浙江省高数竞赛积分习题集
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题经管类一、计算题（每小题12分，满分60分）1．求⎰+dx x x 1592．求)1ln()1(lim10x e x x x +-+→3．求p 的值，使0)(2)(2007=++⎰dx e p x p x b a4．设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰-2202sin )cos(t u udu e y t x ，求22dx y d5．⎰+∞++02)1)(1(αx x dx ，)0(≠α二、（满分20分） 设n n n u n 3213123162514132211--+-++-++-+= n n n v n 312111+++++=求（1）1010v u （2）n n u ∞→lim有一张边长为4 的正方形纸（如图），C、D分别为'BB的中点，E为'DB的AA、'中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：图示（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。
设函数)(x f 满足方程，x x f e x f e x x sin 3)(2)(=-+-ππ，R x ∈，求)(x f 的极值。
设幂级数∑∞=0nnnxa的系数满足3,2,1,1,21=-+==-nnanaann，求此幂级数的和函数)(xs。
证明当),2(ππ∈x 时，x x x x -+<+-π)sin 1ln(sin 1sin 1。
高等数学(微积分)竞赛工科类试题整理1
浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点，E为D B '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy π+-=，（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=BDB 'Ex令0x=，解得在坐标面yo z上的曲线方程为：22282zyπ-=，图中所求的旋转体的体积为：24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解：222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明：0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。
2011浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
2011浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
数学类
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1.若。
产 " = 0,1,2,••盘满足=0,求极限
lim（＜20Vn + a x J〃 + l + % J〃 + 2 H a k+ k.
n—
2.求Jmax（l?.r,x2,■ ■ ■,x n\lx.
詩+ 2 2=i
3.设x,vsR+,求方程组I 的解.
7.x3+14y3+2k3 =6
4.计算jj, ^4x + -Jydxdy.
Vx+7y＜l
5.设球面J +伏+乙2 = R2上的曲线段C在xQy平面上的投影曲线为：
X = R COS t cos（4z）71亠
."（0d—）,且。
的密度与该点到z轴的距离成正比，比例常数为k, y = 7? cos t sin（4r） 2
求C的质量.
二、（满分20分）证明：卩3] +疽=卩2] +工3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于X 的最大整数.
三、（满分20分）设曲面S为半径为4的球血挖去一个小球冠剩下的部分（如图），如果图中所示角度＜ze （0,歹），求S的形心与球心的距离.
四、（满分20分）设/'连续，函数g（，）= £优00-，酒,证明累背g。
）= max{g（0）,g
（l）}.
五、（满分20分）设正项级数z%收敛，证明Zd时2收敛•
n=l n=l。
浙江省高等数学竞赛试题与答案
（2）式乘 2 减（1）得 4 2( y3 − 2 2x3 ) = 0 ，即 y = 2x ，因此再由（1）式，得
fx (x,
y)
= 16x(x2
−
1) 2
=
0
，即
x1
=
0,
x2
=
2 2
,
x3
=
−
2 ，解得 2
⎧ ⎨ ⎩
x1 y1
= =
0 0
,
⎧ ⎪ ⎨ ⎩⎪
x2 y2
= =
2 2 1
,
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
( ) ∑ 解
设
1− x2
−1 2
=
∞
bn x2n ,
则因
n=0
1
(1
−
t
)−
1 2
=1−
1
t
+
−
1 2
(−
1 2
−1)
t2
+ L+ (−1)m
−
1 2
(−
1 2
−1)L(−
1 2
− m +1)
tm
+L
2
2!
m!
( ) 1− x2
−1 2
=
1−
1
x2
+
−
1 2
(−
1 2
−1)
x4
+L+
(−1)m
−
− x2 2ax
−
y2
（a
>
0
）在
yoz
平面上的投影曲线为 Γ yz
，计算
∫ ⎛ 4a2 − z2
⎜ ⎝ Γ yz
浙江省高等数学竞赛试题经管类2002-2010
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一． 计算题 (每小题５分，共30分) 1. 求极限)11)(1(cos 1lim0-+--→x e xx x2. 求积分⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=-⎰⎰221,221|),(,|1|y x y x D dxdy xy D3. 设x e x y 2=是方程hx ce by ay y =++'''的一个解，求常数h c b a 、、、4. 设)(x f 连续，且当1->x 时，2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰，求)(x f 5. 设∑==nk n kS 1221arctan，求n n S ∞→lim 6. 求积分dx e x x xx 1221)11(+⎰-+二．(15分) 求平面122=-+z y x 含在椭圆柱体19422=+y x 内的面积。
三． (20分) 证明：⎰>π2020)sin(dx x四．(20分) 设二元函数),(y x f 有一阶连续的偏导数，且)0,1()1,0(f f =.证明：单位圆围上至少存在两点满足方程 0),(),(=∂∂-∂∂y x f yx y x f x y五．(15分)（非数学专业做）设{}n a ，{}n b 为满足n nb n a e a e+=，1≥n 的两个实数列，已知 )1(0≥>n a n ，且∑∞=1n n a 收敛。
证明：nnn a b ∑∞=1也收敛。
六．（15分）（数学专业做）设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求∑∞=1n n nx a的收敛半径，收敛域及和函数。
2003年浙江省大学生数学竞赛试题（经管类专业）一、计算题1、已知0sin =++x y xe y ，求)0(y '2、设⎰=x dt t t x G 13sin )(，求dx x G ⎰21)(3、求520)sin(limxdt xt x x ⎰→4、求dxdy y yD⎰⎰sin ，其中D 为以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域。
2012年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及答案 工科类
2012年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 工科类 一：计算题（每小题14分，共70分）1：计算：()+lim log +a ba n x x →∞2设函数f ：R R →可导，且,x y R ∀∈，满足：()()+++f x y f x y xy ≥，求()f x 的表达式。
3计算： 0sin ,n x xdx n Z π*∈⎰4计算：{}-min ,2Dx y x y dxdy ⎰⎰，其中D 是2=y x 和2=x y 所围成的封闭区域。
5求曲线{33=cos =sin x a y a θθ()0,>0a θπ≤≤的形心。
二：（本题满分20分）证明：=111+ln <<1+ln ,ni n n n Z n i *∈∑三：（本题满分20分）设2:u RR →，且u 具有二阶连续偏导，求证当u 可以表示成：()()(),=u x y f x f y 的充分必要条件是：2=u u uu x y y y∂∂∂∂∂∂∂ 。
四：（本题满分20分）在空旷的草地上有一个地面半径为3的圆柱体，在墙角栓有一头山羊，其绳长为π，求山羊能吃到草地的面积。
五：（本题满分20分）求证：()-1=1=111-1C =,k nn k nk k n Z k k*∈∑∑参考答案一、计算题1、若a b ≥ l i m l o g(a bx x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab ax xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b <时，lim log ()a b x x x x →+∞+b =， 所以lim log ()a bx x x x →+∞+max(,)a b =2、解：由假设，0y ∀>，有()()1f x y f x x y+-≥+ f 可导()1f x x +'⇒≥+同理()1()1f x x f x x -''≤+⇒=+ 2()/2f x x x c =++ 3、解：sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解：(){}(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤(){}(){}2234,,1/21,,/2,01/2D x y xy x x D x y xy x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤原积分12()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =-+-⎰⎰⎰⎰34()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-⎰⎰⎰⎰211102d )d d ()d xxxx y x x y x x y x y =-+-⎰⎰⎰21112221002d ()d d ()2d xx xx x y x x y x x y y y +-+-⎰⎰⎰⎰11341456142210021211111()678851232x x x x x x x =-++-++146720112()24621x x x +-+111124724532245=++⨯⨯⨯⨯112533216642117920++=⨯⨯ 5、解：/0c LLx xds ds ==⎰⎰，d /d c LLy y s s =⎰⎰而d 3sin cos d s a θθθθ== 2d 3sin cos d sin cos 3Ls a ba d a ππθθθθθθ/===⎰⎰⎰/2324206d sin 3sin cos d 6sin cos d 5Ly s a x a a a ππθθθθθθθ===⎰⎰⎰0c x ∴= 25c y a =二、证明：显然11111d d j j jj x x x jx +-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、证明：()()u f x g y =时，显然有xy x y uu u u = 反之，若xy x y uu u u =成立，即有2()/()0xxy x y y u uu u u u u-== 1/()x u u f x ⇒= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+⎰ ()()u f x g y ∴=四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x 轴上3x =点，则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线 即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S3/30213/2/32d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--⎰⎰⎰/32029sin d t t π-⎰/32223(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ⎡⎤=-+-⎣⎦⎰/32029sin d t t π-⎰/322013(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦⎰()/3/3/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰33/319sin 2349t t ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭所以山羊能吃到草的草地面积333119218S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和 绳子绕向房子时转过θ∆ 其扫过的面积可近似为扇形22r θ∆()2/33103/9S d ππθθπ=-=⎰所以311/18S π=五、证明：111110011111(1)(1)d (1)d nn n k k k k k k k knn n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑⎰⎰ 1100(1)11(1)d d n n t t t t t t ----==⎰⎰101d 1nx x x -=-⎰ 而11100111d d 1nnn k k k t t t t k t -==1-==-∑∑⎰⎰ ∴等式成立。
浙江省2002高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
那么用什么方法呢? 比较判别法可能比较好! 那么和谁比较呢? 自然是 å an 了.
n =1 ¥
浙江省高等数学竞赛分析
只需证明:
ean - an - e an £ 0
2
ln e an - an an
(
)£a
n
, 即 证 明 : ln ( e a - an ) £ an2 , 也 即 :
n
令 g ( x) = e x - x - e x , g ¢( x) = e x - 1 - 2 xe x , g ¢¢( x) = e x - 2e x - 4 x2e x < 0, x > 1
2
2
后者 ò1 (1 + x - )e x dx = ò12 (1 + - t )e t (- 2 )dt = ò12 (1 + - x)e
2
1 x
eg
1 t
2 2
x+
1
1
is
t+ 1
③ ò1 (1 + x - )e x dx = ò1 (1 + x - )e x dx + ò1 (1 + x - )e x dx
由 f (0) = 0 得: C = -
x (1 + x)e x (1 + x)e x - e x 1 1 + x xe x = = . (1 + x) 2 2 e x (1 + x) 2 2(1 + x) 2
1 , 求 lim Sn n ®¥ 2k 2
te
1 2
re
d
浙江省高等数学竞赛分析
2 1 + 2 1 3 S3 = arctan + arctan = arctan 3 18 = arctan 2 1 3 18 4 1- × 3 18 LLLL n S n = arctan n +1 n p lim S n = lim arctan = . n ®¥ n ®¥ n +1 4
浙江省高等数学竞赛试题与答案
（1） 若数列{yn} 满足条件
（a）
yn
>
0 ；（b） lim n→∞
yn
=
0 ；（c）
yn
=
a1 yn+1
+ a2 yn+2 ， n
= 1, 2,3,L
证明 a1 + a2 > 1。
（2）若 a1 + a2 > 1，证明存在满足条件（a）、（b）、（c）的数列{yn} 。
5
证 设数列{yn} 满足条件（a）、（b）、（c），
n3π 1+ n
2
− nπ
⎞ ⎟ ⎠
=
∞
(−1)n+1an ，其中 an
n=1
=
sin
1
nπ + n2
→0
( ) 记
g(x)
=
sin
xπ 1+ x2
,
x
>
1 ，则因
g ′( x)
=
π
1− x2 1+ x2
2
xπ cos 1+ x2
<
0 ，故 an+1
<
an ，因此
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
n=1
(−1)n+1an
2
22
22 2
5．假设立体 I 由1− z = x2 + y2 与 z = 0 围成，密度为 ρ ；立体 II 由1+ z = x2 + y2 与
z = 0 围成，密度为 1。若立体 I 和立体 II 组成的立体其重心位于原点 (0, 0, 0) ，求 ρ 的值。
∫∫∫ ρ z d x d y d z + ∫∫∫ z d x d y d z
2002年—2010年浙江省(经管类)高等数学竞赛试题
2002.12.7年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）题 号 一二三四五六总分得 分 评卷人一．计算题（每小题5分，满分30分）1． 1．1．求极限01cos lim (1)(11)x x xe x →--+-。
2．求积分|1|Dxy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
学校姓名准考证号 专业装订线4．设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xxxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。
5．设211arctan 2nn k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x xx e dx x++-⎰。
学校姓名准考证号专业装订线二．（本题满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积。
三．（本题满分20分）证明：220sin()0x dx π>⎰。
四．（本题满分20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续偏导数，且(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yf x y x f x y x y∂∂-=∂∂。
学校姓名准考证号 专业装订线五．（本题满分15分）（非数学类做）设{},{}n n a b 为满足1,1n na b n ea e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛.证明：1n nn b a ∞=∑也收敛。
六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，0)0(='f ，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求n n n x a ∞=∑1的收敛半径、收敛域和函数。
2010年浙江省高等数学(微积分)竞赛试卷(工科类)试题及答案
2010年浙江省高等数学（微积分）竞赛试卷（工科类）一．计算题1.求极限12n →+∞+解：原极限=(0.5)0.5lim[1n e ---→+∞= 2.计算22(1)(22)dx x x x +∞-∞+-+⎰ 解：令,x t s y t s =+=-，原积分=2222222(1)(1)2exp[]exp[](1)R R t s dtds x y dxdy ρρρ-++-=--=-⎰⎰ 3.设ABC ∆为锐角（含直角）三角形，求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值解：记(,)sin()sin sin cos()cos cos ,f B C B C B C B C B C =+++++--(,)c o s ()c o s s i n ()s i n B f B C B C B B C B '=++-++=(,)cos()cos sin()sin 0Cf B C B C C B C C '=++-++= cos sin cos sin ,B B C C B C +=+=或2B C π+=（舍去）. cos(2)cos sin(2)sin 0,,33B B B B B A C B ππ+-+=====m a x (,)(31),m i n (,)1f B C f B C =-=4.已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面:10ax by cz π+++=上，设Γ在π上围成的面积为A ，求()()()b z c y d x c x a z d y a y b x d z a x b y c z Γ-+-+-++⎰ ，其中n 与Γ的方向成右手系。
解：原积分=2220.5222222()()s sadydz bdzdx cdxdy ab c a b c ds --++=-++++⎰⎰⎰⎰ 2220.5()a b c A =-++5.设f 连续，满足220()()x x t f x e f t dt -=⎰，求(1)3(1)f f '-的值. 解：0.5220.50.502exp()()2()x f x f x x t f t dt x f x f x --'=++-=++-⎰ 二.定义数列{}n a 如下：11101,max{,},2,3,4,,2n n a a a x dx n -===⎰ 求lim n n a →∞. 解：1111100max{,}n n n n a a x dx a dx a ---=≥=⎰⎰，即{}n a 单调增且1112a =≤，设01n a ≤≤， 则 1111000max{,}1n n a a x dx dx +-≤=≤=⎰⎰，即{}n a 有界. 三．设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线2:cos ,sin ,(0)L x t y t z t t ===≥向空间移动，且圆盘面的法向与L 的切向一致.若圆盘半径()r t 随时间改变，有32()r t t =，求在时间段1[0,]2内圆盘所扫过的空间体积.解：0.50.50.5220004(14)/32V r ds t t t πππ===+⎰⎰⎰22.51.51222(()1)1323253120t t t πππ=-=-=⎰ 四. 证明：222210,t x x x e dt e x +∞--∀><⎰ 证明：2222exp()exp()exp()exp()2222x x x t t t x x dt x dt t dt +∞+∞+∞-=-<-<-⎰⎰⎰ 五. 证明：222tan 2sin 3,(0,)2x x x x π+>∈ 证明：223tan ,(tan )1tan 1,tan /3x x x x x x x x '>=+>+>+易知3sin /6,x x x >-故222tan 2sin 3x x x +>。
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例1（1）ln ln ln (1ln )(1ln )(ln )x x x x x x x x x x dx e x dx e d x x e C x C +=+==+=+⎰⎰⎰（2）dx xx x dx x x x ⎰⎰+++=+++22221)1ln(1)1ln( )1ln()1ln(22⎰++++=x x d x x()C x x +++=232)1ln(32（3）2ln tan ln tan 11ln tan ln tan (ln tan )sin 22sin cos 24x x dx dx xd x x C x x x ===+⎰⎰⎰ （4）⎰⎰⎰+=+=+=+C x x x d dx x x x dx x x )arctan(cos )(cos 1cos )(cos 1cos sin 2cos 12sin 2222224 （5）C ex d edx exx x x x +=+=++++⎰⎰2221211211例2、（1）（06年真题） dx x x x x ⎰-++)1(1884解：（法一）4881(1)x x dx x x ++=-⎰dx x x x dx x x x ⎰⎰-+-+)1()1(188847447484811(1)1(1)1x x x x dx dx dx dx x x x x x x -+=+=+----⎰⎰⎰⎰ 3748111x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰⎰ 4811ln ln 1ln 148x x x C =----+ （法二） dx x x x x x dx x x x x ⎰⎰-++-=-++)1(21)1(1884888437881211x x dx dx dx x x x =++--⎰⎰⎰ 而 dx x x dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰⎰++-=+-=-434344383121121)1)(1(1 4444441(1)1(1)11ln ||818181d x d x x C x x x-++=-+=+-+-⎰⎰从而 4848841111ln ||ln ||ln |1|(1)814x x x dx x x C x x x +++=+--+--⎰ 4811ln ln 1ln 148x x x C =----+ （2）22(1)ln(1)111x x x x x x x xx x x e e e e d e dx dx e dx e e C e e e+-+==-=-+++++⎰⎰⎰⎰ （3）（07年的真题）求⎰+dx x x 159解：⎰+dx x x 1593555552112(1)5515x C ===+（4）（资料中的发挥题）求x dx x x ⋅⎰4ln 2lnx d x x x d x x x dx x x ln 4ln ln 2ln ln ln 4ln 2ln 4ln 2ln ⎰⎰⎰++==⋅ln ln 2ln 4ln 4ln ln ln 4x d x x ++-==+⎰11ln ln (ln ln 4)2ln ln 4d x d x x +⋅++⎰⎰ln ln 2ln |ln 4|x x C =-⋅+例3、224222111()11)111()2d x x x x dx dx x C x x x x x x +-+===-+++-+⎰⎰⎰224222111()1111()2d x x x x dx dx C x x x x x-+-===+++-⎰⎰⎰2224441111211x x x dx dx dx x x x ⎛⎫+-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰1)x C x =-+ 2244411111211x x dx dx dx x x x ⎛⎫+-=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰1)x C x =-+（03年 真题）2224440001111211x x x dx dx dx x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰001)x x +∞+∞=-+=例4 （1）211sin 1sin tan sec 1sin (1sin )(1sin )cos x xdx dx dx x x C x x x x --===-+++-⎰⎰⎰（类似地，求⎰⎰⎰--+dx x dx x dx x sin 11,cos 11,cos 11等）（2）⎰⎰⎰+=++=++)1()()1()1()1(1x xx x x x x xe xe xe d dx xe xe e x dx xe x x ()()ln 11x x xxx x d xe d xe xe C xe xe xe =-=+++⎰⎰ （4）C x x dx x xdx x x +-+=--=+-⎰⎰221arcsin 1111*例5 若01()(0,0),st xI f t dx s t s s=+>>⎰则I 之值（ C ） （A ）依赖于x t s ,, （B ）依赖于t s , （C ）只依赖于t （D ）依赖于x s ,解： 令s x t u +=，则x su st =-，201()()st t t xI f t dx f u du s s=+=⎰⎰例5（1）（资料中的发挥题）计算120ln(1)1x dx x ++⎰解：换元t x tan =， 则 14422000ln(1)ln(1tan )tan ln tan 1sec x t dx d t tdt x tππ++==+⎰⎰⎰ 再令u t -=4π，有444001tan ln(1tan )ln(1tan())ln(1)41tan ut dt u du du uππππ-+=+-=++⎰⎰⎰4440002lnln 2ln(1tan )1tan du du u du uπππ==-++⎰⎰⎰ 从而 14200ln(1)ln(1tan )1x dx t dt x π+=++⎰⎰＝2ln 8π（2）（07经管类真题）20(1)(1)dxx x α+∞++⎰)0(≠α 解：12220011(1)(1)(1)(1)(1)(1)x tdxt dt t I dt x x t t t t ααααα=+∞+∞+∞+-===++++++⎰⎰⎰ 0220011arctan |1(1)(1)2dt dt t I I t t t απ+∞+∞+∞=-=-=-+++⎰⎰ 移项解得 20(1)(1)4dx I x x απ+∞==++⎰*（2）（05年数学类真题）计算220051tan dxxπ+⎰解：令tan x t = 则2200501tan dx xπ+⎰220050(1)(1)dt t t +∞=++⎰ 1200520052200522005220050011(1)(1)(1)(1)(1)(1)x tdxt dt t I dt x x t t t t =+∞+∞+∞+-===++++++⎰⎰⎰ 02220050011arctan |1(1)(1)2dt dt t I I t t t π+∞+∞+∞=-=-=-+++⎰⎰ 移项解得 4I π=，从而2200501tan dx x π+⎰220050(1)(1)4dt t t π+∞==++⎰（3）（首届高数竞赛真题） :证明：0)sin(202>⎰dx x π证明：22220)t x x dx ππππ===+⎰⎰⎰而20t u ππππ=+=⎰⎰从而 原式=0dt π>⎰例6（1）计算992sin cos 17sin cos x xdx x xπ-+⎰解：999922200sin cos sin cos 17sin cos 17sin cos 17sin cos x x x x dx dx dx x xx x x x πππ-=-+++⎰⎰⎰而99222cos sin 17sin cos 17cos sin t x xtdx dt x xt tπππ=-=++⎰⎰从而999922200sin cos sin cos 017sin cos 17sin cos 17sin cos x x x x dx dx dx x xx x x x πππ-=-=+++⎰⎰⎰（2）（04 年真题）计算2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰解：222022cos sin 2004()()200422t x xtdx dt x x t t ππππππππππ=--++=-+---+⎰⎰ 222222222222sin sin 200420042004444tt dt dt dt t t t πππππππππππ---+==++-+-+-⎰⎰⎰22022020044dt t πππ=+=+-⎰420042arctan420042arctan 22220ππππππ--=a ta（3）（资料中的发挥题）计算20sin 1cos x xdx xπ+⎰解：222202()cos sin 21cos 1sin t xt t x x dx dt xt πππππ=---=++⎰⎰ 222222cos cos 21sin 1sin tt t dt dt t t πππππ--=-++⎰⎰220sin 01sin d t dt t ππ=-+⎰ 22arctan(sin )4t πππ==例7（1）* C x e e x xe dx e x xe x d xe dx x xe x xx x x x x ++=++-=++-=+-=+⎰⎰⎰11111)1(2（2）（资料中的发挥题）设101xe dx a x=+⎰ 求120(1)x e dx x +⎰ 11110200011(1)1112x x x xe e e e dx e d dx a x x x x =-=+=-+++++⎰⎰⎰（3）dx xxe xcos 1sin 1++⋅⎰解： 2tan 2sec 212cos 22cos2sin 21cos 1sin 122x x x xx x x +=+=++ 从而 21sin 1sec tan tan tan 1cos 22222x x x x x x x x x x e dx e dx e dx e d e dx x +⋅=+=++⎰⎰⎰⎰⎰tan tan tan tan 2222x x x xx x x x e e dx e dx e C =-+=+⎰⎰（4）（首届高数竞赛真题）计算12121(1)x x x e dx x ++-⎰解：11122211122211(1)()x x x x xx x e dx x e dx e dx x x ++++-=-+⎰⎰⎰1122112221(1)x x x x x e dx e dx x ++=-+⎰⎰112211221()x x xx xed xe dx x ++=++⎰⎰11221122x x xxxdeedx ++=+⎰⎰1212x x xe+=-1212x xedx +⎰＋1212x xedx +⎰5232e =（5）设0(()"())sin 5.f x f x xdx π+=⎰.2)(=πf 求)0(f解：(()"())sin ()sin sin ()f x f x xdx f x x dx x df x πππ'+=+⎰⎰⎰00()sin sin ()cos ()f x xdx x f x x df x πππ'=+-⎰⎰00()sin cos ()sin ()f x xdx x f x x f x dx πππ=--⎰⎰cos0(0)cos ()5f f ππ=⋅-⋅= 从而 (0)3f =例8 （1）21(1)dxx x +∞=+⎰（ C ）. （A ）∞ （B ）2ln- （C ）2ln （D ）2ln 3121221111()(ln ln 1)ln ln (1)12dx x dx x x x x x x +∞+∞+∞+∞=-=-+==++⎰⎰n 不能分（2）（06年文专科真题）计算dx x x x x ⎰+++-+23)1ln()2ln(2解： 21112312+-+=++x x x xdx x x x x ⎰+++-+23)1ln()2ln(211[ln(2)ln(1)]()12x x dx x x =+-+-++⎰ [ln(2)ln(1)][ln(1)ln(2)]x x d x x =+-++-+⎰21[ln(2)ln(1)]2x x C =-+-++ （3）2ln ln(1)111(ln ln(1))()[ln ln(1)](1)12x x dx x x dx x x C x x x x -+=-+-=-++++⎰⎰ 例9（1）（05年真题）计算sin 3cos 4sin xdx x x +⎰解： )sin 4cos 3()sin 4cos 3(sin '+++=x x B x x A x43(3cos 4sin )(3cos 4sin )2525x x x x '=+-+ 从而 sin 3cos 4sin x dx x x =+⎰⎰⎰+'+-++dx xx x x dx x x x x sin 4cos 3)sin 4cos 3(253sin 4cos 3)sin 4cos 3(25443(3cos 4sin )25253cos 4sin d x x dx x x +=-+⎰⎰43ln |3cos 4sin |2525x x x C =-++（2） sin 11(sin cos )11ln |sin cos |sin cos 22sin cos 22x d x x dx dx x x x C x x x x +=-=-++++⎰⎰⎰（3）4222222221sec (tan 1)tan (sin 2cos )(tan 2)(tan 2)x x dx dx d x x x x x +==+++⎰⎰⎰ 2tan 22222111(2)2(2)x tt dt dt dt t t t =+==-+++⎰⎰⎰24(2)t C t =+2tan 4(tan 2)xC x =-++ （4） （08年真题）cos(3)sin(5)dxx x +⋅+⎰解：cos(3)sin(5)cos(3)[sin(3)cos2cos(3)sin2]x x x x x +⋅+=++++2cos(3)sin(5)sin 2cos (3)cos 2sin(3)cos(3)dx dxx x x x x =+⋅+++++⎰⎰2sec (3)1ln tan(3)tan 2sin 2tan(3)cos 2cos 2x dx x C x +==+++++⎰例10（1）11326611((428x dx x x x dx --=+-+=⎰⎰（2）sin 1221212212(1)(1)cos2(1)cos x tnn n nn x dx tdt tdt πππ=++---=-=-⎰⎰⎰2224(2)!!(1)12(1)21213(21)!!nn n n n n n n -=-⋅⋅⋅⋅=-+-+L （3）（05年真题）设 2222(1sin )1sin x A dx x ππ--=+⎰，22222sin cos x B dx x xππ-=+⎰, 2222210(1sin )4x C dx x πππ-+=+⎰,试比较,,A B C 的大小。