广东省佛山市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
广东省佛山市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试 化学
佛山一中2020-2021学年上学期高一级期中考试题化学命题人：梅枫审题人：叶承军2020年11月本试卷共6页，34小题，满分100分，考试时间90分钟。
可能用到的原子量：H 1 He 2 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5 Ba 137第一部分选择题（共60分）一、选择题（本题包括30小题，只有一个．．．．选项符合题意。
每小题2分，共60分）1．下列叙述正确的是A．1 mol H2O的质量为18g/mol B．CH4的摩尔质量为16gC．3.01×1023个SO2分子的质量为32g D．标准状况下,1 mol任何物质体积均为22.4L 2．下列各组物质依次为酸、混合物和碱的是A．硝酸钠、CuSO4·5H2O、KOH B．硫酸、空气、纯碱C．NaHSO4、NH3·H2O、熟石灰D．硝酸、食盐水、烧碱3. 下列物质的水溶液中，加入Ba(OH)2溶液后原溶液中溶质的阴、阳离子都减少的是A．Na2CO3B．CuSO4C．FeCl3D．Ca(NO3)24. 下列各组物质相互混合后，不会．．发生离子反应的是A．K2SO4溶液和Mg(NO3)2溶液B．FeSO4溶液和锌块C．NaOH溶液和Fe2(SO4)3溶液D．醋酸钠(CH3COONa)溶液和盐酸5．能够用离子方程式：Ca2++CO32－= CaCO3↓表示的反应是A．石灰乳和碳酸钠溶液反应B．澄清石灰水和足量NaHCO3溶液反应C．氯化钙溶液和碳酸钾溶液反应D．澄清石灰水和少量CO2反应6. 下列溶液中氯离子浓度最大的是A．100 mL 0.8 mol·L－1 MgCl2溶液B．50 mL 0.5 mol·L－1 AlCl3溶液C．200 mL 1 mol·L－1 NaCl溶液D．200 mL 2 mol·L－1 KClO3溶液7．下列电离方程式中正确的是A. HNO3 ═ H++N5++3O2-B. Ba(OH)2 ═ Ba2++(OH-)2C. AlCl3 ═ Al+3+3Cl-D. Al2(SO4)3 ═ 2Al3++3SO42-8. 下列关于氯及其化合物的叙述正确的是A. 氯气的性质很活泼，它与氢气混合后立即发生爆炸B. 实验室制取氯气时，多余的氯气可以用氢氧化钙溶液吸收C. 久置的氯水没有漂白性D. 检验氯化氢气体中是否混有Cl2的方法是将气体通入硝酸银溶液9. 下列变化需要加入氧化剂才能实现的转化是A．浓H2SO4→SO2B．KClO3→O2 C．H2S→SO2D．HCO3-→CO210.单质到盐的转化关系可表示为： 下述转化关系不正确的是A ．Na 2O −−−−→Na 2O 2H O −−−→NaOH 3CH COOH −−−−→ CH 3COONaB ．Mg 2O −−−−→MgO 2H O −−−→Mg(OH)2HCl −−−→MgCl 2 C ．C 2O −−−−→CO 22H O −−−→H 2CO 32Cu(OH −−−−→）CaCO 3 D ．S 2O −−−−→SO 22H O −−−→H 2SO 32Na O −−−→Na 2SO 3 11. 对下列溶液中离子检验正确的是A. 某无色溶液滴入稀盐酸，产生气泡，证明该溶液一定含有CO 32-离子B. 向某种溶液中加入稀盐酸酸化的硝酸银，有白色沉淀，证明含Cl -离子C. 某溶液中先滴加氯化钡溶液，有白色沉淀，证明含SO 42-离子D. 某无色溶液中滴入无色酚酞试液显红色，证明该溶液一定显碱性12．下列关于胶体的说法，正确的是A ．纳米材料粒子直径一般在 1~100 nm 之间，因此纳米材料属于胶体B ．用可见光束照射可以区别溶液和胶体C ．将NaOH 浓溶液滴加到饱和FeCl 3溶液中制备Fe(OH)3胶体D ．胶体与溶液都可以通过滤纸、半透膜和分子筛13．N A 表示阿伏加德罗常数，下列叙述中正确的是A ．1 mol NH 4+ 所含质子数为10N AB ．25℃、1.01×105Pa 时，22gCO 2中含有1.5N A 个原子C ．78g Na 2O 2固体中O 2-的数目为2N AD ．将98g H 2SO 4溶解于500mL 水中，所得溶液中H +的物质的量浓度为4 mol/L14. 在强酸性．．．溶液中，下列离子组能大量共存且溶液为无色透明的是 A ．Na + K + OH － Cl － B ．Na + Cu 2+ SO 42－ NO 3－C ．Mg 2+ Na + SO 42－ Cl －D ．Ca 2+ HCO 3－ NO 3－ K +15．下列示意图中，白球代表氢原子，黑球代表氦原子，方框代表容器，容器中间有一个可以上下滑动的隔板（其质量忽略不计）．其中能表示等质量的氢气与氦气的是 A ． B ． C ． D ．金属单质 碱性氧化物碱 盐 金属单质 酸性氧化物 酸 盐O 2 O 2 H 2O H 2O 酸或酸性氧化物 碱或碱性氧化物 O 2 O 2 O 2 O 2 H 2O H 2O H 2O H 2O CH 3COOH HCl Na 2O Ca(OH) 216．在电解质溶液的导电性实验（装置如图所示）中，若向某一电解质溶液中逐滴加入另一溶液时，则灯泡由亮变暗，至熄灭后又逐渐变亮的是A．盐酸中逐滴加入氢氧化钠溶液B．硫酸铜溶液中逐滴加入氢氧化钡溶液C．硫酸中逐滴加入氯化钡溶液D．盐酸中逐滴加入硝酸银溶液17. 下列叙述中正确的是A．等质量的O2、O3中所含氧原子个数之比为2：3B．标准状况下，体积相等的CCl4和Cl2，前者含有的氯原子数是后者的两倍C．1molCO和CH4的混合气体所含的碳原子数和1molCO2所含的碳原子数相等D．10g NH3中含有原子数目约为4×6.02×102318．现有①1mol纯净的Na2CO3②1molNa2CO3和NaHCO3的混合物，下列描述正确的是A．分别与足量盐酸反应时①消耗盐酸量少B．分别与足量氯化钡溶液反应时②产生的沉淀多C．分别配成等体积的溶液时②的c(Na+)大D．相同条件下，分别与足量盐酸反应时放出的CO2体积相等19．已知还原性由强到弱的顺序为SO32−>I−>Br−，碘单质易升华。
广东省佛山市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测(10月)数学试题
广东省佛山市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次教学质量检测（10月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.21．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =米．(1)要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？22．已知函数2()2f x x ax =++，R a Î.(1)若对于任意[1,1]x Î-，不等式()2(1)4f x a x £-+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)已知()g x x m =-+，当3a =-时，若对任意1[1,4]x Î，总存在2(1,8)x Î，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.C 、0b a <<Q ，\0a b +<，故C 对；D 、0b a <<Q ，||||||a b a b \+=+成立，故D 不对．故选：D ．5．A【分析】先确定二次函数f （x ）=x 2-2ax +1的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数的取值范围【详解】根据题意：二次函数f （x ）=x 2-2ax +1，单调递增区间：(,)a +¥;单调减区间(,)a -¥ 因此：（1）二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调增函数，则a ≤2（2）二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调减函数，则a ≥3故选：A【点睛】考查根据二次函数的单调区间，求解析中的参数6．B【分析】A.其值域为[0,2]，故不符合题意；B.符合题意；CD 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.【详解】解：A 是函数图象，其值域为[0,2]，与已知函数的值域为{|12}B y y =……不符，故不符合题意；B 是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；C 是函数图象，值域为{1,2}，与已知函数的值域为{|12}B y y =……不符，故不符合题意；D 是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意.故选：B 7．D【分析】命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x Î-上有解，构造函数()23f x x x =-求最大值代入即可．【详解】命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题等价于23a x x >-在[]1,1x Î-上有解，令()23f x x x =-，[]1,1x Î-，则等价于()()12min a f x f >==-，2a \>-，故选D ．【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．8．A【解析】根据题意作出()M x 的函数图象，根据函数图象求解出()M x 的最小值.【详解】令221x x x +=--，解得=1x -或3x =，作出()M x 的图象如下图所示：由图象可知：当=1x -时，()M x 有最小值，此时()min121M x =-+=，故选：A.【点睛】思路点睛：求解形如()(){}max ,y f x g x =（或()(){}min ,y f x g x =）的函数的最小值（或最大值）的步骤：（1）根据()()f x g x =，先求解出两个图象交点的横坐标；（2）根据()(),f x g x 图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到()(){}max ,y f x g x =。
广东省佛山市顺德区第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省佛山市顺德一中高一（下）期中数学试卷一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，42．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.53．若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）A．B．C．D．4．已知向量＝（m，2），＝（3，﹣6），若|+|＝|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．45．已知，则tan（α+β）的值为（）A．B．C．D．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．已知关于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，﹣1）8．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（）A．6B．7C．8D．9二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题，合计20分）9．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（）A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新10．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则（）A．BD＝10（3+）m B．DC＝10mC．DC＝10m D．BC＝10m11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体12．下列说法正确的是（）A．若非零向量（+）＝0，且＝，则△ABC为等边三角形B．已知＝，＝，＝，＝，四边形ABCD为平行四边形，则+﹣﹣＝C．已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D．已知向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），则与夹角的范围是三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）13．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．14．复数z满足z（+1）＝1+i，其中i是虚数单位，则|z|＝15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则•的范围为．16．若AB＝2，AC＝BC，则三角形ABC面积S△ABC的最大值为．四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）．（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；（2）若∠BCD＝，求CD的长．20．已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|＝，求证：⊥；（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．21．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b（sin C+cos C）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．22．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？参考答案一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．2．设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则（）A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝0.5解：设，是两个不共线的向量，若向量＝﹣（k∈R）与向量＝共线，则：利用向量共线基本定理：k＝，故选：D．3．若cosα＝﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）＝（）A．B．C．D．解：∵α是第三象限的角∴sinα＝﹣＝﹣，所以sin（α+）＝sinαcos+cosαsin＝﹣＝﹣．故选：A．4．已知向量＝（m，2），＝（3，﹣6），若|+|＝|﹣|，则实数m的值是（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4解：向量＝（m，2），＝（3，﹣6），∴+＝（m+3，﹣4），﹣＝（m﹣3，8），又|+|＝|﹣|，∴＝，化简得12m＝48，解得m＝4．故选：D．5．已知，则tan（α+β）的值为（）A．B．C．D．1解：tan（α+β）＝tan[（α﹣）+（+β）]＝＝＝1，故选：D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜b cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解：△ABC中，∵c＜b cos A，∴sin C＜sin B cos A，即sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A，∴sin A cos B＜0，sin A＞0，∴cos B＜0，B为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．7．已知关于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1＝0在（，π）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣）D．（﹣2，﹣1）解：方程可转化为＝，设，则问题可转化为和的图象有两个不同的交点，如图，由图象观察可知，，解得﹣2＜m＜﹣1．故选：D．8．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（）A．6B．7C．8D．9解：∵y＝sin x对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故选：C．二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题，合计20分）9．某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（）A．乐、新、快B．快、新、乐C．新、乐、快D．乐、快、新解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选：B．10．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则（）A．BD＝10（3+）m B．DC＝10mC．DC＝10m D．BC＝10m解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝，∴，，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，，∴根据正弦定理得：，解得AD＝，∵∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝45°，∴在△ACD中，，根据余弦定理得：CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC•cos45°1800+1600﹣2400＝1000，∴，在△ABD中，∠DAB＝75°，，∠ABD＝60°，且，∴根据正弦定理得：，解得．故选：AC．11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件；用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件．故选：ACD．12．下列说法正确的是（）A．若非零向量（+）＝0，且＝，则△ABC为等边三角形B．已知＝，＝，＝，＝，四边形ABCD为平行四边形，则+﹣﹣＝C．已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D．已知向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），则与夹角的范围是解：对于A：在△ABC中，非零向量（+）＝0，说明角A的平分线垂直于边BC，所以△ABC为等腰三角形，且满足，所以A＝，故△ABC为等边三角形，故A正确；对于B：若O为四边形ABCD的中心，则+﹣﹣≠，若点O不为中心，则+﹣﹣＝不一定成立，故B错误；对于C：如图所示，建立直角坐标系，设内切圆的半径为r，则r•3×2＝×，解得r＝1．设P（x，y），﹣1≤y≤1．则x2+y2＝1．A（﹣，﹣1），B（，﹣1），则＝（﹣﹣x，﹣1﹣y）•（﹣x，﹣1﹣y）＝x2﹣3+（﹣1﹣y）2＝2y﹣1≤1，因此C正确．对于D．向量＝（2，0），＝（2，2），＝（cosα，sinα），∴＝+＝（cosα+2，sinα+2），点A（x，y）满足方程（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2．设直线OA方程为：y＝kx，则≤，可得：2﹣≤k≤2+，设与夹角为θ，则2﹣≤tanθ≤2+，解得：≤θ≤，∴θ的取值范围是[，]，因此D不正确．故选：AC．三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）13．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．解：由图可得，，则T＝8，∴，由五点作图的第三点可得：φ＝π，则φ＝．∴函数解析式为f（x）＝sin（x+）．由，k∈Z，得﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．故答案为：[﹣3+8k，1+8k]（k∈Z）．14．复数z满足z（+1）＝1+i，其中i是虚数单位，则|z|＝1或解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，∵z（+1）＝1+i，∴（a+bi）（a+1﹣bi）＝1+i，∴a2+b2+a+bi＝1+i，∴，解得或，∴z＝i或z＝﹣1+i，∴|z|＝1或，故答案为：1或．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则•的范围为[﹣3，4﹣9]．解：建立平面直角坐标系如图，∵菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，∴A（0，0），D（1，），C（3，），M（2，），∵P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，∴设P（2cosθ，2sinθ），（0≤θ≤60°），则＝（2cosθ﹣2，2sinθ﹣），＝（3，），则•＝3（2cosθ﹣2）+（2sinθ﹣）＝6cosθ+2sinθ﹣9＝4（cosθ+sinθ）﹣9＝4sin（θ+60°）﹣9，∵0≤θ≤60°，∴60°≤θ+60°≤120°，∴sin（θ+60°）∈[，1]，则4sin（θ+60°）∈[6，4]，则4sin（θ+60°）﹣9∈[﹣3，4﹣9]，即•的范围为[﹣3，4﹣9]，故答案为：[﹣3，4﹣9]16．若AB＝2，AC＝BC，则三角形ABC面积S△ABC的最大值为2．解：如图所示，A（﹣1，0），B（1，0）．设C（x，y）（y≠0）．∵AC＝BC，∴＝，化为：（x﹣3）2+y2＝8（y≠0）．可知：当且仅当取C（3，±2），三角形ABC的面积的最大值＝×2×2＝2．故答案为：2．四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）．（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；（2）若∠BCD＝，求CD的长．解：（1）设AD＝2x，AB＝3x，由余弦定理得：cos＝＝，解得x＝1，∴AD＝2，AB＝3，∴由正弦定理得：，解得sin∠ABD＝．（2）sin（∠ABD+∠CBD）＝sin，∴sin∠CBD＝cos∠ABD，cos＝，∴sin，由正弦定理得，解得CD＝．20．已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|＝，求证：⊥；（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．解：（1）证明：由|﹣|＝，即（﹣）2＝2﹣2•+2＝2，又因为2＝2＝||2＝||2＝1．所以2﹣2•＝2，即•＝0，故⊥；（2）因为+＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）＝（0，1），所以，即，两边分别平方再相加得1＝2﹣2sinβ，∴sinβ＝，sinα＝，又∵0＜β＜α＜π，∴α＝，β＝．21．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b（sin C+cos C）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A＝，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＝b（sin C+cos C），∴sin A＝sin B（sin C+cos C），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）＝sin B（sin C+cos C），∴sin（B+C）＝sin B（sin C+cos C），…∴sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin B cos C，…∴cos B sin C＝sin B sin C，又∵C∈（0，π），故sin C≠0，…∴cos B＝sin B，即tan B＝1．…又∵B∈（0，π），∴．…（Ⅱ）在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12+22﹣2×1×2×cos D＝5﹣4cos D．…又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴．…∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…22．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．记∠AMN＝θ．（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？解：（1）∠AMN＝θ，在△AMN中，由正弦定理得：＝＝所以AN＝，AM＝（2）AP2＝AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP＝sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）＝[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4＝[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+＝﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）＝sin（θ+60°））当且仅当2θ+150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2．故答案为：（1）AN＝，AM＝（2）AN＝AM＝2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．。
广东省佛山市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次教学质量检测数学试题
=
y r
，
cosa
=
x r
，所以
sin a
+
cosa
=
5，
5
故选择 D.
3．D
【详解】由
tan(a
+
p 4
)
=
2有
tana +1 1- tana
=
2,
tan a
=
1 3
，所以
sin a sin a
- cosa + cosa
=
tan a tan a
-1 +1
=
1 3 1 3
-1 +1
=
-
1 2
，选
D.
12 故选：B 9．ABC
【分析】求得
sin
5p 6
的值，对选项逐一化简求值，由此确定正确选项.
【详解】
sin
5p 6
=
sin
æ çè
p
-
p 6
ö ÷ø
=
sin
p 6
=
1， 2
A
选项，
cos
æ çè
-
p 3
ö ÷ø
=
cos
p 3
=
1 2
，符合题意，
B
选项，
cos18°
cos
42°
-
sin 18° sin
，则当
ÐAOC
=
π 6
时，
x
+
y
=
________；
x
+
y
的最大值为________．
五、解答题
17．已知a
2020-2021学年广东省佛山市第一中学高一上学期期中考试 数学
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年广东省佛山市第一中学高一上学期期中考试 数学命题、审题人说明：1.本试题共4页，共22题.全卷满分150分，考试用时120分.2.请将答案填写在答题卡上相应位置.一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|13},{|4}A x x B x x =-≤<=≥，则A B =A.[1,2]-B. [1,2]C. [2,3)D. [2,)+∞2. 命题“0,1x x e x ∀>>+ ”的否定形式是（其中 2.718e =为常数） A ．0,1x x e x ∀><+ B. 0,1x x e x ∀>≤+C. 0,1x x e x ∃><+D. 0,1x x e x ∃>≤+3. 若函数21()(22)m f x m m x -=--是幂函数，且()y f x = 在(0,)+∞上单调递增，则(2)f = A. 14 B.12 C. 2 D. 44. “1a =-”是“方程2210a x x +-=只有一个解”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分必要条件5. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A. 3-B. 1-C. 1D. 36. 已知120.50.620.30.3,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为A. a b c <<B.c a b <<C. b a c <<D. c b a << 7. 已知()f x 是定义在[2,2]b - 上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则不等式(21)(1)f x f +≤ 的解集为A. (1,0)-B. 31,10,22⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. (,1][0,)-∞-+∞D. 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 8. 已知0ax b -> 的解集为{|2}x x >，关于x 的不等式2056ax b x x +≥-- 的解集为 A ．[2,1)(6,)--+∞ B. [2,6)(1,)--+∞ C. (,1)(6,)-∞-+∞ D. (,2](6,)-∞-+∞二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题为真命题的是A ．若0a b >>，则22a c b c >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b >D ．若a b >且，则11a b< 10.某食品的保鲜时间错误!未找到引用源。
广东省佛山市第一中学2020届高三地理上学期期中试题(含解析)
广东省佛山市第一中学2020届高三地理上学期期中试题（含解析）所罗门群岛是南太平洋的岛国，多火山、地震，河流众多，森林茂密。
霍尼亚拉是所罗门群岛首都和主要港口，有国际机场与外界联系。
读所罗门群岛地理位置图，回答下面小题。
1. 所罗门群岛A. 按成因属于珊瑚岛B. 岛屿之间交通以航空为主C. 终年受寒流影响明显D. 位于板块消亡边界附近2. 受地形影响,岛上的河流A. 流量大B. 流速快C. 含沙量小D. 水位变化小3. 某日,当霍尼亚拉市政广场上直立的旗杆影子正好不见时,则A. 此刻北京时间为次日的7时B. 这天当地日出方向为东北C. 该日霍尼亚拉白昼短于悉尼D. 次日赤道正午太阳高度减小【答案】1. D 2. B 3. C【解析】【1题详解】由材料可知，所罗门群岛是南太平洋的岛国，多火山、地震，且图示信息显示，几乎每一座岛上都有山峰；又根据经纬度可知，所罗门群岛位于太平洋板块与印度洋板块的消亡边界，地壳运动活跃，故可推知其按成因分类是火山岛，因此A项错误，D项正确。
岛屿之间距离较近，应当以水运为主，B项错误。
根据经纬度可知，其位于太平洋中部，地处南半球，但是紧邻赤道，流经的洋流为南赤道暖流，故C项错误。
故选D。
【2题详解】由上题分析可知，该群岛为火山岛，且岛屿上分布有山地，故其地势起伏较大，坡度较陡。
受地形影响，河流短促，流速快，B项正确。
流量大小、水位变化大小受河流的补给类型影响，含沙量与地表物质组成、地表植被覆盖、降水类型等有关，三者皆与地形无关，故A、C、D 项错误。
故选B。
【3题详解】当霍尼亚拉市政广场上直立的旗杆影子正好不见时，说明此时太阳直射霍尼亚拉市所在的纬线（约9°S），为当地的正午12时，即此时霍尼亚拉市（约160°E）的地方时为12时。
计算可知，北京时间为当日的9时20分，A项错误。
此时太阳直射点位于南半球，为北半球的冬半年，日出东南，日落西南，B项错误。
广东省佛山市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试 历史(选考)
佛山一中2020-2021学年上学期高二级期中考试题历史（选考）命题人：曹涛雪审题人：辛晓燕2020年11月本试卷共9页，53小题，满分100分，考试时间100分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
第一部分选择题（共50分）一、单选题(每题1分，共50分)1. 孔子说，君子在与他人保持和谐友善的同时还能坚持独立思想而不苟同于人，小人习惯于附和苟同别人的观点，但内心深处却并不友善。
后世儒者经常以此诫勉君臣，这体现出儒学A. 具有调节政治关系的功能B. 具有维护社会秩序的作用C. 倡导与人为善、社会和谐D. 重视人格独立和思想自由2.相传孔子编写了鲁国的历史《春秋》，曾有人说：“孔子作《春秋》，乱臣贼子惧”。
孔子还有一个原则：“为尊者讳，为贤者讳”。
据此可推知孔子作史的标准是A. 忽视事实专注统治需要B. 天人合一凸显君权神授C. 价值观念重于历史事实D. 史以相传颂扬尊者贤能3.A. 各学派均关注人与自然B. 民众对社会安定的渴望C. 各学派的主张渐趋一致D. 思想服务于统治的需要4.成书于战国末期的《吕氏春秋》，用拼凑式的做法把诸子百家思想综合起来，并不追求一个内在的思想系统，成为“兼儒墨，合名法”“于百家之道无不贯通”的“杂家”代表作。
这A. 反映了学术创新的停滞B. 重振了百家争鸣的气象C. 体现了政治统一的趋势D. 阻碍了社会经济的转型5.清华大学教授刘桂生指出,汉武帝“罢黜百家,独尊儒术”,其用意只在于确立儒学在官学与朝廷政治中的地位,不许其他学派分沾。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。