正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理和余弦定理
16．(2020·广东化州市高三模拟)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，若 S△ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，
则 c＝( )
A．2 7
B．4
C．2 3
D．3 3
答案 C
解析
acosB＋bcosA c
＝
sinAcosB＋sinBcosA sinC
由余弦定理得 cosB＝BC2＋2BBCD·B2－DCD2＝BC2＋2BACB·A2－B AC2，即126×＋49×－34 ＝16＋2×644－×A8C2，解得 AC＝2 6，故周长为 AB＋AC＋BC＝8＋2 6＋4＝ 12＋2 6，故 C 正确；由余弦定理可得，cos∠ACB＝126×＋42×4－2 664＝－ 46＜ 0，故∠ACB 为钝角，故 D 正确．故选 BCD.
∴BD＝BsiCn∠·sinB∠DCC＝3×245＝125
2 .
2
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得 cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC
＝45× 22＋35× 22＝7102.
∈(0，π)，所以 C＝π4，故选 C．
12．(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥 P－ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB＝AD＝ 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则 cos∠FCB＝ ________.
答案 －14
解析 ∵AB⊥AC，AB＝ 3，AC＝1，由勾股定理得 BC＝ AB2＋AC2 ＝2，同理得 BD＝ 6，∴BF＝BD＝ 6.在△ACE 中，AC＝1，AE＝AD＝ 3， ∠CAE＝30°，由余弦定理得 CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos30°＝1＋3－ 2×1× 3× 23＝1，∴CF＝CE＝1．在△BCF 中，BC＝2，BF＝ 6，CF ＝1，由余弦定理得 cos∠FCB＝CF2＋2CBFC·B2－C BF2＝21＋ ×14－ ×26＝－14.
正弦定理和余弦定理基础习题大全
根本运算类1、ABC ∆中，45,60,10,A B a ===那么b 等于2、在△ABC 中，8=a ，B=060，C=075，那么b 等于3、ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，那么A =4、在△ABC 中，a b c 、、分别是三角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b ,那么此三角形的最小边长为5、在ABC ∆中，B=30︒，C=45︒，c=1，那么最短边长为6、在ABC ∆中，假设边4a c ==，且角4A π=，那么角C=；7、在ABC ∆中，8a =，60B =︒，75C =︒，那么b 的值为 8、在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =︒，那么cos B = 9、在ABC ∆中，045,1,2===B c b ，那么C ＝.10、在A B C △中，3A π∠=，3B C =，AB ，那么C ∠=11、在△ABC 中，0045,30,2A B b ===，那么a 边的值为 ．12、在ABC ∆中, 假设21cos ,3-==A a ,那么ABC ∆的外接圆的半径为13、△ABC 中，30,8,A a b ===那么此三角形的面积为14、锐角ABC ∆的面积为4BC =，3CA =，那么角C 大小为 15、ABC ∆的角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且54cos ,3,2===B b a ，那么A sin 的值为 16、ABC △中，假设537AB ===，AC ，BC ，那么A 的大小为17、在ABC ∆中，假设1b =，c =23C π=，那么a =. 18、在△ABC 中，假设222ca b ab =++，那么∠C=19、在ABC ∆中，222a c b ab -+=，那么C = 20、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是.21、假设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222a b c bc =+-，那么角A 的大小为 22、在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，bc c b a ++=222，那么A 等于23、在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , A =3π, 3=a , 1=b ，那么=c24、在ABC △中，假设120c b B ===，那么a 等于 25、在ABC ∆中，2=a , 30=A , 120=C ,那么ABC ∆的面积为 26、在ABC ∆中,，，，23230===AC AB B 那么ABC ∆的面积是27、在ABC ∆中，5,7,8AB BC AC ===，那么ABC ∆的面积是；28、ABC ∆中，120,2,ABC A b S ∆===a 等于。
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。
正弦定理和余弦定理专题试题及答案
正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理， 得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ， 即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
正弦定理和余弦定理习题及答案
正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:1.在△ABC^, a=15, b=10, A= 60 ,则 cosB=()2. 在△ABC\内角A, B, C 的对边分别是a, b, c .若a 2—b 2=3bc, sin C= 2 3sin B,则 A=()A. 30B. 60 C . 120D. 1503. E, F 是等腰直角AABCM 边AB 上的三等分点，则tan / ECF=（）4. △ABOt\ 若 lg a —lg c=lgsin B= — lg /且 B6 0, "2■，则AABC的形状是（）A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直 角三角形5. AABC^, a 、b 、c 分别为/A 、/B /C 的对边，如果 a 、b 、c 成等差数列，/ B= 30° , △ ABC 勺面积为，那么b 为（）A. 1+ 3B. 3+. 3D. 2+. 36.已知锐角A 是△ ABC 勺一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角A.212 3的对应边，若sin 2A — cos 2A= g,则( )A. b+ c=2a B . b+ c <2aC . b+ c<2aD . b+ cn 2a7、若ABC 的内角A 满足sin 2A I ，则sinA 8sA8、如果AB I C I 的三个内角的余弦值分别等于 A 2B 2c 2的三个内角的正 弦值，则A. A 1B i C i 和A 2B 2c 2都是锐角三角形 B . AB 1C 1和A 2B 2c 2都是钝角 三角形C. ABiG 是钝角三角形， 4B 2c 2是锐角三角形D.AB i C i 是锐角三角形，A 2B 2c 2是钝角三角形9、VABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量in r ur r t . ., . .. p (a c,b), q (b a,c a),右 p//q ,则角 C 的大小为(A )6(B)3(C)2(D)i0、已知等腰△ ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）i5 D. -15711、 ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a 、b 、c 成等比 数列，且c 2a ,则cosBA.工3平 C . |A., i5A. 1 B, 3 。
46正弦定理和余弦定理
4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为( )A.2633B.2393C.393D.1333解析：∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13， ∴a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝2133＝2393.答案：B2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 等于( ) A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，sin C ＝c sin B b ＝22×22433＝32.∴C ＝60°或C ＝120°，因此A ＝75°或A ＝15°. 答案：D3．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 是等边三角形，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；若a sin B ＝b sin C ＝csin A，又a sin A ＝b sin B ＝csin C，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝bc ，b 2＝ac ，c 2＝ab ，即a ＝b ＝c .∴p 是q 的充要条件．答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( ) A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：设△ABC 三内角为A 、B 、C ，其对边为a 、b 、c ，且A <B <C ，由2∠B ＝∠A ＋∠C ，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，可得∠B ＝60°，由已知∠A <30°.m ＝c a ＝sin Csin A ＝sin(60°＋A )sin A ＝32cot A ＋12>2.答案：B 二、填空题5．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A＝________. 解析：由已知2sin A cos A ＝－120169，∴cos A ＜0，即A 为钝角，∴(sin A －cos A )2＝289169，∴sin A －cos A ＝1713，则sin A ＝1213，cos A ＝－513.原式＝843.答案：8436．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.解析：因为∠C ＝60°，所以a 2＋b 2＝c 2＋ab ，所以(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(c ＋a )，所以a b ＋c ＋b c ＋a ＝1，故填1. 答案：17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 为________． 解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.由b 2＝ac ，即a ＝b 2c ，代入a 2－c 2＝ac －bc 整理得(b －c )(b 3＋c 3＋cb 2)＝0，∴b ＝c .则△ABC 为正三角形． 答案：60° 正三角形 三、解答题8．(2009·湖南)在△ABC 中，已知，求角A 、B 、C 的大小． 解答：设△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ， 由，得⎩⎨⎧2cos A ＝ 3， ①bc ＝ 3a 2， ②由①cos A ＝32，又0°＜A ＜180°，则A ＝30°，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝32，③②代入③整理得 3b 2－4bc ＋ 3 c 2＝0， 则b ＝4c ±16c 2－12c 22 3，解得b ＝ 3 c ，或c ＝ 3b .当b ＝ 3 c 时，c ＝a ，则C ＝A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝120°； 当c ＝ 3 b 时，b ＝a ，则B ＝A ＝30°，C ＝180°－(A ＋B )＝120°. 综上可知：A ＝C ＝30°，B ＝120°或者A ＝B ＝30°，C ＝120°.9．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解答：如图，连结BD ， 则有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ．∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A .在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∵20－16cos A ＝52－48cos C ，∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，cos A ＝－12，∴A ＝120°， S ＝16sin 120°＝8 3.10．在△ABC 中，已知∠B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，求△ABC 的最大角． 解答：解法一：设最大边为a ，最小边为c ，边a 、c 所对角为A 、C ， 则a c ＝3＋12，由正弦定理sin Asin C ＝3＋12，即sin A ＝3＋12sin C .又sin A ＝sin[180°－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32cos C ＋12sin C ， ∴3＋12sin C ＝32cos C ＋12sin C ，即sin C ＝cos C ．又0°＜C ＜180°，∴C ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°.解法二：设最大边长为a ，最小边长为c ，则a c ＝3＋12，由a 2＋c 2－b 22ac ＝12，则b 2＝a 2＋c 2－ac .cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2a 2－ac 2a a 2＋c 2－ac＝2·a 2c 2－a c 2·a c a 2c 2－a c ＋1＝22. 又0°＜C ＜180°，∴C ＝45°，则A ＝180°－(B ＋C )＝75°.1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，a ＝23，tan A ＋B 2＋tan C 2＝4,2sinB cosC ＝sin A ，求A ，B 及b ，c . 解答：由tan A ＋B 2＋tan C 2＝4得cot C 2＋tan C 2＝4，∴cos C 2sin C 2＋sin C 2cos C 2＝4，∴1sin C 2cos C 2＝4.∴sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6，或C ＝5π6，由2sin B cos C ＝sin A 得2sin B cos C ＝sin(B ＋C )，即sin(B －C )＝0，∴B ＝C ，B ＝C ＝π6，A ＝π－(B ＋C )＝2π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.2．如下图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β. (1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC ＝3DC ，求β的值．解答：(1)证明：∵AB ＝AD ，则∠ADB ＝β，∴∠C ＝β－α.又∠B ＋∠C ＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α， cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①(2)在△ADC 中，DC sin α＝AC sin β，即sin β＝3sin α.②①代入②整理得：23sin 2β－sin β－3＝0.32，或sin β＝－33舍去，又β为锐角，则β＝60°.解得sin β＝。
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
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正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，，则B 等于（ ）30,34==A b A ．30° B ．30° 或150° C ．60° D ．60°或120°2．已知锐角△ABC 的面积为，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）33A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．已知中，分别是角所对的边，若，则角的大小为（ ）ABC ∆c b a ,,C B A ,,0cos cos )2(=++C b B c a B A ．B ．C ．D ．6π3π32π65π4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若=2，，则=( )sin sin CAac a b 322=-B ∠A. B. C. D. 030060012001505．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105°B ．60°C ．15°D ．105° 或 15°6．已知中，，则的形状是（ ）ABC ∆756,8,cos 96BC AC C ===ABC ∆A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小为（ABC ∆,,A B C ,,a b c 2B C =2cos 2cos b C c B a -=A ）A ．B ．C ．D ．2π3π4π6π8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．在中，，那么（ ）ABC ∆sin :sin :sin 3:2:4A B C =cos C =A.B. C. D.142323-14-10．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（ ）ABC ∆a b c ，，A B C ，，2cos a b C =A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形11．在△ABC 中，cos 2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135° B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在,内角所对的边长分别为且,则（ ABC ∆,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=a b >B ∠=）A. B. C. D.6π3π23π56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC 的形状为（ cos cos sin b C c B a A +=）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定15．已知在中，，则的形状是（ ）ABC ∆2cos 22A b cc+=ABC ∆A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角16．已知内角的对边分别是，若，则的面积为（ ABC ∆,,A B C ,,a b c 1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===ABC ∆）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝，a b ＝1，则c ＝( )3πA ．－1B C. 2 D. 1评卷人得分一、解答题（题型注释）18．在中，内角，，所对的边分别是，，.已知，.ABC ∆A B C a b c 4A π=22212b ac -=（1）求的值；tan C （2）若的面积为3，求的值.ABC ∆b 19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,Bc C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc+=+（1）求sinA ；（2）若，△ABC 的面积S ，且b>c ，求b ，c ．32a =22．已知的内角的对边分别为，且满足.ABC △A B C ，，a b c ，，sin(2)22cos()sin A B A B A+=++（Ⅰ）求的值；ba（Ⅱ）若，求的面积.1a c ==，ABC △23．在中，角所对的边分别为，已知，，．ABC ∆,,A B C ,,a b c 2a =5c =3cos 5B =（1）求的值；b （2）求的值．sinC 二、填空题24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若，则A ＝ .222a b c bc =+-26．在中，角所对边长分别为，若，则b=___________．,,A B C ,,a b c 27．在中，已知，，，则的面积是 ．C∆AB AB =C 4A =30∠B = C ∆AB 28．在中，角，，所对的边分别是，，，设为△的面积，，则ABC ∆A B C a b c SABC 222)S a b c =+-的大小为___________.C 29．在ABC 中，已知，则这个三角形的形状是 ∆CcB b A a cos cos cos ==参考答案1．D 【解析】试题分析：，；，，B b A a sin sin =2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B b a < 030=>∴A B 或，选D.060=∴B 0120=B 考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：,则，所以，选B.33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC 23sin =C 060=C 考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得展开化简得，由(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=2sin cos sin 0A B A +=于为三角形内角，所以,所以，，选C.A 0,sin 0A A ≠≠1cos 2B =-23B π=考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，，又，由余弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=222237b a ac b a -=⇒=，又，所以.2222221cos 242a cb a B ac a +--===-()0,B π∈120B ︒∠=考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=，∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°，∴B=105°或15°，故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解．6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得，所以最大角为B 角，因为，22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=226258cos 0265B +-=<⨯⨯所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得，()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==()2222cos 3cos sin C C C =-为锐角,所以，故选A.21tan ,tan 3C C ==2,B C C =∴ ,,632C B A πππ===考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝<0，则角C 为钝角2222a b cab+-考点：运用正弦和余弦定理解三角形.9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==-考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得，那么化简可知22222a b c a b ab+-=A 所以 ，即 ，，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．2222=a a b c +-22=b c =b c 考点：余弦定理判断三角形的形状．11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状．解：∵cos 2=，∴（1+cosB ）=，e b e在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形，故选：B ．12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数．解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a ，∴B＜A ，则B=45°．故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB ，12∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C ）=sinB=，12∵a＞b ，∴∠A＞∠B，∴∠B=6π考点：14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A+=∴+=∴+=，三角形为直角三角形sin 12A A π∴=∴=考点：三角函数基本公式15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒=，选A ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac+-+-=∴==∴= 1,2a c ∴==11sin 1222S ac B ∴==⨯⨯=考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴=考点：余弦定理解三角形18．(1)；(2).23【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得，进而求得，再运用正弦定理求的值即可b c 322=b a 35=C sin 获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于方程求解.b 试题解析：（1）由余弦定理可得，222222⨯-+=bc c b a 即，将代入可得，再代入可得，bc c a b 2222=+-22212b a c -=b c 322=22212b ac -=b a 35=所以，即，则，所以；522sin sin ==a c A C 52sin =C 51cos =C 2tan =C （2）因，故，即.3sin 21=A bc 322322212=⨯⨯b 3=b 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π，∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2，∴a+c+b=2+2，即a+c=2，∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（1）B=（2.4π1+【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件，可运用正弦定理化边为角，BcCba sincos+=再联系两角和差公式，可求出角。