2019-2020宝山区一模数学解析
2020宝山高三数学一模试卷+答案
宝山区2019学年第一学期期末 高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1．本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1．若()12z i i +=（i 是虚数单位），则z = .2．已知 4251λλ-=-，则λ= ．3．函数13(1)x y x -=≤的反函数是 ．4．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场比赛．5．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ．6．在()531(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．7．不等式22236x x x x -->--的解集是 ．8．已知方程()220x kx k R -+=∈的两个虚数根为12,x x ，若122x x -=，则k = ．9．已知直线l 过点()1,0-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为 ．10．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是 cm .（钢的密度为37.9/g cm ，精确到0.1cm ）．11．已知{}n a ，{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 的前三项是799，，，则10c ＝ ． 12．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为 ．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若函数1()ln f x x a x =-+在区间()1,e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）（A ）01a <<． （B ）11a e <<． （C ）111a e -<<． （D ）1+11a e<<．14．下列函数是偶函数，且在 [)0+∞，上单调递增的是（ ）（A ）()2()log 41x f x x =+-． （B ）()||2cos f x x x =-．（C ）221(0),()0 (0).x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩． （D ）|lg |()10x f x =． 15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβλ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）（A ）两两垂直． （B ）两两平行． （C ）两两相交． （D ）两两异面． 16．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：()sin cos a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<≤.下列判断错误的是（ ）（A ）当0,0a b >>时，辅助角arctanb a ϕ=. （B ）当0,0a b ><时，辅助角arctanba ϕπ=+. （C ）当0,0ab <>时，辅助角arctanba ϕπ=+. （D ）当0,0ab <<时，辅助角arctanbaϕπ=-. 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四 边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°， DD 1＝3，E 是AB 的中点．（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).1D A18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin cos +cos 2f x x x x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解12,x x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水.A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半（精确到1小时）；（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定,处理后的污水可以排入河流.若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定（精确到1小时）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知直线:(02)l x t t =<<与椭圆22142x y Γ+=：相交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记12,F F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的 距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标； （2）若点,M A 关于y 轴对称，当MAB ∆的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交 于P Q ，，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a += 令ln n n b a =（*n N ∈）. （1）证明：2n b +>（2）证明：211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，且{}n b 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）是否存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立?若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.2019学年第一学期期末高三数学参考答案2019.12.13一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1.2. 33. 31log (01)y x x =+<≤4. 665. 9)23(22=++y x 6. 9-7. {}|4x x >- 8. 2± 9.4.5cm 11. 47-12. (P二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.C 14.A 15.B 16.B三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17.解:（1）001sin 60sin 602EBCD S AB AD AE AD =⋅-⋅=，……………4分1113C EBCD V S AA -=⋅= …………………………………6分（2）211+910EB ==，由余弦定理得201+422cos1207EC =-⨯=，所以217+916EC ==， ……………………………………………8分因为11//AD B C ，所以11B C E θ∠=即为所求异面直线1C E 和AD 所成的角.……………………10分由余弦定理得5cos 8θ==， ………………………………13分所以，异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……………………14分18.解：（1）()2cos 21sin cos sin 222x f x x x x x -=-+=+， 所以()1sin 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， …………………………………2分 因而()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………………4分 令()11sin 2622f x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，解得212k x ππ=-，1所以()f x 的对称中心是12122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭，，.……………………6分 （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，………………………………8分 由0262x ππ≤+≤，解得06x π≤≤，所以，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的递减区间是62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分当()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解时，a 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，……12分 此时，12263x x ππ+==. …………………………………14分19.解: (1)设开始时每个池中的污物为0a ， 用,n n a b 表示n 小时后，A ，B 两池剩余的污物量,则10.10.9n n n n a a a a +=-=，所以00.9nn a a =，…………………………2分 同理00.81nn b a =.由题意000.92nn a a a ==,………………………………………………………4分 两边取对数得ln 0.56.587ln 0.9n =≈≈小时. …………………………………6分(2)设n 小时后,A 池污物余0ra ，则B 池污物余()00.2r a -，……………7分由题意()00000.90.810.2nn nn a a ra b a r a ⎧==⎪⎨==-⎪⎩， …………………………………8分 化简得0.81+0.90.2n n =或0.81+0.90.2n n≤， 即()20.9+0.90.20n n -=，………………………………………………………10分解得10.92n-+=， …………………………………………………………12分两边取对数得ln0.916.7717n =≈≈． ………………………13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……………………………………………………………………14分20.解：（1）()1F，)2F ，由题意知，M在抛物线2y =-上，…………………………………2分由222142y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得6M x =.……………………………………4分（2）由题意A t ⎛ ⎝，M t ⎛- ⎝，,B t ⎛ ⎝，…………6分则122MAB S t ∆=⨯⨯=， (8)分所以当t =时，MAB ∆的面积最大， (9)分 此时()M ，)1B -，解得直线MB 的方程为2y x =-. …………………………………………10分 （3）设00(,)M xy ，由A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝.0MA k =，所以，直线)000:MA y y x x -=-，令0y =得，0P x t y x x -=-11分同理得0Q x t y x x -=所以00||||OP OQ x x ⋅=-……………………12分计算()()22200000202222002||||2222x t x y x t y OP OQ x t ty y --⋅=-+-+-+，………………………14分 又220022x y -=-，因而2200||||24OP OQ x y ⋅=+=.………………………16分21.解：（1）由题意()211ln ln lnn n n a a a ++=+，即()2112n n n b b b ++=+，……………1分 由于11a =，2a e =，2n a +=所以，当2n ≥时，1n a >，且{}n a 递增， ………………………………………2分 因而0n b >，且1n n b b +≠ ………………………………………………………………3分 所以2n b +>………………………………………………………………………4分（2）因为()1121111122n n n n n n n n n b b bb b b b b b +++++++--==---，………………………………6分 又2121ln ln 1b b a a -=-=，所以211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列. ……………………………………………7分所以()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得+1+221132n n b ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………9分所以121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，经检验，1,2n =均成立. ………………10分（3）当2n ≥时，因为0n b >，所以+1111311222111122nn n n n b t b --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………12分 只需要求+1n nbb 的最小值.因为1111224n -⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， …………………………………………13分 所以+113311122122211+122n n n b b -=-≥-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…………………………………16分 又211102b b =>=， 所以，对任意自然数*n N ∈均有112n n b b +≥成立，……………………………17分 所以t 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦………………………………………………………18分。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷(完美解析版)
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 符号sinA表示（）A. ∠A的正弦B. ∠A的余弦C. ∠A的正切D. ∠A的余切【答案]A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在RtABC中，∠C=90°.(1) 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.(2) 余弦：锐角A的邻边忙亏斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.(3) 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.(4) 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2. 如果2a =-3b ，那么ab=（）2 3B. -32C. 5D. —1A. -【答案]B【详解】此题应该有一个前提条件是A、 B均不为0,即使有这个条件，当2a =-3b 时，所以此题选B3. 二次函数y = 1- 2x2的图像的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下【答案]D【分析】分析题目，本题可以根据二次函数的性质来解答；由抛物线解析式可知，二次项系数a=-2<0, 可知抛物线开口向下4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A. 俯角 67°方向B. 俯角 23°方向C. 仰角 67°方向D. 仰角 23°方向【答案】D.【解析】∠B == 90°，∠BCA == 67°，得∠BAG==23°从低处A处看高处C处，点C在点A的仰角23°方向故选：D.【点睛］此题考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上春的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角5. 已知 a⃗，b⃗⃗为非零向量，如 b⃗⃗=-5a⃗，那么向量 a⃗与b⃗⃗的方向关系是（）A. a⃗ // b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B. a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C. a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D. a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为 5【答案】B【解析】由 b⃗⃗=-5a⃗，-5<0，得 b⃗⃗//-5a⃗且方向相反，所以a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反故选：B6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（）A. π + √3B. π -√3C. 2π -2√D. 2π-√【答案】D【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷含答案解析
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一.选择题1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是( )A．∠A=30°B．AC=C．AB=2 D．AC=22．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向( )A．向上 B．向下 C．向左 D．向右3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．34．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为( )A．M在⊙O上B．M在⊙O内C．M在⊙O外D．M在⊙O右上方5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )A．26°B．64°C．52°D．128°6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0 C．b=2a D．9a+3b+c=0二.填空题7．如果：，那么：=__________．8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为__________．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是__________．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=__________．11．计算：2（3+4）﹣5=__________．12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为__________．13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是__________．14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=__________．15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1__________y2．16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为__________．17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为__________．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）19．计算：﹣．20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A 测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：=；（2）若EF∥CD，求DE的长度．25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB 上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一.选择题1．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，下列判断正确的是( )A．∠A=30°B．AC=C．AB=2 D．AC=2【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】根据在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，可以得到AC、BC的长，同时tanA=，tan30°=，可以判断∠A是否等于30°，从而可以得到问题的答案．【解答】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA=，tanA=，∴AC=，∴AB=，∵tanA=，tan30°=，∴∠A≠30°，故选D．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系，进而判断选项是否正确．2．抛物线y=﹣4x2+5的开口方向( )A．向上 B．向下 C．向左 D．向右【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】根据抛物线y=﹣4x2+5，可知二次项系数是﹣4，从而可以得到该函数的开口方向．【解答】解：∵抛物线y=﹣4x2+5，﹣4＜0，∴该抛物线的开口向下，故选B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由二次项系数可以判断抛物线的开口方向．3．如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么的模为( )A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【考点】*平面向量．【分析】由ED∥BC，可证得△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得ED：BC=1：3，则可得=﹣，又由BC=6，即可求得的模．【解答】解：∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ED：BC=AE：AB，∵AE：BE=1：2，∴AE：AB=1：3，∴ED：BC=1：3，∴=﹣，∵BC=6，∴||=||=2．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意利用相似三角形的性质，求得=是解此题的关键．4．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为( )A．M在⊙O上B．M在⊙O内C．M在⊙O外D．M在⊙O右上方【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：OM==5，OM=r=5．故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为( )A．26°B．64°C．52°D．128°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，∵CB=CD，∴∠CDB=∠B=64°，∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，∴的度数为52°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0 C．b=2a D．9a+3b+c=0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】A、由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置即可确定a、c的符号；B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，x的取值范围；C、根据抛物线的对称轴直接得出答案；D、根据抛物线与x轴的交点和抛物线的对称轴，即可得出抛物线与x轴的另一个交点，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，得a＞0，抛物线与y轴负半轴相交，得c＜0，则ac＜0，故本选项错误；B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，﹣1＜x＜3，故本选项错误；C、根据抛物线的对称轴x=﹣=1，直接得出b=﹣2a，故本选项错误；D、根据抛物线与x轴的一个交点（﹣1，0）和抛物线的对称轴x=1，即可得出抛物线与x 轴的另一个交点（3，0），然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二.填空题7．如果：，那么：=．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．【解答】解：∵，∴2a=3b，∴===．故答案为．【点评】本题的关键是找到a，b的关系．8．两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是∠AED=∠B 或∠ADE=∠C或．【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．【解答】解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当，∴△AED∽△ABC，故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．10．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．11．计算：2（3+4）﹣5=+8．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（3+4）﹣5=6+8﹣5=+8．故答案为：+8．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．12．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC=，则对角线AC的长为16．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，在Rt△AOB中，∵AB=10，sin∠BAC=，∴sin∠BAC==，∴BO=×10=6，∴AB2=OB2+AO2，∴AO===8，∴AC=2AO=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．13．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（3，4）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．14．若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的四点，则m=4．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据对称点A（1，2），B（3，2）得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后根据对称点C（0，5），D（m，5）得出=2，即可求得m的值．【解答】解：∵A（1，2），B（3，2）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的点，∴抛物线的对称轴为直线x==2，∵C（0，5），D（m，5）是对称点，∴=2，解得m=4故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：根据对称点（x1，m）、（x2，m）得到抛物线的对称轴为直线x=．15．已知A（4，y1）、B（﹣4，y2）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y1＞y2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求得函数y=（x+3）2﹣2的对称轴为x=﹣3，再判断A（4，y1）、B（﹣4，y2）离对称轴的远近，从而判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：由y=（x+3）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x=﹣3，∵抛物线开口向上，而点A（4，y1）到对称轴的距离比B（﹣4，y2）远，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．16．已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为13．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角形AOC 中，由AC与OC的长，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：如图所示，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，AC=12，OC=5，根据勾股定理得：AO===13，即此圆的半径长为13；故答案为：13．【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AO是解本题的关键．17．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，所以DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x，利用勾股定理得到42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，则可计算出CH=，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，∵△ADE为等边三角形，∴DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x在Rt△CDH中，CH2=CD2﹣DH2=42﹣x2，在Rt△CEH中，CH2=CE2﹣EH2=62﹣（5﹣x）2，∴42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x=，在Rt△CDH中，CH==，∴sin∠CDH===，即sin∠CDH=．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求C点到DE的距离．18．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为9（面积单位）．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．【解答】解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，∴曲线CMB在平移过程中扫过的面积=OC•OB+OC•BD=×3×3+×3×3=9，故答案为9．【点评】题考查了二次函数图象与几何变换，由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积是解题的关键．三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）19．计算：﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣=﹣=+﹣=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴交于点B（0，1）（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记=，=，试用、表示．【考点】*平面向量；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由图象顶点为A（1，0），首先可设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，又由与y轴交于点B（0，1），可利用待定系数法求得答案；（2）首先求得点C的坐标，然后根据题意作出图形，易求得，然后由三角形法则，求得答案．【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，∵与y轴交于点B（0，1），∴a=1，∴该二次函数的解析式为：y=（x﹣1）2；（2）∵C为该二次函数图象上横坐标为2的点，∴y=（2﹣1）2=1，∴C点坐标为：（2，1），∴BC∥x轴，∴=2=2，∴=+=+2．【点评】此题考查了平面向量的知识、待定系数法求函数的解析式以及点与二次函数的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．21．如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度为1：2，AC的长度为5米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，当然有EF∥AB∥CD，E为自动扶梯AC的最高端C的正上方，过C的直线EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A 测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高CE．（参考数据：sin42°=，cos42°=，tan42°=）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据AC的坡度得出AG=2CG，由勾股定理得出CG2+AG2=AC2，求出CG、AG，再由三角函数得出EG，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：AG=2CG，∵∠AGE=90°，∴由勾股定理得：CG2+AG2=AC2，即CG2+（2CG）2=（5）2，解得：CG=5（米），∴AG=10米，∵tan∠EAG=，∴EG=AG•tan42°，∴CE=EG﹣CG=AG•tan42°﹣CG=10×﹣5=4﹣5（米）；答：该商场二楼的楼高CE为（4﹣5）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、坡度、勾股定理、三角函数；由勾股定理求出AG是解决问题的关键．22．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2，AE=3，CE=，求弧BD的长度．（保留π）【考点】垂径定理；勾股定理；弧长的计算．【分析】连接OC，先根据勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂径定理得出CE=DE，，由三角函数求出∠A=30°，由圆周角定理求出∠BOC，由弧长公式得出的长度=的长度=π即可．【解答】解：∵AC=2，AE=3，CE=，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，∴CD⊥AB，sin∠A==，∴，∠A=30°，连接OC，如图所示：则∠BOC=2∠A=60°，OC===2，∴的长度=的长度==π．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，由垂径定理得出是解决问题的关键．23．如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：（1）△BCD与△ACD的面积比；（2）△ABC的各内角度数．【考点】相似三角形的性质；解直角三角形．【分析】（1）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；（2）根据锐角三角函数的概念解答即可．【解答】解：（1）∵△BCD和△CAD的相似比为1：，∴△BCD和△CAD的面积比为1：3；（2）∵△BCD∽△CAD，∴∠BDC=∠ADC=90°，tanA===，∴∠A=30°，tanB==，∴∠B=60°，∴∠ACB=90°．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方以及锐角三角函数的概念是解题的关键．24．如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，∠DFE=∠B．（1）求证：=；（2）若EF∥CD，求DE的长度．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE，根据相似三角形的性质得到；（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出DF=CF，得到BF=DF，推出△DF≌△BFE，根据全等三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵∠DFB=∠DEF+∠EFB=∠C+∠FDC，∴∠EFB=∠FDC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴△CDF∽△BFE，∴；（2）解：∵EF∥CD，∴∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDC=∠C，∴DF=CF，∴BF=DF，∴EF=AC=3，∠DFE=∠BFE，在△DFE与△BFE中，，∴△DF≌△BFE，∴DE=BE=3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b 相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可判断；（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可讨论，求解；（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F的坐标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．【解答】解：（1）二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点；（2）y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．∵小胡同学听成了a与c相反，b不变．∴y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，顶点坐标是（﹣2，1），故与原抛物线关于原点对称；（3）∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上，∴MA=MB，即△MAB为等腰三角形，又∵△MAB与△NBC相似，∴△NBC是等腰三角形．∵N在x轴上，∴∠CBN=45°或135°．当∠CBN=135°时，即N点在B的右侧且BC=BN，则N的坐标是（3+3，0）；当∠CBN=45°时，即N在点B的左侧，若△MAB的底角为45°，此时三角形为等腰直角三角形，则N的坐标是（0，0）或（﹣3，0）；若△MAB的顶角是45°时，在△NBC中，BC=BN=3，则N的坐标是（3﹣3，0）；（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（，0）对称，则可得F（3﹣a，a2﹣2a），∴点E和点F的纵坐标互为相反数，即a2﹣4a+3+a2﹣2a=0，解得：a1=，a2=（舍去），∴E的纵坐标是（，），F的坐标是（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数与等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确理解△NBC 是等腰三角形是本题的关键．26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为边AB 上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点，（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．【考点】圆的综合题．（1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，ED⊥AC，【分析】然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知；（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED=，DN==（4﹣x）=2﹣，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系式；②当D与A重合时，y=2AC=4；（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立；②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重合，于是得到AD==2；（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三角形的面积公式即可求得答案．【解答】解：（1）成立．如图1所示：设DE交AC于M，DF交BC于N．∵点E与点D关于AC对称，∴EM=DM，ED⊥AC．又∵DE⊥DF，∴AC∥DF．∴．∴CE=CF．（2）①当D与A不重合时．∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，∴四边形CNDM是矩形．∴MD∥BC．∴∠ADM=∠ABC=30°．∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，∴MD==．∴ED=．在Rt△BDN中，∠DBN=30°，∴DN==（4﹣x）=2﹣．∵MD∥BC，∴．∴DN=NF．∴DF=2DN=4﹣x．在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y===2（0＜x≤4）；②当D与A重合时，如图2所示；∵CF=EF，∴y=2AC=4．（3）①当点E在弧AC上时．∵∠CAD=60°，点E与点D关于AC对称，∴∠EAD=∠DAM=60°．∴∠EAD=120°．∵当点E在弧AC上时，∠EAD≤90°，∴此种情况不成立．故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立．∴AD=0．②当点F在上时，如图3所示，连接BF、AF．∵∠DBN=30°，∠BND=90°，∴∠FDB=60°．∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，∴DF=DB．∴△DFB为等边三角形．∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．∴∠AFD=30°．∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=90°．∵∠CFA=∠CBA=30°，∴∠CFB=120°．∴∠CFB+∠FBD=180°．∴∠CF∥DB．∴∠FAD=∠CFA=30°．∴∠FAD=∠AFD=30°．∴AD=DF=DB．∴点D与点O重合．∴AD==2．综上所述，AD=0或AD=2．（4）如图4所示；E、F的初始位置为E1、F1，E1与A点重合，E、F的终止位置为E2、F2，F2与B点重合．∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，∴点E运动的轨迹为线段AE1．∵由（3）可知∠FBD=60°，∴点F运动的轨迹为线段BF2．∴阴影部分的面积即为所求，S=2××AC•BC=2××2×2=4．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，根据∠EAD和∠FBD为固定值，判断点E、F运动的轨迹都是一条线段是解题的关键．。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷解析版
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=1：2，那么下列结论正确的是（）A. AC：AE=1：3B. CE：EA=1：3C. CD：EF=1：2D. AB：CD=1：2【答案】A【解析】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3．故选：A．根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2.下列命题中，正确的是（）A. 两个直角三角形一定相似B. 两个矩形一定相似C. 两个等边三角形一定相似D. 两个菱形一定相似【答案】C【解析】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．故选：C．根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3.已知二次函数y=ax2-1的图象经过点（1，-2），那么a的值为（）A. a=-2B. a=2C. a=1D. a=-1【答案】D【解析】解：把（1，-2）代入y=ax2-1得a-1=-2，解得a=-1．故选：D．把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．4.如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】解：过点P作PA⊥x轴于点A．由于点P（2，4），∴PA=4，OA=2∴cotα==．故选：B．过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形．5.设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（）A. m（n）=（mn）B. （m+n）=m+nC. m（）=m+mD. 若m=，那么=【答案】D【解析】解：A、如果m、n为实数，那么m（n）=（mn），故本选项结论正确；B、如果m、n为实数，那么（m+n）=m+n，故本选项结论正确；C、如果m、n为实数，那么m（）=m+m，故本选项结论正确；D、如果m为实数，那么若m=，那么m=0或=，故本选项结论错误．故选：D．根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．6.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A. 在⊙A内B. 在⊙A上C. 在⊙A外D. 不能确定【答案】A【解析】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），∴AP==4＜5，∴点P在⊙A内，故选：A．先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.抛物线y=x2-1的顶点坐标是______．【答案】（0，-1）【解析】解：抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1）．故答案是：（0，-1）．形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x-k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．8.将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为______．【答案】直线x=3【解析】解：将二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y=2（x-3）2，故其图象的对称轴为：直线x=3．故答案为：直线x=3．直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．9.请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：______．【答案】y=-x2+2（答案不唯一）【解析】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y=-x2+2（答案不唯一）．故答案为：y=-x2+2（答案不唯一）．根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．10.若2||=3，那么3||=______．【答案】【解析】解：由2||=3得到：||=，故3||=3×=．故答案是：．实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题．11.甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上4.5cm的两地之间的实际距离为______千米．【答案】225【解析】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，∴比例尺==，设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则解得x=22500000，∵22500000cm=225km，∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．故答案为：225．依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．12.如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于______．【答案】1：16【解析】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，∴它们的相似比为1：4，∴它们的面积的比等于1：16．故答案为：1：16．由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．13.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，那么sin B=______．【答案】【解析】解：由题意，得sin B==，故答案为：．根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．14.直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为______．【答案】12cm【解析】解：由题意得，CG=4，∵点G是△ABC的重心，∴CD=CG=6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴AB=2CD=12（cm），故答案为：12cm．根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．15.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD=∠CEA，若3AE=2BD，BE=1，那么DC=______．【解析】解：∵AB∥DC，∴∠ABD=∠BDC，∵∠ABD=∠CEA，∴∠AEB=∠BDC，∴∠EAB=180°-∠AEB-∠ABE，∠CBD=180°-∠ABD-∠ABE，∴∠EAB=∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴=，∵3AE=2BD，BE=1，∴CD=，故答案为：．根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．16.⊙O的直径AB=6，C在AB延长线上，BC=2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是______．【答案】2≤r≤8【解析】解：∵⊙O的直径AB=6，C在AB延长线上，BC=2，∴CA=8，∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，∴r=2或r=8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案为2≤r≤8．利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．17.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于______．【答案】或【解析】解：设等腰三角形的底边长为a，|5-a|=3，解得，a=2或a=8，当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，故答案为：或根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为______．【答案】【解析】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，∵A'C∥BC，∠ACB=90°，∴∠C'AC=∠ACB=90°，且C'D⊥BC，∴四边形C'DCA是矩形，∴CD=AC'，C'D=AC=4，∵折叠∴BC'=BC=5，CP=C'P，在Rt△BDC'中，BD==3∴CD=BC-BD=2∴AC'=2，在Rt△AC'P中，C'P2=C'A2+AP2，∴CP2=4+（4-CP）2，∴CP=故答案为：过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD=AC'，C'D=AC=4，根据勾股定理可求BD=3，即CD=AC'=2，根据勾股定理可求CP的长．本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB上一点，AC=AE=3，BC=4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠ACB=90°，∠B+∠BAC=90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF=90°，∴∠B=∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴=，即=，解得CF=；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，则CH==，∴AH==，EH=AE-AH=，∴tan D=tan∠ECH==．【解析】（1）证△ABC∽△FAC，得=，将相关线段的长代入计算可得；（2）作CH⊥AB，先计算AB=5，据此可得CH==，AH==，EH=AE-AH=，依据tan D=tan∠ECH=可得答案．本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式=×+×=．【解析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，∠EAF=∠B．求证：BF•CE=AB2．【答案】证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE=BF：AC，∴BF•EC=AB•AC=AB2．【解析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．22.如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB=9，AC=6，AD=2，AE=3．（1）求的值；（2）设=，=，求（用含、的式子表示）．【答案】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴===，即=．（2）=+=-+．【解析】（1）根据已知∠AED=∠ABC，∠A=∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三角形的性质解答；（2）由三角形法则解答即可．考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．23.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC=9.9-2.4=7.5米，QP=DC=1.5米，∠BQD=14°，则BD=BC-DC=7.5-1.5=6米，∵tan∠BQD=，∴tan14°=，即0.25=，解得，ED=18，∴AC=ED=18，∵BC=7.5，∴tan∠BAC==，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC=7.5，AC=18，∠BCA=90°，∴AB==19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然后根据勾股定理即可求得AB的长度．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．24.如图，已知：二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y=x-3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP=S△BCP，求m的值．【答案】解：（1）∵y=x-3，∴x=0时，y=-3，当y=0时，x-3=0，解得x=6，∴点B（6，0），C（0，-3），∵tan∠OCA==，∴OA=2，即A（2，0），将A（2，0）代入y=x2+bx，得4+2b=0，解得b=-2，∴y=x2-2x=（x-1）2-1，则抛物线解析式为y=x2-2x，顶点P的坐标为（1，-1）；（2）如图，由平移知点P′坐标为（1，-1-m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，-），S△ABP′=AB•P′H=×4（m+1）=2（m+1），S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′M•OB=|-1-m+|×6=3|-m|，∴2（m+1）=3|-m|，解得m=或m=．【解析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）由平移知点P′坐标为（1，-1-m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，知M（1，-），先得出S△ABP′=AB•P′H=2（m+1），S△BCP′=S△P′MC+S△P′MB=P′M•OB=3|-m|，根据S△ABP=S△BCP列出方程求解可得．本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．25.如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠DAB=45°，AB∥DC，DC=3，AB=5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB 交于点F．（1）若AP=，求DE的长；（2）联结CP，若CP=EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠ABC=∠H=90°，∴四边形AHCB是矩形，∴DH=CH-CD=2，∵∠HAB=90°，∠DAB=45°，∴∠HAD=∠HDA=45°∴HD=AH=2，AE=AP=，根据勾股定理得，HE==3，则ED=1；（2）连接CP，设AP=x．∵AB∥CD，∴∠EPA=∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴=，即：PE2=AE•CE，而EC=2PB=2（5-x），即：PC2=CE•AP=2（5-x）x，而PC2=PB2+BC2，即：PC2=（5-x）2+22，∴2（5-x）x=（5-x）2+22，解得：x=（不合题意值已舍去），即：AP=；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F=α，则∠APE=∠AEP=∠BPF=90°-α，则：∠EAP=180°-2∠APE=2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE=∠F=α，由∠DAB=45°，可得3α=45°，2α=30°，在Rt△ADH中，AH=DH=2，在Rt△AHE中，∠HEA=∠EAB=2α=30°，∠HAE=60°，∴HE=AH•tan∠HAE=2，EC=HC-HE=5-2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC=∠EGF=135°，则∠CEG=45°，∴EG=EC=5-2，∴=，即：=，解得：FG=3-1．【解析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即可求求解；（2）设：AP=x，利用△APE∽△PEC，得出PC2=CE•AP，利用勾股定理得出PC2=PB2+BC2，即可求解；（3）利用△ADE∽△FGE，得到3α=45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比=，即可求解．本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．。
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
2019年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分），×=1=去分母得，x+1=（x﹣1）（x+2）﹣1去分母得，x+5=2x﹣5去分母得，（x﹣2）2﹣x+2=x（x+2）去分母得，2（x﹣1）=x+32数学试卷5．（4分）（2019•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）2．．．．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2019•宝山区一模）使有意义的x的取值范围是x≥5．数学试卷8．（4分）（2019•宝山区一模）不等式组的解集是﹣1≤x＜．解：＜＜．9．（4分）（2019•宝山区一模）分解因式a2﹣ab﹣3a+3b=（a﹣3）（a﹣b）．10．（4分）（2019•宝山区一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是﹣2．11．（4分）（2019•宝山区一模）在平面直角坐标系中．把抛物线y=2x2﹣1的图象向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣1．12．（4分）（2019•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．13．（4分）（2019•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18．数学试卷14．（4分）（2019•宝山区一模）如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=BC，若，，则=﹣（用和表示）先表示出、，然后即可得出的表达式．解：=，==BM=BC=，===﹣=﹣故答案为：﹣．本题考查了平面向量的知识，根据线段比表示出是解答本题的关键，另外要熟练掌握向量的加减15．（4分）（2019•宝山区一模）某坡面的坡度为1：，则坡角是60度．：16．（4分）（2004•临沂）如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE=．ABE=计算即可．EF=2AO=EF=aBDEF=BDBD=4BO=BD=2ABE==．17．（4分）（2019•宝山区一模）在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数y=和y=x2﹣3的图象交点的横坐标来求得．的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出．∴求方程的近似解也可以利用熟悉的函数：和数学试卷y=18．（4分）（2019•宝山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4），若如图过点M（1，2）的直线MP（与y轴交于点P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是y=x+．S（×联立得，，解得x+．y=x+三、（本大题共8题，第19-22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（8分）（2019•宝山区一模）计算：．﹣×﹣8+=1+3×8+=1+3﹣8+2=4﹣20．（8分）（2019•宝山区一模）二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值和点B的坐标（2）求△ABC的面积．数学试卷AB×21．（8分）（2003•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积．×=2）AC=BC=3AC12=1222．（8分）（2019•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．=；===数学试卷23．（10分）（2019•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE 的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC的长．等及正切函数的定义得到==B=（（B==，得到方程（===tan，DF=（（=，（BC=24．（10分）（2019•宝山区一模）在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支2.4万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？（3）企业乙依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还所有债务）？，解得：数学试卷25．（12分）（2019•宝山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式；（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．，即x=，设抛物线的解析式为顶点式坐标为（，代入，求出点a=y=）﹣（﹣﹣y=x﹣x=a EF=3，则=S=，即；x=）+3=，点﹣﹣a=y=）（﹣，y=），即y=﹣的坐标（，）代入，m=，解得，y=x=时，×=，，﹣（（（HG=a a+（a 又∵（）﹣（a a EF==3=﹣数学试卷S=，即26．（14分）（2019•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D （1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．，=x y= OD=DF=OP=mOG=OP=mOD=OG+DG=+1数学试卷。
2019-2020学年上海市宝山区初三数学一模(试卷+参考答案)
2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟 2020.1）考生注意：1． 本试卷含四个大题，共25题；2． 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．符号A sin 表示………………………………………………………………… （ ） A ．∠A 的正弦； B ．∠A 的余弦； C ．∠A 的正切； D ．∠A 的余切．2．如果b a 32-=，那么ba=………………………………………………………（ ） A ．3-； B ．2-； C ．5； D ．1-．3．二次函数221x y -=的图像的开口方向…………………………………… （ ） A ． 向左； B ． 向右； C ．向上； D ．向下．4．直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA =67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的……………… （ ） A ．俯角67°方向； B ．俯角23°方向； C ．仰角67°方向； D ．仰角23°方向． 5．已知a 、b 为非零向量，如果5b a =-，那么向量a 与b 的方向关系是……………………………………… （ ）a b a b a b a b C ．a 和b 方向互相垂直； D ．a 和b 之间夹角的正切值为5． 6．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其 边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB =2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积………（ ） A ．3+π B ． 3-π C ．322-π D ．32-π第6题图第4题图ABDECCA BD 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 已知1:2=3：x ，那么x = ▲ ．8．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ▲ ． 9．如图，△ABC 中∠C =90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么AC 是AD 和 ▲ 的比例中项． 10．在△ABC 中，AB BC CA ++= ▲ ．11．点A 和点B 在同一平面上，如果从A 观察B ，B 在A 的北偏东14°方向，那么从B 观察A ，A 在B 的 ▲ 方向．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 是∠ABC 的平分线．如果x AC =，那么=CD ▲ （用x 表示）．13．如图，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，联结BE ．如果BE =9，BC =12，那么cosC = ▲ ． 14．若抛物线2()(1)y x m m =-++的顶点在第二象限，则m 的取值范围为 ▲ ． 15．二次函数=y 322++x x 的图像与y 轴的交点坐标是__▲__．16. 如图，已知正方形ABCD 的各个顶点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，如果P 是AB 的中点，PD 与AB 交于E 点，那么PEDE＝ ▲ ． 17. 如图，点C 是长度为8的线段AB 上一动点，如果AC <BC ，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 、△BCE ，联结DE ，当△CDE 的面积为33时，线段AC 的长度是 ▲ ．18. 如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．第9题图第18题图第16题图第17题图第12题图第13题图三、（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19． （本题满分10分）计算：21245cos 260tan 6-︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）已知：抛物线m x x y +-=22与y 轴交于点C(0,-2)，点D 和点C 关于抛物线对称轴对称． （1）求此抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）如果点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，求△MCD 的周长．第20题图21．（本题满分10分，每小题各5分）某仓储中心有一个坡度为2:1=i 的斜坡AB ，顶部A 处的高AC 为4米，B 、C 在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB 的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG 的长方体货柜，其中长 DE =2.5米，高EF =2米.该货柜沿斜坡向下时，点D 离BC 所 在水平面的高度不断变化，求当BF =3.5米时，点D 离BC 所在水平面的高度DH ．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图，直线l :3y x =，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以原点O 为圆心，O 1B 为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ，以原点O 为圆心，O 2B 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去． 求：（1）点1B 的坐标和∠1A O 1B 的度数； （2）弦43A B 的弦心距的长度．第21题图第22题图23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边A C 上，联结BD 交AM 于 点F ，延长BD 至点E ，使得DCADDE BD =，联结CE ． 求证：（1）∠ECD=2∠BAM ；（2） BF 是DF 和EF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．第23题图25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒<<︒1800α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数之间的函数关系式； （3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．第25题图2019学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5． B ； 6．C ； 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．6； 8．1:2； 9．AB ； 10．0； 11．南偏西14°； 12．x 31-； 13．32；14．01<<-m ； 15．（3,0）； 16．212-； 17．2； 18．3)4(2+-=x y . 三、简答题（本大题共7题，第19--22题每题10分；第23、24题每题12分．第25题14分；满分78分） 19．解：原式=2236-- ……………………6分=2)23)(23()23(6-+-+⋅ ……………………2分=322221218+=-+ ……………………2分20．（1）∵点C(0,-2)在抛物线m x x y +-=22上，∴2-=m ，此抛物线的解析式为222--=x x y ……………………………2分 ∵222--=x x y =3)1(2--=x y ，∴对称轴为直线1=x ，………………1分 和点C 关于抛物线对称轴对称的点D 的坐标为：D （2，-2）．………………2分 （2）根据题意点M 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，∴M （1,0）……………2分 ∴MC=MD=52122=+， CD=2 …………………………2分 △MCD 的周长为252+． ……………………………………………………1分 21. 解：（1）根据题意斜坡高AC 为4m ，2:1=i ，∴水平宽度BC =8；……………2分坡面AB=5422=+BC AC ………………………………………………3分（2）过D 作DH ⊥BC 于H 交AB 于点M∵∠DMG =∠BAC ∠DGM =∠BCA∴△ DGM ∽△BCA …………………………1分 ∵ 矩形DEFG 中长DE =2.5m ，高EF =2m BF =3.5m∴GM=1， DM=5， FM=1.5， BM=5， MH=5 …………………3分 点D 离BC 所在水平面的高度为52米 。
2019-2020学年上海市宝山区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020学年上海市宝山区高三一模考试数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1. 若i i z 2)1(=+ （i 是虚数单位），则=||z . 【答案】2 【解析】i ii z +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是 .【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=x y ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 . 【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为 .【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是 .【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2± 【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为 . 【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是 cm .【答案】5.4 【解析】由题意得，142]34)25(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ， 11. 已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c . 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+ 取最小值时，点),(b a P 的坐标为 . 【答案】)2,22( 【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） 【A 】01a << 【B 】11a e<< 【C 】 【D 】 【答案】C 【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e -<< 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ）【A 】2()log (41)x f x x =+- 【B 】()2cos f x x x =-1e -1<a <11e +1<a <1【C 】221(0)0(0))(x x x f x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩ 【D 】lg ()10x f x = 【答案】A 【解析】222411()log (41)log log (2)22x xx x x f x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ 选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（ ）【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（ ）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctanb aϕ= 【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan b aϕπ=+ 【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan b aϕπ=- 【答案】B 【解析】sin cos )a x b x x x x ϕ⎫+==+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===； 当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
详解及答案：2019年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题
根据题意求出复数 z，然后可求出 z ．
【详解】∵ (1+ i) z = 2i ，
∴ z = 2i = 2i(1− i) =i(1− i) =1+ i ， 1+ i (1+ i)(1− i)
∴ z= 1−i．
故答案为：1 − i ． 【点睛】解答本题的关键是求出复数 z 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．
即可．
【详解】解：设点 ( x, y) 在 y = f ( x) 的图象上，则 ( x, y) 关于直线 y = −x 对称的点 (− y, −x) 在 y = lnx 的图象上，
得到 −x= ln (− y) ，∴− y = e−x ，∴ y =−e−x ， f ( x) = −e−x ，
故答案为： −e−x ．
12.函数 y = f ( x) 与 y = lnx 的图象关于直线 y = −x 对称，则 f ( x) = ______．
【答案】 −e−x
【解析】 【分析】
设点 ( x, y) 在 y = f ( x) 的图象上，则 ( x, y) 关于直线 y = −x 对称的点 (− y, −x) 在 y = lnx 的图象上，代入后解出 y
A. 2
B. −1
C. 4
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
在所给的已知式中，令 x = 0 ，可得 a0 + a1 + a2 + a3 的值．
【详解】解：等式1+ x + x2 + x3 = a0 + a1 (1− x) + a2 (1− x)2 + a3 (1− x)3 对一切 x ∈ R 都成立，其中 a0 ， a1 ， a2 ，
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x12 y02 x02 y12 y02 y12
由点在椭圆上， x02 4 2y02 ， x12 4 2y12 ，代入上式可得 OP OQ 4 为定值。
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21. 已知数列{an}满足 a1 1， a2 e （e 是自然对数的底数），且 an2 an1 an ，
9. 已知直线 l 过点 1,0 且与直线 2x y 0 垂直，则圆 x2 y2 4x 8y 0 与直线 l 相交所
得的弦长为__________. 【答案】 2 15
【解析】直线 l 的方程为 x 2y 1 0 ，圆心 2, 4 到直线 l 的距离 d 5 ，圆的半径 r 2 5
66
22
C 选项在给定区间不单调，D 选项非奇非偶函数函数，故答案选 A.
15. 已知平面、、 两两垂直，直线 a、b、c 满足 a ，b ，c ，则直线 a、b、c
不可能满足的是（ ）.
A. 两两垂直
B. 两两平行 C. 两两相交
D. 两两异面
【答案】B
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4. 2019 年女排世界杯共有 12 支参赛球队，赛制采用 12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场 定胜负，依次进行，则此次杯赛共有__________场球赛. 【答案】66 【解析】 C122 66
5. 以抛物线 y2 6x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是____________.
【答案】 4,
【解析】原不等式等价为 x x2 2 x2 3x 6 或 x x2 2 x2 3x 6 即1 3 x 1 3 或 x 4
8. 已知方程 x2 kx 2 0(k R) 的两个虚根为 x1, x2 ，若 x1 x2 2 ，则 k __________. 【答案】 2 【解析】 x1 x2 8 k2 i 8 k2 2
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20. 已知直线 l：x t(0 t 2) 与椭圆 : x2 y2 1相交于 A、B 两点，其中 A 在第一象限， 42
M 是椭圆上的一点. （1）记 F1、F2 是椭圆 的左右焦点，若直线 AB 过 F2 ，当 M 到 F1 的距离与到直线 AB 的距 离相等时，求点 M 的横坐标； （2）若点 M、A 关于 y 轴对称，当 MAB 的面积最大时，求直线 MB 的方程； （3）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别交于 P、Q，证明： OP OQ 为定值.
A. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
B. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
C. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
D. 当 a 0 ， b 0 时，辅助角 arctan b a
【答案】B 【解析】辅助角公式中的辅助角满足 tan b 同时 在 (a,b) 所在象限。B 选项中 应该在
V
V外
V内
4 3
(
R外3
R内3 )
，解得 R内
3
125 8
1065 79
2.2462
11. 已知{an},{bn}均是等差数列， cn an bn ，若{cn} 的前三项是 7,9,9，则 c10 _________. 【答案】-47
c1 7
a b c 7
a 1
【解析】设 cn an2 bn c ，由 c2 9 可得 4a 2b c 9 ，解得 b 5 ，
宝山区 2019 学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分） 一、填空题（本题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。 1. 若 z(1 i) 2i （i 是虚数单位），则 | z | __________.
b(a b)
【答案】 2 2, 2
b a b
【解析】 a 2
16 b(a
b)
a2
b
16 a
b
2
2
a2
64 a2
16
，当且仅当
a
2
64 a2
时等号成立，即
取最小值时，
a
2
2
b 2
二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 若函数 f (x) ln x 1 a 在区间 (1,e) 上存在零点，则常数 a 的取值范围为（ ）. x
即要用 8 小时才能符合环保规定 （如果分一半给 A 干，分一半给 B 干，就是：）
a (0.9)x a (0.81)x 0.1a ，令 t 0.9x ， t2 t 0.2 ，解得 x 17
2
2
即要用 17 小时才能符合环保规定 那从 0.9 和 0.81 数字的设置，正好可以换元来看，我感觉大概率标答会是后面一种情况，虽 然后面非常没有效率，吐槽吐槽吐槽……
x t
（2）联立
x
2
4
y2 2
，可得 1
A(t,
2 t2 ) ，故 AB 2
2
4 t2 ， AM 2t
S
MAB
1 2
AB
AM
2t
4t2
2 t2 4 t2 2 2 ，当且仅当 t 2
2 时等号成立
此时直线 MB 的方程为 x 2y 0
（3）设 M (x0 , y0 ) ， A(x1, y1) ， B(x1, y1)
A. 0 a 1
B. 1 a 1 e
C. 1 1 a 1 e
D. 1 1 a 1 e
【答案】C
【解析】易知函数
f
(x)
单调递增，故在区间
(1, e)
上存在零点可得
f f
(1) 0 (e) 0
14. 下列函数是偶函数，且在[0, ) 上单调递增的是（ ）.
A. f (x) log2 (4x 1) x
【答案】 2
【解析】 z(1 i) 2i ， 2 z 2 ， | z | 2
2. 已知 4 2 5 ，则 __________. 1
【答案】3
【解析】 4 2 4 2 3 4 5 ， 3
1
3. 函数 y 3x1(x 1) 的反函数是________. 【答案】 y log3 x 1(x (0,1]) 【解析】 x 3y1( y 1) y log3 x 1(x (0,1])
C1EB 即为异面直线 C1E 和 AD 的夹角，记为
由余弦定理可得 cos 42 22 10 5 242 8
故 arccos 5 8
18. 已知函数 f (x) sin x cos( x) 3 sin x cos x . 2
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则弦长的一半 r2 d 2 15
10. 有一个空心钢球，质量为 142g，测得外直径为 5cm，则它的内直径是________cm. （钢的密度为 7.9g/ cm3 ，精确到 0.1cm）
【答案】4.5 【解析】钢球的体积为V m 142g 1420 cm3 ，由球的体积公式可得：
7.9g / cm3 79
则直线
MA：
y
y0 x0
y1 x1
(x
x0 )
y0 ，当
y
0 时，可得
xp
x0
y0 (x0 x1) y0 y1
x1 y0 y0
x0 y1 y1
同理可得：
xQ
x1 y0 y0
x0 y1 y1
OP OQ xP xQ
x1 y0 x0 y1 x1 y0 x0 y1
y0 y1
y0 y1
a 第四象限，但是选项中给出的是在第二象限，故错误。
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60o ，
DD1 3 ，E 是 AB 的中点.
（1）求四棱锥 C1 EBCD 的体积；
B. f (x) | x | 2cos x
C.
f
(
x）=
x2
1 x2
,
x
0
0, x 0
D. f (x) 10|lg x|
【答案】A
【解析】A
选项
f
(x)
log2(2 x
1 )
2x
，容易看出满足条件；
B 选项 x 0 时， f (x) x 2cos x ， f (7 ) 7 3 5.4 ， f (3 ) 3 4.71，不递增；
2
62
故函数的最小正周期为
，对称中心为
k 2
12
,
1 2
,
k
Z
（2）即 a sin(2x ) 1 在区间 x [0, ] 上有两解
62
2
函数 f (x), x [0, ] 图像如右图所示， 2
可得
a [0,
1) 2
，两根关于
6
对称，故
x1
x2
3
19. 一家污水处理厂有 A、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池 用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉 池中剩余污物的 19%. （1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到 1 小时） （2）如果污物减少为原来的 10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若 A、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到 1 小时）. 【解析】