【2019年整理】高中数学课件直线与圆的方程的应用
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高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
人教版高一数学课件-直线与圆的方程的应用
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.
練習
1、求直線l: 2x-y-2=0被圓C: (x-3)2+y2=0所截 得的弦長.
2、某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m. 現有 一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否 從橋下通過?
P
5
MO
N
練習
4、點M在圓心為C1的方程： x2+y2+6x-2y+1=0，點N在圓心為C2的方程 x2+y2+2x+4y+1=0，求|MN|的最大值.
X
§4.2.3直線與圓的方程的應用
例4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖， 該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2 的長度（精確到0.01） y
x
思考:(用座標法)
1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？
例5、已知內接於圓的四邊形的對角線互相 垂直，求證圓心到一邊的距離等於這條邊所 對邊長的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
Oa,0)
x
E ( a ,d ) 22
練習:
y
(3,3 3)
A
(0,0) P
Bo (2D,0)
E (5, 3)
Cx
(6,0)
第一步：建立適當的坐標系，用座標和方程表 示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為 代數問題；
把點P2的橫坐標x= -2 代入圓的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因為y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.
練習
1、求直線l: 2x-y-2=0被圓C: (x-3)2+y2=0所截 得的弦長.
2、某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m. 現有 一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否 從橋下通過?
P
5
MO
N
練習
4、點M在圓心為C1的方程： x2+y2+6x-2y+1=0，點N在圓心為C2的方程 x2+y2+2x+4y+1=0，求|MN|的最大值.
X
§4.2.3直線與圓的方程的應用
例4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖， 該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建 造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2 的長度（精確到0.01） y
x
思考:(用座標法)
1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？
例5、已知內接於圓的四邊形的對角線互相 垂直，求證圓心到一邊的距離等於這條邊所 對邊長的一半. y
B (0,b)
(c,0) C
M
Oa,0)
x
E ( a ,d ) 22
練習:
y
(3,3 3)
A
(0,0) P
Bo (2D,0)
E (5, 3)
Cx
(6,0)
第一步：建立適當的坐標系，用座標和方程表 示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為 代數問題；
把點P2的橫坐標x= -2 代入圓的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因為y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线与圆的方程的应用ppt
直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。
本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。
直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。
•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。
直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。
圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。
在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。
•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。
•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。
•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。
圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。
通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。
直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。
在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。
当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
高一数学课件：直线与圆的方程的应用
∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7，
∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900
∴ CF∥BD ② 由① ②可得四边形CFDB为等腰梯 形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法” 来解决，首先要做的工作是建立适当的直角 坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
1.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时， 圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等 于1.
2.
3.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是 △ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为 直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
4.在Rt△ABC中,斜边BC为m，以BC的中点O为 圆心，作半径为n（n<m/2)的圆，分别交BC于 P，Q两点。求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
y
P
O
Q
x
5. 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内 切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的 距离的平方和的最大值和最小值.
x2+（y - b）2=r2 下面用待定系数法来确定b和r的值.
y P2 P
由方程组 1002 2（ （40bb）） 2 2rr2 2 A
A1 A2 O A3 A4 B x
因为P、B都在圆 上，所以它们的
解得：b=-10.5 r2=14.52
∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900
∴ CF∥BD ② 由① ②可得四边形CFDB为等腰梯 形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法” 来解决，首先要做的工作是建立适当的直角 坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
1.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时， 圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等 于1.
2.
3.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是 △ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为 直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
4.在Rt△ABC中,斜边BC为m，以BC的中点O为 圆心，作半径为n（n<m/2)的圆，分别交BC于 P，Q两点。求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
y
P
O
Q
x
5. 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内 切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的 距离的平方和的最大值和最小值.
x2+（y - b）2=r2 下面用待定系数法来确定b和r的值.
y P2 P
由方程组 1002 2（ （40bb）） 2 2rr2 2 A
A1 A2 O A3 A4 B x
因为P、B都在圆 上，所以它们的
解得：b=-10.5 r2=14.52
高中数学人教A版必修二：4.直线与圆的方程的应用PPT全文课件
第二步：通过代数运算，解决代数问题 ；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几 何结论．
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
作业：
课本133页第7，8，9，10题
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
课堂小结：
第一步：建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素， 将平面几何问题转化为代数问题；
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
思考3:取1m为长度单位，如何求圆
拱所在圆的方程？
y
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅲ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
第三步：将代数运算结果“翻译”成几 何结论．
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作业：
课本133页第7，8，9，10题
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课堂小结：
第一步：建立适当的平面直角坐标系， 用坐标和方程表示问题中的几何元素， 将平面几何问题转化为代数问题；
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思考3:取1m为长度单位，如何求圆
拱所在圆的方程？
y
P2 P
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
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知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅲ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直，求证：圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线 是否经过台风圆域？
高中数学【人教A版必修】二：4.直线 与圆的 方程的 应用PP T全文 课件【 完美课 件】
2019届高中数学 第四章 圆与方程 4.2.3 直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2
点 B 到 AC 的距离为 20 2 千米.
则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为
2 302 -(20 2)2 =20(千米).
20
所以 B 城市处于危险区内的时间为 t=20=1(小时).
第六页，共20页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
思想(sīxiǎng)
方法
反思感悟与圆有关的最值问题的求解策略
4.2.3
直线与圆的方程(fāngchéng)的应
用
第一页，共20页。
核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.能正确理解直线与圆的方程.
2.能利用直线与圆的方程解决简单的
实际问题.
3.能利用直线与圆的方程解决平面几
何问题.
第二页，共20页。
直线与圆的方程的应用
1.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为
30 km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70 km处,港口位于小岛中
心正北40 km处.如果这艘轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?
(1)通过怎样的方法把这个实际问题转化为数学问题?
提示(tíshì):以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示的平
面直角坐标系.
第三页，共20页。
(2)如何(rúhé)表示受暗礁影响的圆形区域所对应的圆的方程及轮船
台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区
域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么
它是否会受到台风的影响?
解:以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其
中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程
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【变式训练】一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的
半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车厢厢
顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.4米
B.3.0米
C.3.6米
D.4.5米
【解析】选C.如图所示,当OC=2.7米时, CD OD2 OC2 = 34.6.5(2米 2).72
即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的
设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10. 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.② 当水面下降1m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的 坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0= 5.1所以,水面下降1m后, 水面宽为2x0=2 51 (m). 答案：2 51
【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解 题步骤 (1)认真审题,明确题意. (2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问 题中建立直线与圆的方程. (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. (4)把代数结果还原为实际问题的解.
提醒：直线与圆的方程应用的关注点 ①建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响. ②建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上,方程较简单.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
类型 一 直线与圆的方程的实际应用
尝试解答下列直线与圆的方程的应用问题,试总结解直线
与圆的方程的实际应用问题的一般步骤.
1.(2013·成都高一检测)如图所示,
一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱
顶离水面2m,水面宽12m,当水面下
降中,接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的 圆形区域.(假设台风中心不动)已知港口位于台风中心正北 40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的 影响?
不改变航线时，不会受到台风的影响.
【互动探究】题1中,条件不变,试求水面上升1m后,水面的宽.
【解析】如图所示,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系, 设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r). 即圆的方程为x2+(y+r)2=r2①, 将点A的坐标(6,-2)代入方程①得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100② 当水面上升1m后,可设A′的坐标为(x0,-1)(x0>0), 将A′的坐标代入方程②得x0= 1,9 故水面上升1m后,水面宽为2x0=219 (m).
③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H′,其坐标为
(x1, y2)1,将H′代入③式，得
2x12 2y1
y1 2
1
x12
2x12 y12 1 x12 x12 y12 1 0,
即H′在直线EF上，所以EF平分CD.
2.如图，以O为原点，以直线BC为x轴，线段BC的垂直平分线
为y轴建立直角坐标系，则B(-m,0),
C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
1
设A(x,y)，因为|OA|=2 |BC|=|m|=m， 所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).
【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要 任务 (1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法 解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标 系. (2)首要任务是：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题.
【解题指南】1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥 所在圆的标准方程,然后结合图形求出水面下降1m后的水面 宽度. 2.建立适当的坐标系,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆 的方程及轮船航线所在直线l的方程,然后借助直线与圆的位置 关系判断轮船是否会受到台风的影响.
【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2).
【解题指南】1.由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题 转化为解析几何知识求解. 2.以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立坐标系,由题意求出 有关点的坐标并借助两点间距离公式,证明其为定值.
【证明】1.取圆O的直径AB所在直线 为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面 直角坐标系,如图所示,设圆O的方程 为x2+y2=1①, EF与CD相交于H，令C(x1,y1),则可得圆C的方程 (x-x1)2+(y-y1)2=y12 ，即x2 y2 2x1x =20y1②y , x12 ①-②得 2x1x 2y1y ③1，x12 0
最高高度,即不得超过3.6米.
类型 二 坐标法在平面几何中的应用 试着解答下列题目,体会用坐标法解决平面几何问题的基
本思想及首要任务. 1.如图所示,在圆O上任取C点为圆心, 作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C 与圆O交于点E,F,求证：EF平分CD.
2.已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直 径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证： |AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
2.如图所示，以台风中心为原点O，
东西方向为x轴，建立如图所示的
坐标系，其中，取10 km为1个长度
单位，这样，受台风影响的圆形区
域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮
船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0，问题转化为圆O与直
线l有无公共点问题，由于d
|
0
0 65
28所| 以3.5这＞3艘，轮船
【拓展延伸】建立直角坐标系应遵循的一般原则 (1)原点取在定点,坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图形 的对称轴. (2)尽量利用图形的对称性. (3)设出所需点的坐标时,能使所用的字母尽量少.用坐标法证 题时,不能把一般情况视为特殊情况.