培训学习资料-1823正方形(一)
18.2.3 正方形 (教学课件)- 人教版八年级数学下册
1.如图，菱形ABCD中，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为
（C ）
A.14
B.15
C.16
D.17
巩固练习
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交
AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形
的是（ D ）
A. BC=AC
练一练
6．下列说法正确的是（ D ） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
练一练
7．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③
AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形
典例分析
例1、如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD、DC上的点，且
AF⊥BE.
（1）求证：AF＝BE；
证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= AD² + DE²=10
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，
按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=1AE2=1×100=50．
2
2
巩固练习
9.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上 一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB；
人教版八下数学 18.2.3 正方形
状元成才路
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？ 为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边
形.（ 是 ） （2）对角线互相垂直的矩形.（ 是 ） （3）对角线相等的菱形.（ 是 ）
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边
形.（ 是 ）
状元成才路
综合应用
3.如图，正方形ABCD中，AC与BD交于点 O，点M，N分别在AC，BD上，且OM=ON，求 证：BM=CN.
解：（3）∵四边形OBCD为 正方形,
∴OD=DC=BC， 且CB⊥OB，CD⊥DO， 又∵D（0，d），∴B（d，0），∴C（d，d）.
状元成才路
13.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD 四条边上的点， 且AE=BF=CM=DN.试判断四边 形EFMN是什么图形？并证明你的结论.
上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请
你判断△AEH的形状，并说明理由.
H
D
C
A
B
E
状元成才路
错解：△AEH为等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是正方形.
所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°， H
∴在Rt△ADH和Rt△ABE中， D
C
AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，
∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS）， A
状元成才路
推进新课
知识点 1 正方形
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
状元成才路
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性 质，四个角相等，对角线相等.
状元成才路
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形 的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相 垂直，并且每条对角线平分一组对角.
人教版八年级下册 18.2.3 正方形 课件 (共25张PPT)
A．75°
B．60°
C．54°
D．67.5°
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC 为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求 ∠AMB即可．
4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使 BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．
解析：如图， ∵BE=BF，∴∠BFE=45° ∵∠CAB=45°， ∴FH⊥AC， 又CB⊥AF， ∴E是△ACF的垂心， 因此AG⊥CF。
解析：（1）连接AF 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ∵AF=AF，AE=AB， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF， ∴BF=EF；
2.证明： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线垂直的矩形是正方形。
分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA， 四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得 出结论； （2）由矩形的性质和已知条件得出 ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形， 得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．
3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）四边形AEDF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？ （3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形； （2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形， ∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形； （3）∵菱形对角线互相垂直， ∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形； （4）∵正方形既是菱形又是矩形， ∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．
18.2.3 正方形
18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形第1课时正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)1．正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.2．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形和菱形的一切的性质。
（1）四边条都相等；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相垂直、平分且相等；（4）每一条对角线平分一组对角．探究点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°.在Rt△AED和Rt△AFB ＝AB，＝AF，∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴S△AED＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为43.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．第2课时正方形的判定1．掌握正方形的判定条件；(重点)2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)正方形的判定方法：（1）一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形；（先证矩形，后证菱形）（2）有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形．（先证菱形，后证矩形）探究点一：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．解析：要证四边形CEDF 是正方形，则要先证明四边形CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．∵DE ＝DF ，∴矩形CEDF 是正方形．方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形如图，在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE .(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC .又∵CF ＝AE ，∴可证BE ＝EC ＝BF ＝FC .根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF 是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A＝45°.解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱形BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．探究点二：正方形的判定的应用【类型一】正方形的性质和判定的综合应用如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；(2)四边形EFPQ是正方形．解析：(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF 和△DFE 和△CEQ 和△BQP ＝DE ＝CQ ＝BP ，A ＝∠D ＝∠C ＝∠B ，＝DF ＝CE ＝BQ ，∴△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP (SAS)，∴EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)∵EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，∴四边形EFPQ 是菱形．∵△APF ≌△BQP ，∴∠AFP ＝∠BPQ .∵∠AFP ＋∠APF ＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ ＝90°，∴∠FPQ ＝90°，∴四边形EFPQ 是正方形．方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP .【类型二】与正方形的判定有关的综合应用题如图，△ABC 中，点O 是AC 上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F ，连接AE 、AF .(1)求证：∠ECF ＝90°；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF 为正方形，△ABC 应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．解析：(1)由CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠BCE ＝∠OCE ，∠GCF ＝∠OCF ，则∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)由MN ∥BC ，可得∠BCE ＝∠OEC ，∠GCF ＝∠OFC ，可推出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，得出EO ＝CO ＝FO ，点O 运动到AC 的中点时，则EO ＝CO ＝FO ＝AO ，这时四边形AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF 是正方形．(1)证明：∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠ECF ＝12×180°＝90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．(3)∠ACB＝90°.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．本节学习总结：1．正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.2．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形和菱形的一切的性质。
1823《正方形》ppt课件
家居装饰中应用
正方形挂画
在家居装饰中，正方形挂画是一种常见的装饰手法，可以营造出简 约、时尚的家居风格。
正方形地毯
正方形地毯也是家居装饰中常见的元素之一，可以搭配不同的家具 和装修风格，营造出温馨、舒适的家居氛围。
正方形收纳盒
正方形收纳盒可以用于存放家居杂物，不仅方便实用，还可以作为家 居装饰的一部分，增加家居的整洁度和美观度。
。
03 正方形判定方法 与技巧
判定一个四边形是否为正方形
四边相等
首先判断四边形的四条边是否相等， 若不相等则不是正方形。
四个直角
对角线相等且垂直相交
正方形的对角线不仅相等，而且垂直 相交并平分对方。因此，可以通过检 查对角线是否满足这些条件来判断一 个四边形是否为正方形。
其次检查四边形的四个角是否都是直 角，若不都是直角则不是正方形。
其他领域应用举例
正方形标志设计
在标志设计中，正方形可以作为基本形状进行创作，形成 独特、简洁的标志形象。
正方形包装设计
在包装设计中，正方形包装盒可以方便产品的运输和存储 ，同时也可以通过不同的图案和色彩搭配，增加产品的美 观度和吸引力。
正方形图案应用
在纺织品、服装等领域中，正方形图案也是常见的设计元 素之一，可以通过不同的排列组合和色彩搭配，营造出丰 富多彩的视觉效果。
，在判断一个矩形是否为正方形时，需要额外检查其所有边是否相等。
02 03
平行四边形与正方形的区别
平行四边形具有两组平行的对边，但角度和边长可能不满足正方形的条 件。因此，在判断一个平行四边形是否为正方形时，需要检查其所有边 是否相等以及所有角是否为直角。
梯形与正方形的区别
梯形具有一组平行的对边和一组不平行的对边，因此它不是正方形。在 判断一个梯形是否为正方形时，需要直接检查其所有边和角是否满足正 方形的条件。
人教版八年级数学下册1823正方形一等奖优秀课件资料讲解
?3.正方形既是 轴对称 图形，有 4条 对称轴; 又是 中心对称 图形，对称中心是 对角线交点 .
?4.正方形的边长 2㎝，则它的周长是 8㎝ .
面积是 4㎝2 ，对角线长是 2 2cm .
创设情境
矩形--------------- 有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形。
综合训练 1
?1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与 点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点
F.
A
D
若正方形A′B′C′D′绕点O
O (A')
旋转某个角度后，OE=OF吗？
两正方形重合部分的面积怎样
变化？为什么？
B
E
F D'
C
B'
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.四个角都是直角 D.四条边相等
?3.菱形，矩形，正方形都具有的性质是 ( C )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.对角线平分一组对角
4、下列命题正确的是（ D ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
AO=BO=CO=DO.
O
∴△ABO 、△BCO、△CDO、 B
C
△DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
提升探究4
例题2: 如图在正方形 ABCD 中，点E，F分 别是BC，CD上两点,BE=CF ， 连接AE ，BF交于点G. 求证:①AE=BF ②AE ⊥BF
人教版数学八年级下册18.2.3正方形 (1)(共19张PPT)
杨雪
情景 & 导入 ☞
那折纸鹤用的纸 是什么图形呢？
正方形
思考以下问题 1、正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 2、正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3、我们应该怎样给正方形下定义呢？
1、正方形四条边相等，四个角都为直角。
四条边相等的四边形是菱形
有一组邻边相等的平行四边形
分成面积相等的四部分（不考虑道路的
宽度），你有几种方法？（至少说出三
种）
AG
D
O
F
E
B
请你当设计师
HC
作业
1、课本58页第1题 2、课本59页第2题
再见
平行四边形、 一组邻边相等、 一个角是直角
定 有一组邻边相等，有一个角是直角的平 义 行四边形叫做正方形
对边平等且相等，四个角都是直角，两条结角线互相垂直一
部分边且相等，每条正对角方线形平的分对一组边对平角行。 且相等
1、有一组邻边相等，有一个角是直角的
性 平行角四边形。正方形的四个角都是直角
判质 定
23、 、有 有对角一一线组个邻角正且边是方相相直形等的,等角每的的两条条对矩菱对角形形角线是是线平正 正互分方 方相一形 形垂组直对。 。平角分
相 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 互 关 系
平行四边形
矩形
正
方 菱形
形
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直
的小路，使得两条直的小路将花坛平均
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
A
D
O
B
C
（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm
（2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中 有__8__个等腰直角三角形
非学科数学学培训 正方形 (资料附答案)
自学资料一、正方形【知识探索】1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．【说明】（1）正方形既是有一组临边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；（2）正方形的面积还可用对角线乘积除以2求得；（3）正方形具有平行四边形的所有性质；（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；4条对称轴，其中2条对称轴是其对角线所在的直线，另外2条对称轴是每组对边的垂直平分线；第1页共13页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训（5）【错题精练】例1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C例2．下列命题中，是真命题的是（）A. 一组邻边相等的平行四边形是正方形B. 依次连结四边形四边中点所组成的图形是平行四边形C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等【答案】B例3．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20∘，则∠AED等于度．第2页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】65．例4．已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF= CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论；（3）若DF2=8−4√2，求正方形ABCD的面积？【解答】（1）证明：在△BCE和△DCF中，{BC=DC∠BCE=∠DCF=90∘CE=CF，∴△BCE≌△DCF（SAS）．（2）解：OG∥BF且OG=12BF．理由：如图，∵BE平分∠DBC，∴∠2=∠3．在△BGD和△BGF中，{∠3=∠2 BG=BG∠BGD=∠BGF，∴△BGD≌△BGF（ASA）．∴DG=GF．∵O为正方形ABCD的中心，∴DO=OB．∴OG是△DBF的中位线．∴OG∥BF且OG=12BF．（3）解：设BC=x，则DC=x，BD=√2x，由（2）知△BGD≌△BGF．∴BF=BD．∴CF=(√2−1)x．∵DF2=DC2+CF2，∴x2+[(√2−1)x2]=8−4√2．解得：x2=2．第3页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴正方形ABCD的面积是2．BF；（3）2．【答案】（1）略；（2）OG∥BF且OG=12例5．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．变式：在正方形ABCD中，AB=4cm，点E，F，G，H分别是正方形的四条边上的点，且AE=BF=CG=DH．如图1所示．若把图1中的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的面积为10cm2的正方形A1B1C1D1，则中间四边形E1F1G1H1的面积等于cm2．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG，在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，第4页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形；（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠OAE=∠OCG，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA=OC，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2，∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，∵2＞0，∴S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．变式：例6．把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E,F分别是AB，AD的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．第5页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】10或6+2√2或8+2√2【举一反三】1．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是()A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形【答案】C2．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④【答案】B3．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB 延长线于点F，则EF的长为__________ ．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，第6页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．【答案】64．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF 的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）CN=CM．证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，第7页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴=，∴==，即CN=CM．【答案】（1）1；（2）CN=CM5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形【答案】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，∴四边形OCED是正方形．第8页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训1．如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点F，FG⊥AE交BC于点G，GH⊥BD于点H．现给出下列命题：①AF=FG；②FH的长度为定值．则（）A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题【答案】A2．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F在BC和CD上，∠EAF=45∘，则EF的最小值是．【答案】4√2−4．3．问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE= DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．拓展应用：（3）已知，如图3，在（2）的条件下，若BC=4，点E为BC的中点，DF=3AF，连结FH，HE，EG，GF．求四边形HEGF的面积．第9页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠ABE=∠DAH=90∘，∴∠HAO+∠OAD=90∘，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90∘，∴∠HAO=∠ADO，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴AE=DH；（2）解：EF=GH．理由：如图2，过得A作AM∥EF交BC于M，则四边形AMEF为平行四边形，∴AM=EF，过点D作DN∥GH交AB于N，同理，DN=GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；（3）解：如图3，过点F作FP⊥BC于点P，∵四边形ABCD是正方形，BC=4，∴AD=BC=AB=FP=4，∵E为BC的中点，DF=3AF，∴BE=2，AF=1，∴PE=2−1=1，在Rt△FPE中，EF=√PF2+PE2=√17，由（2）得：HG=EF，∴HG=√17，∵EF⊥HG，∴四边形HEGF的面积=12×EF×GH=172．第10页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】（1）见解答（2）EF=GH（3）172．4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6，则AE2+BF2的值为（）A. 9；B. 16；C. 18；D. 36．【答案】C5．长为1，宽为a的矩形纸片（12<a<1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．（1）第二次操作时，剪下的正方形的边长为；（2）当n=3时，a的值为．（用含a的式子表示）【答案】1−a，35或34．6．边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y=ax2（a<0）的图象上，则a的值为（）A. −√2；B. ﹣1；第11页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第12页 共13页 自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训C. −3√24；D. −√23．【答案】D7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连结AE ，AF ，EF ，满足∠EAF =45∘，AE =AF ．则下列结论正确的是（ ）①△ECF 的周长为4．②EC =√2BE ．③若点P 在线段AB 或线段AE 上，且△BEP 是等腰三角形，则这样的P 点有3个．A. ①②③；B. ②③；C. ①③；D. ①②．【答案】D8．如图，已知在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，AE ⊥BF 于点G ．（1）求证：AE =BF ；（2）如果E 是BC 的中点，求△ABG 和四边形ADFG 的面积的比．【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC ，∠ABC =∠BCD =90∘，∵AE ⊥BF ，∴∠BAE =∠CBF ，在△ABE 和△BCF 中，{∠BAE =∠CBFAB =BC ∠ABE =∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF；（2）解：∵∠BAE=∠CBF，∠AGB=∠BCD=90∘，∴△ABG∽△BCF，∵E是BC中点，∴AB:BF=2:√5，∴SΔABG:SΔBCF=4:5，∵SΔBCF:S ABCD=5:20，∴SΔABG:S ADFG=4:11．【答案】（1）略；（2）SΔABG:S ADFG=4:11．9．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQ的值等于．S正方形AEFG．【答案】8910．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．【答案】13．● 复习正方形性质和判定第13页共13页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训。