2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (107)

2020高考数学模拟试题

（理科）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在

答题纸的指定位置上）

1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．

故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12

++=i

z ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)

i z i i i i i i i i -=

+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -

3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，

则应抽取的女学生人数为2

200805

?=， 故答案为：80．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．

答案：模拟演示：

解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．

5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽

到标有数字3的卡片的概率为__________．

解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =?=，

两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =?=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为21

63

m p n =

==． 故答案为：1

3

．

6．若抛物线2

10y x =的焦点到双曲线22

2116

x y a -

=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．

解：抛物线2

10y x =的焦点为5

(,0)2，双曲线22

2116x y a -

=的一条渐近线方程为4y x a

=±，

5

42?

=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：5

3

7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．

解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …

时()f x a =， (0)0f a ∴==，

0x ∴…

时，()f x =，

∴(4)(4)2f f -=-==-．

故答案为：2-．

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，

1352S =-，且55b a =，77b a =，则

4

2

T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-

1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-

设等比数列{}n b 的公比为2

2q =

4124212(1)1=13(1)

1b q T q q b

q T q

--=+=-- 故答案为：3

9．已知()sin(2)3

f x x π

=+

，若)2

0)((π

??<

<-=x f y 是偶函数，则=?__________．

解：函数()sin(2)3

f x x π

=+，

所以函数()sin(22)3y f x x π

??=-=-+，

由于函数为偶函数， 所以2()3

2

k k Z π

π

?π-+=+

∈，

解得()212

k k Z ππ

?=-

-∈， 由于02

π

?<<，所以当1k =-时，512

π?=

． 故答案为：

512

π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，

则三棱锥D －ABC 的体积是__________．

解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，12

5

AB BC BE AC =

=g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ?平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ?平面ABC ，

BE ∴⊥平面DAC ，

1111224

3433255ACD D ABC B ACD V V S BE ?--∴==?=????=

棱锥棱锥． 故答案为

24

5

．

11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________．

解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 1

14

y x y -∴=

>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 339

12(

)12[7(4)]44

y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．

(1)(2)x y ∴++取最小值为27．

故答案为：27．

12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:2

2

=+y x O 上存在

点C ，使得ABC ?为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．

解：根据题意，若ABC ?为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为

||

12

AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ?为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d ?

2，

解可得：a ，即a 的取值范围[；

故答案为：[．

13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：22

4x y +=上的任

意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．

解：由中线长公式可得2221

2()2

PO PA PB AB =

+-22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=?，则3

cos P PA PB

=?

在Rt PBT ?中，cos PT PB P =，即3

PT PA

=

所以9

23221862PA PT PA PA

+=+≥=（当且仅当32PA =时取等）

14．已知函数4)(,)(2

2

-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成

立，4)(+x h 为奇函数，函数?

??>≤=t x x h t

x x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围

为__________．

解：若不等式()10()g x b x R ++∈?恒成立， 即210x bx b ---…

恒成立， 则△24(1)0b b =++?，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，

则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，

画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：

若函数()()

()()()g x x t f x h x x t ?=?>?

…恰有两个零点，

结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

已知c b a ，，分别为ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边，且3

tan 4

A =． （1）若6

5

a =

，2b =，求边c 的长； （2）若()10

sin A B -=

，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ?中，由3tan 4A =

可知(0,)2

A π

∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ?=???+=?解得3sin 54cos 5A A ?

=????=??

， 由余弦定理得2

2

2

2cos a b c bc A =+-，

得2

226422255c c ??

=+-??? ???

，即216640525c c -+=，

解得85

c =

． （2）由(0,)2A π

∈且(0,)B π∈，得(,)2

A B π

π-∈-， 又(

)sin 0A B -=

>，则(0,)2

A B π

-∈，则()cos 0A B ->， 所以(

)cos A B -==

， 所以()sin()1

tan cos()3

A B A B A B --=

=-，

所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3

143

A A

B B A A B A A B -

--=--===????+?-+? 16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：

（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．

证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，

又因为DE ?平面11B BCC ，BC ?平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．

E

D B 1

A 1

C 1

C

B

A

（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ?平面ABC ，所以1C C BC ⊥，

因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ?、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ?平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22

22+10)x y a b a b

=>>（

的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =

，且点(e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．

解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，

又点(e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+

11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，

故椭圆方程为22

+143

x y =．

（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m

m ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2

t

y x s =

++，

故(,

(2))2

t

M m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)

(2)(2)

t m k s m +=

+-，

同理可得直线AN 的斜率2(-2)

(2)(+2)

t m k s m =

-，

故2

122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4

t m t m t k k s m s m s +=+---，

又因为P 点在椭圆上，故有22

+143s t =，即223(4)4

t s =--，

因此有21223

=44

t k k s =--，

故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）

如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点

C 位于乙观察哨所北偏东53?

的方向上，与甲观察哨所相距，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于；

（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；

（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．

解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠，

即2223

322325BC BC =+-???，整理得2519212600BC BC -+=，

解得30BC =或42

5

BC =

（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4

sin 30245

ABC ∠=?=，

故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，

以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则

AT

DT

λ=，

则点T λ=，

化简得222

221414(24)()()11x y λλλ+++

=--

要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()

11

x y λλλ+++=--与圆22

36x y +=外离，

214()61λ

λ>+-，

整理得1352421840λλ-->，解得43λ>

或46

45

λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当4

3

λ>

时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）

已知函数x x x x f 23)(2

3

+-=，R t tx x g ∈=，)(，x

e x x

=)(?．

（1）求函数)()(x x f y ??=的单调增区间；

（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中

n m <．

①若n m 2

1

=

，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈?，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）x

e x x x x

f y )23()()(2

+-=?=?， 所以x

e x x y )1(2

'

--=，

令0'

>y 得到2

5

1251+>-<

x x 或， 所以)()(x x f y ??=的单调增区间是),2

5

1()251,

(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程2

3(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14

t >-， ①若n m 2

1

=

，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'

(1)1h =-，

故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．

②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<02

3

0或， 当3

02

m n <<

<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，

又因为20mn t =->，得2t <，则有1

24

t -

<<； 当0m n <<时，2

'()36(2)h x x x t =-+-，

则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且2

11362t x x =-+， 由题意得32

1111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将2

11362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，

进而得到3

1(1)8x -≥-，得110x -≤<，

又因为2

11362t x x =-+，得211t <≤，

综上可知t 的取值范围是1

24

t -<<或211t <≤．

20．（本小题满分16分）

等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝13

4，记{a n }的前n 项和为S n ，等比

数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．

（1）求S n ；

（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；

（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝13

4

，

所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝13

4，

解得a 1＝12，d ＝1

2

，

于是S n ＝1

2n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．

（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，21

2

}

当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k

T k

＝3，舍去；

当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3k

T k ＝1＋q k ＋q 2k ，

因为q ∈N *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3k

T k ≥1＋2＋4＝7，

于是T k ＝32，T 3k ＝21

2

，

因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝3

2

所以b n ＝3×2n

－2

（3）因为S n ＝n 2＋n

4

为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ∈N *

当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；

因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋1

2；

当n 为偶数时，c n ＝n

2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；

所以c n ＝?

??2n 2＋3n ＋1

2

，n 为奇数，2n 2＋n

2

，n 为偶数．