曾谨言量子力学课后答案

动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
∫ px ⋅ dx = nx h , (nx = 1, 2 ,3,L)
即
px ⋅ 2a = nx h （ 2a ：一来一回为一个周期）
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,L,
pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
它的角动量 pϕ = I ϕ. （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫ 2π 0
pϕ dx
= 2π
pϕ
= mh,
m =1,2,3,L
∴ pϕ = mh ，
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴
∂ ψ *ψ ∂t
= − h ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
2im
h
（3）
即
∂ρ ∂t
+∇⋅
v j
=
2V2 h
ρ
≠
0
，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积τ 积分，得
∂ ∂t
∫∫∫d τ
(3r ψ
*ψ
)=
−
h 2im
= V (x)
x=a
=
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0a x
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3 设ψ 1 和ψ 2 是 Schrödinger 方程的两个解，证明
d dt
∫
d
3 rψ
* 1
(rv, t
)ψ
2
(rv, t )
=
0
。
证：
Q
ih
∂源自文库 ∂t
1
= −
h2 ∇2 2m
+ V ψ 1
ih
∂ψ ∂t
2
= −
h2 ∇2 2m
+ V ψ 2
t
)ψ
2
(rv,
t
)
=
−
h2 2m
d
3r
ψ
2∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
[ ( ) ( ) ( ) ] ∫ = − h2 2m
d
3r
∇
⋅
ψ
2
∇ψ
* 1
−ψ 1*∇ψ
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3,L
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
∇2
+V
ψ
+ψ. −
h2 2m
∇2
+V
ψ
*
=
−∇
⋅
v s
+
Eψ. *ψ
+ψ. ψ
*
=
−∇
⋅
v s
+
E
∂ ∂t
ρ
（ ρ ：几率密度）
=
−∇
⋅
v s
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
所以
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
0
。
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
ih
∂ ∂t
ψ
(rv,
t
)
=
−
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
第一章、量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
( x)
=
∞,
0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有
a = n⋅λ 2
∴λ = 2a / n
(n = 1, 2, 3,L)
又据 de Broglie 关系
曾谨言量子力学课后答案
目录
第一章、量子力学的诞生...................................................................................................................................................1 第二章 波函数与 Schrödinger 方程 ...................................................................................................................................3 第三章、一维定态问题.......................................................................................................................................................8 第四章、力学量用算符表达与表象变换.........................................................................................................................20 第五章 力学量随时间的变化与对称性...........................................................................................................................33 第六章 中心力场...............................................................................................................................................................38 第七章 粒子在电磁场中的运动.......................................................................................................................................44 第八章 自旋.......................................................................................................................................................................46 第九章 力学量本征值问题的代数解法...........................................................................................................................50 第十章 定态问题的常用近似方法...................................................................................................................................55 第十一章 量子跃迁...........................................................................................................................................................66 第十二章 散射...................................................................................................................................................................70
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
0
v s
=
−
h2 2m
∂ψ * ∂t
∇ψ
+
∂ψ ∂t
∇ψ
*
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ 已归一化）
3
∫ E =
ψ
* −
h2 2m
∇2
+V
ψ
d
3r
=
T
+V
∫ V = d 3rψ *Vψ
（势能平均值）
（1） （2）
∫ T =
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
−
h2 2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
)]
其中 T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 0 。因此
∫ T = h 2 d 3r∇ψ * ⋅ ∇ψ 2m
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（3）
w = h 2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ +ψ *Vψ , 2m
∴ px = nxh / 2a ,
同理可得，
p y = ny h / 2b , pz = nz h / 2c ,
nx , ny , nz = 1, 2,3,L
粒子能量
Enxnynz
=
1 2m
(
p
2 x
+
p
2 y
+
p
2 z
)
=
π 2h2 2m
n x2 a2
+
n
2 y
b2
+
n
2 z
c2
nx , ny , nz = 1, 2,3,L
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2,L, p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
x ≤a
（1）
其中 a 由下式决定： E
∫∫∫d 3rψ *ψ τ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
− ih
∂ ∂t
ψ
*
=
−
h 2 ∇ 2ψ 2m
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
（2）
( ) ( ) ih
∂ ∂t
ψ
*ψ
= − h 2 ψ *∇ 2ψ −ψ∇ 2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) = − h 2 ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * 2m
（4）
且能量平均值
∫ E = d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
∂w ∂t
=
h2 2m
∇ψ. *⋅ ∇ψ
+
∇ψ
*
⋅ ∇ψ.
.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
h2 2m
∇
⋅
ψ.
*
∇ψ
+ψ.
∇ψ
*
− ψ. *
∇ 2ψ
+ψ.
∇ 2ψ
*
.
+ψ * Vψ
+ψ
*V ψ.
=
−∇
⋅
v s
+
.
ψ
*
−
h2 2m
∫∫∫∇ τ
⋅ (ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
)* d 3r
+
2 h
∫∫∫d τ
( 3rV2 ψ
*ψ
)
( ) ∫∫ ∫∫∫ = − h 2im S
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
⋅
v dS
+
2
h
τ
d 3rV2ψ *ψ
∫∫ 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ 的几率（ = −
v j
⋅
v dS
） ，而第二项代表体积τ 中“产