量子力学思考题和讨论题
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
大学物理-量子力学基础习题思考题及答案
习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c=+ 可得p ===h p λ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmE h 12220107.722p h -⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095k λϕ--⨯=== ， 5.48ϕ= 22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
量子力学思考题
ˆ ,B ˆB ˆ ) ψ = (A ˆ )ψ = (A B − B A )ψ = 0 ˆ ]ψ = (A ˆ −B ˆA ˆ −B ˆA [A ∑ n ∑ ˆB ∑ n n n n n n
n n n
8. 以能量算符为例简要说明能量算符和能量之间的关系（华科大 02 考研） 在量子力学中，能量算符用表示 Hˆ ,当体系处于某个能量的本征态时，算符 Hˆ 对本征 态 φn 的作用是得到这一本征值，即 Hˆφn = E nφn ，若体系处于任意态ψ 时， Hˆ 作用于ψ
5. 如果算符 F 表示力学量 F，那么当体系处于算符 F 的本征态是，力学量 F 是否有确 定值？（华科大 03 考研）
ˆ 在本征态 ψ 的本征值 是，其确定值就是 F
6.如果一组算符有共同的本征函数，且这些函数组成完全系，问这组算符中的一个是 否与其余的算符对易（华科大 03 考研）
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 是 ， 设 这 组 算 符 为 A, B, C ， 完 全 系 为 {ψ n } ， 依 题 意 Aψ n = A n ψ n ， Bψ n = Bn ψ n ， ˆψ = C ψ C n n n ，………。则对任意波函数 ψ ，
i Jˆ 任何满足此式的算符所代表的力学 量子力学中，角动量是按下式定义 Jˆ × Jˆ =
ˆ r = ˆ× p ˆ 更具普遍性。 量，都可以认为是角动量。此定义较之角动量的仿佛经典定义 L
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。 3.试比较经典角动量的相加与量子角动量的耦合，二者有什么区别？ 经典力学中，两角动量可按矢量相加法则简单地相加。它们相加的角度可以是任何的 （取决于体系的性质） ，因此得到的合动量其数值与取向也是连续变化的。 量子力学中，角动量总是一个量子化的量。不仅两个任意角动量的大小与取向是量子 化的，如果它们相互耦合。则合角动量的大小和与取向也是量子化的，因此两角动量 的耦合方式要受到限制，不能是任意的。例如，在量子力学中，两角动量的耦合满足 三角形关系，而按照经典方式描述，这种耦合的限制就相当于两角动量的夹角不能是 任意的，而是量子化的。 4.斯特恩-盖拉赫实验中，只有使用处于 s 态的中性原子，而不能使用电子，为什么？
《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题
《结构化学》课程作业题第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。
如何正确对待归量子论？2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？4. 简述薛定谔方程得来的线索。
求解该方程时应注意什么？5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？6. 写出薛定谔方程的算符表达式。
你是怎样理解这个表达式的？ *7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？ 9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说p +1和p -1就是分别代表p x 和p y ? 11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考虑电子自旋的？*13. 哈特里-福克SCF 模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则又是讲的什么内容？15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？16. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长）（422-=n n c λ，其中c 为常数，n 为大于2的正整数，试用里德伯常数H R ~求出c 值。
17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
18. 已知电磁波中电场强度ε服从波动方程222221t c x ∂∂⋅=∂∂εε，试说明如下函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x t x y νλπεε2c o s 0），（是这个方程的解。
量子力学第一章作业
量子力学 第一章 习题一、填空题1． 普朗克（Planck ）常数h 的数值是 ，普朗克（Planck ）常数ħ和h 之间的关系是 ，普朗克（Planck ）常数ħ的数值是 。
2． 索末菲（Sommerfeld ）的量子化条件是 。
3． 德布罗意（de Broglie ）公式是 。
二、问答题1．什么是黑体（或绝对黑体）？根据普朗克（Planck ）黑体辐射规律（教材第二页1.2.1式），试讨论辐射频率很高（趋于无穷大）和很低（趋于零）时的黑体辐射规律，并与维恩公式、瑞利——金斯公式相比较。
请给出波长在λ到λ+d λ之间的辐射能量密度规律。
2．什么是光电效应？光电效应的实验特点是什么？经典物理在解释光电效应时的困难是什么？采用爱因斯坦（Einstein ）的光量子假设后，光电效应是如何解释的？3．光子有什么特点？爱因斯坦关于光子能量、动量和光子频率、波长之间的关系是什么？这个关系反映出光子的什么特征？4．什么是康普顿效应？试由Einstein 的光量子说，利用能量动量守恒，解释Compton 效应。
康普顿效应说明了什么？和光电效应相比，入射光子能量哪个大，并说明理由。
5．玻尔的氢原子模型内容是什么？试根据玻尔的氢原子模型给出里德堡（Rydberg ）常数和氢原子第一玻尔半径的表达式和数值结果。
并说明为什么玻尔的量子论是半经典的半量子的？三、多项选择题1．说明微观粒子具有波动性的现象有 说明电磁波具有粒子性的现象有(a)以太漂移说 (b)黑体辐射 (c)光电效应(d)康普顿（Compton ）效应 (e)原子结构和线性光谱 (f)电子的双缝衍射 (g)戴维逊（Davisson ）——革末（Germer ）实验(h)迈克尔逊（Michelson ）——莫雷（Monley ）实验四、计算题1． 教材习题(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)2． 设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法就是否正确:(1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系;(2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。
解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。
(2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经过渡到经典力学,二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ϖψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ϖψ而完全确定。
由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。
解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定,2ψ中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。
(1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=;(2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ϖ无关的复数,但可能就是时间t 的函数。
第十八章 量子物理基础-思考题和习题解答
思考题18-1 把一块表面的一半涂了烟煤的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些？参考答案实验表明：一个良好的吸收体也是一个良好的发射体。
也就是说，一个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能力也越强。
辐射本领越强的物体，单位时间内从表面辐射出来的能力越多，它的表面就显得越亮。
瓷砖涂了烟煤的一半在正常情况下更黑，说明比起未涂烟煤的一半，它吸收辐射的能力也更强，相应地，它的辐出度更高，所以在火炉内烧热后应该显得更亮一些。
18-2 刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在白天，它的开着的窗口也是黑的。
为什么？参考答案从窗口进入的光线在屋里经过多次反射后极少能再从窗口反射出来，所以看起来窗口总是黑的。
这样的窗口就可看作是一个黑体。
18-3 为什么几乎没有黑色的花？参考答案如果花是黑颜色的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能力都吸收了，与其他颜色的花相比，黑色花的温度将更高，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制而枯死。
另外，对于虫媒花来说，黑色是昆虫的视觉盲点，因而无法授粉。
18-4 在光电效应实验中，如果（1）入射光强度增加一倍；（2）入射光频率增加一倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应方程为2012m c mv eU h A h eU νν==-=- （1）入射光强度的概念：单位时间内单位面积上的光子数乘以每个光子的能量。
如果频率不变，每个光子的能量就不变。
入射光强度增加一倍，意味着入射的光子数增加一倍，从而饱和电流强度将增加一倍。
截止电压不变（设频率不变）。
（2）入射光的频率增加一倍，h ν就增加一倍，每个光子的能量从h ν增加到2h ν。
从光电效应方程可以看出截止电压c U 相应地增加h e ν。
饱和电流的数值不变（因为单位时间入射的光子数密度未变）。
18-5 用一定波长的光照射金属表面产生光电效应时，为什么逸出金属表面的光电子的速度大小不同？参考答案金属中的电子是运动着的，它与金属中的离子有相互作用，不断与离子发生碰撞，导致它的动量发生变化。
第十八章量子物理基础-思考题和习题解答
第⼗⼋章量⼦物理基础-思考题和习题解答思考题18-1 把⼀块表⾯的⼀半涂了烟煤的⽩瓷砖放到⽕炉内烧，⾼温下瓷砖的哪⼀半显得更亮些？参考答案实验表明：⼀个良好的吸收体也是⼀个良好的发射体。
也就是说，⼀个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能⼒也越强。
辐射本领越强的物体，单位时间内从表⾯辐射出来的能⼒越多，它的表⾯就显得越亮。
瓷砖涂了烟煤的⼀半在正常情况下更⿊，说明⽐起未涂烟煤的⼀半，它吸收辐射的能⼒也更强，相应地，它的辐出度更⾼，所以在⽕炉内烧热后应该显得更亮⼀些。
18-2 刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在⽩天，它的开着的窗⼝也是⿊的。
为什么？参考答案从窗⼝进⼊的光线在屋⾥经过多次反射后极少能再从窗⼝反射出来，所以看起来窗⼝总是⿊的。
这样的窗⼝就可看作是⼀个⿊体。
18-3 为什么⼏乎没有⿊⾊的花？参考答案如果花是⿊颜⾊的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能⼒都吸收了，与其他颜⾊的花相⽐，⿊⾊花的温度将更⾼，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制⽽枯死。
另外，对于⾍媒花来说，⿊⾊是昆⾍的视觉盲点，因⽽⽆法授粉。
18-4 在光电效应实验中，如果（1）⼊射光强度增加⼀倍；（2）⼊射光频率增加⼀倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应⽅程为2012m c mv eU h A h eU νν==-=- （1）⼊射光强度的概念：单位时间内单位⾯积上的光⼦数乘以每个光⼦的能量。
如果频率不变，每个光⼦的能量就不变。
⼊射光强度增加⼀倍，意味着⼊射的光⼦数增加⼀倍，从⽽饱和电流强度将增加⼀倍。
截⽌电压不变（设频率不变）。
（2）⼊射光的频率增加⼀倍，h ν就增加⼀倍，每个光⼦的能量从h ν增加到2h ν。
从光电效应⽅程可以看出截⽌电压c U 相应地增加h e ν。
饱和电流的数值不变（因为单位时间⼊射的光⼦数密度未变）。
18-5 ⽤⼀定波长的光照射⾦属表⾯产⽣光电效应时，为什么逸出⾦属表⾯的光电⼦的速度⼤⼩不同？参考答案⾦属中的电⼦是运动着的，它与⾦属中的离⼦有相互作⽤，不断与离⼦发⽣碰撞，导致它的动量发⽣变化。
量子思考题与解答-1
第一章第一章黑体辐射，光的波粒二象性1.什么是黑体？（1 ）黑颜色的物体。
（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。
（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。
（4 ）吸收比为1的物体。
（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2•康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？3•可以观察到可见光的康普顿效应吗？光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对入射光有没有类似限制？4•光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？因为当一个电子同时吸收两个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射时都能形成光电流。
5•康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？光子被束缚电子散射时结果如何？6•光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？第二章微观粒子的波粒二象性1•德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？3•关于粒子的波动性，某种看法认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？这种看法对不对？6•波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？7.电子是粒子，又是波”，电子不是粒子，又是波”，电子是粒子，不是波”，电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？8.以下说法是否正确？（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。
（2 ）量子力学适用于h不能忽视的体系，而经典力学适用于h可以忽略的体系。
第三章波函数态叠加原理波动方程1.判断下列说法是否确切、完整。
大学物理12量子力学基础习题思考题
。
12-7．氢原子的吸收谱线 的谱线宽度为 ，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量 ，由于激发能级有一定的宽度 ，造成谱线也有一定宽度 ，两者之间的关系为： ，由不确定关系， ，平均寿命 ，则：
。
12-8．若红宝石发出中心波长 的短脉冲信号，时距为 ，计算该信号的波长宽度 。
解：光波列长度与原子发光寿命的关系为： ，
由不确定关系： ，有：
∴ 。
12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为 ，式中 为粒子角动量的不确定度， 为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，设半径为 ，角动量为： ，
则其不确定度 ，而做圆周运动时： ，
利用： 代入，可得到： 。
12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在 到 区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
12-5．图中所示为一有限深势阱，宽为 ，高为 。
（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；
（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。
答：（1）第I区域定态薛定谔方程：
，（ ），
第II区域定态薛定谔方程：
，（ 和 ）；
边界条件： ， 。
（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为 ，最低能量值 ，显然与 的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。
习题12
12-1．计算下列客体具有 动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。
解：（1）具有 动能的电子，可以试算一下它的速度：
，所以要考虑相对论效应。
设电子的静能量为 ，总能量可写为： ，用相对论公式：
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（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体 系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个 经典力学体系。
（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子 力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观 理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。
在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决 定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用 的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什 么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义 的，也是没有必要的。
类似地，它的动量的平均值也可表示为
若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因 为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中 用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后 再转换到坐标表象中去。
利用有
作代换，并对积分得（推广到三维）
可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相 当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相 应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。 用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量 子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相 互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学 量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间
定态的线性叠加 态中平均值与无关，所以叠加态是定态。
（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上 说法正确吗？
解答：（1）能量不同的定态的叠加态中，不具有确定的能量值，尽管 与无关，但位置概率密度依赖于时间，这表明任意定态的叠加不再具 有定态的特征，是非定态。
（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态仍 是波动方程的解。因此，只能说定态解（不显含时间
交、归一、完备系，任意态矢均可按唯一展开，由于
为任意态矢，故得到，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性
关系。
22、简述定态微扰论的基本思想。
解答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求
解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方
程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程
时，若可以
本征态：
一般波函数在表象的表示与在表象的表示之间的关系为
可见，只要令有关表达式中，便可由一个表象转到另一个表象；两个表 象波函数在傅立叶变换中互为镜像。
定态S-eq在动量表象的表示
18、已知一维谐振子在坐标表象的能量本征函数，不用计算，直接写出其 在动量表象的能量本征函数。
解答：一维谐振子的哈密顿量为
7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须 是线性厄密的？
解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，
这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态 的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各 力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这 就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使 用，因此需要寻求新的表示方法。 下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。 如果体系处于中，则它的位置平均值为
14、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。 解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的 维数是可数的）。具体说，如果力学量的本征函数为，相应本征值 为。任意态矢可展开为 态矢在表象的表示为展开系数组成的一列矩阵
其意义是：在态中，力学量取值的几率为，与坐标表象波函数的意义 相类似。
可能有非束缚态，例如在散射中，粒子并不局限于有限区域，但粒子处于 能量本征态，这时粒
子处于非束缚态，或者说粒子处于散射定态（简称为散射态）。
13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？ 解答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典 物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。我们可以认为，物 质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经 典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借 用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有 效借用的限度，如给出了用粒子图像描述物质的局限性。
，故与、均描述同一态。 （2）由于任意复数，以及 显然，只有当复数，即，且时，
均描述同一态。
6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力 学统计规律的客观基础是什么？
解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分 子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而 运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不 存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动 能的量度。
解答：当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于 零的态叫束缚态。
束缚态的能级是分立的。例如，一维谐振子就属于束缚定态，具有量子 化的能级。但束缚
态不一定是定态，例如限制在一维盒子中的粒子，最一般的可能态是一系 列分立的定态叠加而
成的波包，这种叠加态是没有确定能量的非定态。虽然一般情况下定态多 属束缚态，但定态也
和的内积记为，是对应于的左矢，属于伴随空间的
一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。
21、（1） （2）
（3）如是的本征矢，则
（4）算符的物理意义是什么？公式成立的条件是什么？
的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢方向的投影
矢量，；且，故称
为投影算符，是投影数值。公式成立的条件是基矢集组成正
）是体系含时波动方程的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都 是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程中 明显出现，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方 程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。
12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束 缚态？举例说明。
本征矢为单一元素列矩阵 ………
16、设，分别在坐标和动量表象中写出的矩阵元。 解答：（1）坐标表象基矢为
（2）动量表象基矢为
17、试将坐标表象与动量表象加以比较，再由坐标表象的定态薛定谔方程 直接写出其在动量表象的表达式。
解答：坐标表象与动量表象是一对共轭表象，表示形式十分类似
表象
表象
：
：
本征态：
如果和的线性叠加也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ，然 而， 可见，只有当时，才有。 因此，中，与应是任意复常数，而不是时间的复函数。如上式 中态不含时间，则有。
5、（1）波函数与、是否描述同一态？ （2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？ 这里是复常数，是实常数。
解答：（1）与、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相 对概率
力学量用厄密矩阵表示
可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。 用矩阵表示力学量，理由如下： （1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。
设，则 简记为；
（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不 对易的要求；
（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。 15、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么? 解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化 的，对角元素就是它的本征值
定态具有以下特征: （1）定态波函数时空坐标可以分离，，其中是哈密顿量的本征函 数，而为相应的本征值； （2）不显含时间的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变 化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。 注意，通常用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒 子状态的波函数都是含时的。 11、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：
一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学 量是适当的。
力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的； 任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数， 这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。
8、力学量之间的对易关系有何物理意义？ 解答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。对易 关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时 确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。与不确定原 理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。从纯 理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。此外，对于有 的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如，就可作为角动量的定 义。 9、什么是力学量的完全集？它有何特征？ 解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（），它们的共同本 征函数系为，如果给定一组量子数就可以确定体系的一个可能态，那 么，就称（）为体系的一个力学量完全集。它的特点是：（1）力学量 完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集 所包含力学量的数目等于量子数组所包含的量子数数目，即体系的自 由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。 10、何谓定态? 它有何特征？ 解答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势 场恒定，则体系可以处于定态。
把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数
是可以精确求解的，或已有确定的结果。
满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以 逐步近似的精神求解Biblioteka 定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开
与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和 本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂 次称为一级修正、二级修正、…。 23、非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小， 二是要求能级间隔较大。 24、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。 解答：能量的二级修正，若为基态能量，当然其数值为最小，因而在 求和中的任一项，故永为负值。