结构化学课后习题及答案

ex ,sin x, 2 cos x, x3,sin x + cos x
d2 = ex
d2
解： d x2
， ex 是 d x2 的本征函数，本征值为 1。
d2 sin x = 1× sin x,
d2
d x2
sin x 是 d x2 的本征函数，本征值为 1。
d2 d x2
(2cos
x
)
=
2cos
x
id 【1.13】 eimφ 和 cos mφ 对算符 dφ 是否为本征函数？若是，求出本征值。
为υ 的 10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x= h =
h
m υ m 2eV / m ×10%
=
6.626 ×10−34 J s ×10
2× 9.109×10−31kg ×1.602 ×10−19 C ×103V
= 3.88×10−10 m
衍射。
【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：
d d2
d
x, dx , dx2 , log,sin,
,i dx
解：由线性算符的定义：
Aˆ (ψ i +ψ j) = Aˆ ψ i + Aˆ ψ j
x, d dx
d2 , d x2
i
为线性算符;而
d dx
为线性自轭算符.
【1.11】 ϕ
=
xe−ax2
由Δpx 和 px 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
θ = arcsinθ = arcsin Δpx px
⎛ 6.626 ×10−28 J s m−1 ⎞
arcsin
⎜ ⎝
5.402
×10−23
J
s
m−1
⎟ ⎠
arcsin 10−5
≈ 0o
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子
也不正确。
【1.7】子弹（质量 0.01kg，速度 1000m·s-1），尘埃（质量 10-9kg，速度 10m·s-1）、作布郎
运动的花粉（质量 10-13kg，速度 1m·s-1）、原子中电子（速度 1000 m·s-1）等，其速度的不
确定度均为原速度的 10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
i d eimφ = ieimφ
解： dφ
， im = −meimφ
d i 所以， eimφ 是算符 dφ 的本征函数，本征值为 −m 。
i
而
d dφ
cos mφ
=
i (− sin
mφ )
m
=
−im sin
mφ
≠
c cos mφ
id 所以 cos mφ 不是算符 dφ 的本征函数。
【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
Hˆ
ψn
(
x
)
=
-
8
h2 π2m
d2 d x2
(
2 sin l
nπx l
)
=
-
8
h2 π2m
d dx
(
2 nπ nπx
cos )
ll
l
= − h2 8π 2m
解： λ
670.8m
ν%
=
1 λ
=
1 670.8×10−7 cm
= 1.491×104 cm−1
E = hν N A = 6.626×10−34 J ⋅ s × 4.469 ×1014s−1
× 6.6023×1023mol-1 = 178.4kJ ⋅ mol-1
【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下：
01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是 Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1
→(1s)2(2s)1 跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以 kJ·mol-1 为单位的能量。
ν = c = 2.998×108 m ⋅ s−1 = 4.469×1014 s−1
加速后运动时的波长。
解：根据 de Broglie 关系式：
λ=h= h = h p mυ 2meV
=
6.626×10−34 J s
2 × 9.109 ×10−31kg ×1.602 ×10−19 C × 2 ×105V
= 2.742 ×10−12 m
【1.6】对一个运动速度υ c （光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：
①
mv =
p
②
=
h
③
=
hν
④
=
E
⑤
=
1
mv
λ v v2
mυ = 1 mυ
结果得出
2 的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对 立统一和相互制约可由下列关系式表达：
E = hv p = h/λ
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的
（c） 动能为 300eV 的自由电子。
解：根据关系式：
λ
(1)
=
h mv
=
6.626 10−10 kg
×10−34 J ⋅ s × 0.01m ⋅s−1
=
6.626×10−22 m
(2)λ = h = h p 2mT
=
6.626 ×10−34 J ⋅s
2 ×1.675×10−27 kg × 0.1eV ×1.602 ×10−19 J ⋅(eV)−1
l0
l
l
⎡ (n − n' )π
( ) n + n' π ⎤l
( ) ( ) =
2
⎢ sin ⎢
l
x sin −
l
x⎥ ⎥
l ⎢ n − n' π
n + n' π ⎥
⎢ 2×
2×
⎥
⎣
l
l
⎦0
⎡ (n − n' )π
( ) n + n' π ⎤l
⎢ sin
x sin
x⎥
=⎢ ⎢
l
(n − n' )π
−
0
根据定义，ψ n ( x) 和ψ n' ( x) 互相正交。
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
ϕn ( x) =
2 sin nπ x ll
n = 1, 2,3⋅⋅⋅
式中 l 是势箱的长度， x 是粒子的坐标 (0 < x < l ) ，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
⎛ ⎜ 是算符 ⎝
d2 dx2
−
4a2 x2
⎞ ⎟ ⎠
的本征函数，求其本征值。
解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
⎛ d2
⎜ ⎝
dx2
− 4a2 x2 ⎞⎟ψ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
d2 dx2
−
4a2
x2
⎞ ⎟
xe−
ax2
⎠
( ) = d 2 xe−ax2 − 4a2 x2 xe−ax2 dx2
2
⎠⎥
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1
=
⎡ ⎢ ⎣
2
×
6.626
×10−34 J s × 4.529 9.109 ×10−31kg
×1014
s −1
⎤ ⎥ ⎦
2
= 8.12 ×105 m s−1
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为 10-10kg，运动速度为 0.01m·s-1 的尘埃；
（b） 动能为 0.1eV 的中子；
λ/nm
312.5
365.0
404.7
546.1
v /1014s－1
9.59
8.21
7.41
5.49
Ek/10－19J
3.41
2.56
1.95
0.75
由表中数据作图，示于图 1.2 中
4
E /10-19J k
3
2
1
0 4 5 6 7 8 9 10 ν/1014g-1
由式
图 1.2 金属的 Ek −ν 图
证：在长度为 l 的一维势箱中运动的粒子的波函数为：
ψn (x) =
2 sin nπ x ll
0 < x < 1 n =1，2，3，……
令 n 和 n’表示不同的量子数，积分：
∫ ∫ l
l
ψ n ( x)ψ n' ( x) dτ =
0
0
2 sin nπ x ll
2 sin n'π xdx ll
∫ = 2 l sin nπ x sin n'π x dx
紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
解：
hv
=
hv0
+
1 2
mv2
1
υ
=
⎡ 2h(v −
⎢ ⎣
m
v0
)⎤2
⎥ ⎦
1
⎡ ⎢
2
×
6.626
×10−34
J
=
⎢ ⎢
s
⎛ ⎜ ⎝
2.998×108 m s 300 ×10−9 m
−1
9.109 ×10−31kg
−
5.464
×1014
s
−1
⎞ ⎟
⎤ ⎥
hv = hv0 + Ek
推知
h = Ek = ΔEk v − v0 Δv
即 Planck 常数等于 Ek − v 图的斜率。选取两合适点，将 Ek 和 v 值带入上式，即可求出 h 。
例如：
h
=
( 2.70 (8.50
−1.05) ×10−19 J − 600) ×1014 s−1
= 6.60×1034 J
l
(n + n' )π
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦0
sin (n − n' )π sin (n + n' )π = (n − n' )π − (n + n' )π
( ) ( ) n 和 n' 皆为正整数，因而 n − n' 和 n + n' 皆为正整数，所以积分：
l
∫ψ n ( x)ψ n' ( x) dτ = 0
Δpx
=
h Δx
=
6.626×10−34 J 10−6 m
s
= 6.626×10−28 J s m−1
在 104V 的加速电压下，电子的动量为：
px = mυx = 2meV
= 2 × 9.109 ×10−31kg ×1.602 ×10−19 C ×104V
= 5.402 ×10−23 J s m−1
Δx
花粉：
=
h m ⋅ Δv
=
6.626×10−34 J ⋅ s 10−13 kg ×1×10%m ⋅ s−1
=
6.63×10−20 m
Δx
电子：
=
h m ⋅ Δv
=
6.626×10−34 J ⋅ s 9.109×10−31kg ×1000×10%m ⋅ s−1
=
7.27 ×10−6 m
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为 1000V ，电子运动速度的不确定度 Δυ
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来
说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光
屏上成像无影响。
【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10−6 m ）观察不到电子衍射（用100000V 电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
波长λ/nm
312.5
365.0
Biblioteka Baidu
404.7
546.1
光电子最大动能 Ek/10-19J
3.41
2.56
1.95
0.75
作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出 Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν
0)。
解：将各照射光波长换算成频率 v ,并将各频率与对应的光电子的最大动能 Ek 列于下表：
x = h = h = 1.226×10−9 1 m
px h / λ
V
= 1.226×10−9 1 m 10000
= 1.226×10−11m
这不确定度约为光学光栅周期的 10－5 倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
学光栅周期的 10－5 倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
解法二：若电子位置的不确定度为 10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
( ) = d e−ax2 − 2ax2e−ax2 − 4a2 x3e−ax2 dx
= −2axe−ax2 − 4axe−ax2 + 4a2 x3e−ax2 − 4a2 x3e−ax2
= −6axe−ax2
= −6aψ 因此，本征值为 −6a 。
d2
【1.12】下列函数中，哪几个是算符 dx2 的本征函数？若是，求出本征值。
纽带是 Planck 常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p = mυ
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：
λ =u/v 式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了 λ = u / v ，显然是
错的。
在④中， E = hv 无疑是正确的，这里的 E 是微粒的总能量。若计及 E 中的势能，则⑤
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
Δx
子弹：
=
h m ⋅ Δv
=
6.26×10−34 J ⋅ s 0.01kg ×1000×10%m ⋅ s−1
=
6.63×10−34 m
Δx
尘埃：
=
h m ⋅ Δv
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s 10−9 kg ×10×10%m ⋅ s−1
=
6.63×10−25 m
= 9.403×10-11m (3) λ = h = h
p 2meV
=
6.626×10−34 J ⋅ s
2 × 9.109×10−31kg ×1.602 ×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV ，计算电子
s
图中直线与横坐标的交点所代表的 v 即金属的临界频率 v0 ，由图可知，v0 = 4.36 ×1014 s−1 。
因此，金属钠的脱出功为：
W = hv0 = 6.60 ×10−34 J s × 4.36 ×1014 s−1 = 2.88×10−19 J
【1.3】金属钾的临阈频率为 5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为 300nm 的