高一数学向量的加法一 人教版
向量的加法运算-高一数学教材配套教学课件(人教A版2019必修第二册)
新知探究
根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，
运算律可以有效地简化运算.
思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结
合律呢？ 非零向量，，研究
Ԧ
Ԧ + 与 + Ԧ .
作 = ，
Ԧ
= ，
以，为邻边作□，容易发现 = ， = ，
Ԧ
故 = + = Ԧ + .
又 = + = + ，
Ԧ
所以Ԧ + = + .综上，向量的加法满足交换律.
Ԧ
+
新知探究
思考：你能否验证结合律，即(Ԧ + ) + Ԧ = Ԧ + ( + )呢？
Ԧ
如图，作 = ，
[3,13] .
牛刀小试：若|| = 8，|| = 5，则||的取值范围是__________
新知探究
思考：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力1 与2 的作用，
你能作出这个物体所受合力吗？
我们知道，合力在以，为邻边的平行四
2
边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.
B.BE
C. AD
D. CF
)
E
F
A
D
思路：用相等向量代换，使首尾相接
C
B
习题演练
变2.如图所示，在∆中，为重心，，，分别是, , 的中
点，化简下列三式.
(1) + +
(2) + + .
向量的加法高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
首先在平面内任取一点 O,作向量=a,=b, =c,以 OA,OB 为邻边作
▱OADB,连接 OD,则 = + =a+b.再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接
OE,则 = + =a+b+c 即为所求.
变式探究1在例1(1)条件下,求 + .
1.对向量加法的两种法则的理解
(1)当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.但当两个向
量共线时,平行四边形法则便不再适用.
(2)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量且方向相反
பைடு நூலகம்
C.a=b
D.a,b无论什么关系均可
解析 当两个非零向量a,b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且
|a+b|<|a|+|b|;当两个非零向量a,b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,
且|a+b|=|a|+|b|;当两个非零向量a,b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方
向相同,且|a+b|=|b|-|a|,所以对于非零向量a,b,且|a+b|=|a|+|b|,有a∥b,且a
与b方向相同.故选A.
2.[北师大版教材习题]填空:(1) + =
(2) + + =
0
.
向量的加法运算(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
经 典 例 题 题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
作法 1：如图 1 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量 A→B＝b，则得向量O→B＝a＋b；然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a＋b)＋c＝a ＋b＋c 即为所求．
经 典 例 题 题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
课堂小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．当两个向 量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四 边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以 按照任意的次序和任意的组合去进行． 3．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即 把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最 后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．
点拨：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．
三．向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
小试牛刀
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( × ) (3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．( × ) (4)若A→B＋B→C＋C→A＝0，则 A，B，C 为一个三角形三个顶点．( × ) (5)对于任意的点 A，B，C，D，都有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ ) (6)如果 a，b 是共线的非零向量，那么 a＋b 的方向必与 a，b 之一的方向相同．( × )
当堂达标
5．已知非零向量 a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为__1_3___．
向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
A
B
a
a
b
a+b
b
O
各向量“尾首相连”，和向量由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点.
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，
称为向量加法的三角形法则．
向量加法的拓展
各向量“尾首相连”，和向量由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点.
【1】在三角形ABC中，AB+BC+CA=0；AB+BC=AC
情景一：如图，某人从A点走到B.然后从B点走到C.这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
A
AB + BC = AC
向量的加法的定义：求两个向量和
B
的运算叫做向量的加法
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA=a， AB=b，则向量OB叫做a和b的和，记作a+b．即a+b= OA+AB=OB．
O·
F1 A·
从运算的角度看，F可以看作是 F1与 F2
的和，即力的合成可以看作向量的加法。
向量加法的平行四边形法则．
B
C
起点相同，
对角线为和
b
a
力的合成可以看作向量
加法的平行四边形法则
a +b
b
的物理模型
O
a
A
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a和b为邻边作平
行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，我
D
C
A
B
解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)2
a
O
A
b
| a | | b | | a b || a | | b |
ab
B
a
b
ab
ba
ab
| a b || a | | b |
| a b | | a | | b |
结论
一般地,对两个非零向量a,b, 有
| a | | b | | a b || a | | b |
当a,b同向时, 右边等号成立; a,b反向时,左边等号成立.
一是线性运算(加法，减法，数乘)； 二是积运算(数量积，向量积）. 本节我们就来研究平面向量的线性运算，并探究其性质，体 会向量运算的作用. 接下来我们首先学习向量的加法运算.
知识探究 (一)
思考1：物理中的位移、力都是向量，它们可以合成，这给 我们以向量加法的启示：从位移的合成、力的合成中引入向量的
B
F2
C
OC＝F1＋F２
O
F1 A
这种运算方法称为向量加法的平行四边形法则.
向量加法的平行四边形法则
先将相加的两个向量平移至起 点重合；
再以这两条线段为邻边作平行 四边形;
最后作出这两个向量所夹的对 角线 ,则这条对角线所对应的有 向线段就表示它们的和.
B b
O
a
A
起点重合,
夹出和.
C
返回
向量加法的运算法则
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小(精确到0.1) 和方向(用与江水速度 间的夹角,精确到1°). (参考数据：261 16.2,tan 68 2.5)
解：(1)
CD
北
AB表示江水速度； AC表示船速；
船速 船的实 际速度
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
高一数学人教A版平面向量的加法运算
AB
C a + b = AC
a
反向
b
a C A bB
AC = AB + BC
a + b = AC
对于零向量与任意向量a，我们规定 a+0=0+a=a
向量a , b的模与a + b的模的关系
问题2. a + b ，a ，b 之间有什么关系？
不共线向量
作 AB=a ，BC=b，则 AC=a + b.
所以 a + b a + b .
a+ b
b
A
a
B
不共线向量
作 AB=a ，BC=b，则 AC=a + b. 三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
C
a+ b
b
A
a
B
不共线向量
作 AB=a ，BC=b，则 AC=a + b.
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
C 可得 | AB | | BC | | AC | ，
a
b
Aa
b B
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
C
a
b
Aa
b B
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
C
a
b
Aa
平面向量的加法运算
高一年级 数学
引言
物理背景
向量的运算
启发 物理背景 引进
向量的运算
启发 物理背景 引进
高中数学 向量的加法教案 新人教A版必修1
第二教时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
过程： 一、 复习：向量的定义以及有关概念强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
二、 提出课题：向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+4． 船速为，水速为，则两速度和：=+ 提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： 1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作a OA = b AB = 则+=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中+的结果与+是否相同验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：+=+ 5． 向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使=, =, =则(+) +==+ a + (b +c ) =AD BD AB =+∴ (a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略五、小结：1︒向量加法的几何法则 2︒交换律和结合律 3︒注意：|a +b | > |a | + |b |不一定成立，因为共线向量不然。
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高一数学向量的加法一
一．课题：向量的加法
二．教学目标：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量；
3.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
三．教学重、难点：1.如何作两向量的和向量；
2.向量加法定义的理解。
四．教学过程：
（一）复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r （C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u u r 、OD u u u r
（二）新课讲解： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． 规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r ． 说明：
①共线向量的加法： a r b r a b +r r
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r . 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r . （1） （2）
2.向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． （2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r 为邻边作ABCD Y ，则 则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行
四边形法则。
b r a r O B A b r a r b r a r A B C D
A B C
3．向量的运算律： 交换律：a b b a +=+r r r r ． 结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r ．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++r r r u r r u r r r ；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++r r r u r r u r r r r r ． 4．例题分析：
例1．如图，一艘船从A
点出发以/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2/km h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
解：设AD u u u r 表示船向垂直与对岸行驶的速度，AB u u u r 表示水流的 速度，以AD 、AB 为邻边作ABCD Y ，则AC u u u r 就是船实际 航行的速度， 在Rt △ABC 中，||AB uuu r 2=，||BC uuu
r =，
∴||AC =u u u r
4==，
∴tan 2
CAB
== ∴60CAB ∠=o . 答：船实际航行速度的大小为4/km h ，方向与流速间的夹角为60o . 例2．已知矩形ABCD 中，宽为2
，长为AB u u u r a =r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，试作出向量a b c ++r r r ，并求出其模的大小。
解：作CE AC =u u u r u u u r ，则如图a b c ++r r r AE =u u u r a b c ++r r r 22AB BC AC AC c =++==u u u r u u u r u u u r u u u r r ，
∴|||2|8a b c AC ++===r r r u u u r ， 答：向量a b c ++r r r 就是向量AE ，其模为8
例3．一架飞机向北飞行200
五．课堂练习：（1）化简0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ；（2）课本99P 练习：2，3，4题.
六．小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
七．作业：1．书102P 习题5.2 第2，3题，6（2）
（3），7． 2．补充：已知两个力1F ，2F 的夹角是直角，且知它们的合力F 与1F 的夹角是60o
，||10F =牛，求1F 和2F 的大小。
B C A。