2018一轮北师大版(理)数学教案第10章第6节模拟方法——概率的应用 Word版含解析

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高中数学新北师大版精品教案《模拟方法——概率的应用》1

模拟方法—概率的应用一、教材分析本课教学内容选自北师大版必修三第三章第三节《模拟方法---概率的应用》一节，在此之前，学生已经学习了《古典概型》的特征和概率计算公式，这为本课题的学习奠定了一定的基础。

在古典概率的学习中，我们已经知道，可以通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率。

但是，人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现。

由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生概率的必要性。

而与之相关的几何概型是继古典概型之后的的另一类等可能性概型，在概率论中占着相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，学习它可以更广泛地满足随机模拟的需要。

同时，几何概型是高中数学和现实生活联系密切的一部分，在历年高考中占着一定的比重，通过本节课的学习，使学生体会数学知识与现实世界的联系，确认数学就在我们身边，学会用数学的眼光看世界，用数学的思维认识世界，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，崇尚数学的理性精神，逐步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

二、教学目标：1、知识与技能（1）了解几何概型的概念和特征，掌握常见几何概型的计算方法和步骤;（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型式古典概型还是几何概型；（3）了解模拟方法的基本思想，能初步运用模拟方法估计概率。

2、过程与方法（1）通过情境导入，师生共同合作完成探究，构建新知，再通过练习深化认识，使学生正确理解所学知识的含义，体会数学知识的形成过程。

（2）通过计算机产生随机数模拟试验及小组合作完成撒豆求圆周率试验过程，让学生感知模拟方法的应用，并能利用这种方法估计概率。

3情感、态度和价值观通过计算机产生随机数模拟试验以及撒豆求圆周率试验，让学生体会模拟方法在实际中的应用，并认识到计算机在处理数学问题中的优越性及作用，同时，模拟试验也培养了学生的动手能力、小组合作能力和试验分析能力。

三、教学重点与难点教学重点：（1）了解几何概型的概念及特点，会用公式求解几何概型概率（2）掌握用随机模拟方法估计概率的步骤，会用随机模拟试验估计随机事件的概率。

3.3模拟方法--概率的应用教案(高中数学北师大版必修3)

§3 模拟方法——概率的应用●三维目标1．知识与技能使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．2．过程与方法培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．3．情感、态度与价值观鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用；体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．●教学建议本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型⇒引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法⇒通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略⇒通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．1．本试验的结果有多少个？【提示】无数个．2．每个试验结果出现的可能性均等吗？【提示】均等．3．它与古典概型有何区别？【提示】古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的． 1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．2．计算步骤①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点； ③利用概率公式P (A )＝m n计算.于1 m 的概率有多大？【思路探究】先确定概率模型为几何模型，再计算．【自主解答】如图所示，记A ＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×13＝1 m ，故事件A 发生的概率P (A )＝13.1．解决本题借助图形更容易理解．2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，则任取一点x 0，求使f (x 0)≤0成立的概率．【解】令f (x )≤0，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，所以当所取的点x 0满足－1≤x 0≤2时，f (x 0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x 0，使f (x 0)≤0成立的概率为310.【思路探究】先利用图形找到点P 所落的区域，再利用面积比求概率．【自主解答】如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝13AD ，则AE ＝23AD .过E 作MN∥BC ，则MN ＝23BC .∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝49S △ABC .设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，S △PBC ＝13S △ABC ＝3.当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >13S △ABC ＝3.当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <13S △ABC ＝3.∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝49S△ABC ＝4，∴P (A )＝S △ABC －S △AMN S △ABC＝9－49＝59.如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域面积全部试验结果构成的区域面积.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．【解】海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：区域Ω是长30 m ，宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m 2)．P (A )＝184600＝2375≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率数为0.31.1111锥M －ABCD 的体积小于16的概率．【思路探究】解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．【自主解答】如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h <16. 又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足V M －ABCD <16，结合体积公式可确定点M 在正方体内的位置，从而解决问题．2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域体积全部试验结果构成的区域体积.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于13棱长的概率．【解】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于13棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.选错几何度量致误在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．【错解】设“AM ＜AC ”为事件A .在边AB 上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过点C 、M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝ACAB＝22. 【错因分析】虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．【防范措施】弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB 的大小而不是线段AB 的长度．【正解】设“AM ＜AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型↓确定并计算基本事件空间↓计算事件A 所含基本事件对应的区域的几何度量↓代入公式计算图3－3－11．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域的概率应为( )A.12B.18C.14D ．1 【解析】总区域是圆的整个区域，A 对应区域占整个圆的12，所以球落在A 区域的概率为12，故选A.【答案】 A2．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m 的概率是( )A.13B.12C.16D.14 【解析】把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m ，故所求概率为13.【答案】 A3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．【解析】总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ，∴P ＝110.【答案】 1104．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？【解】记D ＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝101 000＝0.01.一、选择题1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何。

高中数学(北师大版)必修三教案：3.3 概念汇总：模拟方法—概率的应用

模拟方法——概率的应用
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的概率公式：
P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A . 3. 几何概型的特点：
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
4.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；。

北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布二项分布及其应用教学案理

１．“二项分布”与“超几何分布”的区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．２．两个概率公式（１）在事件B发生的条件下A发生的概率为P（A|B）＝错误!.注意其与P（B|A）的不同．（２）若事件A１，A２，…，A n相互独立，则P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：（１）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；（２）每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p；（３）各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P（X＝k）＝C错误!p k（１—p）n—k（k＝0，１，２，…，n）．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）．常用结论二、教材衍化１．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0．２，乙地降雨概率是0．３．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A错误!＋错误!B，所以P（A错误!＋错误!B）＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝0．２×0．7＋0．8×0．３＝0．３8．答案：0．３8２．已知盒中装有３个红球、２个白球、５个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．解析：设A＝{第一次拿到白球}，B＝{第二次拿到红球}，则P（AB）＝错误!×错误!，P（A）＝错误!，所以P（B|A）＝错误!＝错误!.答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）条件概率一定不等于它的非条件概率．（）（２）相互独立事件就是互斥事件．（）（３）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（）（４）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝１—p.（）（５）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）条件概率公式套用错误；（２）相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；（３）独立重复试验公式应用错误．１．由0，１组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P（A|B）＝________．解析：因为第一位数字可为0或１，所以第一位数字为0的概率P（B）＝错误!，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P（AB）＝错误!×错误!＝错误!，所以P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为错误!，错误!，在操作考试中“合格”的概率依次为错误!，错误!，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为错误!×错误!＝错误!，乙获得“合格证书”的概率是错误!×错误!＝错误!，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：错误!３．设随机变量X～B错误!，则P（X＝３）＝________．解析：因为X～B错误!，所以P（X＝３）＝C错误!错误!错误!×错误!错误!＝错误!.答案：错误!条件概率（典例迁移）（１）（一题多解）现有３道理科题和２道文科题共５道题，若不放回地依次抽取２道题，则在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科题的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）从１，２，３，４，５中任取２个不同的数，事件A＝“取到的２个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的２个数均为偶数”，则P（B|A）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：设第１次抽到理科题为事件A，第２次抽到理科题为事件B，P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｃ．法二：在第１次抽到理科题的条件下，还有２道理科题和２道文科题，故在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科题的概率为错误!.故选Ｃ．（２）P（A）＝错误!＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!，由条件概率公式，得P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】（１）C （２）B【迁移探究】（变条件）将本例（２）中的“和”改为“积”，求P（B|A）．解：事件A：“取到的２个数之积为偶数”所包含的基本事件有：（１，２），（３，２），（４，２），（５，２），（４，１），（４，３），（４，５），所以P（A）＝错误!.事件B：“取到的２个数均为偶数”所包含的基本事件有（２，４），所以P（AB）＝错误!，所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.错误!条件概率的两种求解方法１．（２0２0·珠海模拟）夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到１５厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0．１５，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0．0５，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为________．解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P（A）＝0．１５，P（AB）＝0．0５，所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B）＝________，P（B|A）＝________．解析：P（A|B）的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6—５×５×５＝9１种情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C错误!×５×４＝60种情况，所以P（A|B）＝错误!.P （B|A）的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×５×４＝１２0种情况，所以P（B|A）＝错误!.答案：错误!错误!相互独立事件的概率（师生共研）（２0２0·福州四校联考）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期１00位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车１辆所获得的利润分别是１万元、２万元、３万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这１00位客户所采用的分期付款方式的频率估计１位客户采用相应分期付款方式的概率．（１）求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；（２）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与数学期望．【解】（１）设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P（A）＝错误!＝0．３５，P（B）＝错误!＝0．４５，P（C）＝错误!＝0．２，所以甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P＝１—[P（A）·P（A）＋P（B）·P（B）＋P（C）·P （C）]＝0．6３５．（２）由题意知，X的所有可能取值为２，３，４，５，6，P（X＝２）＝P（A）P（A）＝0．３５×0．３５＝0．１２２５，P（X＝３）＝P（A）P（B）＋P（B）P（A）＝0．３５×0．４５＋0．４５×0．３５＝0．３１５，P（X＝４）＝P（A）P（C）＋P（B）P（B）＋P（C）P（A）＝0．３５×0．２＋0．４５×0．４５＋0．２×0．３５＝0．３４２５，P（X＝５）＝P（B）P（C）＋P（C）P（B）＝0．４５×0．２＋0．２×0．４５＝0．１8，P（X＝6）＝P（C）P（C）＝0．２×0．２＝0．0４．所以X的分布列为X２３４５6P0．１２２５0．３１５0．３４２５0．１80．0４EX＝0．１２２．0４×6＝３．7．错误!利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路（１）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．（２）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件．（３）代入概率的积、和公式求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）１１分制乒乓球比赛，每赢一球得１分，当某局打成１0∶１0平后，每球交换发球权，先多得２分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．５，乙发球时甲得分的概率为0．４，各球的结果相互独立．在某局双方１0∶１0平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（１）求P（X＝２）；（２）求事件“X＝４且甲获胜”的概率．解：（１）X＝２就是１0∶１0平后，两人又打了２个球该局比赛结束，则这２个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X＝２）＝0．５×0．４＋（１—0．５）×（１—0．４）＝0．５．（２）X＝４且甲获胜，就是１0∶１0平后，两人又打了４个球该局比赛结束，且这４个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得１分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0．５×（１—0．４）＋（１—0．５）×0．４]×0．５×0．４＝0．１．２．为迎接２0２２年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过１小时免费，超过１小时的部分每小时收费标准为４0元（不足１小时的部分按１小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过１小时离开的概率分别为错误!，错误!；１小时以上且不超过２小时离开的概率分别为错误!，错误!；两人滑雪时间都不会超过３小时．（１）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（２）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：（１）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，４0，80元，两人都付0元的概率为P１＝错误!×错误!＝错误!，两人都付４0元的概率为P２＝错误!×错误!＝错误!，两人都付80元的概率为P３＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!，则两人所付费用相同的概率为P＝P１＋P２＋P３＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（２）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，４0，80，１２0，１60，则：P（ξ＝0）＝错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝４0）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝80）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１２0）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１60）＝错误!×错误!＝错误!.ξ的分布列为ξ0４080１２0１60P错误!错误!错误!错误!错误!独立重复试验与二项分布（师生共研）某工厂的某种产品成箱包装，每箱２00件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取２0件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜１），且各件产品是否为不合格品相互独立．（１）记２0件产品中恰有２件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0；（２）现对一箱产品检验了２0件，结果恰有２件不合格品，以（１）中确定的p0作为p的值，已知每件产品的检验费用为２元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付２５元的赔偿费用．１若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；２以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解】（１）２0件产品中恰有２件不合格品的概率为f（p）＝C错误!p２（１—p）１8.因此f′（p）＝C错误![２p（１—p）１8—１8p２（１—p）１7]＝２C错误!p（１—p）１7（１—１0p）．令f′（p）＝0，得p＝0．１．当p∈（0，0．１）时，f′（p）>0；当p∈（0．１，１）时，f′（p）<0．所以f（p）的最大值点为p0＝0．１．（２）由（１）知，p＝0．１．１令Y表示余下的１80件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（１80，0．１），X＝２0×２＋２５Y，即X＝４0＋２５Y.所以EX＝E（４0＋２５Y）＝４0＋２５EY＝４90．２如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为４00元．由于EX>４00，故应该对余下的产品作检验．错误!（１）独立重复试验的特点１每次试验中，事件发生的概率是相同的；２每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．（２）判断随机变量X服从二项分布的条件（X～B（n，p））１X的取值为0，１，２，…，n；２P（X＝k）＝C错误!p k（１—p）n—k（k＝0，１，２，…，n，p为试验成功的概率）．[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．１．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐．设每次击鼓出现音乐的概率为错误!，且各次击鼓出现音乐相互独立．设每盘游戏出现音乐的次数为X，则P（X≥１）＝________．玩三盘游戏，则恰有两盘出现音乐的概率是________．解析：由题意X～B错误!，所以P（X≥１）＝１—P（X＝0）＝１—C错误!错误!错误!＝错误!，或P（X≥１）＝P（X＝１）＋P（X＝２）＋P（X＝３）＝C错误!错误!错误!错误!＋C错误!错误!错误!错误!＋C错误!错误!错误!＝错误!，故每盘游戏出现音乐的概率为错误!，所以玩三盘游戏，恰有两盘出现音乐的概率P＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!.答案：错误!错误!２．（２0２0·合肥模拟）师大附中学生会组织部分同学，用“１0分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取１6名，如图所示的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）记录了他们的幸福度分数．（１）若幸福度不低于9．５分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这１6人中随机选取３人，至多有１人的幸福度是“极幸福”的概率；（２）以这１6人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选３人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：（１）设事件A i（i＝0，１，２，３）表示所取３人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有１人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P（A）＝P（A0）＋P（A１）＝错误!＋错误!＝错误!.（２）ξ的可能取值为0，１，２，３，由样本估计总体得任选１人，其幸福度为“极幸福”的概率为错误!＝错误!，则P（ξ＝0）＝错误!错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝C错误!×错误!×错误!错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝C错误!×错误!错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝３）＝错误!错误!＝错误!.所以ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!所以E（ξ）＝0×二项分布与超几何分布的辨别方法写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（１）X１表示n次重复抛掷１枚骰子出现点数是３的倍数的次数；（２）X２表示连续抛掷２枚骰子，所得的２枚骰子的点数之和；（３）有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X３；（４）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X ４（N＞M>n>0）．【解】（１）X１的分布列为X１0１２…nPC错误!错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!…C错误!错误!错误!１１（２）X２的分布列为X２２３４５6789１0１１１２P错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!２（３）X３的分布列为X ３0１２…nP错误!错误!C错误!错误!·错误!错误!C错误!错误!错误!·错误!错误!…错误!错误!３３（４）X４的分布列为X４0１…k…nP错误!错误!…错误!…错误!４错误!综上，（１）（３）服从二项分布，（４）服从超几何分布，（２）既不服从二项分布也不服从超几何分布．超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立．当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布．某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．公园甲乙丙丁获得签名人数４５60３0１５0个关于长征的问题中随机抽取４个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（１）求此活动中各公园幸运之星的人数；（２）若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为错误!，求乙公园中恰好２位幸运之星获得纪念品的概率；（３）若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外２个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列．解：（１）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为错误!×１0＝３，错误!×１0＝４，错误!×１0＝２，错误!×１0＝１．（２）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C错误!错误!错误!＝错误!，所以乙公园中恰好２位幸运之星获得纪念品的概率为C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!.（３）由题意，知X的所有可能取值２，３，４，服从超几何分布，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X２３４P错误!错误!错误![基础题组练]１．（２0２0·马鞍山一模）已知一种元件的使用寿命超过１年的概率为0．8，超过２年的概率为0．6，若一个这种元件使用到１年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过２年的概率为（）Ａ．0．7５Ｂ．0．6C．0．５２Ｄ．0．４8解析：选Ａ．设一个这种元件使用到１年时还未损坏为事件A，使用到２年时还未损坏为事件B，则由题意知P（AB）＝0．6，P（A）＝0．8，则这个元件使用寿命超过２年的概率为P（B|A）＝错误!＝错误!＝0．7５，故选Ａ．２．设每个工作日甲、乙、丙、丁４人需使用某种设备的概率分别为0．6，0．５，0．５，0．４，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少３人需使用设备的概率为（）Ａ．0．２５Ｂ．0．３0Ｃ．0．３１Ｄ．0．３５解析：选Ｃ．设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P（A）＝0．6，P（B）＝P（C）＝0．５，P（D）＝0．４，恰好３人使用设备的概率P１＝P（错误!BCD＋A错误!CD＋AB错误!D＋ABC错误!）＝（１—0．6）×0．５×0．５×0．４＋0．6×（１—0．５）×0．５×0．４＋0．6×0．５×（１—0．５）×0．４＋0．6×0．５×0．５×（１—0．４）＝0．２５，４人使用设备的概率P２＝0．6×0．５×0．５×0．４＝0．06，故所求概率P＝0．２５＋0．06＝0．３１．３．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的２00个机械元件情况如下：0天以上的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由表可知元件使用寿命在３0天以上的概率为错误!＝错误!，则所求概率为C错误!错误!错误!×错误!＋错误!错误!＝错误!.４．（２0２0·河南中原名校联盟一模）市场调查发现，大约错误!的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为错误!，而实体店里的家用小电器的合格率约为错误!.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为大约错误!的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为错误!，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为错误!×错误!＝错误!，又实体店里的家用小电器的合格率约为错误!，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为错误!×错误!＝错误!，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝错误!＝错误!.５．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的１0位成员中使用移动支付的人数，DX＝２．４，P（X＝４）＜P（X＝6），则p＝（）Ａ．0．7 Ｂ．0．6Ｃ．0．４Ｄ．0．３解析：选Ｂ．由题意知，该群体的１0位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝１0p·（１—p）＝２．４，所以p＝0．6或p＝0．４．由P（X＝４）＜P（X＝6），得C错误!p４（１—p）6＜C错误!p6（１—p）４，即（１—p）２＜p２，所以p＞0．５，所以p＝0．6．6．投篮测试中，每人投３次，至少投中２次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．解析：该同学通过测试的概率P＝C错误!×0．6２×0．４＋0．6３＝0．４３２＋0．２１6＝0．6４8．答案：0．6４87．小赵、小钱、小孙、小李到４个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“４个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝________．解析：小赵独自去一个景点共有４×３×３×３＝１08种情况，即n（B）＝１08，４个人去的景点不同的情况有A错误!＝４×３×２×１＝２４种，即n（AB）＝２４，所以P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的５个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了４个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了５个问题结束的概率为________．解析：依题意，该选手第２个问题回答错误，第３，４个问题均回答正确，第１个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0．8×0．２×0．8２＋0．２×0．２×0．8２＝１×0．２×0．8２＝0．１２8．依题意，设答对的事件为A，可分第３个正确与错误两类，若第３个正确则有A错误!A错误!或错误!错误!A错误!两类情况，其概率为：0．8×0．２×0．8×0．２＋0．２×0．２×0．8×0．２＝0．0２５6＋0．006 ４＝0．0３２0．该选手第３个问题的回答是错误的，第１，２两个问题回答均错误或有且只有１个错误，则所求概率P＝0．２３＋２×0．２×0．8×0．２＝0．008＋0．06４＝0．07２．所以，所求概率为0．0３２0＋0．07２＝0．１0４．答案：0．１２8 0．１0４9．（２0２0·湖南两市联考）某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记１分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为错误!，错误!，错误!，他们出线与未出线是相互独立的．（１）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（２）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．解：（１）记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P（D）＝１—P（错误!错误!错误!）＝１—错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３．P（ξ＝0）＝P（错误!错误!错误!）＝错误!；P（ξ＝１）＝P（A错误!错误!）＋P（错误!B错误!）＋P（错误!错误!C）＝错误!；P（ξ＝２）＝P（AB错误!）＋P（A错误!C）＋P（错误!BC）＝错误!；P（ξ＝３）＝P（ABC）＝错误!.所以ξ的分布列为故Eξ＝0×错误!＋１×错误!＋２×错误!＋３×错误!＝错误!.１0．（２0２0·河北“五个一名校联盟”模拟）空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～５0为优；５１～１00为良；１0１～１５0为轻度污染；１５１～２00为中度污染；２0１～３00为重度污染；３00以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月１0天的AQI的茎叶图如图．（１）利用该样本估计该地六月空气质量为优良（AQI≤１00）的天数；（２）将频率视为概率，从六月中随机抽取３天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：（１）从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为２，空气质量为良的天数为４，所以该样本中空气质量为优良的频率为错误!＝错误!，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为３0×错误!＝１8．（２）由（１）估计某天空气质量为优良的概率为错误!，ξ的所有可能取值为0，１，２，３，且ξ～B错误!.所以P（ξ＝0）＝错误!错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!错误!＝错误!.ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误!１．（２0２0·南昌模拟）为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是３0项基础设施类工程、２0项民生类工程和１0项产业建设类工程．现有３名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这３名民工选择的项目所属类别互异的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i，B i，C i，i＝１，２，３．由题意，事件A i，B i，C i（i＝１，２，３）相互独立，则P（A i）＝错误!＝错误!，P（B i）＝错误!＝错误!，P（C i）＝错误!＝错误!，i＝１，２，３，故这３名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝A错误!P（A i B i C i）＝6×错误!×错误!×错误!＝错误!.２．箱子里有５个黑球，４个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第４次取球之后停止的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!错误!×错误!Ｃ．错误!×错误!Ｄ．C错误!×错误!错误!×错误!解析：选Ｂ．由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为错误!错误!×错误!.３．甲罐中有５个红球，２个白球和３个黑球，乙罐中有４个红球，３个白球和３个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A１，A２和A３表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．（写出所有正确结论的序号）１P（B）＝错误!；２P（B|A１）＝错误!；３事件B与事件A１相互独立；４A１，A２，A３是两两互斥的事件；５P（B）的值不能确定，它与A１，A２，A３中哪一个发生都有关．解析：由题意知A１，A２，A３是两两互斥的事件，P（A１）＝错误!＝错误!，P（A２）＝错误!＝错误!，P（A３）＝错误!，P（B|A１）＝错误!＝错误!，P（B|A２）＝错误!，P（B|A３）＝错误!，而P（B）＝P（A１B）＋P（A２B）＋P（A３B）＝P（A１）P（B|A１）＋P（A２）P（B|A２）＋P（A３）P（B|A３）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.故正确的为２４．答案：２４４．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳２米高度成功的概率分别是0．7，0．6，且每次试跳成功与否之间没有影响．（１）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________；（２）若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析：（１）记“甲在第i次试跳成功”为事件A i，“乙在第i次试跳成功”为事件B i，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件Ｃ．法一：P（C）＝P（A１错误!１）＋P（错误!１B１）＋P（A１B１）＝P（A１）P（错误!１）＋P（错误!１）P（B１）＋P（A１）P（B１）＝0．7×0．４＋0．３×0．6＋0．7×0．6＝0．88．法二：由对立事件的概率计算公式得P（C）＝１—P（错误!１错误!１）＝１—P（错误!１）P（错误!）＝１—0．３×0．４＝0．88．１（２）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M i，“乙在两次试跳中成功i次”为事件N i，所以所求概率P＝P（M１N0）＋P（M２N１）＝P（M１）P（N0）＋P（M２）P（N１）＝C错误!×0．7×0．３×0．４２＋0．7２×C错误!×0．6×0．４＝0．３0２４．答案：（１）0．88 （２）0．３0２４５．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是错误!和错误!.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．（１）求甲射击４次，至少有１次未击中目标的概率；（２）求两人各射击４次，甲恰好击中目标２次且乙恰好击中目标３次的概率；（３）假设每人连续２次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击５次后，被终止射击的概率是多少？。

高三数学一轮复习模拟方法——概率的应用课件北师大版

变式2.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，
靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm，靶心直径
12.2cm，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率．
解答：记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为的大圆内，而当中靶点在面积为是事件A发生的概率P(A)＝
求上述方程有实根的概率．解答：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为 {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a， b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝ .
π×1222 cm2
π×12.22 cm2的黄心时，事件A发生，于＝0.01，所以射中“黄心”的概率为0.01.
会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
【例 3】甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解答：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－ y≤4，
是无限的；二是“等可能性”，即每个基本事件发生的可能性是均等的．因
此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积 (体积、长度)”与“试验的全部基本事件所占的总面积(体积、长度)”之比来表示．

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修3 模拟方法——概率的应用》

必修三（北师大版）第三章概率《模拟方法——概率的应用》教学设计教学分析几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的随机模拟部分是本节的重点内容，这部分是新增加的内容本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：的绳子，拉直后在任意位置剪断．问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？试验2射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为 cm运动员在70 m外射箭，假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？3．问题1,2中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？4．什么是几何概型？它有什么特点？5．如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？6．古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括．讨论结果：1．硬币落地后会出现四种结果：分别记作正，正，正，反，反，正，反，反．每种结果出现的概率相等，的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解．考虑第一个问题，如图2，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的错误!，于是事件A发生的概率为2的大圆内，而当中靶点落在面积为错误!×π× cm2的黄心内时，事件B发生，于是事件B发生的概率的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的，而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的，即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的．4．几何概型．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型geometric mode of L，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：麦锈病种子在这1 L中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL种子可视作构成事件的区域，1 L种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取出10 mL种子，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A，则in一班，在车站停1 min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．答案：由几何概型知，所求事件A的概率为的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m的概率．答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则L的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是．A． B． C． D．不能确定解析：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比错误!＝答案：C4．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图7所示，这样线段OM长度记作OM的取值范围就是[0，a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是PA＝错误!＝错误!图7错误!1．约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人2021，然后就可离去，试求这两人能会面的概率．解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数甲、乙两人各自到达的时刻组成．以8点钟作为计算时间的起点，设甲、乙各在第分钟和第分钟到达，则样本空间为Ω：{，|0≤≤60,0≤≤60}，画成图为一正方形．以，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为|－|≤2021是一个几何概型问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出如图8．图8所求概率为P＝错误!＝错误!＝错误!2．〔蒲丰Buffon投针问题〕平面上画很多平行线，＜a的针，求此针与任一平行线相交的概率．解：设针的中点与最接近的平行线之间的距离为，针与平行线的交角为φ见图9．样本空间为Ω：错误!为一矩形．针与平行线相交的充要条件是g：≤错误!in φ见图10．所求概率是P＝错误!＝错误!＝错误!图9 图10注：因为概率P可以用多次重复试验的频率来近似，由此可以得到π的近似值．方法是重复投针N次或一次投针若干枚，总计N枚，统计与平行线相交的次数n，则P≈错误!又因a与都可精确测量，故从错误!≈错误!，可解得π≈错误!历史上有不少人做过这个试验．做得最好的一位投掷了3 408次，算得π≈ 592 9，其精确度已经达到小数点后第六位．设计一个随机试验，通过大量重复试验得到某种结果，以确定我们感兴趣的某个量，由此而发展的蒙特卡洛方法为这种计算提供了一种途径．错误!几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例．错误!习题3—3 A组1,2错误!本节课首先对古典概型进行了复习，使学生掌握古典概型的适用条件，巩固了古典概型的概率计算公式，接着设计了多个试验，从课题的引入，到问题的提出都非常有针对性，激发学生学习兴趣，接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型，并通过探究，归纳出几何概型的概率计算公式，同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系，通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次，加深理解和运用，由于它们与实际生活联系密切，所以要反复练习，达到为我们的工作与生活服务的目的，然而这部分内容在高考中是新内容，因此同学们要高度重视，全面把握，争取获得好成绩．。

高中数学新北师大版精品教案《模拟方法——概率的应用》

《模拟方法－－概率的应用》教学设计（高中数学必修3第三章第3节）一、教材分析一、教材的地位和作用：“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

本节课注重概念的建构和公式的应用，为体会随机模拟中的统计思想打下基础。

（二）、教学重点与难点重点：正确理解几何概型的概念；用随机模拟的方法估计概率。

难点：掌握几何概型的概率求法，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标[知识与技能]（1）体会几何概型的意义，能够运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法]了解模拟方法估计概率的过程，通过转盘游戏，将有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知解决概率问题的方法。

[情感与态度价值观]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

三、教法、学法分析本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识。

近年高考数学复习第10章概率第3节模拟方法——概率的应用课时分层训练文北师大版(202

2018高考数学一轮复习第10章概率第3节模拟方法——概率的应用课时分层训练文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第10章概率第3节模拟方法——概率的应用课时分层训练文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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课时分层训练（五十四）模拟方法——概率的应用A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．在区间[－2，3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( ）A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!B[在区间[－2，3］上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝错误!。

]2．如图10。

3.4所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是（）图10。

3。

4【导学号：66482467】A.错误!B．πC．2π D．3πD[设阴影部分的面积为S,且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率得错误!＝错误!，则S＝3π.]3．若将一个质点随机投入如图10。

3。

5所示的长方形ABCD中，其中AB＝2,BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( ）图10。

3。

5A.π2B．错误!C.错误!D．错误!B［设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!＝错误!。

］4．（2015·山东高考）在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log错误!错误!≤1"发生的概率为( ）A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!A［不等式－1≤log错误!错误!≤1可化为log错误!2≤log错误!错误!≤log错误!错误!,即错误!≤x＋错误!≤2,解得0≤x≤错误!，故由几何概型的概率公式得P＝错误!＝错误!。

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第六节模拟方法——概率的应用[考纲传真].了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.了解几何概型的意义．
．模拟方法
道的概率问题，常借助
对于某些无法确切知
模拟方法
来估计某些随机事件发生的概率．用
可以在短时间内完成大量的重复试验．
模拟方法
．几何概型
()向平面上有限区域(集合)内随机地投掷点，若点落在
子区域
成正比，而与的
的概率与的
形状
面积
、
无关，即(点落在)＝
，则称这种模
位置
型为几何概型．
空间中
或
()几何概型中的也可以是
体积
直线上
的有限区域，相应的概率是
之比
或
．
长度之比
．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
()随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
()从区间[]内任取一个数，取到的概率是.( )
()概率为的事件一定是不可能事件．( ) ()在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
[答案]()√()×()×()√．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
[()＝，()＝，()＝，()＝，
∴()>()＝()>()．]．(·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为( )
[如图，若该行人在时间段的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待秒才
出现绿灯．长度为－＝，由几何概型的概率公式知，至少需要等待秒才出现绿灯
的概率为＝，故选.]
．(·唐山检测)如图--所示，在边长为的正方形中随机撒
粒豆子，有粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．
图--
．[由题意知，＝)＝.
∵
正＝，∴
阴
＝.]
．设不等式组(\\(≤≤，≤≤))
表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的
概率是.
【导学号：】－[如图所示，区域为正方形及其内部，且区域的面积＝.又阴影部分表示的是区域内到坐标原点的距离大于的区域．易知该阴影部分的面积
阴
＝－π，
∴所求事件的概率＝＝－.]。