子性－光电效应； 光子的波动性－光的衍射和干涉。
24
光的波粒二象性
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在 了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完 整的概念，为后续课程以及将来从事材料 学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为 日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念 数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导 结论是收获－铭记结论在材料学中的作用
量子力学 曾谨言 习题解答
a
p dx 2
2m(E 1 m 2 x2 ) dx 2m 2 a
a2 x2 dx
a
2
a
2ma2 m a2 nh 2
得 a2 nh 2n m m
（3）
代入（2），解出
En n,
n 1, 2,3,
（4）
积分公式：
a 2 u 2 du u a 2 u 2 a 2 arcsin u c
abc a
b
c
nx , ny , nz 1,2,3,
当 a b c 时，
En n n xyz
2 2 2ma 2
(n
2 x
n
2 y
n
2 z
)
n n n xy z
3
2 2 a
sin nx x sin ny y sin nz y
a
a
a
nx ny nz 时，能级不简并；
nx , n y , nz 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
px dx nxh , nx 1, 2,3,
即
px 2a nxh （ 2a ：一来一回为一个周期）
px nxh / 2a ,
6
t 2m ，
u
k
mx t
，
参照本题的解题提示，即得
x,t
1 e imx2 2t 2
2m t
e i
/
4
k
k
mx t
d
k
（2）
m t
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1
第五章： 对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅]ˆ,ˆˆ[H p r =⋅=)],z y （２） ˆ[r⋅ x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-=xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=⋅p r dt d 由前式P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
《量子力学》曾谨严第七章习题
1 2
[ χ 1+/ 2 ( S 2 z ) χ 1 / 2 ( S 2 z ) + 0]
同理可证其它的正交归一关系。
χ
( 3) + S
χ
( 3) S
1 = [ χ 1 / 2 ( S1z ) χ 1 / 2 ( S 2 z ) + χ 1 / 2 ( S1z ) χ 1 / 2 ( S 2 z )] + 2 [ χ 1 / 2 ( S1z ) χ 1 / 2 ( S 2 z ) + χ 1 / 2 ( S1z ) χ 1 / 2 ( S 2 z )]
b1 = a1
χ 1+/ 2 χ 1 / 2 = 1 ，得 由归一化条件 a * * 1 (a1 , a1 ) = 1 a 1
即
2 a1 = 1
2
∴
a1 =
1 2
b1 =
1 2
h 对应于本征值 的本征函数为 2
χ1 / 2
1 1 = 1 2
a2 h 设对应于本征值 的本征函数为 χ 1 / 2 = b 2 2
h2 = 4
讨论： 讨论：由 S x 、 S y 的对易关系 [ S x ， S y ] = ih S z
h4 (S x ) 2 (S y ) 2 = 16
①
h Sz 要求 ( S x ) ( S y ) ≥ 4
2 2
2
2
h 态中， 在 χ 1 ( S z ) 态中， S z = 2 2
①求轨道角动量 z 分量 Lz 和自旋角动量 z 分量 S z 的平均值；
r e r e r ②求总磁矩 M = L S 2
的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
量子力学习题答案(曾谨言版)
同理有
[ x, F ] i F p
P75 习题3.14
解：设lz算符的本征态为m，相应的本征值mћ ˆ dx l *l
x
m x
m
1 * ˆ ˆ ˆl ˆ ) dx m ( l y lz l z y m i 1 * ˆ ˆ * ˆ ˆ [ m l y lz m dx m lz l y m dx] i 1 * ˆ ˆ ) * l ˆ dx] [m m ly dx ( l z m z m y m i 1 * ˆ * ˆ [m m ly dx m z m m l y m dx ] 0 i 类似地可以证明 l y 0
1 2 1 ipx p e dp 常数 ( x ) 2m 2
因此(x)=(x) 非能量本征态。 (d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：
( x, t ) C ( p) p ( x, t ) C ( p) p ( x , t )dp
p
Rnl ( r ) N nl l e 2F ( n l 1, 2l 2, )
园轨道（l = n－1）下的径向概率分布函数
n,n1 ( r ) Cr e
2 d n,n1 ( r ) 0 dr
2
2 n 2 Zr na
最概然半径 rn 由下列极值条件决定：
右边
C ( p )dp p ( x , t ) p ' * ( x , t )dx
C ( p ) ( p p ')dp C ( p ')
所以
C ( p ) p * ( x , t ) ( x , t )dx
量子力学
《量子力学》（第4版），曾谨言，科学出版社
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第七章：粒子在电磁场中的运动P367——7.1，7.2证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy xcq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz ycq i v v B ˆ,2μ= （2） []y x z cq i v v B ˆ,2μ=（3） [证明]根据正则方程组：x x p Hx v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c q p H 221ˆ μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A cq p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p p ˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x x y xA c q p A c q p v vˆˆ,ˆˆ1,2μ][]yxA Acq ˆ,ˆ22μ+ （4） []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ []z x yy x B c y x i c v v 22,μμ=⎪⎪⎭⎝∂-∂⋅=（因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
P368证明在规范变换下ψψρ*= （1） []ψψμψψψψμ***--=A cq p pj ˆˆ21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A c q p v ˆμ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式）ψψciqfe→ （4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：ρρψψψψψψρ='=⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='**-*ciqfc iqf c iqf c iqfee e e又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入()t r f A A , ∇+→ψψψψμciqfc iqf ciqfciqfeP e ep ej *-*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='21 （5） 注意到算符的对易关系推广到三维：())(F )(F ,ˆr ir p⋅∇=∇ 6） 令ciqf er=)(F 则有：ciqf ep -=ep ciqf （7）=-e p c iqf(8)将（7）（5）式成为：()()j A cq p p f A cq f c q p e e f c q p e ej ciqfc iqf c iqf c iqf =--=∇+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇--⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+=****-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9）在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。
写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式：τψψτψψτψψτψψμd e f A e cq d e p e d e f A c q p e d A c q p A c q p v c iqfc iqfciqf c iqfc iqfciqf⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛'-''=⎪⎭⎫⎝⎛'-'='*-*-*-*⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ˆˆˆˆˆˆ前式第一个积分可重复用（7）式，得：v d A c q p d f A c q d f c q p eev ciqfciqf '=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰***-μτψψτψψτψψμ ˆˆˆ命题得证P382——7.4 7.1——3.13 7.2——3.127.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。
（参《导论》225P ）解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则)B ,0, （1）)0,Bx （2）满足关系 A ⨯粒子的x q p x C qB z ε-⎥⎥⎦⎤+⎪⎭⎫22（3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()zp y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：()2222222222122z y y p p u x p uC qB q x uCB q xu H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()()22202222022222221222zyp pux uCB q x x uCB q xu ++--+∂∂-=（6）其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u p B C qB uC p uC qB q B q uCx y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符n E ⎝⎛=n ⎝⎛+= （8） 其中y P 和式（4）中 （9） ()ξn H7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征函数。
解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()0,0,εε=， ()B B ,0,0= （1）去电磁场的标势和矢势为x εφ-=， ()0,,0Bx A = （2）满足关系 φε-∇=， A B ⨯∇=粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()zp y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程(p x C qB p p u z y x ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：222222222y p uC qB q x uCB q xu H ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε()22221zyp pu++-= （6）其中 ⎪⎪⎭⎫+u p B C y ε（7） 式（6uCB q =ω再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221z y p p u x uC B q n E ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω 222221221z y p u p B C B u C uC q B n +--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=eH x x x n n （9） ()ξn H 为厄密多项式，()()00x x CB q x x u -=-=ωξ 。
7.1设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，电场方向为x 轴方向）[解] 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使0=x A Bx A y = 0=z AqxHz ε-=}ˆ2（1Hˆ,ˆ[H，z p ˆ守恒，ψ22x∂∂整理，并约去同因式)(z z p y y p i e +后，得到X （x ）的本征方程 )()(]})(2[212{222222222x EX x X p p x q eqBp x cB q xz y y=+++-+∂∂-μεμμ)()(]})(212[)()(22{222222222x EX x X Bcp p p qBcqBcp x c qBxy zy y =++++--+∂∂-μεμμμεμμμ（3）或者简写作)()(})(22{0202222x EX x X E x x x=+-+∂∂-ωμμ式中 20,qBq Bqcpx c qB yεμμω+≡=，2220)(212Bc p p p E y zy μεμμ+-+=方程式（3）明显的是一个沿x 方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是ω，振动中心在0x x =一点上，同时具有能量本征值： 0E E -其中0E 是有关于y 、z 方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 cqBn n E E μω )21()21(0+=+=- (4) 它的本征函数写作([)()(2120x H eC x X n x x n =--μωμω这个运动电荷的总能量E 是：p p cqB n E E zy μμ 2)21(220-+=++= （6）7.202)(r r V =[解] 将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量 令 =A ϕ 2(V 根据本章习题4中合 算符公式（2）再添上前述附加项：)(ˆ),(ˆ}22{})28(2]111[2{)(21)2(212]11[2ˆ21222222222222222222202222222222z H H z zcB q c B ic z c qB c B ic z H +=+∂∂-+++∂∂+∂∂+∂+∂∂-=+++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=ϕρμωμρμωμϕμϕρρρρμρμωρμϕμρρϕρρμ（1）哈氏算符的两面部分1ˆH 与ϕρ,有关，第二部分)(ˆ2z H 与z 有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分：)(),(),,(ϕϕρϕρψZ c z = （2） 得到：ZE Z zZE C cB qC c B ic CCCC22222122222222222222)28(2]11[2=+∂∂-=++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-μωμρμωμϕμϕρρρρμ（3） （3）式左方的哈氏算符),(ˆ1ϕρH 可以和ϕ∂∂=i l zˆ对易，因此),(ϕρc 可以和这个算符的本征函数有共同因式可设)(),(ρϕρϕR e C im = （4）22d R d ρ相当于第4题（5）0]4)2[(122222222122=--+++R mc B q E cmBq d dRd R d ρρμϕρϕ')5(')5(通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=22122221222222m m n k m m n c qB k E γμμμμ(6)式子的第一项是z 方向运动的能量，第二项代表与()ϕρ,有关横向能量，它与 hcqB 2=γ成正比，将（5）与')5(比较，令22222202222ωμωμγγ+⎪⎭⎫⎝⎛=+=c qB得到本题的能级如下：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22122120m m n k Eγμω（7）这各能量公式的第一项是z 向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中,2,1,0,2,1,0,2,1,0±±===m h k。