平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题

海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料

一、选择题

1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r

，则a r 与b r

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r

，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。

2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1

B ．2

C ．2

D ．4

【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：

2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。

3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r

=______； 答案：3

2

；

解析：1311122

a a a

b ?+?=+??=r r r r ，

4、（天津理10） 设两个向量22

(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2

m b m α=+r 其中,,m λα为

实数.若2,a b =r r 则m

λ

的取值范围是

(

A.[6,1]-

B.[4,8]

C.(,1]-∞

D.[1,6]-

【答案】A

【分析】由22

(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2

m b m α=+r 2,a b =r r 可得

2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ

=代入方程组可得222

22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2

2

22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ?

--??

，再化简得

2

2

422cos 2sin 022k k αα??+-+-= ?

--??

再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]

8

t ∈--因而11

128

k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A

5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是

（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r

（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22

()()AC AB BA BC CD AB

???=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r 【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =???-=??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222

CD AB AC BC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，通过等

积变换判断为正确.

6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，

CD =CB CA λ+3

1

,则λ=

(A)

32

(B)

31

(C) -3

1

(D) -32 解．在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+3

1

，则

22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1233

CA CB +u u u r u u u r ，4 λ=32

，选A 。

7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若

FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=

(A)9

(B) 6

(C) 4

(D) 3

解．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FC FB FA ++=0，则F 为△ABC 的重心，∴ A 、B 、C 三点的横坐标的和为F 点横坐标的3倍，即等于3，

∴ |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6A B C x x x +++++=，选B 。

8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若

123

AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则λ=（ ）

A ．23

B ．13

C ．13

-

D ．2

3

-

解．在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+3

1，则

22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1233

CA CB +u u u r u u u r ，4 λ=32

，选A 。

9（全国2文9）把函数e x

y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x

+

B ．e 2x

-

C ．2

e

x -

D ．2

e

x +

解．把函数y =e x

的图象按向量a r

=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，

平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 2

3x e

-+，选C 。

10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且

2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r

，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r

Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r

Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r

解析：O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴ 2OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r

，且

2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，∴ 220OA OD +=u u u r u u u r r

，即AO OD =u u u r u u u r ，选A

11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j r r

分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+u u u r r r ，3AC i k j =+u u u r r r

，则k 的可能值有

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 【答案】B

【解析】解法一：23(1)BC BA AC i j i k j i k j =+=--++=+-u u u r u u u r u u u r r r r r r r

（1） 若A 为直角，则(2)(3)606AB AC i j i k j k k ?=++=+=?=-u u u r u u u r r r r r

；

（2） 若B 为直角，则

(2)[(1)]101AB BC i j i k j k k ?=++-=+=?=-u u u r u u u r r r r r

；

（3） 若C 为直角，则

2(3)[(1)]30AC BC i k j i k j k k k φ?=++-=-+=?∈u u u r u u u r r r r r

。

所以 k 的可能值个数是2，选B

解法二：数形结合．如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数错误!未找到引用源。，下列命题中真命题是

A 若错误!未找到引用源。，则a ＝0或b ＝0

B 若错误!未找到引用源。，则λ＝0或a ＝0

C 若错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。，则a ＝b 或a ＝－b

D 若错误!未找到引用源。，则b ＝c

解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B

13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

【答案】A

【解析】222

()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+g

g g a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴g a b =0， ?⊥a b. 14、（湖南文2）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r

B . EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C. EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D . EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r

【答案】B

【解析】由向量的减法知EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r

15、（湖北理2）将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24??

=-- ???

，

a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．π2cos 234x y ??

=+- ???

Ｂ．π2cos 234x y ??

=-+ ???

Ｃ．π2cos 2312x y ??

=-- ???

Ｄ．π2cos 2312x y ??

=++ ???

答案：选Ａ

解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()

''',P x y ，

(),P x y ，则π24??=-- ?

??

，a ()

''',P P x x y y ==--u u u r

'

',24x x y y π?=+=+，带入到已知解析式中可得选Ａ

法二 由π24??

=-- ???

，a 平移的意义可知，先向左平移4π个单位，再向下平移2

个单位。

16、（湖北文9）设a =(4,3),a 在b 上的投影为2

2

5,b 在x 轴上的投影为2,且|b|＜1,则b 为 A.(2,14) B.(2,-

7

2) C.(-2,

7

2

) D.(2,8)

答案：选B

解析：设a 在b 的夹角为θ，则有|a|cos θ=2

2

5，θ=45°，因为b 在x 轴上的投影为2,且|b|＜1,结合图形可知选B

17、（浙江理7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b

Ｄ． 22<+b a b

【答案】：C

【分析】：2,+2=+≤+=Q a b a b+b a +b b b

由于，a b 是非零向量，则必有≠a +b b,故上式中等号不成立 。 ∴22>+b a b 。故选C .

18、（浙江文9） 若非零向量，a b 满足-=a b b ，则（ ）

Ａ．22>-b a b Ｂ．22<-b a b Ｃ．2>-2a a b

Ｄ．2<-2a a b

【答案】：A

【分析】：若两向量共线，则由于，a b 是非零向量，且-=a b b ，则必有a =2b ；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如

图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC ；令OA =u u u r a , OB =u u u r b ,则BA =u u u r

a -

b , ∴CA =u u u r

a -2

b 且

-=a b b ；又BA+BC>AC ∴-+a b b 2>-a b

∴22>-b a b

19、（海、宁理2文4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量

13

22

-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，

Ｃ．(10)-，

Ｄ．(12)-，

【答案】：D 【分析】：

13

22

-=a b (12).-， 20、（重庆理

10）如图，在四边形

ABCD 中，

||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →

→

→

→

→

→

→

++=?=?=

→

→

→

→

=?+?4||||||||DC BD BD AB ，则→

→

→

?+AC DC AB )(的值为（ ）

A.2

B. 22

C.4

D.24 【答案】：C

【分析】：2

()()()(||||).AB DC AC AB DC AB BD DC AB DC →

→

→

→

→

+?=+?++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

C

A

O

B

D

C

B

A ||||||4,

|||| 2.||(||||)4,

AB BD DC AB DC BD AB DC →

→→

→

→→

?++=??+=??+=?u u u r u u u r Q () 4.AB DC AC →→→

∴+?=

21、（重庆文9）已知向量(4,6),(3,5),OA OB ==u u u r u u u r 且,//,OC OA AC OB ⊥u u u r u u u r u u u r u u u r

则向量OC

u u u r 等于

（A ）??

?

??-72,73

（B ）??

?

??-214,72

（C ）??

? ??-72,73

（D ）??

? ??-214,72

【答案】：D 【分

析】：设

(,),460,C x y OC OA x y ⊥?+=u u u r u u u r Q //5(4)3(6)0,AC OB x y ?---=u u u r u u u r

联立解得3

2(,).77

C -

22、（辽宁理3文4）若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且??

???

g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）

A ．0

B ．π

6

C ．

π3

D ．

π2

解析：因为0)(2

2

=??-=?→

→→

→

→→→

→b a b

a a

a c a ，所以向量a 与c 垂直，选D

23、（辽宁理6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ） A ．(12)--，

B ．(12)-，

C ．(12)-，

D ．(12)，

解析：函数(1)2y f x =+-为)1(2+=+x f y ，令2,1'

'

+=+=y y x x 得平移公式，

所以向量a =(1

2)--，，选A 24、（辽宁文7）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）

B A

C

D

A ．(12)-，

B ．(12)，

C ．(12)-，

D ．(12)-，

解析：函数(1)2y f x =--为)1(2-=+x f y ，令2,1'

'

+=-=y y x x 得平移公式，所以向量a =(12)-，，选C

25、（四川理7文8）设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，

若OA u u u r 与OB uuu r 在OC u u u r

方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）

（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b +=

解析：选A ．由OA u u u r 与OB uuu r 在OC u u u r 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

即

4585a b +=+，453a b -=．

26、（全国2理9）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2

(B) e x +3－2

(C) e x -2+3

(D) e x +2－3

解．把函数y =e x

的图象按向量a r =(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，

平移后得到y =f (x )的图象，f (x )= 2

3x e -+，选C 。

二、填空题

1、（天津文理15） 如图，在ABC ?中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=?==是边BC 上一

点，2,DC BD =则AD BC =u u u r u u u r

g __________.

【答案】83

-

【分析】法一：由余弦定理得222222

cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD

+-+-==

????可得7BC =13

,3

AD =，

又,AD BC u u u r u u u r

夹角大小为ADB ∠，

2223298

cos 29413791

BD AD AB ADB BD AD +-∠==-?=-???，

所以AD BC =u u u r u u u r g 8cos 3AD BC ADB ??∠=-

.

法二：根据向量的加减法法则有:BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r

112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,此时 2212122()()33333

AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ··

18183333

=--=-. 2、(安徽文理13) 在四面体O-ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===u u u r r u u u r r u u u r r

为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）

解析：在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===u u u r r u u u r r u u u r r

为BC 的中点，E 为AD 的

中点，则OE =11()22

OA AE OA AD OA AO OD +=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

=11111()24244

OA OB OC a b c ++=++u u u r u u u r u u u r r r r 。 3、（北京文11）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是

．

解析：已知向量2411a b ()()r r ，，

，==．向量(2,4)a b λλλ+=++r r ，()b a b λ⊥r r r

+，则2+λ+4+λ=0，实数λ=－3．

4、（上海文6）若向量a b r r ，

的夹角为ο

60，1a b ==r r ，则()

a a

b -=r r r g ． 【答案】

2

1

【解析】()

2211

cos60122

a a

b a a b a a b -=-?=-??=-=r r r r r r r r r g 。

5、（江西理15）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直

线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r

，则m n +的值为

．

解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 6、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的

A

B

D

C

B

A

O

N

C

M

两端点

分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =u u u r u u u r

g

．

解析：(0,1)(1,1)0(1)11 1.AB AC =?-=?-+?=u u u r u u u r

g

三、解答题：

1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与

D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，

求塔高AB ．

解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD

BDC CBD

=

∠∠． 所以sin sin sin sin()

CD BDC s BC CBD β

αβ∠=

=∠+·．

在ABC Rt △中，tan sin tan sin()

s AB BC ACB θβ

αβ=∠=+·．

2、（福建17）（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3

tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小；

（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，

1345tan tan()113145

C A B +

∴=-+=-=--?．又0πC <

π4C ∴=．

（Ⅱ）3

4

C =πQ ，AB ∴边最大，即17AB =．

又tan tan 0A B A B π??<∈ ?2??

Q ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．

由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?

==???+=?

，，

且π02A ??∈ ???，，

得17sin 17A =

．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C

==g ． 所以，最小边2BC =．

3、（广东16）（本小题满分12分）

已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;

（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.

解：(1) (3,4)

AB =--u u u r

,

(3,4)

AC c =--u u u r

当c=5时，

(2,4)

AC =-u u u r

6161

cos cos ,5255A AC AB -+∠=<>==?u u u r u u u r 进而225sin 1cos 5A A ∠=-∠=

(2)若A 为钝角，则

AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2

<0 解得c>325

显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325

，+∞)

4、（广东文16）(本小题满分14分)

已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．

(1)若0AB AC =g ，求c 的值；

(2)若5c =，求sin ∠A 的值

解: (1) (3,4)AB =--u u u r (3,4)AC c =--u u u r

由 3(3)162530AB AC c c =--+=-=u u u r u u u r g 得 25

3

c =

(2) (3,4)AB =--u u u r (2,4)AC =-u u u r

6161

cos 5205AB AC A AB AC

-+∠===u u u r u u u r g u u u r u u u r g 225sin 1cos 5

A A ∠=-∠=

5、（浙江18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为

1

sin 6

C ，求角C 的度数． （18）解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=

+，

2BC AC AB +=，

两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积

11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1

3

BC AC =g ， 由余弦定理，得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=g

22()21

22

AC BC AC BC AB AC BC +--=

=g g ， 所以60C =o

．

6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲

船的

北偏西105?

的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120?

方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B ，22102A B =，1220

30210260

A A =

?=， 122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?，

在121A B B ?中，由余弦定理得

22212111211122

2

2cos 45220(102)220102200

2

B B A B A B A B A B =+-??

=+-???=， 1210 2.B B =

因此乙船的速度的大小为

102

6030 2.20

?= 答：乙船每小时航行302海里. 7、（山东文17）（本小题满分12分）

在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，

． （1）求cos C ；

（2）若52

CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ．

解：（1）sin tan 3737cos C

C C

=∴=Q ，

又2

2

sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±

． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1

cos 8

C ∴=．

（2）52CB CA =u u u r u u u r Q g

， 5

cos 2

ab C ∴=， 20ab ∴=．

又9a b +=Q

22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．

2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．

8、（上海17）（本题满分14分）

在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4

π

,

2=

=C a ，5

522cos

=B ，求ABC △的面积S ． 解： 由题意，得3

cos 5B B =，为锐角，5

4sin =B ，

10

2

74π3sin )πsin(sin =

??? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7

10=

c ， ∴ 111048

sin 222757S ac B ==???=g ．

9、（全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．

解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）根据余弦定理，得2

2

2

2cos b a c ac B =+-272545=+-7=． 所以，7b =

．

10、（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π

<<

3

． 应用正弦定理，知

23

sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =

==π3，

2sin 4sin sin BC AB C x A π??

=

=- ?3??

．

因为y AB BC AC =++，

所以224sin 4sin 2303y x x x ππ???

?=+-+<<

? ?3????

，

（2）因为1

4sin cos sin 232y x x x ?

?3=+

++ ? ?2??

543sin 23x x ππ

ππ????=+

+<+< ? ?6666?

???

， 所以，当x ππ+

=62

，即x π

=3时，y 取得最大值63．