求数列通项公式的十一种方法
递推数列的通项公式的十一种求法一、累加法：a n =a 1+（a 2―a 1）+……+（a n ―a n ―1）。
型如a n+1=a n +f （n ）的递推数列例1已知a n+1＝a n ＋2n+1，a 1＝1，求数列{a n }的通项公式。
解：112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=∴通项公式为2n a n =例2已知a n +1=a n +2×3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
解： 已知得 a n +1－a n =2×3n +111232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-∴3 1.n n a n =+-例3已知a n +1=3a n +2×3n +1，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
解：已知两边除以13n +，得111213333n n n nn a a +++=++，则111213333n n n nn a a +++-=+112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-关键是把13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n nn a a +++-=+，求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式。
二、累乘法:321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥型如:a n =g （n ）a n －1的递推数列 例4已知a n ＝n （a n +1－a n ），n ∈N*，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
解：已知得11n na n a n++=32112123n 1(0,2)12n-1n n nn a a a a a n a n a a a -∴=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=≠≥当n=1时a 1=1，满足a n =n ，∴ a n =n .例5已知a n +1=2（n+1）5n ×a n ，a 1=3，求数列{a n }的通项公式。
解：已知得a n ≠0，a n+1/a n ＝2（n+1）5n ∴通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+例6已知11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②②－①得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ ∴a n ＝a n /a n －1×a n －1/a n －2×……×a 3/a 2×a 2＝n ×（n －1）×……×4×3×a 2＝n ！/2×a 2 ③ n=2由①可得a 2＝a 1＝1，代入③得通项公式：!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥。
三、构造新数列:将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠和1，0d ≠）设为1()()n n a x q a x ++=+变成1()11n n d d a q a q q ++=+--的方法叫构造新数列. 例7已知a n =2a n －1+1，n ≥2，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
解:设1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为112a +=,公比为2的等比数列,即12n n a +=,21n n a ∴=-四、常用公式1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差通项a n =a 1+（n －1）d ，等比通项a n =a 1q n －1例8已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。
解：111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a +=，又112a =，∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例9已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3×2n ，a 1=2，求数列{a n }的通项公式。
解：两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，数列{}2n na是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，得31(1)22nn a n =+-， ∴数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
五、倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d +=+(0,0)c d ≠≠取倒数变成1111n n d a c a c+=+ 例10已知数列{}n a *()n N ∈中,11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式. 解:已知取倒数:1112n na a +=+,1112n na a +-=, ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列.112(1)n n a =+-,∴121n a n =-. 注意:新数列的首项取倒数,公差或公比变化了.六、待定系数法例11已知a n +1=2a n +3×5n ，a 1=6，求数列{a n }的通项公式。
解：设a n +1+x ×5n+1=2（a n +x ×5n ） ①将a n +1=2a n +3×5n 代入①得2a n +3×5n +x ×5n+1=2a n +2x ×5n 得3+5x=2x ∴x=－1代入①得a n +1－5n+1=2（a n －5n ） ②由a 1－5=6－5≠0及②得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=- 数列{a n －5n }是首项为a 1－5=1、公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1＋5n关键是把a n +1=2a n +3×5n 转化为a n+1－5n+1＝2（a n －5n ），数列{a n －5n }是等比数列。
例12已知数列{a n }满足a n +1＝3a n +5×2n +4，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
解：设a n +1+x ×2n+1+y ＝3（a n +x ×2n +y ） ①将a n +1＝3a n +5×2n +4代入①得3a n +5×2n +4+x ×2n+1+y ＝3（a n +x ×2n +y ） 整理得（5+2x ）2n +4+y ＝3x ×2n +3y令52343x x y y+=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入①式得115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+ ②由11522112130a +⨯+=+=≠及②式，得5220nn a +⨯+≠，则115223522n n nn a a +++⨯+=+⨯+， 故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列， 因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。
关键是化递推关系式a n +1＝3a n +5×2n +4为a n +1+5×2n+1+2＝3（a n +5×2n +2） 可知数列{a n +5×2n +2}是等比数列。
例13已知数列{a n }满足a n +1＝2a n +3n 2+4n+5，a 1=1，求数列{a n }的通项公式。
解：设a n +1+x （n+1）2+y （n+1）+z ＝2（a n +xn 2+yn+z ）①将a n +1＝2a n +3n 2+4n+5代入①式，得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入①式，得 a n +1+3（n+1）2+10（n+1）+18＝2（a n +3n 2+10n+18）②由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及②式，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++， 数列2{31018}n a n n +++以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。
关键是转化a n +1＝2a n +3n 2+4n+5为a n +1+3（n+1）2+10（n+1）+18＝2（a n +3n 2+10n+18） ∴数列{a n +3n 2+10n+18}是等比数列。
史上最全的数列通项公式的求法13种
最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。
③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
数列通项公式方法大全很经典
解：当n = 2k (k N+)时,
当 ，
综合得：
例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
解：
∵
∴
(7)分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{ }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出 的表达式，然后用数学归纳法证明之.
特征根法：
（1） 时， = · + ·
（2） 时， =（ + ·n）·
例5.数列{ }中， =2， =3，且2 = + （n∈N+，n≥2），求 .
[解] =2 －
∴ ∴
∴ =（ + ·n）· = + ·n
∴ ∴
∴
6．“已知 ，求 ”型
方法： = － （注意 是否符合）
例6.设 为{ }的前n项和， = （ －1），求 （n∈N+）
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
变式：已知数列 满足 ，求 的通项公式。
（4）待定系数法
例4已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ④
将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。
设
将⑩式代入 式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则
，故
代入 式，得
由 及 式，
得 ，
则 ，
所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此
求数列通项公式的十种常用方法
求数列通项公式的十种常用方法一、构造法构造法是最常见的求解数列通项公式的方法，是根据已知的数列的前几项逐步构造出数列的通项公式的过程，主要包括归纳法、设数据项法、递推法等。
1.归纳法归纳法是根据已知数列中前几项，把同一个数列中的每一项视为全体项的一部分，由以已知项为特例，讨论出全体项的总体规律。
2.设数据项法设数据项法是根据数列的某项与它的前面几项的关系来建立通项公式的方法。
设数据项始终指代着形式未知却已给出它跟前几项关系的某一项，而根据设数据项得出的数列形式叫做设数据项形式，其通项公式就是设数据项形式的通项公式。
3.递推法递推法是根据数列中任一项与它的后面几项的关系，从已知项不断向前推出未知项，从而推出数列的通项公式的方法。
二、方程法方程法是利用数列的某一项与此数列的其它项的关系式组成的线性方程组或者非线性方程组，求解通项公式的概念，虽然它给出的通项公式也不易求解，但是它与构造法相比，可能会在某些情况下得到更简洁的通项公式，所以它也成为了求解数列通项公式常用的方法之一。
三、数学归纳法数学归纳法是一种利用一般性原理来更加正规地寻求数列通项公式的方法，它具有比构造法更多的优点，比如说，它可以处理更加复杂的情形（例如次通项不是已知项的一个常数倍）。
四、分析法分析法是指用分析几何和代数几何方法，通过考察数列中某几个项的构成方式，来推导出整个数列的通项公式的抽象方法。
五、导数比导数比是指根据数列的前几项来推算下一项的一种技巧，以项数为横坐标，相邻两项的比值为纵坐标构成一幅函数图象，然后根据曲线图象分析可以推出数列的某种规律，从而推出数列的通项公式。
六、逆序法逆序法是反其道而行之，以数列的最后一项为起点，根据已知的数列的前几项和最后一项的运算关系，得出最后一项的前一项，以此类推，一直到起始项，从而得出数列的通项公式的一种方法。
七、特殊函数解特殊函数解法是指利用特殊函数及其组合函数构成的数列通项公式的解法，在实际问题中，特殊函数有对数函数、指数函数、三角函数等，使用这些函数可以构成一种数列，从而求出数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法数列通项公式是数学中一种重要的概念，它通过确定数列中任意一项的值来描述数列的规律。
它与算法不同，可在一定程度上减少计算量。
本文将介绍求数列通项公式的11种方法，帮助读者更好地理解数列通项公式的意义。
第一种方法是利用数列中已知项，来求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么数列的通项公式为a1+a2+ a3+ a4+a5，通过求和得出该数列的公式。
第二种方法是使用特征系数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用特征系数展开式求出该数列的通项公式：a1+2a2+3a3+4a4+5a5。
第三种方法是倒数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用倒数展开式求出该数列的通项公式：a1+a2/2+a3/3+a4/4+a5/5。
第四种方法是由观察法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以通过观察发现，这是一个等比数列，则该数列的通项公式为a1qn-1，其中q为公比。
第五种方法是由增量法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，增量法可以用来求出a2=a1+d1，a3=a2+d2，a4=a3+d3，a5=a4+d4，其中d1,d2,d3,d4为增量。
将这四式代入原式：a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的通项公式：a1+(n-1)(d1+d2+d3+d4)/2+nd5。
第六种方法是由公因式法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以将这五项分别除以共同的因子，求出最小因式，例如给定数列a1,a2,a3,a4,a5=2,4,8,16,32，其中32是最大因子，将其他四项都除以32，得到d1=1/2,d2=1/4,d3=1/8,d4=1/16，将d1,d2,d3,d4代入原式a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的公式。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
通项公式的十一种求法
通项公式的十一种求法---1．形如1n a +=p n a +q （p 、q 为常数）型1(){}111n n n q q q a p a a p p p ++=++---注：利用待定系数的方法得到：从而构造出数列为等比数列也可化为1n a +-n a =p(n a -1n a -)，利用数列{1n a +-n a }求解1111()(,,0,0)n n n n n a a q q p p q p p p+++=+≠≠也可化为为常数且 例1．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 例2.已知数列{an }满足1a =1，1n a +=2n a +1（1）求证：数列{1n a +}是等比数列；（2）求数列{n a }的通项公式.2.形如)(1n f pa a n n +=+型(1)若b kn n f +=)((其中k,b 是常数，且0≠k ) 方法：相减法例1. 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a . 例2. 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a . (2)若n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1+n p. ii.两边同除以1+n q . 即： qq a q p q a n n n n 111+⋅=++, iii.待定系数法：设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项. 例1. 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-；3.形如sra q pa a n n n ++=+1型 （1）0,0,,=≠q s r p 即s ra pa a n n n +=--11 取倒数或者消分母然后除以乘积式 （2）.形如),,(1为定值q p m qa p ma a n n n ++=+型 不动点法 例1. 设数列｛a n ｝满足7245,211++==+n n n a a a a ,求｛a n ｝的通项公式. 4.形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a . 把03412=+-++n n n a a a 变形为)(3112n n n n a a a a -=-+++.（2）当042≥+q p 时 用待定系数法.例2. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a . 解：令)(112n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a5. 形如r n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 （1）p>0，0>n a 等式两边同时取对数.例1. 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.（2）p<0时 用迭代法。
(完整版)数列通项的十一种求法
数列通项公式的十一种方法知识概要一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的十一种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
初中数学求数列通项公式的十种方法
解：因为 ，所以 ，则 ，故
所以数列 的通项公式为
例5.设 是首项为1的正项数列，且 （ =1，2，3，…），则它的通项公式是 =________.
解：已知等式可化为：
( ) (n+1) ,即
时，
= = .
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习2．已知数列 满足
，求数列 的通项
说明：(1)若方程 有两不同的解s , t,
则 , ,
由等比数列性质可得 , ,
由上两式消去 可得 .
(2)若方程 有两相等的解 ，则
，
,即 是等差数列，
由等差数列性质可知 ，
所以 ．
例26、数列 满足 ，且 求数列 的通项。
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19已知数列 的各项均为正数，且前n项和 满足 ，且 成等比数列，求数列 的通项公式。
解：∵对任意 有
∴当n=1时， ，解得 或
当n≥2时， ⑵
-⑵整理得：
∵ 各项均为正数，∴
当 时， ，此时 成立
当 时， ，此时 不成立，故 舍去
令 ,则可化为 .然后转化为类型5来解，
.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，