概率论与数理统计总结
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计课程总结
概率论与数理统计课程总结概率论的重要观点和关键发现1. 概率的定义概率是描述不确定性的数学工具，它告诉我们一个事件发生的可能性程度。
概率可以用来描述随机试验的结果，并帮助我们理解事件发生的规律。
2. 概率的公理化定义概率的公理化定义由科尔莫哥洛夫公理系统提出，包括三个公理：非负性（概率值非负）、规范性（样本空间的概率为1）和可加性（互斥事件的概率加起来等于它们分别的概率之和）。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它将样本空间中的元素映射到实数集上。
随机变量可以是离散型的（取有限或无限个值）或连续型的（取某一区间内的任意值）。
4. 概率分布随机变量的概率分布描述了随机变量取各个值的概率，可以用概率质量函数（对于离散型随机变量）或概率密度函数（对于连续型随机变量）来表示。
5. 期望和方差期望是随机变量的平均值，反映了随机变量的中心位置。
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，反映了随机变量的离散程度。
6. 大数定律大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋近于其概率。
这意味着随机事件的长期平均结果会逼近理论结果。
7. 中心极限定理中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这是由于多个独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
数理统计的重要观点和关键发现1. 统计推断统计推断是通过样本数据对总体特征进行推断的方法。
它分为参数统计推断和非参数统计推断。
参数统计推断是假设总体具有某种概率分布，并对总体参数进行估计和假设检验。
非参数统计推断则更加自由，不需要对总体分布作出假设。
2. 抽样分布抽样分布是随机抽样统计量的概率分布。
它的性质决定了参数的估计和假设检验的准确性。
常见的抽样分布有正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
3. 置信区间置信区间是对总体参数的一个范围估计，反映了估计的不确定性。
置信区间的计算方法依赖于样本数据和抽样分布的性质。
4. 假设检验假设检验是用来检验关于总体参数的假设是否成立的统计方法。
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
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若X ~ N(0,1), Y ~ 2(n),则 X ~ t(n)
Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)
Y /n
F 分布 正态总若U ~来自 2 (n1),V ~ 2 (n2 ),
则U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
体条件下
样本均值的分布：
X ~ N(,
n
L p(xi; ) i 1
均值的区间估计——大样本结果
x z / 2
n
x — 样本均值 — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n 50) z /2 — 正态分布的分位点
两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
x1 x2
Bayes 公式：从结果找原因
P(Bk | A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bk )P( A | Bk )
k 1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
对连续型随机变量
x
F(x) P(X x) f (t)dt
分布函数与密度函数的重要关系：
x
F(x) P(X x) f (t)dt
fY (y) f (x, y)dx
P(X k) Cnk pk (1 p)nk， (k 0,1,...,n)
泊松分布——X~P(λ)
P( X k) k e， (k 0,1,...) k!
概率密度函数
f (x)dx 1
怎样计算概率 P(a X b)
b
P(a X b) a f (x)dx
当X与Y独立时, E(XY ) E(X )E(Y )
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第一章 随机事件与概率第一节 随机事件及其运算1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。
4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。
5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ⊂B;（2）相等关系：若A ⊂B 且B ⊃ A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
（3）互不相容：如果A ∩B=∅，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容7、事件运算（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。
（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。
（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A B A =-。
（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说，事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并∞=1n nA ∈ξ 。
10、两个常用的事件域：（1）离散样本空间Ω（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；（2）连续样本空间Ω（如R 、R 2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步扩展而成的事件域。
第二节 概率的定义及其确定方法1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：若A ∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，即 ++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ，则称P （A ）为时间A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P ）为概率空间2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）它的基本思想是：（1）与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行；（2） 在n 次重复试验中，记n(A)为事件A 出现的次数，称 f n (A)=nn ）（A ， 为事件A 出现的频率； （3） 频率的稳定值就是概率；（4） 当重复次数n 较大时，可用频率作为概率的估计值。
3、确定概率的古典方法：它的基本思想是：（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为P （A ）基本事件总数所包含的基本事件数A ==nk 。
4、确定概率的几何方法：它的基本思想是：（1） 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可用S n 表示；（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；（3） 若事件A 为Ω中某个子区域，且其度量为S A ,则事件A 的概率为P （A ）=ΩS S A. 5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率P （A ）使人们根据经验，对该事件发生的可能性大小所做出的个人信念。
6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。
前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。
第三节 概率的性质：1、 P(Φ)＝02、 有限可加性：若有限个事件A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，3、 对立事件的概率：对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=4、 减法公式（特定场合）：若A ⊃B,则P(A －B)＝P(A)－P(B)5、 单调性：若A ⊃B ，则P （A ）≥ P （B ）6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A 、B ，有P(A －B)＝P(A)－P(AB)7、 加法公式：对任意两个事件A 、B ，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
对任意n 个事件A 1，A 2，···，A n ，有∑∑∑=≤<≤≤<<≤-=-+++-=ni aj i ak j i n n kjij i i A A A P A A A P A A P A P A P 111211n 1i i )()1()()()()(8、 半可加性：对任意两个事件A 、B ，有)()(B P A P B A P +≤⋃）（. 9、 事件序列的极限：（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列 ⊂⊂⊂⊂n 21F F F ，称为可列并∞=1n nF为极限{F n }的极限事件，记为∞=∞→=1n n n n lim F F 。
（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列 ⊃⊃⊃⊃n 21E E E ，称为可列交∞=1n nE为极限{E n }的极限事件，记为=∞→n n lim E ∞=1n nE。
若)lim ()(lim n n n n E P E P ∞→∞→=,则称概率P 是上连续的10、 概率的连续性：若P 为事件域ξ 上的概率，则P 既是上连续的，又是下连续的 11、 若P 是ξ上满足P （Ω）=1的非负集合函数，则P 是可列可加性的充要条件是P具有有限可加性和下连续性。
第四节 条件概率1、条件概率：设A 、B 是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=)()(B P AB P 为事件B 发生条件下，事件A 发生的条件概率。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
2、乘法公式：（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。
3、全概率公式：设事件n B B B ,,,21 互不相容，且n1i i=Ω=B，如果),,2,1(0)(n i B P i =>，则对任一事件A 有)|()()(n1i jiBA PB P A P ∑==，i=1,2,···，n 。
)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。
4、贝叶斯共公式：设事件1B ，2B ，…，n B 互不相容，且n1i i=Ω=B，如果P （A ）>0，),,2,1(0)(n i B P i =>,则∑==n1j jji i i )|()()|()(|B A P B P B A P B P A B P ）（，i=1，2，…n 。
此公式即为贝叶斯公式。
)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫B i 的先验概率。
)/(A B P i ，（1=i ，2，…，n ），通常称为B i 的后验概率。
第五节 独立性1、两个事件的独立性：如果满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的，简称A 与B 独立。
否则称A 与B 不独立或相依。
若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有)()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===2、若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。
必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
3、多个事件的独立性：设有n 个事件A 1，A 2，···，A n ，如果对任意的1≤I<j<k<···≤n ，以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()()(j i j i j i j i j i j i n k n k k k A P A P A P A P A A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件A 1，A 2，···，A n 相互独立。
4、若n 个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。
特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。
5、试验的独立性：假如实验E 1的任一结果（事件）与试验E 2的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。
6、n 重独立重复试验：假如一个试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n次独立重复试验。
假如一个试验只可能有两个结果：A 与A ，则称其为伯努利试验。
假如一个伯努利试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n 重伯努利试验。
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。
（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a ，b ）的随机变量。
这里a 可为-∞，b 可为+∞。
2、分布函数：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数，记为X~F(x)。
分布函数具有如下三条基本性质：（1） 单调性：F （x ）是单调非减函数，即对任意的x 1<x 2,有F(x 1)≤F(x 2)；（2） 右连续性：F （x ）是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有)x (x lim 0x x 0F F =+→）（，即F(x 0+0)=F(x 0)；（3） 有界性:对任意的x ，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=)(lim -x x F ∞→=0，F(+∞)=）（x lim x F +∞→=1可以证明：具有上述三条性质的函数F （x ）一定是某一个随机变量的分布函数。