章末知识复习

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七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-[教学设计]初中数学-七年级上册-第六章--章末复习

章末复习教学目标1．复习立体图形与平面图形，直线、射线、线段，以及角的相关知识．2．通过复习本章知识绘制出知识结构图．教学重点应用直线、射线、线段的相关知识，借助数学语言的转化解决有关问题．教学难点体会从实际背景中抽象出数学问题，应用相关知识解决问题．教学过程复习导入请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．下面是本章学到的一些数学名词，你能简短地描述这些数学名词吗？你能画出图形来表示它们吗？立体图形平面图形展开图两点的距离余角补角2．你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？3．找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不同方向观察到的平面图形．你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？4．在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？5．本章学习了有关角的哪些知识？有哪些重要结论？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望．要点复习考点一从不同方向观察立体图形【例1】从正三棱锥上面看到的平面图形是________．（填“A”或“B”）【答案】A【解析】从上面能看到正三棱锥的顶点及与顶点相连的三条棱．【归纳】（1）从前面观察物体看到的平面图形体现物体的长和高，从上面观察物体看到的平面图形体现物体的长和宽，从左面观察物体看到的平面图形体现物体的宽和高．（2）画从不同方向观察立体图形得到的平面图形时，看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线．【跟踪训练1】如图是由几个小正方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，画出从前面和左面看到的平面图形．【分析】根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2．【答案】解：从前面看从左面看【归纳】根据从上面看到的标数字的形状图确定从前面和左面看到的形状图，只需比较对应各行、各列数字的大小即可，一般按如下技巧进行：（1）从前面看到的形状图由各列的最大数字确定；（2）从左面看到的形状图由各行的最大数字确定；（3）最后将数字转化为正方形的个数，画出形状图．【设计意图】通过例1及跟踪训练1，考查学生对从不同方向观察立体图形这类问题的掌握情况．考点二立体图形的展开图【例2】在下列图形中（每个小四边形皆为相同的正方形），可以是一个正方体展开图的是（）．A．B．C．D．【答案】C【归纳】正方体的展开图可按如下口诀记忆：中间四个面，上、下各一面；中间三个面，一、二隔“河”见；中间两个面，“楼梯”就出现；中间没有面，三、三连一线．【跟踪训练2】根据下列立体图形的平面展开图，填写立体图形的名称．（1）_______，（2）_______，（3）________．【答案】长方体三棱柱三棱锥【归纳】根据展开图判断立体图形形状的规律（1）展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体和正方体；（2）展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥；（3）展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱；（4）展开图中有扇形时，要考虑圆锥．【设计意图】通过例2及跟踪训练2，让学生掌握立体图形和平面图形之间的相互转化，并能够解决立体图形的展开图这类问题．考点三直线、线段的基本事实【例3】A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程．其中蕴含的数学道理是（）．A．经过一点可以作无数条直线B．经过两点有且只有一条直线C．两点之间，有若干种连接方式D．两点之间，线段最短【答案】D【解析】两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．【跟踪训练3】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____________________．【答案】两点确定一条直线【解析】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线．【归纳】直线、线段的性质在日常生活中有很多应用，我们要善于抓住问题的实质．【设计意图】通过例3及跟踪训练3，让学生体会数学知识在生活中的应用价值．考点四线段的有关计算【例4】两根木条，一根长20 cm，另一根长24 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）．A．2 cm B．4 cmC．2 cm或22 cm D．4 cm或44 cm【答案】C【解析】设较长的木条为AB＝24 cm，较短的木条为BC＝20 cm，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则BM＝12 cm，BN＝10 cm．（1）如图①，点C不在线段AB上时，MN＝BM＋BN＝12＋10＝22（cm）；（2）如图②，点C在线段AB上时，MN＝BM－BN＝12－10＝2（cm）．综上所述，两根木条的中点之间的距离是2 cm或22 cm．【归纳】（1）遇到有关线段的计算问题，应认真分析图形及已知条件，找出已知与未知之间的关系，运用线段和、差、倍、分的意义及线段的中点的性质解题．（2）在题目没有给出图示的情况下，注意必要时分类讨论，在各种情况下分别求解后，得到题目的最终答案．【设计意图】通过例4的讲解学习，锻炼学生的思维严谨性，培养分类讨论的习惯．考点五角的有关计算【例5】如图，∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）．A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】因为∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°．以OC为一边作∠COP＝15°，分两种情况讨论：（1）如图①，当OP在∠BOC内部时，∠BOP＝∠BOC－∠COP＝30°－15°＝15°；（2）如图②，当OP在∠AOC内部时，∠BOP＝∠BOC＋∠COP＝30°＋15°＝45°．综上所述，∠BOP＝15°或45°．【归纳】解与角有关的计算题的依据是平角、直角的度数及角的平分线的性质，熟练掌握角的平分线的性质是求解的关键；当题目中的条件在图形中没有明确给出时，要注意是否需要进行分类讨论．【设计意图】通过例5的讲解学习，让学生学会运用分类讨论思想解决有关角的平分线的问题．考点六余角和补角【例6】已知∠A和∠B互为补角，并且∠B的一半比∠A小30°，求∠A，∠B．【答案】解：设∠A＝x°，则∠B＝180°－x°．根据题意，得∠B＝2(∠A－30°)，得180－x＝2(x－30)，解得x＝80．所以，∠A＝80°，∠B＝100°．【归纳】余角、补角的相关计算往往利用方程思想，即设一个角的度数为α，则它的余角和补角的度数分别为90°－α，180°－α，再根据题目所给的条件列方程求解．【跟踪训练4】一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm，碰到障碍物B后，折向北偏西60°方向爬行3 cm到C点．（1）画出蚂蚁的爬行路线；（2）求出∠OBC的度数．【答案】解：（1）如图所示；（2）∠OBC＝45°＋30°＝75°．【归纳】解答与表示方向的角有关的问题，需要从图形的角度入手，解题的关键是找准中心，正确画出表示方向的角．【设计意图】通过例6及跟踪训练4，让学生掌握应用方程思想解决角的问题，以及应用方位角的相关知识解决实际问题．课堂小结板书设计一、从不同方向观察立体图形二、立体图形的展开图三、直线、线段的基本事实四、线段的有关计算五、角的有关计算六、余角和补角课后任务完成教材第185页复习题6第1～7题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。

七年级数学上册教学课件《第四章章末复习》

章末复习
七年级上册
新课导入
同学们，通过对本章的学习后，你对本章的知识结构和知识要点、知识应用等方面是否有个清醒的认识呢？为了加强同学们对本章的知识的理解和应用，下面我们一起来对本章进行结复习.
（1）知道本章的知识展开过程，掌握知识结构和方法技能. （2）正确运用几何图形的意义、性质解决相关的实际问题.
要点3 角
定义
a 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
b 角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转
而形成的图形.
角的表示
A
O
B
a.用三个大写字母表示：∠AOB 或∠BOA；
b.用一个大写字母表示：∠O.
α 1
∠α
∠1
a 用一个小写希腊字母加弧线表示；
b 用一个数字加弧线表示.
角的度量把一个周角360等分，每一份就是1度的角. 角的比较度量法或叠合法
知识结构图
立体图形平面图形
平面图形
从不同方向看立体图形展开立体图形
平面图形
直线、射线、线段角的度量
角角的比较与运算角的平分线余角和补角
例1 若点C、D、E、F是线段AB上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？
解：依题意已知线段上共有6个点，所以这个图形中共有 6(6 1) 15 条线段.
推进新课
要点1 几何图形
定义分类
几何图形
从形形色色的物体外形中抽象出来的各种图形叫做几何图形.
立体图形、平面图形
要点2
直线、射线、线段
表示法
A·
l
B·
A
a
B
O
l A
直线l（或直线AB）；
线段a（或线段AB）；

九年级物理认识电路章末复习全章知识总结及典型例题(含答案)

电现象及电路知识点一、静电现象：1、带电现象、带电体：物体能够吸引轻小物体的现象叫做带电现象，带了电的物体叫做带电体.2、带电方法：（１）、摩擦起电；（２）、接触带电；（3）、感应起电接触带电：用不带电的导体接触带电物体时，导体会带电，这种方法叫接触带电。

摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电的方法叫做摩擦起电。

正电荷:用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷.负电荷:用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷.3、摩擦起电的原因：（1）原子是由原子核和核外电子组成，原子核带正电，电子带负电，通常情况下，原子是电中性的，物体也是电中性的；（2）不同的原子核束缚电子的本领不同；（3）两个物体相互摩擦时,哪个物体的原子核束缚电子的本领弱,它的一些电子就会转移到另一个物体上.失去电子的物体因缺少电子而带正电,得到电子的物体因为有了多余电子而带等量的负电.4、摩擦起电的实质: 摩擦起电并不是创造了电荷,只是电荷从一个物体转移到另一个物体,使正负电荷分开.注意：转移的电荷是负电荷,而不是正电荷.例题：（湖北）电视机的荧光屏上经常有许多灰尘，这主要是因为（ D )A.灰尘的自然堆积B.荧光屏有较强的吸附灰尘的能力C.电视机工作时，屏表面温度较高，吸附灰尘D.电视机工作时，屏表面有静电吸附灰尘练习：1、摩擦起电并不是创造了电荷，只是电荷从一个物体转移到另一个物体，使正负电荷分开，如图所示，小女孩用橡胶棒去摩擦动物的皮毛后，橡胶棒带上了_负电.2、下列物体一定带负电的是（A )A.与毛皮摩擦过的橡胶棒B.与丝绸摩擦过的玻璃棒C.失去电子的玻璃棒D.与带正电的物体相吸引的轻小物体知识点二、电荷间的相互作用1、电荷间的作用规律：同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.﹡带电体之间的吸引或排斥是通过电场来实现的，电场是一种特殊的物质，通过电场带电体不需要接触就能发生相互作用2、判断物体是否带电的方法：(1)、物体能否吸引轻小物体(2)、依据电荷间的作用规律判断(3)、用验电器检验，金属箔张开说明带电，工作原理：同种电荷相互排斥例题：1、用线悬挂着A,B,C,D,E,F六个轻质小球，它们之间的作用情况如图所示，则肯定带电的小球是B、C、D ，肯定不带电的小球是A, F ，不能肯定是否带电的小球是E2、（滨州）取两个相同的验电器A和B,使A带上负电荷，可以看到A金属箔张开，B的金属箔闭合.用带有绝缘柄的金属棒把A和B连接起来，观察到A(金属箔张开的角度减小，B的金属箔由闭合变为张开•下列描述错误的是（ D )A.金属杆是导体B.两金属箔片能够张开是因为带上了同种电荷C.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，B验电器中的金属箔带上了负电荷D.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，金属杆中电流方向是自A流向B练习：1、(湖州）甲和乙两个泡沫塑料小球用绝缘细线悬挂，甲带正电，乙不带电，会出现的情形是下列图中的（B )2、.四个悬挂着的通草球，静止时的位置关系如图所示，下列说法正确的是（ D ）A.A球与C球一定带有异种电荷B.B球与D球一定带有同种电荷C.B球可能带电，也可能不带电D. D球可能带电，也可能不带电3、(厦门）如图所示，一带负电橡胶棒靠近用细线挂住的轻细吸管A端时，吸管发生了转动.对吸管A 端带电性质判断正确的是（D )A.若相互吸引，一定带正电B.若相互吸引，一定带负电C.若相互排斥，一定带正电D.若相互排斥，一定带负电知识点三、电流1、电流：电荷的定向移动就形成电流. 物理学规定,正电荷定向移动的方向为电流的方向.电流方向的判断: 如负电荷的移动方向从A到B，则电流方向为B到A。

简单的轴对称图形章末知识复习

解:如图所示,作点A关于直线l1的对称点A′,作点A关于直线l2的对称点A″,连接A′A″交l1于一点D,交l2于一点E,则AD+DE+EA的最小值等于A′A″.
类型二:分类思想
(1)没有指明等腰三角形底角和顶角. (2)没有明确锐角三角形和钝角三角形.
1.(2019武威)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等
腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=
.
2.如果一个等腰三角形一腰上的高与腰的夹角是30°,则它的顶角度数是
120°或60°
.
类型三:方程思想列方程求等腰三角形的内角度数.
1.已知等腰三角形的底角是顶角的2倍,求这个三角形各个内角的度数.
解:设顶角为x°,则底角为2x°, 则x+2x+2x=180, 解得x=36. 所以这个三角形三个内角的度数分别为36°,72°,72°.
(1)轴对称图形及性质理解出错. (2)简单的轴对称图形的性质应用出错.
1.下列四个图形:
其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.下列说法正确的是( D ) (A)线段只有一条对称轴 (B)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线 (C)等腰三角形的对称轴是底边上的高 (D)等边三角形有三条对称轴
3.等腰三角形的一个角是另一个角的2倍,则这个等腰三角形的顶角长度的小正方形组成的网格,在格点中找一点C,使
△ABC是等腰三角形,这样的点C有 6 个.
5.如图,直线l是AB的垂直平分线,M是直线l上的一点,D,E是AB上不同的两点,则 AM=BM吗?MD=ME吗?
知识点三:线段的垂直平分线、角的平分线

第十三章+内能章末总结与复习-+2024-2025学年人教版初中物理九年级全一册

B.汤锅上方“白气”的形成是汽化现象
C.汤的温度越高香气越浓，说明分子的无规则运动越剧烈
D.喝热汤时先要吹一吹，是利用蒸发吸热可以降温的道理
4.（2023·黑龙江）以下关于同一物体的内能、热量、温度说法正确的是
( C )
A.物体内能增大，温度一定升高
B.物体温度升高，一定吸收了热量
C.物体温度升高，内能一定增大
热传递
________（选填“做功”或“热传递”）的方式增加了粽子的内能，煮熟后，
引力
糯米粒儿会粘在一起，说明分子间存在______.
考点1 分子热运动
1.（2023·南通）端午时节，人们佩戴装有中药材的香囊，我们能闻到淡
淡的药香，说明( C )
A.分子间有引力
B.分子间有斥力
C.分子是运动的
D.分子间有空隙
D.质量相同的铝块和铜块升高相同的温度，铝块吸收的热量多
8.（2023·牡丹江）小明家的热水器装有50 kg水，将水由20 ℃加热到
. ×
60 ℃，水需要吸收的热量是__________J.小明用去一部分水，热水器中水
不变
的比热容______（选填“变大”“变小”或“不变”）.沿海地区比内陆地区昼夜
是利用水的( C )
A.密度较大
B.沸点较高
C.比热容大
D.流动性好
7.（多选）根据表中的数据，下列判断正确的是(
CD
)
一些物质的比热容×103J/ kg⋅℃
水
4.2
干泥土
0.84
煤油、冰
2.1
铜
0.39
砂石
0.92
铝
0.88
A.阳光照射下，干泥土比湿泥土升温慢
B.不同物质的比热容一定不同

教学设计1：章末复习与测试

章末复习与测试教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论充分条件③原命题假设错误原命题正确④(ⅰ)n取第一个值n0(n0∈N*)(ⅱ)n＝k(k≥n0，k∈N*)时当n＝k＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f (n )为n 个点可连的弦的条数，则f (2)＝1，f (3)＝3，f (4)＝6，…，猜想：f (n )＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱P A ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】1.B 2.A类型二：类比推理例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n}中，若a10＝0，则a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相似地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n}满足的一般结论，而得到等比数列{b n}所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC的中点．证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB1与平面BDD1B1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵BB1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN.∵MN∥AC，AC⊥BD，∴MN⊥BD.又BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BDD1B1.∵MN⊂平面MNB1，∴平面MNB1⊥平面BDD1B1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f (x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12 【答案】D类型四：直接证明例4 已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc )＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1a 1＝12，并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ，得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n .又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.① 又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n . 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k (k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【答案】1.B 2.D拓展实例例已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f (x )＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负数根．点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋a )(n ＋b )对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a )(1＋b )，令n ＝2，得4＝26(2＋a )(2＋b )，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 【答案】1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝42x ＋2 B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1【答案】1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立．设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．。

《圆锥曲线》章末复习课件精选全文

的斜率,交点A x1, y1 , B x2 , y2 .
2
1
2
(2)处理中点弦问题时,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系
进行“设而不求”;思路二:利用“点差法”
知识要点整合
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题
例4
x2 y 2
已知椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的一个顶点为A(0,1),离心率为
一、圆锥曲线的定义及应用
2
2
例1 (1)一动圆与两圆: x 2 y 2 1和 x y 6 x 5 0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )
A.抛物线
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.椭圆
(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
2
.
2
过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______.
例2
x2 y 2
3
(1)若椭圆 2 2 1(a b 0) 的离心率为
2
a
b
1
A. y 2 x
B. y 2 x
C. y 4 x
x2 y 2
,则双面线 2 2 1的渐近线方程为(
a
b
1
y

x
D.
4
x2 y 2
(2)已知双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0) 的左焦点为F,离心率为
,且
a
2
x2
2

y
1
2, c 1.易得椭圆方程为

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(A)40°
(B)50°
(C)60°
(D)70°
3.一个角的余角比它的补角的 1 大 15°,求这个角的度数. 4
解:设这个角的度数为 x,则它的余角为 90°-x,补角为 180°-x, 根据题意,得 90°-x- 1 ×(180°-x)=15°,
4 解得 x=40°.所以这个角是 40°.
4.如图,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠AOD,OF平分∠BOE,如果∠BOC=35°,那么∠EOF是多少度?
解:因为∠AOD=∠BOC=35°, 所以∠DOE=∠AOD=35°, 所以∠BOE=180°-∠AOD-∠DOE =180°-35°-35°=110°. 因为 OF 平分∠BOE,
所以∠EOF= 1 ∠BOE= 1 ×110°=55°.
2
2
(二)垂直
1.直线l外有一定点A,点A到直线l的距离是6 cm,点P是直线l上的任意一点,
则AP与6 cm的大小关系是( B )
(A)AP>6 cm
(B)AP≥6 cm
(C)AP≤6 cm (D)AP<6 cm
2.如图,AOB为一条在O处拐弯的河,要修一条从村庄P通向河的道路,现有两
种设计方案:方案一是沿PM修路,方案二是沿PO修路.如果不考虑其他因素,
方案二更经济些,若让你设计方案,你的最佳方案是过点P作PN⊥OB .
(三)平行线的性质和判定 1.如图,下列能判定AB∥EF的条件有(
C)
①∠B+∠BFE=180°,②∠1=∠2,③∠3=∠4,④∠B=∠5.
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
2.如图,∠C=115°,添加一个条件 ∠BEC=65°(答案不唯一)
使得AB∥CD.
3.(2019江岸区月考)已知:如图,AD∥BC,∠B=∠D,直线EF分别交BA,DC的延长线于E,F.试说明:∠E=∠F.
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(一)余角、补角、对顶角 1.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠1+∠2=100°,则∠1等于( C )
(A)30°
(B)40°
(C)50°
(D)60°
2.(2019洛阳期中)如图,直线AC和直线BD相交于点O,OE平分∠BOC.若∠1+ ∠2=80°,则∠3的度数为( D )
解:因为分别过A,B两点的指北方向是平行的, 所以∠1=∠A=67°, 所以∠CBD=23°+67°=90°, பைடு நூலகம்∠ECB+∠CBD=180°时,可得CE∥AB. 所以∠ECB=90°,所以CE⊥BC.
(四)用尺规作角 1.已知P为∠AOB一边OB上的一点. (1)请利用尺规在∠AOB内部作∠BPQ,使∠BPQ=∠AOB;(不写作法,保留作图痕迹) (2)根据上面的作图,判断PQ与OA是否平行.若平行,请说明理由.
于点N,则沿PN修路即可 .
3.小华站在长方形操场的左侧A处,
(1)若要到操场的右侧,怎样走最近,在图(1)中画出所走路线.这是因为
;
(2)若要到操场对面的B处,怎样走最近,在图(2)中画出所走路线.这是因
为
.
解:如图,(1)过点A作操场右边的垂线段AC,AC就是所走路线.理由:垂线段最短. (2)连接AB,AB就是所走路线.理由:两点之间线段最短.
解:因为AD∥BC,所以∠B=∠DAE, 因为∠B=∠D,所以∠DAE=∠D, 所以BE∥DF, 所以∠E=∠F.
4.(2019庐江期末)如图,某工程队从点A出发,沿北偏西67°方向铺设管道AD,由于某些原因,BD段不适宜铺设,需改变方向,由B点沿北偏东23°的方向继续铺设 BC段,到达C点又改变方向,从C点继续铺设CE段,∠ECB应为多少度,可使所铺管道CE∥AB?试说明理由.此时CE与BC有怎样的位置关系?
解:(1)如图,∠BPQ即为所求作的角. (2)PQ∥OA. 理由:因为∠BPQ=∠BOA, 所以PQ∥OA(同位角相等,两直线平行).
2.如图,A,B为两个港口,甲船从A港口沿AC方向航行,乙船从B港口出发,它的行驶方向与甲船相同(即两船的航线平行且同向).请用尺规作出乙船的航线,并简要说明理由.
解:如图,作∠EBF=∠CAD,BE即为乙船的航线方向. 理由:如图,延长FB交AC于点O. 由题意可知AD与BF平行, 所以∠COB=∠CAD. 由作图得∠EBF=∠CAD, 所以∠EBF=∠COB.所以AC与BE平行.

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