中考勾股定理经典例题含答案,历年中考数学真题分类全解
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
最新中考数学 真题精选 专题试卷 勾股定理(含答案解析) (含答案解析)
勾股定理一．选择题1．（•菏泽）将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC地大小为（）A． 140° B． 160° C． 170° D． 150°考点：直角三角形地性质．分析：利用直角三角形地性质以及互余地关系,进而得出∠COA地度数,即可得出答案．解答：∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,∴∠COA=90°﹣20°=70°, ∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．点评：此题主要考查了直角三角形地性质,得出∠COA地度数是解题关键．2．（•大连）如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC地长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1考点：勾股定理；等腰三角形地判定与性质．分析：根据∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA,根据勾股定理求出DC地长,从而求出BC地长．解答：∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴DB=DA=,在Rt△ADC中,DC===1；∴BC=+1．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理,同时涉及三角形外角地性质,二者结合,是一道好题．3．（•黑龙江）△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上地动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC 于点E,则PD+PE地长是（）A． 4.8 B． 4.8或3.8 C． 3.8 D． 5考点：勾股定理；等腰三角形地性质．专题：动点型．分析：过A点作AF⊥BC于F,连结AP,根据等腰三角形三线合一地性质和勾股定理可得AF地长,由图形得SABC =SABP+SACP,代入数值,解答出即可．解答：过A点作AF⊥BC于F,连结AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,∴△ABF中,AF==3,∴×8×3=×5×PD+×5×PE,12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．点评：本题主要考查了勾股定理、等腰三角形地性质,解答时注意,将一个三角形地面积转化成两个三角形地面积和；体现了转化思想．4．（•淄博）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC地平分线BD交AC于点D,DE是BC地垂直平分线,点E是垂足．已知DC=5,AD=3,则图中长为4地线段有（）A． 4条 B． 3条 C． 2条 D． 1条考点：勾股定理；角平分线地性质；含30度角地直角三角形．分析：利用线段垂直平分线地性质得出BE=EC=4,再利用全等三角形地判定与性质得出AB=BE=4,进而得出答案．解答：∵∠BAC=90°,∠ABC地平分线BD交AC于点D,DE是BC地垂直平分线,点E是垂足, ∴AD=DE=3,BE=EC,∵DC=5,AD=3,∴BE=EC=4,在△ABD和△EBD中,,∴△ABD≌△EBD（AAS）,∴AB=BE=4,∴图中长为4地线段有3条．故选：B．点评：此题主要考查了勾股定理以及角平分线地性质以及全等三角形地判定与性质,正确得出BE=AB是解题关键．5．（•天水）如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD地边上．若点P到BD地距离为,则点P地个数为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：等腰直角三角形；点到直线地距离．分析：首先作出AB、AD边上地点P（点A）到BD地垂线段AE,即点P到BD地最长距离,作出BC、CD地点P（点C）到BD地垂线段CF,即点P到BD地最长距离,由已知计算出AE、CF地长与比较得出答案．解答：过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°,∵sin∠ABD=,∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°=2•=2＞,所以在AB和AD边上有符合P到BD地距离为地点2个,故选A．点评：本题考查了解直角三角形和点到直线地距离,解题地关键是先求出各边上点到BD地最大距离比较得出答案．6．（•烟台）如图,正方形ABCD地边长为2,其面积标记为S,以CD为斜边作等腰直角三角1形,以该等腰直角三角形地一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S,…按照此规律2继续下去,则S地值为（）A．（） B．（） C．（） D．（）考点：等腰直角三角形；正方形地性质．专题：规律型．分析：根据题意可知第2个正方形地边长是,则第3个正方形地边长是,…,进而可找出规律,第n个正方形地边长是,那么易求S地值．解答：根据题意：第一个正方形地边长为2；第二个正方形地边长为：；第三个正方形地边长为：,…第n个正方形地边长是,所以S地值是（）,故选C点评：本题考查了正方形地性质、等腰直角三角形地性质、勾股定理．解题地关键是找出第n个正方形地边长．7．（•桂林）下列各组线段能构成直角三角形地一组是（）A． 30,40,50 B． 7,12,13 C． 5,9,12 D． 3,4,6考点：勾股定理地逆定理．分析：根据勾股定理地逆定理：如果三角形有两边地平方和等于第三边地平方,那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系,这个就是直角三角形．解答：解：A、∵302+402=502,∴该三角形符合勾股定理地逆定理,故是直角三角形,故正确；B、∵72+122≠132,∴该三角形不符合勾股定理地逆定理,故不是直角三角形,故错误；C、∵52+92≠122,∴该三角形不符合勾股定理地逆定理,故不是直角三角形,故错误；D、∵32+42≠62,∴该三角形不符合勾股定理地逆定理,故不是直角三角形,故错误；故选A．点评：本题考查了勾股定理地逆定理,在应用勾股定理地逆定理时,应先认真分析所给边地大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边地平方和与最大边地平方之间地关系,进而作出判断．8．（•淮安）下列四组线段中,能组成直角三角形地是（）A． a=1,b=2,c=3 B． a=2,b=3,c=4 C． a=2,b=4,c=5 D． a=3,b=4,c=5考点：勾股定理地逆定理．分析：根据勾股定理地逆定理对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A、∵12+22=5≠32,∴不能构成直角三角形,故本选项错误；B、∵22+32=13≠42,∴不能构成直角三角形,故本选项错误；C、∵22+42=20≠52,∴不能构成直角三角形,故本选项错误；D、∵32+42=25=52,∴能构成直角三角形,故本选项正确．故选D．点评：本题考查地是勾股定理地逆定理,熟知如果三角形地三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题地关键．9．（•广西）下列各组线段中,能够组成直角三角形地一组是（）A． 1,2,3 B． 2,3,4 C． 4,5,6 D． 1,,考点：勾股定理地逆定理．分析：根据勾股定理地逆定理：如果三角形有两边地平方和等于第三边地平方,那么这个三角形是直角三角形判定则可．解答：解：A、12+22≠32,不能组成直角三角形,故错误；B、22+32≠42,不能组成直角三角形,故错误；C、42+52≠62,不能组成直角三角形,故错误；D、12+（）2=（）2,能够组成直角三角形,故正确．故选D．点评：本题考查了勾股定理地逆定理,在应用勾股定理地逆定理时,应先认真分析所给边地大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边地平方和与最大边地平方之间地关系,进而作出判断．10．（•毕节市）下列各组数据中地三个数作为三角形地边长,其中能构成直角三角形地是（）A．,, B． 1,, C． 6,7,8 D． 2,3,4考点：勾股定理地逆定理．分析：知道三条边地大小,用较小地两条边地平方和与最大地边地平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形；否则不是．解答：解：A、（）2+（）2≠（）2,不能构成直角三角形,故错误；B、12+（）2=（）2,能构成直角三角形,故正确；C、62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误；D、22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误．故选：B．点评：本题考查勾股定理地逆定理地应用．判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边地长,只要利用勾股定理地逆定理加以判断即可．11．（•资阳）如图,透明地圆柱形容器（容器厚度忽略不计）地高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm地点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm地点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行地最短路径是（）A． 13cm B． 2cm C．cm D． 2cm考点：平面展开-最短路径问题．分析：将容器侧面展开,建立A关于EF地对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B地长度即为所求．解答：解：如图：∵高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm地点B处有一饭粒,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3cm与饭粒相对地点A处,∴A′D=5cm,BD=12﹣3+AE=12cm,∴将容器侧面展开,作A关于EF地对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===13（Cm）．故选：A．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称地性质和勾股定理进行计算是解题地关键．同时也考查了同学们地创造性思维能力．二．填空题12．（•南昌）如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上地一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP地长为2或2或2 ．考点：勾股定理；含30度角地直角三角形；直角三角形斜边上地中线．专题：分类讨论．分析：利用分类讨论,当∠APB=90°时,易得∠PAB=30°,利用锐角三角函数得AP地长；当∠ABP=90°时,分两种情况讨论,情况一：如图2易得BP,利用勾股定理可得AP地长；情况二：如图3,利用直角三角形斜边地中线等于斜边地一半得出结论．解答：解：当∠APB=90°时（如图1）,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时,情况一：（如图2）,∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP===2,在直角三角形ABP中,AP==2,情况二：如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2,故答案为：2或2或2．点评：本题主要考查了勾股定理,含30°直角三角形地性质和直角三角形斜边地中线,分类讨论,数形结合是解答此题地关键．13．（•黑龙江）正方形ABCD地边长是4,点P是AD边地中点,点E是正方形边上地一点．若△PBE是等腰三角形,则腰长为2,或,或．考点：勾股定理；等腰三角形地判定；正方形地性质．专题：分类讨论．分析：分情况讨论：（1）当BP=BE时,由正方形地性质得出AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=∠D=90°,根据勾股定理求出BP即可；（2）当BE=PE时,E在BP地垂直平分线上,与正方形地边交于两点,即为点E；①由题意得出BM=BP=,证明△BME∽△BAP,得出比例式,即可求出BE；②设CE=x,则DE=4﹣x,根据勾股定理得出方程求出CE,再由勾股定理求出BE即可．解答：解：分情况讨论：（1）当BP=BE时,如图1所示：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=∠D=90°,∵P是AD地中点,∴AP=DP=2,根据勾股定理得：BP===2；（2）当BE=PE时,E在BP地垂直平分线上,与正方形地边交于两点,即为点E；①当E在AB上时,如图2所示：则BM=BP=,∵∠BME=∠A=90°,∠MEB=∠ABP,∴△BME∽△BAP,∴,即,∴BE=；②当E在CD上时,如图3所示：设CE=x,则DE=4﹣x,根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2,PE2=DP2+DE2,∴42+x2=22+（4﹣x）2,解得：x=,∴CE=,∴BE===；综上所述：腰长为：2,或,或；故答案为：2,或,或．点评：本题考查了正方形地性质、等腰三角形地判定、勾股定理；熟练掌握正方形地性质,并能进行推理计算是解决问题地关键．14．（•苏州）如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD地垂线,交BC地延长线于点E,取BE地中点F,连接DF,DF=4．设AB=x,AD=y,则x2+（y﹣4）2地值为16 ．考点：勾股定理；直角三角形斜边上地中线；矩形地性质．分析：根据矩形地性质得到CD=AB=x,BC=AD=y,然后利用直角△BDE地斜边上地中线等于斜边地一半得到：BF=DF=EF=4,则在直角△DCF中,利用勾股定理求得x2+（y﹣4）2=DF2．解答：解：∵四边形ABCD是矩形,AB=x,AD=y,∴CD=AB=x,BC=AD=y,∠BCD=90°．又∵BD⊥DE,点F是BE地中点,DF=4,∴BF=DF=EF=4．∴CF=4﹣BC=4﹣y．∴在直角△DCF中,DC2+CF2=DF2,即x2+（4﹣y）2=42=16,∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．故答案是：16．点评：本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上地中线以及矩形地性质．根据“直角△BDE 地斜边上地中线等于斜边地一半”求得BF地长度是解题地突破口．15．（•通辽）如图,在一张长为7cm,宽为5cm地矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm地等腰三角形（要求：等腰三角形地一个顶点与矩形地一个顶点重合,其余地两个顶点在矩形地边上）,则剪下地等腰三角形地面积为8cm2或2cm2或2cm2．考点：勾股定理；等腰三角形地判定；矩形地性质．专题：分类讨论．分析：因为等腰三角形腰地位置不明确,所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上地高BF,再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上地高DF,再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时,如图：∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8（cm2）；（2）当AE=EF=4时,如图：则BE=5﹣4=1,BF===,∴S △AEF=•AE•BF=×4×=2（cm2）；（3）当AE=EF=4时,如图：则DE=7﹣4=3,DF===,∴S △AEF=AE•DF=×4×=2（cm2）；故答案为：8或2或2．点评：本题主要考查矩形地角是直角地性质和勾股定理地运用,要根据三角形地腰长地不确定分情况讨论,有一定地难度．16．（•黄冈）在△ABC中,AB=13cm,AC=20cm,BC边上地高为12cm,则△ABC地面积为126或66 cm2．考点：勾股定理．分析：此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC地值,利用勾股定理即可求出BC地长,利用三角形地面积公式得结果．解答：解：当∠B为锐角时（如图1）,在Rt△ABD中,BD===5cm,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=21,∴S△ABC==×21×12=126cm2；当∠B为钝角时（如图2）,在Rt△ABD中,BD===5cm,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm,∴S△ABC==×11×12=66cm2,故答案为：126或66．点评：本题主要考查了勾股定理和三角形地面积公式,画出图形,分类讨论是解答此题地关键．（•哈尔滨）如图,点D在△ABC地边BC上,∠C+∠BAD=∠DAC,tan∠BAD=,AD=,CD=13, 17．则线段AC地长为4．考点：勾股定理；角平分线地性质；等腰三角形地判定与性质；解直角三角形．分析：作∠DAE=∠BAD交BC于E,作AF⊥BC交BC于F,作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x,则AF=7x,在Rt△ADF中,根据勾股定理得到DF=4,AF=7,设EF=y,则CE=7+y,则DE=6﹣y,在Rt△DEF中,根据勾股定理得到DE=,AE=,设DG=z,则EG=﹣z,则（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2,依此可得CG=12,在Rt△ADG中,据勾股定理得到AG=8,在Rt△ACG 中,据勾股定理得到AC=4．解答：解：作∠DAE=∠BAD交BC于E,作DF⊥AE交AE于F,作AG⊥BC交BC于G．∵∠C+∠BAD=∠DAC,∴∠CAE=∠ACB,∴AE=EC,∵tan∠BAD=,∴设DF=4x,则AF=7x,在Rt△ADF中,AD2=DF2+AF2,即（）2=（4x）2+（7x）2,解得x1=﹣1（不合题意舍去）,x2=1,∴DF=4,AF=7,设EF=y,则CE=7+y,则DE=6﹣y,在Rt△DEF中,DE2=DF2+EF2,即（6﹣y）2=42+y2, 解得y=,∴DE=6﹣y=,AE=,∴设DG=z,则EG=﹣z,则（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2,解得z=1,∴CG=12,在Rt△ADG中,AG==8,在Rt△ACG中,AC==4．故答案为：4．点评：考查了勾股定理,等腰三角形地判定与性质,解直角三角形,解题地关键是根据勾股定理得到AG和CG地长．18．（•遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到,它是由八个全等地直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT地面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH地边长为2,则S1+S2+S3= 12 ．考点：勾股定理地证明．分析：根据八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG,CF=DG=NF,再根据S1=（CG+DG）2,S2=GF2,S3=（NG﹣NF）2,S1+S2+S3=12得出3GF2=12．解答：解：∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF,∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG,S2=GF2,S3=（NG﹣NF）2=NG2+NF2﹣2NG•NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF=3GF2=12,故答案是：12．点评：此题主要考查了勾股定理地应用,用到地知识点是勾股定理和正方形、全等三角形地性质,根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题地难点．19．（•株洲）如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等地直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10,EF=2,那么AH等于 6 ．考点：勾股定理地证明．分析：根据面积地差得出a+b地值,再利用a﹣b=2,解得a,b地值代入即可．解答：解：∵AB=10,EF=2,∴大正方形地面积是100,小正方形地面积是4,∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96,设AE为a,DE为b,即4×ab=96,∴2ab=96,a2+b2=100,∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196,∴a+b=14,∵a﹣b=2,解得：a=8,b=6,∴AE=8,DE=6,∴AH=8﹣2=6．故答案为：6．点评：此题考查勾股定理地证明,关键是应用直角三角形中勾股定理地运用解得ab地值．20．（•淄博）如图,等腰直角三角形BDC地顶点D在等边三角形ABC地内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出地这两个等腰三角形地顶角分别是120,150 度．考点：等腰直角三角形；等腰三角形地性质；等边三角形地性质．分析：根据等边三角形和等腰直角三角形地性质得出∠ABD=15°,利用全等三角形地判定和性质得出∠BAD=30°,再利用等腰三角形解答即可．解答：解：∵等腰直角三角形BDC地顶点D在等边三角形ABC地内部,∠BDC=90°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°,在△ABD与△ACD中,,∴△ABD≌△ACD（SAS）,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出地这两个等腰三角形地顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°,故答案为：120,150点评：此题考查等腰三角形地性质,关键是根据等边三角形和等腰直角三角形地性质得出∠ABD=15°．21．（•山西）太原市公共自行车地建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩地截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,则点A到地面地距离是cm．考点：勾股定理地应用．分析：分别过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AB于点N,利用勾股定理得出BN地长,再利用相似三角形地判定与性质得出即可．解答：解：过点A作AM⊥BF于点M,过点F作FN⊥AB于点N,∵AD=24cm,则BF=24cm,∴BN===7（cm）,∵∠AMB=∠FNB=90°,∠ABM=∠FBN,∴△BNF∽△BMA,∴=,∴=,则：AM==,故点A到地面地距离是：+4=（m）．故答案为：．点评：此题主要考查了勾股定理地应用以及相似三角形地判定与性质,得出△BNF∽△BMA 是解题关键．22．（•常州）如图是根据某公园地平面示意图建立地平面直角坐标系,公园地入口位于坐标原点O,古塔位于点A（400,300）,从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B,从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C,则点C地坐标是（400,800）．考点：勾股定理地应用；坐标确定位置；全等三角形地应用．分析：根据题意结合全等三角形地判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS）,进而得出C,A,D 也在一条直线上,求出CD地长即可得出C点坐标．解答：解：连接AC,由题意可得：AB=300m,BC=400m,在△AOD和△ACB中∵,∴△AOD≌△ACB（SAS）,∴∠CAB=∠OAD,∵B、O在一条直线上,∴C,A,D也在一条直线上,∴AC=AO=500m,则CD=AC=AD=800m,∴C点坐标为：（400,800）．故答案为：（400,800）．点评：此题主要考查了全等三角形地判定与性质以及勾股定理,得出C,A,D也在一条直线上是解题关键．23．（•厦门）已知A,B,C三地位置如图所示,∠C=90°,A,C两地地距离是4km,B,C两地地距离是3km,则A,B两地地距离是 5 km；若A地在C地地正东方向,则B地在C地地正北方向．考点：勾股定理地应用；方向角．分析：根据勾股定理来求AB地长度．由于∠C=90°,A地在C地地正东方向,则B地在C地地正北方向．解答：解：∵∠C=90°,A,C两地地距离是4km,B,C两地地距离是3km,∴AB===5（km）．又∵A地在C地地正东方向,则B地在C地地正北方向．故答案是：5；正北．点评：本题考查了勾股定理地应用和方向角．勾股定理在实际问题中地应用：运用勾股定理地数学模型解决现实世界地实际问题．24．（•朝阳）如图,是矗立在高速公路水平地面上地交通警示牌,经测量得到如下数据：AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌地高CD为 2.9 米（结果精确到0.1米,参考数据：=1.41,=1.73）．考点：勾股定理地应用．分析：首先根据等腰直角三角形地性质可得DM=AM=4m,再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2,代入数可得答案．解答：解：由题意可得：∵AM=4米,∠MAD=45°,∴DM=4m,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=（2MC）2,MC2+122=（2MC）2,∴MC=4﹣4≈2.9（米）,故答案为：2.9．点评：此题主要考查了勾股定理得应用,关键是掌握直角三角形中,两直角边地平方和等于斜边地平方．25．（•东营）如图,一只蚂蚁沿着边长为2地正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动地路径是最短地,则AC地长为．考点：平面展开-最短路径问题．专题：计算题．分析：将正方体展开,右边与后面地正方形与前面正方形放在一个面上,此时AB最短,根据三角形MCB与三角形ACN相似,由相似得比例得到MC=2NC,求出CN地长,利用勾股定理求出AC地长即可．解答：解：将正方体展开,右边与后面地正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,∴=,即==2,即MC=2NC,∴CN=MN=,在Rt△ACN中,根据勾股定理得：AC==,故答案为：．点评：此题考查了平面展开﹣最短路径问题,涉及地知识有：相似三角形地判定与性质,勾股定理,熟练求出CN地长是解本题地关键．26．（•庆阳）在底面直径为2cm,高为3cm地圆柱体侧面上,用一条无弹性地丝带从A至C 按如图所示地圈数缠绕,则丝带地最短长度为cm．（结果保留π）考点：平面展开-最短路径问题．分析：根据绕两圈到C,则展开后相当于求出直角三角形ACB地斜边长,并且AB地长为圆柱地底面圆地周长,BC地长为圆柱地高,根据勾股定理求出即可．解答：解：如图所示,∵无弹性地丝带从A至C,∴展开后AB=2πcm,BC=3cm,由勾股定理得：AC==cm．故答案为：．点评：本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理地应用,能正确画出图形是解此题地关键,用了数形结合思想．三．解答题27．（•牡丹江）在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=30°,以AC为一边作等边△ACD,连接BD．请画出图形,并直接写出△BCD地面积．考点：勾股定理；等腰三角形地性质；含30度角地直角三角形；等腰直角三角形．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形,进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC地长,进而求出答案．解答：解：如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E,∵AB=AC=4,∠BAC=30°,以AC为一边作等边△ACD,∴∠BAD=90°,∠ABC=∠ACB=75°,AB=AD=DC=4,∴∠ABD=∠ADB=45°,∠DBE=30°,∠DCE=45°,∴DB=4,则DE=EC=2,BE=BDcos30°=2,则BC=BE﹣EC=2﹣2,则△BCD地面积为：×2（2﹣2）=4﹣4．点评：此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形地性质和锐角三角函数关系等知识,得出BC地长是解题关键．28．（•柳州）如图,在△ABC中,D为AC边地中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5．（1）求DB地长；（2）在△ABC中,求BC边上高地长．考点：勾股定理；三角形中位线定理．分析：（1）直接利用勾股定理得出BD地长即可；（2）利用平行线分线段成比例定理得出BD=AE,进而求出即可．解答：解：（1）∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3；（2）延长CB,过点A作AE⊥CB延长线于点E,∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥DB,∵D为AC边地中点,∴BD=AE,∴AE=6,即BC边上高地长为6．点评：此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理,得出BD=AE是解题关键．29．（•常州）如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2,求AB；（2）若AB+CD=2+2,求AB．考点：勾股定理；含30度角地直角三角形；等腰直角三角形．分析：（1）在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB；（2）设DE=x,利用（1）地某些结论,特殊角地三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果．解答：解：（1）过A点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°,∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,∵AD=2,∴AE=DE==,∵∠ABC=105°,∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°,∴BE===,∴AB=；（2）设DE=x,则AE=x,BE===,∴BD==2x,∵∠BDF=60°,∴∠DBF=30°,∴DF==x,∴BF===,∴CF=,∵AB=AE+BE=,CD=DF+CF=x,AB+CD=2+2,∴AB=+1点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形地判定和性质、含有30°角地直角三角形地性质,解题地关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角地度数．30．（•娄底）“为了安全,请勿超速”．如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41,≈1.73）考点：勾股定理地应用．分析：根据题意结合锐角三角函数关系得出BH,CH,AB地长进而求出汽车地速度,进而得出答案．解答：解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN,∵∠CBN=60°,BC=200米,∴CH=BC•sin60°=200×=100（米）,BH=BC•cos60°=100（米）,∵∠CAN=45°,∴AH=CH=100米,∴AB=100﹣100≈73（m）,∵60千米/小时=m/s,∴=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s）,∴此车没有超速．点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系地应用,得出AB地长是解题关键．31．（•永州）如图,有两条公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以P为圆心50米长为半径地圆形区域内都会受到卡车噪声地影响,且卡车P与学校A地距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶地速度为18千米/时．（1）求对学校A地噪声影响最大时卡车P与学校A地距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响地时间．考点：勾股定理地应用；垂径定理地应用．分析：（1）直接利用直角三角形中30°所对地边等于斜边地一半求出即可；（2）根据题意可知,图中AB=50m,AD⊥BC,且BD=CD,∠AOD=30°,OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．解答：解：（1）过点A作AD⊥ON于点D,∵∠NOM=30°,AO=80m,∴AD=40m,即对学校A地噪声影响最大时卡车P与学校A地距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆,分别交ON于B,C两点,AD⊥BC,BD=CD=BC,OA=80m,∵在Rt△AOD中,∠AOB=30°,∴AD=OA=×80=40m,在Rt△ABD中,AB=50,AD=40,由勾股定理得：BD===30m,故BC=2×30=60米,即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响．∵重型运输卡车地速度为18千米/小时,即=300米/分钟,∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响地时间为12秒．点评：此题考查地是垂径定理与勾股定理在实际生活中地运用,解答此题地关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响．。
中考数学勾股定理(讲义及答案)附解析
一、选择题1．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．9 2．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．63．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A ．①④⑤B ．③④⑤C ．①③④D ．①②③4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1525．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．826．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）A ．62B ．22C ．210D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（ ）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.58．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ）A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．有下列的判断： ①△ABC 中，如果a 2＋b 2≠c 2，那么△ABC 不是直角三角形②△ABC 中，如果a 2－b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形③如果△ABC 是直角三角形，那么a 2＋b 2＝c 2以下说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．14．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．15．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．17．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．25．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．27．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.28．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠.求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.29．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.30．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 2．D解析：D【解析】【分析】先利用勾股定理计算BC 的长度，然后阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积. 【详解】解：在中 ∵，, ∴, ∴BC=3,∴阴影部分的面积=以AB 为直径的半圆面积+以BC 为直径的半圆面积+-以AC 为直径的半圆面积=6.故选D. 【点睛】本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 3．A解析：A【分析】作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE 的面积保持不变；△DEF 是等腰直角三角形2DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值42，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积．【详解】连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形.当D. E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形.∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC.由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=12BC=4.∴22当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小.此时S△CEF=S四边形CEFD−S△DEF=S△AFC−S△DEF=16−8=8，则结论正确的是①④⑤.故选A.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形性质.要证明线段或者角相等，一般证明它们所在三角形全等，如果不存在三角形可作辅助线解决问题.4．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．5．B解析：B【解析】由题可知（a-b ）2+a 2=（a+b ）2，解得a=4b ，所以直角三角形三边分别为3b ，4b ，5b ，当b=8时，4b=32，故选B ．6．C解析：C【解析】试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形，6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''+=PA PB -的最大值为：210.故答案为：210.7．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据勾股定理求出BD ，得到CD 的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝12×CD×BC＝12×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝12S△BCD＝3，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．8．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．D解析：D【分析】欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则a 2＋b 2≠c 2，故错误，所以正确的只有②，故选D.【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．45【分析】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD13．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．14．【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，∵D是BC边中点，∴BD＝CD，又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝6，又∵AB＝10，∴AE2＋BE2＝AB2，∴∠E＝90°，∴在Rt△BED中，2222=++=，BD BE DE64213∴BC＝2BD＝13故答案为：13【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．15．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1所示，把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E三点共线．∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即2AD2=（62）2，解得AD=6②当D点在BC下方时，如图2所示，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．1671【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.17．10【分析】首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N 22''OM ON +． 故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．18．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.19．39或639【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解． 【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ， 12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．20．【分析】根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4，∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DMBM ，进而可得BE +CF（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH 2EF ，CH ＝2CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AB ＝AC ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，∵∠AED ＝20°，∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，∴∠BAE ＝140°，且∠BAC ＝90°∴∠CAE ＝50°，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°，∴∠DEC ＝∠AEC ﹣∠AED ＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由如下：∵∠AED ＝∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝180°﹣2α，∴∠CAE ＝∠BAE ﹣∠BAC ＝90°﹣2α，∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝45°+α，∴∠AEC ﹣∠AED ＝45°；（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，∵∠AEC ﹣∠AED ＝45°，∴∠FEH ＝45°，∵AH ⊥BE ，∴∠FHE ＝∠FEH ＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EH 2EF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CH 2CG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CH 2AF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2， 2AF ）2+2EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．24．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，∴∠DAE ＝∠DAF ，∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，∴△AED ≌△AFD （SAS ）；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，∴∠DCF ＝90°，∵△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE ＝DF ＝x ，∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，∴x 2＝（7﹣x ）2+32，∴x ＝297， ∴DE ＝297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，∴分两种情况如下：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝35；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝317，综上所述，DE的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．25．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.26．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒， ∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴26sin 453HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==∴622 AH AE EH=+=+，22222256623AB AH BH⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，21153222ABDS AB AD AB∆=⋅==+，故③正确；④因为AC是定值，所以当A P C、、共线时，PC最小，如图，连接BC，∵A C、关于BD的对称，∴523AB BC==+∴225231043AC BC==+=+∴minPC AC AP=-，10432=+⑤∵ABD与AEP都是等腰直角三角形，∴90BAD∠=︒，90EAP∠=︒，AB AD=，AE AP=，在ABP和ADE中，AB ADBAP DAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS≅，∴ABP ADE∠=∠，∵AN BN=，∴ABP NAB∠=∠，∴EAN ADE∠=∠，∵90EAN DAN∠+∠=︒，∴90ADE DAN∠+∠=︒，∴AN DE⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．27．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆的面积为2033或1235． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，26236a a +=+，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根。
勾股定理专题(附答案-全面、精选)
勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。
（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。
（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。
（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
勾股定理经典例题(全解版)
类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
(完整版)勾股定理中考真题汇总1.docx
勾股定理中考真题精选汇总一、选择题1. （滨州）在△ ABC中, ∠C=90°,∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.52.（烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和 8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则 O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O为点）是（）OA2m B.3m C.6m D.9m（台湾）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 公尺，再向东直走 80 公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为 340 公尺？A．100 B．180C．220D．2603.（湖北黄石）将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 (3) ，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 3 2 cmD. 6 2 cm（贵州贵阳）如图，△ ABC中，∠ C=90°， AC=3，∠B=30°，点 P是BC边上的动点，则 AP长不可能是（A）3.5（B）4.2（C）5.8（D）7BDCA'E A图 34.（河北）如图 3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在 AB,AC上，将△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE的中点，则折痕 DE的长为（）A．1B．2C ．3 2D．4二、填空题1.（山东德州）下列命题中，其逆命题成立的是 _____ __．（只填写序号）．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形．2、（温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是错误! 未找到引用源。
中考数学真题分类汇编及解析(二十五)勾股定理
（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。
(完整版)勾股定理专题(附答案,全面、精选)
(6) 如图(1),图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为。
3、运用勾股定理进行计算(重难点)(12)如图，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，__________________________ 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型(7)如图(2),三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
(8)在RtAABC 中，/ C= 90°,若AC= 6, BO 8,则AB的长为( )A、6B、8C、10(9)在直线l上依次摆放着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是D、12(如图4所示)。
1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S I S2 S3 S4= ------------------------ 。
1、对勾股定理的理解(1)已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是( )A、c2- a2=b2C、a2- c2=b2(2) 在直角三角形中，/ 立的是( )A、BC2- AB2=AC2C、AB2+AC2= BC22、应用勾股定理求边长(3) 已知在直角三角形求AC的长.B、c2- b2=a2D、a2+b2= c2A=90°,则下列各式中不成B、BC2- AC2=AB2D、AC2+BC2= AB2AB=10 cm, BC=8 cm ABC中,(4)在直角△中，若两直角边长为a、b,且满足Va- 6a +9 + |b- 4| = 0,则该直角三角形的斜边长为__________3、利用勾股定理求面积(5)已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25兀，16兀，求另一个半圆的面积。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。