人教版九年级上册《圆的证明与计算》专题讲解

《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B 为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴ODOCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.O证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.A∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.课后练习：（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；射影定理：所谓射影，就是正投影。

其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。

由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC 中,△BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; ○6找不到，找相似 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

典型基本图型：图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：（1）在“AC 平分△BAE ”；“AD △CD ”；“DC 是△O 的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。

（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：①CK=CD ；BK=DE ；CK=21BE=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB AC 2=AD•AB图1A图2A图3A图4AA（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD于E 时（如图5），则：△DE=GB ；△DC=CG ；△AD+BG=AB ；④AD•BG=241DG =DC 2 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。

点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC于点E ，基本结论有：（1）在“BO 平分△CBA ”;“BO △DE ”;“AB 是△O 的切线”;“BD=BC ”。

四个论断中，知一推三。

（2）①G 是⊿BCD 的内心；② ；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=21CE 2； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。

（4）如图（3），若△BC=CE ，则：△AD AE =21=tan∠ADE ；△BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在△、△、△中知一推二）△设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；图2EGO FD BAH AB CDFOG E图1EODBAECDCG=GD②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A ③CD·CA=4BE 2, BABC BDCD RDE ==图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DE △AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：①31=EF DE ;②21=R BE 图形4：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以ABBC 于点D ，交AC 于点F ，基本结论有：（1）DE ⊥AC⇔DE 切⊙O ；（2）在DE ⊥AC 或DE切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形；②EF=EC ；③D 是的中点。