曾谨言量子力学课后答案
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曾谨严量子力学习题解答2
已知： ϕ ( x,0 ) =
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
1 [ϕ1 (x ) + ϕ 2 (x )] 2 1 1 ⎡ϕ1 ( x ) e − iE1t / h + ϕ 2 ( x ) e − iE2t / h ⎤ ⎡ϕ1 ( x, t ) + ϕ 2 ( x, t ) ⎤ = 则有：ϕ ( x, t ) = ⎣ ⎦ ⎦ 2⎣ 2 (2)求 x (t ) = ?
⎧ ⎛ nπ pa ⎞ ⎛ nπ pa ⎞ ⎫ a sin ⎜ − + ⎛ nπ pa ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ i⎜ − ⎟ ⎪ n +1 ⎪ ⎝ 2 2h ⎠ ⎪ 2 2h ⎠ ⎪ ⎝ = π h e ⎝ 2 2h ⎠ ⎨ + ( −1) nπ pa nπ pa ⎬ 2i ⎪ ⎪ − + 2 2h 2 2h ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
3. 《曾 P.163-5》 一维无限深势阱（如右图）中的粒子，设处于 ϕ n ( x ) 态。求其动量分布概率。当 n >> 1 时， 与经典粒子运动比较。 解：利用已知解：
⎧ 2 nπ x sin , ⎪ ϕn ( x ) = ⎨ a a ⎪0, ⎩
V ( x)
0
a
(0 < x < a) ( x < 0, x > a )
∗
5π 2 h 2 5 1 = = E1 = ( E1 + E2 ) 2ma 2 2 2
2 （4）求 H = ?
H = ∫ ϕ ∗ ( x ) H 2ϕ ( x )dx
2 −∞
+∞
=∫
+∞
−∞ a
1 1 ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ ⋅ H 2 ⋅ ⎡ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( x ) ⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
附量子力学答案 曾谨言
目录 退出 16
二．普朗克量子论的提出
Planck量子论:
对于一定频率的辐射，物体只
能以 能量单位h 不连续地发射或吸
收辐射能量。h 为Planck常数,能量单
位h 称为能量子。
Planck于1900年12月14日在德
国物理学会上报告了这个理论的推导，
以及根据辐射实验定出了Planck常
数。这日被定为量子理论的诞生日。
1 uv2 2
hv w0
阿尔伯特-爱因斯坦(1879-1955） 因发现光电效应定律，荣获了1921年 诺贝尔物理学奖 目录 退出 20
0.1.3 原子问题——Bohr(玻尔)的原子理论
一、原子模型问题
1、汤姆逊（J. J. Thomson）的原子模型：
正电荷均匀分布在原子中，而电子则以某种规律镶嵌其中。 ——局限在于无法解释原子散射实险中的大角度偏转现象。
该公式在低频段部分与实验曲线相符合，而在高频段有明显偏离（当 v 时，
Ev 成为发散的，即紫外发散困难）。
目录 退出 14
（三）普朗克（Planck）公式 普朗克分别从瑞利公式和维恩公式求出其能量的涨落，并将二者
相加作为插值公式的能量涨落，从而得出插值公式，即普朗克公式：
Evdv
c1v3dv exp(c2vT )
2、卢瑟福（E. Rutherford）的有核原子模型：
卢瑟福于1911年用 粒子对原子的散射，提出了有核原子模型：
原子的正电荷及大部分质量都集中在很小的原子中心，形成原子核，而电
子则围绕原子核旋转，该模型能很好地解释 粒子的大角度偏转问题，但
不能解释原子的稳定性问题和原子的大小问题。
目录 退出 21
量子力学 (Quantum Mechanics)
曾谨言量子力学导论(第二版)答案
= −∇ ⋅ s
所以
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
∂ω +∇⋅s = 0 。 ∂t
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
i
V1 与 V2 为实函数。
2 ∂ ψ (r , t ) = − ψ (r , t ) ∇ 2ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] ∂t 2m
得a =
2 +a +a
π
2
= mωπ a 2 = n h
2 n nh = mωπ mω
（3）
代入（2） ，解出
En = n ω, a 2 − u 2 du =
n = 1, 2 , 3 ,
（4）
积分公式：
∫
∫
2π
u a2 u arcsin + c a2 − u2 + 2 2 a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用
1 mω 2 a 2 。 2
−a
0
a
x
1
.
由此得
a = 2 E / mω 2 ，
（2）
x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 1 2 2 2 2 2 ∫ p ⋅ dx = 2 −∫a 2m( E − 2 mω x ) dx = 2mω −∫a a − x dx = 2 mω a 2 ⋅
∫p
即
x
⋅ dx = n x h ,
(n x
= 1, 2 , 3 ,
)
p x ⋅ 2a = n x h ∴ p x = n x h / 2a ,
（ 2a ：一来一回为一个周期）
同理可得，
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)3
第十章 定态问题的常用近似方法10－1) 设非简谐振子的Hamilton 量表为'0H H H +=222220212x u dx d u H ω+-= 3'x H β=（β为实常数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。
解：已知)0()0(0n n n E H ψψ=，()x H e N n x n n αψα2)0(22-=，()ω 21)0(+=n E n ，ωαu =()[]11121+-++=n n n n n x x ψψαψ ()()()()()[]22222112121+-++++++=n n n n n n n n n x x ψψψαψ()()()()()()()[]311333321113321221++--++++++++--=n n n n n n n n n n n n n n n x x ψψψψαψ计算一级微扰：n n n H E ψψ')1(=03==n n x ψψβ。
（也可由()⎰+∞∞-⋅==dx x x H En nn n32')1(βψ0＝（奇）直接得出）计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为0：()()',33332122n n n n H n n n x --=--=αβψβψ',1331322n n n n H n n x --=⋅=αβψβψ ()',133111322n n n n H n n x ++=++⋅=αβψβψ ()()()',333332122n n n n H n n n x ++=+++⋅=αβψβψ计算2'knH：()()622',3821αβ--=-n n n Hnn6232',19αβn H n n =- 6232',189αβn H nn =+()()()622',38321αβ+++=+n n n Hnn又ω 3)0(3)0(=--n n E E ，ω =--)0(1)0(n n E E ， ω -=-+)0(1)0(n n E E ，ω 3)0(3)0(-=-+n n E E ，∑-++=++=∴kk n knnnnnnnn E E HHEEEEE )0()0(2''')0()2()1()0(43222811303021ωβωu n n n ⋅++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)0()0()0('')0()1()0(k kkn knnnnn E E H ψψψψψ∑-+=+=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+--+---=++--)0(3)0(1)0(1)0(33)0(321311133213122n n n n n n n n n n n n n n n ψψψψωαβψ10－2) 考虑耦合振子，'0H H H += 参 书.下册§9.2()2221222221220212x x u x x u H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=ω 21'x x H λ-=（λ为实常数，刻画耦合强度） （a ）求出0H 的本征值及能级简并度。
曾谨言--量子力学习题及解答
dv ， 1
（1） （2） （3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c
8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零， 由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2
k
2 E
2
k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E
k
这里 =2θ，这样，就有
2
A B E
k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2） ，便有
A E
这样，便有
k n h 2
E
k
E
n h 2 k
nh
其中 h
k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
R p qBR
2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐 E
p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ） ，那么
曾谨言《量子力学》答案 第9章
) (k 1)(k 2)(k 3) k( 0 3 }dx
{ k (k 1)(k 2) n,k 3 3k k n ,k 1 8 2 3(k 1) k 1 n,k 1
(k 1)(k 2)(k 3) n ,k 2 } (7 )
2
1
{
n(n 1) ( 0) 1 (0) n 2 (n ) n 4 2 (5)
(n 1)(n 2) ( 0) n2 } 4
再将此式遍乘 x ，重复使用（4）式
( 0) x 3 n
1
2
{
n(n 1) (0) x n 2 4
1 (n 1)(n 2) ( 0) (0) (n ) x n n2 } 2 4
有： Ek
( 0) ) Ek(0 2 3
， ，
) Ek( 0) Ek(0 1
， （9 ）
) Ek(0) Ek(0 1
) Ek(0) Ek(0 3 3
将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）
k
(0) k
(0) k
/
/ H k/ 2,k H nx (0) (0) ) n k (0) k( 0 3 ) E k0 E k( 0) E k E k( 0 2 ) k( 0 3
/ ( H nk )2 ( 0) (0) En n Ek
(10)
二能级量本征值修正量：按二级近似式是
Ek E
/
(0) k
H
/ kk
（11）
其中 H kk Wkk 0 ，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：
{ k (k 1)(k 2) n,k 3 3k k n ,k 1 8 2 3(k 1) k 1 n,k 1
(k 1)(k 2)(k 3) n ,k 2 } (7 )
2
1
{
n(n 1) ( 0) 1 (0) n 2 (n ) n 4 2 (5)
(n 1)(n 2) ( 0) n2 } 4
再将此式遍乘 x ，重复使用（4）式
( 0) x 3 n
1
2
{
n(n 1) (0) x n 2 4
1 (n 1)(n 2) ( 0) (0) (n ) x n n2 } 2 4
有： Ek
( 0) ) Ek(0 2 3
， ，
) Ek( 0) Ek(0 1
， （9 ）
) Ek(0) Ek(0 1
) Ek(0) Ek(0 3 3
将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）
k
(0) k
(0) k
/
/ H k/ 2,k H nx (0) (0) ) n k (0) k( 0 3 ) E k0 E k( 0) E k E k( 0 2 ) k( 0 3
/ ( H nk )2 ( 0) (0) En n Ek
(10)
二能级量本征值修正量：按二级近似式是
Ek E
/
(0) k
H
/ kk
（11）
其中 H kk Wkk 0 ，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：
曾谨严量子力学习题解答5
⑵
由归一化条件 ψ +ψ = 1, 即
(a
b)
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
1
a2 + b2 =1
⑶
由⑵、⑶可解得: a = b = 1 2
∴σ x
的本征态为 ψ + =
1 ⎛1⎞ 2 ⎜⎝1⎟⎠
当 λ = −1 时,带入方程⑴式,可得:
⎛ +1
⎜ ⎝
1
1⎞ 1⎟⎠
⎛ ⎜ ⎝
a b
⎞ ⎟ ⎠
=
0
∴a = −b
Ay Bz − Ay Bz
+iσ y ( Az Bx − Ax Bz )
( ) ( ) ( ) =
r A
⋅
r B
+
iσ
z
( ) =
r A
⋅
r B
+
iσr
⋅
Ar ×
r B
rr
z
+ iσ x
A× B
Ar ×
r B
x
+ iσ y
Ar ×
r B
y
证毕。
2. 《曾 p.401-练习7》
令
( ) σ ±
=
1 2
⎥ ⎦
1 ⎡nx − iny ⎤
2(1− nz ) ⎢⎣ 1− nz ⎥⎦
⑼
如
nr
=
(0, 0,1),
取
φ−1
=
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦ ;
如
nr
=
(0, 0, −1),
取
φ−1
=
⎡1⎤ ⎢⎣0⎥⎦
6.《曾 p.442-练习9》
(a) 设电子处于自旋态 χ1/2 (σ z = 1), 求 σ n = σr ⋅ nr 的可能测得值及相应的概率,
曾谨言量子力学导论(第二版)答案
+∞
−∞
∫e
− iξ 2
dξ
⋅ m
2m imx 2 2 t e ⋅ π e − iπ / 4 t
⎡ ⎛ mx 2 π ⎞⎤ exp ⎢i⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎥ 2π t ⎣ ⎝ 2 t 4 ⎠⎦
ψ ( x, t ) =
2
m 2π t
。
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ ( x,0 ) ，证明在足够长时间后，
[
] ]
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) − (∇ψ 2 ) ⋅ (∇ψ 1* ) + (∇ψ 1* ) ⋅ (∇ψ 2 ) ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 )
=−
d r [∇ ⋅ ( ψ 2m ∫
2 3
2
]
=−
即
2m ∫
2
(ψ
2
（无穷远边界面上，ψ 1 ,ψ 2 → 0 ） ∇ψ 1* − ψ 1*∇ψ 2 ) ⋅ dS = 0 ，
（1）
3
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
2V d d 3 rψ *ψ = − ( ψ *∇ψ − ψ∇ψ * ) ⋅ dS + 2 ∫∫∫ ∫∫ dt τ 2im S
证： （a）式（1）取复共轭， 得
2 ∂ * ∇ 2ψ * + (V1 − iV2 ) −i ψ =− ψ* ∂t 2m
（1）
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
pϕ = mh ，
2
2 2 因而平面转子的能量 E m = pϕ / 2 I = m
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h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
−
h2 2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ
)]
其中 T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 0 。因此
∫ T = h 2 d 3r∇ψ * ⋅ ∇ψ 2m
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（3）
w = h 2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ +ψ *Vψ , 2m
= V (x)
x=a
=
1 mω 2 x 2 。 2
−a
0a x
由此得
a = 2E / mω 2 ，
（2）
x = ±a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件
∫ ∫ ∫ +a p ⋅ dx = 2
2m(E − 1 mω 2 x 2 ) dx = 2mω 2 +a
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
0
v s
=
−
h2 2m
∂ψ * ∂t
∇ψ
+
∂ψ ∂t
∇ψ
*
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设ψ 已归一化）
3
∫ E =
ψ
* −
h2 2m
∇2
+V
ψ
d
3r
=
T
+V
∫ V = d 3rψ *Vψ
（势能平均值）
（1） （2）
∫ T =
第一章、量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
( x)
=
∞,
0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有
a = n⋅λ 2
∴λ = 2a / n
(n = 1, 2, 3,L)
又据 de Broglie 关系
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
∫ px ⋅ dx = nx h , (nx = 1, 2 ,3,L)
即
px ⋅ 2a = nx h （ 2a ：一来一回为一个周期）
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
∇2
+V
ψ
+ψ. −
h2 2m
∇2
+V
ψ
*
=
−∇
⋅
v s
+
Eψ. *ψ
+ψ. ψ
*
=
−∇
⋅
v s
+
E
∂ ∂t
ρ
（ ρ ：几率密度）
=
−∇
⋅
v s
（定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
所以
∂w ∂t
+
∇
⋅
v s
=
0
。
2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程
ih
∂ ∂t
ψ
(rv,
t
)
=
−
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴
∂ ψ *ψ ∂t
= − h ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
2im
h
（3）
即
∂ρ ∂t
+∇⋅
v j
=
2V2 h
ρ
≠
0
，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积τ 积分，得
∂ ∂t
∫∫∫d τ
(3r ψ
*ψ
)=
−
h 2im
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,L,
pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
它的角动量 pϕ = I ϕ. （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
∫ 2π 0
pϕ dx
= 2π
pϕ
= mh,
m =1,2,3,L
∴ pϕ = mh ，
t
)ψ
2
(rv,
t
)
=
−
h2 2m
d
3r
ψ
2∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
[ ( ) ( ) ( ) ] ∫ = − h2 2m
d
3r
∇
⋅
ψ
2
∇ψ
* 1
−ψ 1*∇ψ
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
∫∫∫d 3rψ *ψ τ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
− ih
∂ ∂t
ψ
*
=
−
h 2 ∇ 2ψ 2m
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
（2）
( ) ( ) ih
∂ ∂t
ψ
*ψ
= − h 2 ψ *∇ 2ψ −ψ∇ 2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) = − h 2 ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * 2m
曾谨言量子力学课后答案
目录
第一章、量子力学的诞生...................................................................................................................................................1 第二章 波函数与 Schrödinger 方程 ...................................................................................................................................3 第三章、一维定态问题.......................................................................................................................................................8 第四章、力学量用算符表达与表象变换.........................................................................................................................20 第五章 力学量随时间的变化与对称性...........................................................................................................................33 第六章 中心力场...............................................................................................................................................................38 第七章 粒子在电磁场中的运动.......................................................................................................................................44 第八章 自旋.......................................................................................................................................................................46 第九章 力学量本征值问题的代数解法...........................................................................................................................50 第十章 定态问题的常用近似方法...................................................................................................................................55 第十一章 量子跃迁...........................................................................................................................................................66 第十二章 散射...................................................................................................................................................................70