北京四中第一学期期中初二数学试卷
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北京四中初二上期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传，下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列各式不能分解因式的是（ ）． A ．224x x - B ．214x x ++C ．229x y +D ．21m -3．点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．(3,5)B ．(3,5)-C ．(5,3)-D ．(3,5)--4．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c m CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cmD ．2cm5．下列各式中，正确的是（ ）． A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c +-+-= C ．a b a bc c---=-D ．a ab a a b-=--6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等 B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒AC D BD'ACD B8．在等腰ABC △中，已知2AB BC =，20AB =，则ABC △的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）．A ．212x <<B ．57x <<C ．16x <<D ．无法确定 10．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论： （1）AD BF =；（2）CF CD =；（3）AC CD AB +=；（4）BE CF =；（5）2BF BE =， 其中正确的结论个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子24x x -有意义，则x 的取值范围是__________．12．计算212293m m +=--__________．13．如图，在ABC △中，AB AC =，20A ∠=︒，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠为__________度．14．若关于x 的二次三项式2x kx b ++的因式分解为(1)(3)x x --，则k b +的值为__________．15．若7a b +=，5ab =，则22a ab b -+=__________．16．当x 取__________值时，2610x x ++有最小值，最小值是__________．17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是__________．18．如图，ABC △中，在BC 上截取BD BA =，作ABC ∠的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若2BD CD =，ABC △的面积为22cm ，则DPC △的面积为__________．19．如图，把ABC △沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则2∠的度数为__________．20．如果满足条件“30ABC ∠=︒，1AC =，(0)BC k k =>”的ABC △是唯一的，那么k 的取值范围是__________．FEAC BDEDBC AP D BCA三、解答题21．把多项式分解因式（每题4分，共8分） （1）33312a b ab -； （2）222()4()4x x x x ---+．22．（每题4分，共8分） （1）计算：21111a a a a a ÷----． （2）解方程：542332x x x+=--． 23．（本题5分）已知：如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AB CD =，AE BF ∥且AE BF =． 求证：EC FD =．24．（每题4分，共8分）（1）先化简，再求值：21123369m m m m m ⎛⎫+÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中9m =．（2）已知113x y -=，求代数式21422x xy y x xy y----的值．25．列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系） 赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多59小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26．（本题4分）某地区要在区域S 内（即COD ∠内部）建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．（本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ADC ∠=∠=︒． 求证：CD AB =． 小刚是这样思考的：由已知可得，60DCA ∠=︒，75DAC ∠=︒，30CAB ∠=︒，180ACB DAC ∠+∠=︒， 由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB AE =，E D ∠=∠． ∵在ADC △与CEA △中， 75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADC △≌CEA △， 得CD AE AB ==．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若180ACB CAD ∠+∠=︒，B D ∠=∠，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明：若不相等，请说明理由．ACBDEDBCA28．（本题7分）在等边ABC △中，D 为射线BC 上一点，CE 是ACB ∠外角的平分线，60ADE ∠=︒，EF BC ⊥于F ．（1）如图1，若点D 在线段BC 上． 求证：①AD DE =；②2BC DC CF =+；（2）如图2，若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．图2ABD CFE图1ACBEDF附加题（满分20分）：1．（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+=__________． 2．（本题4分）如图，45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒，2BD =，则四边形ABCD 的面积为__________．3．（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m n ≠，求332m mn n -+的值．4．（本题6分）已知：ABC △中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠的平分线BD 与ACB ∠的平分线CD 相交于点D ，且CD AB =，求证：60A ∠=︒．DCBA北京四中初二上期中数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCACDDDBCD二、填空题（本题共20分，每小题2分）题号 11 12 13 14 15 答案 4x ≠23m -+ 601-34题号 16 17 18 19 20 答案 3-，1480480420x x -=+21cm 325︒2k =或01k <≤三、解答题21．（1）解：33223123(4)3(2)(2)a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-． （2）解：2222222()4()4(2)(2)(1)x x x x x x x x ---+=--=-+．22．（1）解：原式1(1)(1)11a a aa a a -+=⋅--- 11a aa a +=-- 221(1)(1)a a a a a a -=--- 1(1)a a =--．（2）解：去分母得，54(23)x x -=-， 整理得，77x =， 解得，1x =．经检验，1x =为原方程的解．22．证明：∵AE BF ∥， ∴A FBD ∠=∠． ∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC BD =． 在AEC △和BFD △中， A FBD AC AE B BD F ∠=∠==⎧⎪⎨⎪⎩， ∴AEC △≌BFD △（SAS ）． ∴EC FD =．24．（1）解：原式233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+233(3)(3)(3)2m m m m m m ++--=⋅-+ 22(3)(3)(3)2m m m m m-=⋅-+ 33m m -=+． ∵9=m ， ∴原式931932-==+． （2）解：∵113x y-=，∴3x y xy -=-，21426144232x xy y xy xyx xy y xy xy----==----．25．解：设自行车的速度为x 千米/小时，则自驾车的速度为2x 千米/小时． 依题意得：2020529x x -=， 解得18x =．经检验，18x =是原方程的解，且符合实际意义． 236x =．答：自行车的速度为18千米/小时，则自驾车的速度为36千米/小时．26．解：如图所示，点M 即为所求．27．解：CD 与AB 相等，证明如下： 作AE AB =交BC 延长线于点E ， ∴B E ∠=∠． ∵B D ∠=∠， ∴D E ∠=∠．∵180ACB CAD ∠+∠=︒，180ACB ECA ∠+∠=︒， ∴DAC ECA ∠=∠． 在DAC △和ECA △中，D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DAC △≌ECA △（AAS ）， ∴CD AE =，∴CD AB =．28．（1）证明：①过点D 作DG AC ∥交AB 于点G ． ∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60B ACB ∠=∠=︒， ∴60BDG ACB ∠=∠=︒， ∴60BGD ∠=，∴BDG △是等边三角形， ∴BG BD =， ∴AG DC =．∵CE 是ACB ∠外角的平分线， ∴120DCE AGD ∠=︒=∠． ∵60ADE ∠=︒，∴120ADB EDC ADB DAG ∠+∠=︒=∠+∠， ∴EDC DAG ∠=∠， ∴AGD △≌DCE △． ∴AD DE =．②∵AGD △≌DCE △， ∴GD CE =， ∴BD CE =，∴2BC BD DC DC CF =+=+．（2）①成立；②不成立，此时2BC CF CD =-． 过D 作DG AC ∥交BA 延长线于G ． 同（1）可证明AGD △≌DCE △， ∴AD DE =，GD CE =． ∴BD CE =，在CEF △中，60∠=︒ECF ，90∠=︒CFE ， ∴2=CE CF ．∴2=-=-BC BD CD CF CD ．附加题（满分20分）： 1．【答案】1309【解析】∵2310a a --=，∴231a a =+，∴422(31)9613310a a a a a =+=++=+， ∴822(3310)108966010039271189a a a a a =+=++=+，∴8622120392711891201309(31)12013093131a a a a a a a a -+++++====++．2．【答案】2【解析】延长AD 交BC 于点H ． ∵45ABC BCD DAB ∠=∠=∠=︒， ∴90AHB ∠=︒，∴AHB △与CHD △均为等腰直角三角形． 设CH m =，BH n =，则AH n =，DH m =． 在Rt BHD △中，222BH HD BD +=，∴22224m n +==，则2211=222ABH CDH ABCD S S S m n +=+=四边形△△．故答案为2．3．解：∵22m n =+，22n m =+，∴2222m n n m -=+--， ∴()()m n m n n m +-=-， ∵m n ≠， ∴1m n +=-． ∴332m mn n -+222m m mn n n =⋅-+⋅222mn m mn mn n =+-++ 2()m n =+2=-．4．证明：过点A 作AE BC ∥交BD 延长线于E ，连接CE ． 设AC 、BE 相交于点O ，则1ACB ∠=∠，23∠=∠．∵2ABC ACB ∠=∠， ∴3ACB ∠=∠， ∴OB OC =，12∠=∠， ∴OA OE =． 又∵AOB EOC ∠=∠， ∴AOB △≌EOC △．∴BAC CED ∠=∠，543∠=∠=∠，AB CE =． ∵CD AB =， ∴CD CE =，∴36CED CDE ∠=∠=∠+∠， 又∵57DCE ∠=∠+∠，67∠=∠， ∴60CED CDE DCE ∠=∠=∠=︒， ∴60BAC CED ∠=∠=︒．HDCBA北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【答案】D【解析】观察可知，D 中的图形为轴对称图形．故选D ．2．【答案】C【解析】2242(2)x x x x -=-；2211()42x x x ++=+；21(1)(1)m m m -=+-．故选C ．3．【答案】A【解析】点(3,5)P -关于y 轴的对称点的坐标是(3,5)．故选A ．4．【答案】C【解析】由角平分线性质定理可知，点D 到AB 的距离是等于3cm CD =．故选C ．5．【答案】D 【解析】3355xxy y --=；a ba bc c +---=；a ba bc c --+=-．故选D ．6．【答案】D【解析】有一边对应相等的两个等边三角形全等为真命题．故选D ．7．【答案】D【解析】由题意知，ABD △≌ACD '△，∴AD AD '=，D AC DAB '∠=∠，∴90D AD D AC CAD DAB CAD ''∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45ADD '∠=︒．故选D ．8．【答案】B【解析】若AB 为底边，则10BC CA ==，不能构成三角形，∴AB 为腰，∴20AC =，10BC =，故ABC △的周长为50．故选B ．9．【答案】C【解析】倍长中线，得到一个边长分别为5，7，2x 的三角形，则75275x -<<+，即16x <<．故答案为C ．10．【答案】D【解析】易证ACD △≌BCF △，则AD BF =，CF CD =．∵AD 平分BAC ∠，AD BF ⊥，∴AB AF =，BE EF =，∴AC CD AC CF AF AB +=+==，2BF BE =．∵BE EF CD CF =>=，即BE CF >．故（1）（2）（3）（5）正确，即正确的结论个数为4．故选D ．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【答案】4x ≠【解析】由题意，得40x -≠，∴4x ≠．故答案为4x ≠．12．【答案】23m -+ 【解析】2122122(3)1226293(3)(3)(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m m m m m +--+=-==---+-+-+-+．故答案为23m -+．13．【答案】60【解析】∵AB AC =，20A ∠=︒，∴80ABC C ∠=∠=︒．∵线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，∴AE BE =，∴20ABE A ∠=∠=︒，∴802060CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为60．14．【答案】1-【解析】22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，∴4k =-，3b =，∴1k b +=-．故答案为1-．15．【答案】34【解析】∵7a b +=，5ab =，∴222()239a b a b ab +=+-=，∴2234a ab b -+=．故答案为34．16．【答案】3-，1【解析】22610(3)1x x x ++=++，当3x =-时，有最小值1．故答案为3-，1．17．【答案】480480420x x -=+ 【解析】由题意可知，所列方程为480480420x x -=+．故答案为480480420x x -=+．18．【答案】21cm 3【解析】∵2BD CD =，∴2ABD ACD S S =△△，∴13ACD ABC S S =△△． ∵BD BA =，BP 平分ABD ∠，∴AP PD =，∴12PDC APC ADC S S S ==△△△， ∴1163PDC ABC S S ==△△．故答案为21cm 3．19．【答案】25︒【解析】由折叠性质，易得122A ∠+∠=∠，∴225∠=︒．故答案为25︒．20．【答案】2k =或01k <≤【解析】作30MBN ∠=︒，在射线BN 上任取一点C ，使BC k =．①如图1，当01k <<时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，此时只与圆有唯一的交点，∴ABC △是唯一的．②如图2，当1k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，B ， ∴ABC △是唯一的．③如图3，当2k =时，以C 为圆心，1为半径画圆，⊙C 与射线BM 的交点为A ，是唯一的， ∴ABC △是唯一的．故当2k =或01k <≤时，ABC △是唯一的． 故答案为2k =或01k <≤．图1NMC B A图2N M C B A 图3N M C B A。
2019-2020学年北京四中八年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）（A卷共100分）1．（3分）剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）某种流感病毒的直径在0.00 000 012米左右，将0.00 000 012用科学记数法表示应为（）A．0.12×10﹣6B．12×10﹣8C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣73．（3分）点（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）4．（3分）下列约分正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）B．a（x+y+1）＝ax+ay+aC．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2D．a2c﹣a2b+1＝a2（c﹣b）+16．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x＝38．（3分）计算（﹣）3的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．9．（3分）小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K，使K和B在AC的两侧；所以，BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40°B．80°C．90°D．140°二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）当x＝时，分式值为0．12．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝．13．（3分）计算：＝．14．（3分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为．15．（3分）如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝5，则△BCE 的面积为．16．（3分）化简分式的结果是．17．（3分）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是．18．（3分）阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′＝∠AOB．小米的作法如下：如图：（1）作射线O′A′；（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；（5）过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．”请回答：小米的作图依据是．三、解答题（共46分，19题10分，20题-25题每题各6分）19．（10分）分解因式：（1）（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）2ax2﹣12ax+18a．20．（6分）已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E，求证：AB＝DE．21．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝2．22．（6分）解方程：．23．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C．24．（6分）列方程解应用题：老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国第一条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题，京张高铁是2022年北京至张家口冬奥会的重点配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车，京张高铁的预设平均速度是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．25．（6分）在探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：（1）例如，当∠B是锐角时，如图1，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，用尺规画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“SSA”是成立的．（2）例如，已知：如图2，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．B卷（共20分）26．（6分）学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．我们发现利用SSS证明两个三角形全等，从而证明∠AOC＝∠BOC．学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法．方法如下：如图1，将两个全等的三角形纸片△DEF和△MNL的一组对应边分别与∠AOB的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB的另一条边上，则△DEF和△MNL的另一组对应边的交点P在∠AOB的平分线上．（1）小慧的做法正确吗？说明理由．小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线．（提示：刻度尺可以度量出相等的线段）（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中∠QRS的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法）27．（7分）学习期间，我们了解了任意有理数均可化为有限连分数，例如：把3.21化成连分数．解：整数分离：3.21＝3+0.21小数化分数：3.21＝3+真分数部分化为分子是一的繁分数：3.21＝3+此时，是假分数，重复以上步骤，分离其整数部分，将写成4+，如此继续下去：3.21＝3+＝3+＝3+＝3+＝3+其实，每个实数都可以写成连分数的形式：a0+．其中a0，a1，a2，a3都是整数．例如，将无理数x＝化成无限连分数的方法如下：因为当x＝时，x2＝3x+1，所以两边同时除以x，得x＝3+，所以x＝3+＝3+＝3+＝3+请你仿照上例完成下列填空，将无理数化为无限连分数．设y＝+1……①，计算（+1）（﹣1）＝，＝＝＝，则y＝+…②由①②可得，＝a0+＝a0+，a0＝，a1＝，a2＝，a3＝．28．（7分）已知：如图，直角△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°．过点B做射线BD⊥AB 于B，点P为BC边上任一点，在射线BD上取一点Q，使得PQ＝AP．（1）请依题意补全图形；（2）试判断AP和PQ的位置关系并加以证明．2019-2020学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（每题3分，共30分）（A卷共100分）1．解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．2．解：0.00 000 012＝1.2×10﹣7．故选：D．3．解：点（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3），故选：B．4．解：A、，错误；B、，错误；C、，正确；D、，错误；故选：C．5．解：因式分解的定义是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，即等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积，A、4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），符合因式分解的定义，故本选项正确；B、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；D、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项错误；故选：A．6．解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，因为图中的两个三角形全等，所以∠1的度数为50°．故选：B．7．解：由分式有意义，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：A．8．解：原式＝﹣＝﹣．故选：C．9．解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：取一点K，使K和B在AC的两侧；以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；作射线BF，交边AC于点H；所以，BH就是所求作的高．故正确的作图步骤是④③①②．故选：D．10．解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．二、填空题（每题3分，共24分）11．解：依题意得：x＝0且x﹣1≠0，解得x＝0．故答案是：0．12．解：x2y﹣4y，＝y（x2﹣4），＝y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．13．解：原式＝6x．故答案为：6x．14．解：∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC．△EBC的周长＝BC+BE+EC，＝BC+BE+AE，＝BC+AB，＝8+10，＝18（cm）．故答案为：18cm．15．解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5．故答案为：5．16．解：原式＝＝故答案为：．17．解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．18．解：根据作图过程可知：在△OCD和△OC′D′中所以△OCD≌△OC′D′（SSS）所以∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．故答案为：全等三角形对应角相等．三、解答题（共46分，19题10分，20题-25题每题各6分）19．解：（1）（a﹣b）2+3（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+3）；（2）2ax2﹣12ax+18a＝2a（x2﹣6x+9）＝2a（x﹣3）2．20．证明：∵AC∥BE，∴∠C＝∠DBE．在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（ASA），∴AB＝DE．21．解：÷（1﹣）＝＝＝，当a＝2时，原式＝﹣＝2．22．解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）＝3（x﹣1），去括号得：x2+x﹣x2+1＝3x﹣3，解得：x＝2，检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0，则原分式方程的解为x＝2．23．解：如图所示，四边形ABCD即为所求．24．解：设京张高铁的平均速度为xkm/h，则京张高铁的预设平均速度是5xkm/h，依题意得：＝+5，解得x＝35．经检验，x＝35是所列方程的根，并符合题意．答：京张高铁的平均速度为35 km/h．25．解：（1）如图1，点D即为所求作的点．因为BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，DF＝AC，所以Rt△ABC和Rt△DEF的关系是：全等，故选A；（2）如图2，作CG⊥AB于点G，FH⊥DE于点H，∴∠CGB＝∠FHE＝90°，在△CGB和△FHE中，∴△CGB≌△FHE（AAS）．∴CG＝FH．在Rt△AGC和Rt△DHF中，∴Rt△AGC≌Rt△DHF（HL）∠A＝∠D．∴∠ACB＝∠DFE在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．B卷（共20分）26．解：（1）如图1所示，∵△DEF≌△MNL，∴∠OLM＝∠OFD，LM＝FD，又∵∠LOM＝∠FOD，∴△LOM≌△FOD（ASA），∴LO＝FO，DO＝MO，∴LD＝FM，又∵∠LPD＝∠FPM，∴△LPD≌△FPM（AAS），∴LP＝FP，又∵OP＝OP，∴△LOP≌△FOP（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB；（2）如图2所示，在RQ，RS上分别截取RA＝RB，RC＝RD，连接AD，BC，交于点P，作射线RP，则RP即为所求，又∵∠CRB＝∠DRA，∴△BCR≌△ADR（SAS），∴∠BCR＝∠ADR，∵RA＝RB，RC＝RD，∴AC＝BD，又∵∠APC＝∠BPD，∴△ACP≌△BDP（AAS），∴CP＝DP，又∵RP＝RP，∴△PCR≌△PDR（SSS），∴∠PRC＝∠PRD，∴RP平分∠QRS．27．解：设y＝+1……①，计算（+1）（﹣1）＝﹣1＝2﹣1＝1，＝＝＝﹣1，则y＝2+…②，由①②可得，＝1+﹣1＝1+＝1+＝1+＝1+＝1+，∴a0＝1，a1＝2，a2＝2，a3＝2．故答案为：1，﹣1，2，1，2，2，2．28．解：（1）点P、Q即为所求作的点；（2）AP和PQ的位置关系是垂直．过点Q作QM⊥CB，交CB延长线于点M，则∠C＝∠QMP＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，又∵∠ABD＝90°，∴∠QBM＝45°，∴BM＝QM，设CP＝a，PB＝b，BM＝QM＝m，则AC＝BC＝a+b，∵AP＝PQ，∴（a+b）2+a2＝（b+m）2+m2，整理，得：a2﹣m2＝mb﹣ab因式分解可得（a﹣m）（a+b+m）＝0，∵a+b+m≠0，∴a﹣m＝0，即a＝m，∴CP＝QM，∴Rt△ACP≌Rt△PMQ（HL），∴∠QPM＝∠P AC，∵∠P AC+∠APC＝90°，∴∠APC+∠QPM＝90°，∴∠APQ＝90°，即AP⊥PQ．。
北京四中初二数学期中试卷
北京四中初二数学期中试卷(考试时间为100分钟，试卷分为A卷、B卷满分为120分) 试卷部分A卷一、选择题：(每小题3分，共24分)1．下列命题中，不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合C．线段有2条对称轴D．角是轴对称图形2．下列因式分解中，结果正确的是()A．B．C．D．3．要使代数式有意义，则的取值范围是( )A．B．C．D．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A．B．C．D．5．将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是()6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，已知△ABC的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是( )A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8．如图，已知，，，则为()A．67°B．46°C．23°D．无法确定二、填空题：(每小题2分，共20分)9．已知点和点关于轴对称，那么____________。
10．若，则____________；若，则____________。
11．若，则的值是____________。
12．等腰三角形的一边是3，另一边是8，则它的周长是____________。
13．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如下图所示，这时实际时间应是____________。
14．如图所示，三角形纸片ABC，，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为____________。
15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且，则的大小等于______。
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为____________。
2019-2020北京四中初二上册期中考试试卷数学(含解析).docx
北京四中初二上期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．把多项式24a a -分解因式，结果正确的是（ ）． A ．(4)a a - B ．(2)(2)a a +- C ．(2)(2)a a a +- D ．2(2)4a --3．分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x = C ．1x ≠-D ．1x =-4．点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(2,3)-5．在ABC △和A B C '''△中，已知A A '∠=∠，AB A B ''=，添加下列条件中的一个，不能．．使ABC △≌A B C '''△一定成立的是（ ）． A ．AC A C ''=B ．BC B C ''=C ．B B '∠=∠D ．C C '∠=∠6．下列各式中，正确的是（ ）． A ．1a b bab b++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=--D ．222()x y x y x y x y --=++7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）． A ．12B ．15C ．12或15D ．188．如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是AC 边上的高，则DBC ∠的度数是（ ）． A ．18︒B ．24︒C ．30︒D ．36︒9．如图，330∠=︒，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1∠的度数为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒10．如图，130BAC ∠=︒，若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠等于（ ）． A ．50︒B ．75︒C ．80︒D ．105︒二、填空题11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．分解因式：2363x x -+=__________．13．计算：101()(21)|3|2---+-=__________．14． 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ．若1c m DE =，则BC =__________cm ．15．如图，已知ABC △是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG CD =，DF DE =，则E ∠=__________度．16．如图，ABC △中，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，OM AB ∥，ON AC ∥，10cm BC =，则O M N△的周长=__________cm ．17．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y--=--__________．18． 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，4AB =，2AC =，且ABD △的面积为3，则ACD △的面积为__________．19．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC PD +最小时，PCD ∠=__________．20．如图所示，长方形ABCD 中，4AB =，43BC =，点E 是折线段A D C --上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使PCB △为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有__________个．三、解答题分解因式21．22(2)9(2)x m y m -+-．22．222(1)4x x +-．计算23．3423()39b b ab a a b÷⋅-． 24．21211xx x++-．25．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-．26．解方程：238111x x x +-=--．27．已知：如图，AD AE =，AB AC =，DAE BAC ∠=∠．求证：BD CE =．28．列分式方程解应用题甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？29．小明在做课本中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画P C a∥，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由．（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D．②连结AD并延长交直线a于点B，请直接写出图3中所有与PAB∠相等的角．（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．30．（本题8分）（1）如图（1），已知：在ABC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥∠=︒，AB AC△中，90BAC直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE BD CE=+．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E三点都在直线l上，且△中，AB AC∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？如成立．请BDA AEC BACα你给出证明．若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DF EF =．附加题1．已知:2a b -=，2240a a +-=，则121a b+=+__________．2．已知：x y zb c a c a b a b c==+-+-+-，则()()()b c x c a y a b z -+-+-的值为__________．3．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，点A 、点B 分别是x 轴、y 轴两个动点，直角边AC 交x 轴于点D ，斜边BC 交y 轴于点E ．（1）如图（1），若(0,1)A ，(2,0)B ，求C 点的坐标．（2）如图（2），当等腰Rt ABC △运动到使点D 恰为AC 中点时，连接DE ，求证：ADB CDE ∠=∠． （3）如图（3），在等腰Rt ABC △不断运动的过程中，若满足BD 始终是ABC ∠的平分线，试探究：线段OA 、OD 、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．北京四中初二上期中数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 AAABBDBACC二、填空题11．53.510-⨯ 12．23(1)x - 13．4 14．3 15．15 16．10 17．4 18．1.5 19．45 20．4三、解答题21．解：22(2)9(2)x m y m -+-22(2)(9)m x y =-- (2)(3)(3)m x y x y =--+．22．解：222(1)4x x +-22(12)(12)x x x x =+-++ 22(1)(1)x x =-+．23．解：3423()39b b ab a a b ÷⋅-33493272b a aba b b =-⋅⋅22336b a a b =-⋅ 12ab =-．24．解：21211x x x ++-12(1)(1)x x x x -+=-+ 11x=-．25．解：原式211()1121a aa a a a +=-÷++++ 211121a aa a a +-=÷+++ ()211a a a a+=⋅+ 1a =+．当31a =-时，原式3113=-+=．26．解：2(3)(1)81x x x ++-=-，224381x x x ++-=-，44x =， 1x =，经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解．27．证明：∵DAE BAC ∠=∠，BAE BAE ∠=∠， ∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即DAB EAC ∠=∠， 在AEC △和ADB △中， AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEC △≌ADB △（SAS ），∴BD CE =．28．解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打(5)x +个字， 由题意得，10009005x x=+， 得：45x =，检验：45x =是原方程的解，且符合题意． 答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．29．解：（1）两直线平行，同位角相等． （2）1PAB PDA BDC ∠=∠=∠=∠， （3）作线段AB 的垂直平分线EF ， 则EF 是所求作的图形．30．解：（1）∵BD l ⊥，CE l ⊥， ∴90BDA AEC ∠=∠=︒， 又∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ABD △和CAE △中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ABD △≌CAE △（AAS ）， ∴BD AE =，AD CE =， ∵DE AD AE =+， ∴DE CE BD =+． （2）成立，∵BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒-， ∴CAE ABD ∠=∠， 在ADB △和CEA △中， ABD CAE ADB CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ADB △≌CEA △（AAS ）， ∴AE BD =，AD CE =， ∴BD CE AE AD DE +=+=． （3）由（2）知，ADB △≌CEA △， ∴AE BD =，DBA CAE ∠=∠， ∵ABF △和ACF △均为等边三角形， ∴60ABF CAF ∠=∠=︒，∴DBA ABF CAE CAF ∠+∠=∠+∠， ∴DBF FAE ∠=∠， ∵BF AF =，在DBF △和EAF △中， FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DBF △和EAF △（SAS ）， ∴DF EF =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DEF △为等边三角形． ∴DF EF =．附加题：1．解：由题可知2b a =-，222a a =-， ∴121a b++ 22(1)(1)(2)a a a a -++=+- 232aa a =--3222aaa =-+-2=-．2．解：令x y zk b c a c a b a b c===+-+-+-，则()x k b c a =+-，()y k c a b =+-，()z k a b c =+-， 代入()()()b c x c a y a b z -+-+-()()()()()()b c b c a c a c a b a b a b c =-+-+-+-+-+-， 222222b c ab ac c a bc ab a b ac bc =--++--++--+， 0=．3．（1）如图，过点C 作CF y ⊥轴于点F ， 则ACF △≌ABO △（AAS ）， ∴1CF OA ==，2AF OB ==， ∴1OF =， ∴(1,1)C --．（2）如图，过点C 作CG AC ⊥交y 轴于点G ， 则ACG △≌ABD △（ASA ）， ∴CG AD CD ==，ADB G ∠=∠， ∵45DCE GCE ∠=∠=︒， ∴DCE △≌GCE △（SAS ）， ∴CDE G ∠=∠， ∴ADB CDE ∠=∠．（3）如图，在OB 上截取OH OD =，连接AH ， 由对称性得AD AH =，ADH AHD ∠=∠， ∴AHD ADH BAO BEO ∠=∠=∠=∠， ∴AEC BHA ∠=∠，又∵AB AC =，CAE ABH ∠=∠， ∴ACE △≌BAH △（AAS ）， ∴2AE BH OA ==， ∵2DH OD =， ∴2()BD OA OD =+．北京四中初二上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴．A 选项经过折叠后不能重合．故选：A ．2．【答案】A【解析】24(4)a a a a -=-．故选：A ．3．【答案】A 【解析】分式21x -有意义，则分母10x -≠，解得1x ≠． 故选：A ．4．【答案】B【解析】点(2,3)A 关于y 轴成轴对称的点的坐标其2x =，3y =-，即(2,3)-．故选：B ．5．【答案】B【解析】A 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△， B 、A A '∠=∠，AB A B ''=，BC B C ''=无法判定ABC △≌A B C '''△，C 、A A '∠=∠，AB A B ''=，AC A C ''=可利用SAS 条件判定ABC △≌A B C '''△，D 、A A '∠=∠，AB A B ''=，C C '∠=∠可利用ASA 条件判定ABC △≌A B C '''△．故选：B ．6．【答案】D【解析】A 、1a b b ab b++≠，本选项错误， B 、22x y x y -+-=-，本选项错误， C 、23193x x x -=-+，本选项错误， D 、222()x y x y x y x y --=++，本选项正确． 故选：D ．7．【答案】B【解析】若腰为3，底边为6，则336+=不能构成三角形．故腰为6，底边为3，则周长为66315++=．故选：B ．8．【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴1(180)722B C A ∠=∠=︒-∠=︒， ∵BD AC ⊥，∴9018DBC C ∠=︒-∠=︒．故选：A ．9．【答案】C【解析】1290360∠=∠=︒-∠=︒．故选：C ．10．【答案】C【解析】∵130A ∠=︒，∴50B C ∠+∠=︒，∵MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ，∴BP AP =，AQ CQ =，∴PAB B ∠=∠，QAC C ∠=∠，∴50PAB QAC B C ∠+∠=∠+∠=︒，∴()80PAQ BAC PAB QAC ∠=∠-∠+∠=︒．故选：C ．二、填空题11．【答案】53.510-⨯【解析】把一个绝对值小于1（或者大于等于10）的实数记为10n a ⨯的形式（其中110a <≤），这种记数法叫做科学记数法．把0.000035用科学记数法表示为53.510-⨯． 故答案为：53.510-⨯．12．【答案】23(1)x -【解析】2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-．故答案为：23(1)x -．13．【答案】4 【解析】101()(21)|3|21342---+-=-+=． 故答案为：4．14．【答案】3【解析】∵AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，AC DC ⊥，∴1CD DE ==，又∵在Rt BDE △中，30B ∠=︒，∴22BD DE ==，∴3cm BC CD BD =+=．故答案为：3．15．【答案】15【解析】∵ABC △是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，又∵CG CD =，∴30CDG ∠=︒，150FDE ∠=︒，又∵DF DE =，∴15E ∠=︒．故答案为：15︒．16．【答案】10【解析】∵BO 平分ABC ∠，∴ABO MBO ∠=∠，又∵OM AB ∥，∴ABO BOM ∠=∠，∴MBO MOB ∠=∠，∴OM OB =，同理可得ON NC =，∴OMN △的周长为10cm OM ON MN BM MN NC BC ++=++==．故答案为：10．17．【答案】4 【解析】将等式113x y -=两边同时乘以xy ，得3y x xy -=， ∴21422x xy yx xy y ----2()142x y xyx y xy --=--61432xy xyxy xy --=--4=．故答案为：4．18．【答案】1.5【解析】过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE DF =， ∵132ABD S AB DE =⋅=△， ∴32DE =， ∴32DF =，∴1 1.52ADC S AC DF =⋅=△． 故答案为：1.5．19．【答案】45【解析】连结PB ，∵MN 垂直平分BC ， ∴PB PC =，∴PD PC PD PB +=+， ∵两点之间直线最短， ∴PB PD BD +≤， ∴PC PD BD +≤，即PC PD +的最短距离为BD ， 此时PC 平分BCD ∠， ∴45PCD ∠=︒． 故答案为：45︒．20．【答案】4【解析】①BP 为等腰三角形一腰长时， 符合点E 的位置有2个， 是BC 的垂直平分线与以B 为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P ． ②BP 为底边时，C 为顶点时， 符合点E 的位置有2个， 是以B 为圆心BA 为半径的圆与以C 为圆心BC 为半径的圆的交点即是点P ． ③以PC 为底边，B 为顶点时，这样的等腰三角形不存在， 因为以B 为圆心BA 为半径的圆与以B 为圆心BC 为半径的圆没有交点．故答案为：4．。
北京四中八年级上学期期中数学试卷【解析版】
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )[来源:Z+xx+]A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，523．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=54．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2[来源:Z*xx*]7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm28．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是__________．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=__________．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第__________段内．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=__________．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为__________．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为__________．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？[来源:学科网]八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（1998•丽水）把化为最简二次根式是( )A．B． C．D．【考点】最简二次根式．【分析】题目给出的二次根式中，被开方数含有分母，因此需将根号的分母化去．【解答】解：==；故本题选B．【点评】本题化简二次根式的过程：分子、分母同乘以分母的有理化因式，使被开方数不含分母．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A．12，15，20 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．32，42，52【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、152+122≠202，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、0.32+0.42=0.52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、（32）2+（42）2=（52）2，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．如果点P（﹣m，3）与点P1（﹣5，n）关于y轴对称，则m，n的值分别为( ) A．m=﹣5，n=3 B．m=5，n=3 C．m=﹣5，n=﹣3 D．m=﹣3，n=5【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据已知条件，P点和P1点关于y轴对称，可知n=3，﹣m=5，即可得到m和n．【解答】解：点P和点P1关于y轴对称，根据题意，有n=3，﹣m=5；即m=﹣5，n=3；故选A．【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号．4．下列等式一定成立的是( )A．+=B．=•C．=x2+1 D．=x【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的化简结合选项进行运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、+≠，原式错误，故本选项错误；B、=•，原式错误，故本选项错误；C、=x2+1，计算正确，故本选项正确；D、=﹣x，原式错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的化简、二次根式的乘法等知识，属于基础题．5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为( )A．12m B．13m C．16m D．17m【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．已知+=0，则x的取值范围为( )A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【考点】立方根；算术平方根．【专题】计算题．【分析】已知等式变形，利用绝对值的代数意义化简即可确定出x的范围．【解答】解：已知等式变形得：x﹣2+|x﹣2|=0，即|x﹣2|=2﹣x，∴x﹣2≤0，即x≤2．故选A【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=12cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a2+b2的值，再利用完全平方公式得出ab的值，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2=100，∵a+b=12cm，c=10cm，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=144，∴100+2ab=144，则：ab=11，故Rt△ABC的面积是：11cm2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，得出a2+b2的值是解题关键．8．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，已知直线y=x与x轴的夹角为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．（0，0）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段A B最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=1，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=，∴D（﹣，﹣）．故选C．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．[来源:学科网]二、填空题（每小题3分，共21分）9．已知P点在第三象限，且到x轴距离是2，到y轴距离是3，则P点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】点的坐标．【专题】应用题．【分析】本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于0，再根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点P到坐标轴的距离判断点P的具体坐标．【解答】解：∵第三象限内的点横坐标＜0，纵坐标＜0，点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，∴点P的纵坐标为﹣2，横坐标为﹣3，因而点P的坐标是（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．10．已知一次函数y=ax+1﹣a，若y随x的增大而减小，则|a﹣1|+=1﹣2a．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到a＜0，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简得到原式=﹣a﹣1﹣a，再合并即可．【解答】解：根据题意得a＜0，所以原式=﹣a﹣1﹣a=﹣2a﹣1．故答案为﹣2a﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b，当k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．11．如图，在数轴上标注了三段范围，则表示的点落在第③段内．【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】分别利用已知数据的平方得出最接近的数据即可得出答案．【解答】解：∵2.42=5.76，2.62=6.76，2.82=7.84，∴的点落在第③段内．故答案为：③．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确利用已知数的平得出是解题关键．12．已知Rt△ABC的两边长分别为AB=4，BC=5，则AC=3或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分情况进行讨论，两边长分别为5和4，5可能是直角边也可能为斜边，再根据勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，两边长分别为5和4，∴5可能是直角边也可能为斜边，当5为直角边时，斜边长为：=，当5为斜边时，另一直角边为：=3，综上所述：AC的长为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．13．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为．【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】数形结合．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC===，则AM=，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．14．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l3之间的距离为，l2与l3之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l2交于点D，则BD的长为．[来源:Z_xx_]【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为，∴CF=BE=1，CE=AF=，在Rt△ACF中，∵AF=，CF=1，∴AC==2，[来源:]∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴=，，解得CD=，在Rt△BCD中，BD==．故答案为：．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点A是x轴上的一个动点，当△PAO 是等腰三角形时，点A的坐标为（4，0），（，0）（﹣，0）．【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：OP=PA，OP=OA，根据勾股定理，可得OP的长，根据等腰三角形的定义，可得答案．【解答】解：OP=PA时，A（4，0）；OP=PA时，A（，0），（﹣，0）．故答案为：A（4，0），（，0），（﹣，0）．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．三、解答题（本大题共6小题，满分55分）16．混合运算：（1）（1﹣）﹣1+（π﹣3.14）0﹣；（2）（﹣1）2++（﹣）﹣1．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）先算负整数指数幂，0次幂，化简二次根式，再进一步合并即可；（2）先算负整数指数幂，乘方，化简二次根式，再进一步合并即可．【解答】解：（1）原式=﹣+1﹣（2﹣）=﹣+；（2）原式=4﹣2﹣（+1）﹣=3﹣4．[来源:学.科.网Z.X.X.K]【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与化简的方法是解决问题的关键．17．现有一块三角形菜地，量得两边长为25米、17米，第三边上的高为15米，求此三角形菜地的面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形进而利用勾股定理得出AC的长，即可得出此三角形菜地的面积．【解答】解：如图1所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=28m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×28=210（m2），如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，当AB=25m，BC=17m，BD=15m，则AD==20（m），故DC==8（m），则AC=12m，故此三角形菜地的面积为：×BD×AC=×15×12=90（m2），答：此三角形菜地的面积为210m2或90m2．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．18．有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？[来源:]【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】（1）做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；（2）A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，AQ+QG为最短路程．（2）∵在直角△AEG中，AE=40cm，AA′=120，∴A′E=80cm，又EG=60cm，∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G==100cm．∴最短路线长为100cm．【点评】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．20．如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积．【考点】一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；三角形的面积．【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=．【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．21．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．[来源:Z,xx,]（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）；②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答；（2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答；②根据题意列出不等式，即可解答．【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234，∴y=3x小+234；②依题意，得3x小+234≤260，解得：，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．。
2021-2022学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年北京四中八年级（上）期中数学试卷1.计算：(π−2)0=______．2.如图，已知∠1=∠2，请你添上一个条件：______ ，使△ABC≌△ADC．3.如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED//AC，ED=AE.求证：BD=CD．4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第()块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．A. ①B. ②C. ③D. ①②③5.如图，△ABC的顶点都是格点(平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)；(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′______，B′______，C′______．6.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2= a2+2ab+b2展开式中的系数． 1 1 1 (a+b)=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(1)根据表中规律，写出(a+b)5的展开式______；(2)写出(a+b)12展开式中含a10b2项的系数是______．7.计算：(1)(−4x2)(3x+1)；(2)(m+2n)(3n−m)；(3)(12m3−6m2+3m)÷3m；(4)(2x+y+z)(2x−y−z)．8.已知：如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．E是线段AD上一点(点E不与点A，点D重合)，满足∠ABE=2∠ACE．(1)如图2，若∠ACE=18°，且EA=EC，则∠DEC=______°，∠AEB=______°.(2)求证：AB+BE=AC．(3)如图3，若BD=BE，请直接写出∠ABE和∠BAC的数量关系．9.如图，等边△ABC的边长为3，点M为AC边上的一个动点，作MD⊥AB于点D，延长CB使得BF=AM，连接MF交AB于点E，则DE的长为()A. 34B. 1C. 32D. 210.化简求值：若a2−3a=1，求(2a−3)2−(a+2)(a−5)的值．11.已知：AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF.求证：AB//CD．12.如图1，将长为(x+1)，宽为(x−1)的长方形沿虚线剪去一个宽为1的小长方形(阴影部分)，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等式()A. (x−1)2=x2−2x+1B. x(x−1)=x2−xC. (x+1)2=x2+2x+1D. (x+1)(x−1)=x2−113.丽丽在做一道计算题目(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式(2−1)，很快得到计算结果．①(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=______；请参考丽丽的方法进行运算：②(5+1)(52+1)(54+1)…(52048+1)的值为______．14.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=4，BC=10，则△BCE的面积为______．15.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是()A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q16.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=4cm，AB=5cm，则△EBC的周长为______．17.下列运算正确的是()A. m+3m=3m2B. 3m3⋅2m2=6m6C. (3m)2=9m2D. m6÷m6=m18.设a，b是实数，定义∗的一种运算如下：a∗b=(a+b)2，则下列结论有：①a∗b=0，则a=0且b=0②a∗b=b∗a③a∗(b+c)=a∗b+a∗c④a∗b=(−a)∗(−b)正确的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 419.在平面直角坐标系xOy中，定义：①“直线y=m”表示过点(0,m)且平行于x轴的直线；②若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于直线l的二次对称点．③若图形T关于y轴对称的图形为T1，图形T1关于直线l对称的图形为T2，则称T2是图形T关于直线l的二次对称图形．例如：点Q(1,2)关于直线y=1的二次对称点是Q2(−1,0)．已知四点A(1,−1)，B(−1,−3)，C(−3,3)，D(1,1)．(1)若点E是点A关于直线l1：y=2的二次对称点，则点E的坐标为______；(2)点B是点A关于直线l2：y=a的二次对称点，则a的值为______；(3)已知线段CD关于直线y=b的二次对称图形C2D2与线段BD有交点，则b的取值范围为______．(4)已知△ABC关于直线y=t的二次对称图形为△A2B2C2.若△A2B2C2与△BCD无交点，则t的取值范围为______．20.我们类比学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“四边形全等的判定”进行探究．根据全等形的定义，如果四边形满足四条边分别相等，四个角分别相等，就能判定这两个四边形全等．【初步思考】一定要满足四条边分别相等，四个角也分别相等，才能保证两个四边形全等吗？能否在上述八个条件中选择部分条件，简捷地判定两个四边形全等呢？通过画图可以发现，满足上述八个条件中的四个条件的两个四边形不一定全等，举反例如图1或图2：【深入探究】满足上述八个条件中的五个，能保证两个四边形全等吗？小萍所在学习小组进行了研究，她们认为五个条件可分为以下四种类型：Ⅰ.一条边和四个角分别相等；Ⅱ.二条边和三个角分别相等；Ⅲ.三条边和二个角分别相等；Ⅳ.四条边和一个角分别相等．(1)小齐认为“Ⅰ.一条边和四个角分别相等”的两个四边形不一定全等，请你画图举反例说明，并写出分别相等的一条边和四个角．(2)小栗认为“Ⅳ.四条边和一个角分别相等”的两个四边形全等，请你结合下图3进行证明．已知：如图，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，CD=C1D1，DA=D1A1，∠B=∠B1.求证：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．(3)小熊认为还可以对“Ⅱ.二条边和三个角分别相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A1B1C1D1为例，分为以下几类：①AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是______(填序号)，概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是______．21.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是()A. B. C. D.22.计算：(−3a2b)3=______；a6÷a3=______．23.如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，则BC边中线AD的取值范围为______．24.课堂上，老师让同学们计算(3a−b)(3a+b)−a(4a−1)．(3a−b)(3a+b)−a(4a−1)=3a2−b2−4a2−a=−a2−b2−a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．25.如图，已知∠AOB.按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C．则射线OC是∠AOB的平分线．根据上面的作法，完成以下问题：(1)使用直尺和圆规，作出射线OC(请保留作图痕迹)；(2)完成下面证明过程．(注：括号里填写推理的依据)．连接MC，NC．在△OCM和△OCN中，∵{OM=ON OC=OC MC=NC，∴△OCM≌△OCN(______)，∴∠AOC=______(______)，即OC平分∠AOB．26.如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°27.计算：(1)已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值；(2)已知(x+y)2=16，(x−y)2=4，求xy的值．28.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是______．答案和解析1.【答案】1【解析】解：(π−2)0=1，故答案为：1．根据非零的零次幂等于，可得答案．本题考查了零指数幂，非零的零次幂等于1．2.【答案】∠B=∠D或∠ACB=∠ACD或AB=AD(答案不唯一)【解析】解：添加∠B=∠D、∠ACB=∠ACD、AB=AD后可分别根据AAS、ASA、SAS判定△ABC≌△ADC．故答案为：∠B=∠D或∠ACB=∠ACD或AB=AD(答案不唯一)．在△ABC与△ADC中，已知∠1=∠2，AC是公共边，具备了一组角、一组边对应相等，所以添加∠B=∠D、∠ACB=∠ACD、AB=AD均可．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．3.【答案】证明：∵ED//AC，∴∠EDA=∠DAC，∵ED=AE，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAD=∠DAC，在△ADB和△ADC中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴BD=CD．【解析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD=∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD=CD．本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．4.【答案】C【解析】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．5.【答案】(2,2)(3,0)(−2,−2)【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；(2)A′(2,2)，B′(3,0)，C′(−2,−2)．故答案为：(2,2)，(3,0)，(−2,−2)．(1)(2)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′，B′，C′三点的坐标，然后描点即可．本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．6.【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b566【解析】解：(1) 1 1 1 (a+b)=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b415101051(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；(2)∵(a+b)6展开式的系数为：1，6，15，20，15，6，1；(a+b)7展开式的系数为：1，7，21，35，35，21，7，1；(a+b)8展开式的系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；(a+b)9展开式的系数为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；(a+b)10展开式的系数为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1；(a+b)11展开式的系数为：1，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，1；(a+b)12展开式的系数为：1，12，66，220，495，792，924，792，495，220，66，12，1；∴含a10b2的项为66a10b2，故答案为：66．根据每行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多一个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和解答．本题考查了探索规律，掌握中间的数等于上一行两数的和是解题的关键．7.【答案】解：(1)(−4x2)(3x+1)=−12x3−4x2；(2)(m+2n)(3n−m)=3mn−m2+6n2−2mn=mn−m2+6n2；(3)(12m3−6m2+3m)÷3m=4m2−2m+1；(4)(2x+y+z)(2x−y−z)=[2x+(y+z)][2x−(y+z)]=(2x)2−(y+z)2=4x2−(y2−2yz+z2)=4x2−y2−2yz−z2．【解析】(1)根据单项式乘多项式的法则计算即可；(2)根据多项式乘多项式的法则计算即可；(3)根据多项式除以单项式的法则计算即可；(4)根据平方差公式与完全平方公式计算即可．本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．8.【答案】36126【解析】(1)解：∵EA=EC，∴∠CAE=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠CAE+∠ACE=36°，∵∠ABE=2∠ACE，∠ACE=18°，∴∠ABE=36°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=18°，∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE=180°−18°−36°=126°，故答案是：∠DEC=36°，∠AEB=126°；(2)证明：如图1，在AC上截取AF=AB，连接FE，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE，∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)，∴EF=EB，∠AFE=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠AFE=2∠ACE，∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∴2∠ACE=∠ACE+∠CEF，∴∠ACE=∠CEF，∴EF=FC，∴FC=BE，∴AC=AF+FC=AB+BE；(3)解：如图2，设∠CAE=∠BAE=α，∠ACE=β，∴∠ABE=2β，∴∠DEB=∠BAE+∠ABE=α+2β，∵BE=BD，∴∠ADB=∠DEB=α+2β，∵∠ADB=∠CAE+∠ACD，∴2β=α+(∠ACE+∠DCE)，∴2β=α+(β+∠ACD)，∴∠ACD=β，∴∠ACB=2∠ACE=∠ABE，∴CE是∠ACB的平分线，∵AD是∠CAB的平分线，∴E点△ABC的内心，∴∠ABC=∠ABE=2β，∴∠ABC=2∠ABE，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+2∠ABE+∠ABE=180°，∴3∠ABE+∠BAC=180°．(1)由EA=EC得∠CAE=∠ACE=18°，进而求得结果；(2)在AC上截取AF=AB，连接FE，可证得△BAE≌△AFE，从而∠AFE=∠ABE，根据∠ABE=2∠ACE可得△CEF是等腰三角形，进一步可得证；(3)先推出∠DEC=∠ACE，从而得出E是△ABC的内心，进而BE平分∠ABC，可根据三角形内角和推出∠ABE和∠BAC的数量关系．本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形内心等知识，解决问题的关键是“截长补短”以及内心的性质．9.【答案】C【解析】解：作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，如图：又∵MD⊥AB于点D，∴∠FNB=∠MDA=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBN=60°，在FNB和△MDA中，{∠FNB=∠MDA ∠A=∠FBNBF=AM，∴△FNB≌△MDA(AAS)，∴NF=DM，BN=AD且FN//DM，∴四边形FDMN是平行四边形，∴DE=12ND，∵D=NB+BD=AD+BD=AB，∴DE =12AB ，又∵AB =3，∴DE =32． 故选：C ．作FN ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点N ，连接MN ，DF ，由BF =AM ，再根据全等三角形的判定定理得出△FNB≌△MDA ，再由NF =DM ，BN =AD 且FN//DM ，可知四边形FDMN 是平行四边形，进而可得出NB +BD =AD +BD =AB ，DE =12AB ，由等边△ABC的边长为3可得出DE =32即可．本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．10.【答案】解：原式=4a 2−12a +9−(a 2−3a −10)=4a 2−12a +9−a 2+3a +10=3a 2−9a +19=3(a 2−3a)+19，∵a 2−3a =1，∴原式=3×1+19=22．【解析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠AEB =∠DFC =90°，在Rt △AEB 和Rt △DFC 中，{AE =DF AB =DC， ∴Rt △AEB≌Rt △DFC(HL)，∴∠B =∠C ，∴AB//CD ．【解析】由AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，得出∠AEB =∠DFC =90°，再由AE =DF ，AB =DC 得Rt △AEB≌Rt △DFC ，即可得∠B =∠C ，即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．12.【答案】D【解析】解：图1的面积为：(x+1)(x−1)，图2中拼成图形的面积为：x2−1，∴(x+1)(x−1)=x2−1．故选：D．用代数式分别表示出图1和图2中两个长方形的面积的和，由此得出等量关系即可．本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个长方形面积的和不变列出等式是解决问题的关键．13.【答案】232−1=54096−14【解析】解：①原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28−1)(28+1)(216+1)=(216−1)(216+1)=232−1，故答案为：232−1；(5−1)(5+1)(52+1)(54+1)…(52048+1)②原式=14(52−1)(52+1)(54+1)…(52048+1)=14=1(54−1)(54+1)…(52048+1)4(58−1)(58+1)…(52048+1)=14=⋯…=14(54096−1)=54096−14，故答案为：54096−14．①配上因式(2−1)，连续利用平方差公式进行计算即可；②配上因式14(5−1)，连续利用平方差公式进行计算即可．本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，配上适当的因式是正确计算的关键．14.【答案】20【解析】解：过E作EF⊥BC于F，∵BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，EF⊥BC，∴DE=EF，∵DE=4，∴EF=4，∵BC=10，∴△BCE的面积为12×BC×EF=12×10×4=20，故答案为：20．过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得出DE=EF=4，根据三角形的面积公式求出面积即可．本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DE=EF是解此题的关键．15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等．故选A16.【答案】9cm【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA=EC，∴△EBC的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=BA+BC，∵BC=4cm，AB=5cm，∴△EBC的周长=BA+BC=9(cm)，故答案为：9cm．根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17.【答案】C【解析】解：A.m+3m=4m，故此选项不合题意；B.3m3⋅2m2=6m5，故此选项不合题意；C.(3m)2=9m2，故此选项符合题意D.m6÷m6=1，故此选项不合题意；故选：C．直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、整式的除法运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算、合并同类项、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】B【解析】解：∵a∗b=0，a∗b=(a+b)2，∴(a+b)2=0，即：a+b=0，∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，a∗b=(a+b)2，b∗a=(b+a)2，因此②符合题意，a∗(b+c)=(a+b+c)2，a∗b+a∗c=(a+b)2+(a+c)2，故③不符合题意，∵a∗b=(a+b)2，(−a)∗(−b)=(−a−b)2，∵(a+b)2=(−a−b)2，∴a∗b=(−a)∗(−b)故④符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B．根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．19.【答案】(−1,5)−2−1<b<3t<−2或t>12【解析】解：(1)如图1，故答案是：E(−1,5)；(2)如图2，故答案是：a=−2；(3)如图3，设C1D1关于y=a对称，则C2(3,2b−3)，D2(−1,2b−1)，设直线C2D2的解析式是：y=kx+n，∴{3k+n=2b−3−k+n=2b−1，∴{k=−12n=2b−32，∴y=−12x+(2b−32)，当C2D2过D(1,1)时，−12+(2b−32)=1，∴b=32，当C2D2过B(−1,−3)时，1 2+(2b−32)=−3，∴b=−1，∴C2D2与线段BD有交点时，−1≤b≤32，故答案是：−1≤b≤32；(4)如图4，由题意得，A1(−1,−1)，B1(1,−3)，C1(3,3)，当t<0时，只需点A1关于y=t的对称点A2不在△BCD内即可，∵当A1对称的对称点是B时，t=−2，∴t<−2，当t>0时，只要点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方即可，当D2与D重合时，此时A2(−1,3)，此时=1，∴t>1，综上所述：t<−2或t>1．(1)作出点A关于y轴对称点A1，再作出A1关于y=2的对称点；(2)作出点A1，观察A1和B的位置可得；(3)先求出直线C2D2的解析式，求出其过点D和点B求出b，进而确定范围；(4)求出A1和B对称时t的值，求出点点A1C1上的点D的对称点D2在D点上方时，此时A2(−1,3)，进而求得t的范围．本题考查了一次函数及其图象性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是数形结合．20.【答案】①②③有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和矩形EFGH中，满足AB=EH，且四对角对应相等，正方形ABCD和矩形EFGH不全等；∴一条边和四个角分别相等；(2)证明：如图2，连接AC、A1C1，∵AB=A1B1，∠B=∠B1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)，∴AC=A1C1，∠BAC=∠B1A1C1，∠BCA=∠B1C1A1，又∵CD=C1D1，DA=D1A1，∴△ACD≌△A1C1D1(SSS)，∴∠D=∠D1，∠DAC=∠D1A1C1，∠DCA=∠D1C1A1，∴∠BAD=∠B1A1D1，∠BCD=∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；(3)如图3，AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1；②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．①连接BD，∵AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∴△ABD≌△A1B1D1(SAS)，∴∠ABD=∠A1B1D1，BD=B1D1，∵∠ABC=∠A1B1C1，∴∠DBC=∠D1B1C1，∵∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1D1C1(AAS)，∴BC=B1C1，CD=C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故①正确，②同理①可得，∴△ABD≌△A1B1D1(SAS)，再证得△BCD≌△B1D1C1，从而四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故②正确；③根据四边形的内角是360°，∵∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，∴∠A=∠A1，转化到①，故③正确；如图4，满足AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，但两个四边形不全等，故答案是：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．(1)举例正方形和矩形满足条件但是不全等；(2)连接AC、A1C1，先证△ABC≌△A1B1C1，再证△ACD≌△A1C1D1，进而得证；(3)①②③证法同(2)，④举反例同(1)．本题类比三角形全等的条件探究过程研究四边形全等的过程，解题的关键是转化为全等三角形的判定和性质．21.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．22.【答案】−27a6b3a3【解析】解：(−3a2b)3=(−3)3×(a2)3b3=−27a6b3；a6÷a3=a6−3=a3．故答案为：−27a6b3；a3．利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各式进行运算即可．本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．23.【答案】1<AD<4【解析】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，在△ACE中，AC−CE<AE<AC+CE，而AB=3，AC=5，∴5−3<AE<5+3，∴2<2AD<8，即1<AD<4．故答案为：1<AD<4．如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE=AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．24.【答案】解：不正确，原式=9a2−b2−4a2+a=5a2−b2+a，即正确答案为：5a2−b2+a．【解析】根据平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减进行计算即可．本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．25.【答案】SSS∠BOC全等三角形的对应角相等【解析】(1)解：如图，射线OC即为所求；(2)证明：连接MC，NC．在△OCM和△OCN中，{OM=ON OC=OC MC=NC，∴△OCM≌△OCN(SSS)，∴∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等)，即OC平分∠AOB．故答案为：SSS，∠BOC，全等三角形的对应角相等．(1)根据题意作图即可；(2)根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．26.【答案】B【解析】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=110°，∴∠ADE=∠AED=180°−110°=70°，∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=40°．故选：B．先根据全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC=110°，再利用邻补角的定义计算出∠ADE=∠AED=70°，然后根据三角形内角和计算∠DAE的度数．本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．27.【答案】解：(1)103m+2n=103m⋅102n=(10m)3⋅(10n)2=23×32=8×9=72；(2)∵(x+y)2=x2+2xy+y2=16①，(x−y)2=x2−2xy+y2=4②，∴①−②得，4xy=12，∴xy=3．【解析】(1)逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出答案；(2)利用完全平方公式进行计算．本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，完全平方公式，掌握(x+y)2=x2+2xy+y2，(x−y)2=x2−2xy+y2=4是解题的关键．28.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．。
北京四中2020-2021学年上学期初中八年级期中考试数学试卷
C．三条高线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
8．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x米，则根据题意可列方程为（）.
A． B．
C． D．
9．对于非零实数 ，规定 ，若 ，则 的值为
A．1B． C．6D．9
5．如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）.
A．∠D=60°B．∠DBC=40°C．AC=DBD．BE=10
6．下列算式中，你认为正确的是（）.
A． B．1÷ . =l
C． D．
7．到 的三顶点距离相等的点是 的是()
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
26．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D．
（1）请你利用尺规作图作出点D；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=3，则BE=________.
27．列方程或方程组解应用题：
B.没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C.把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；
D.没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选C.
3．D
【分析】
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】
∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是(2，−8)，
∴点B的坐标是(−2，-8)，
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．
北京四中 上学期初中八年级期中考试数学试卷
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．
（1）请你利用尺规作图作出点D；
（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=3，则BE=________．
25.列方程或方程组解应用题：
为了响应市政府“绿色出行” 号召，小张上下班由自驾车方式改为骑自行车方式.已知小张单位与他家相距20千米，上下班高峰时段，自驾车的平均速度是自行车平均速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多 小时.求自驾车平均速度和自行车平均速度各是多少?
A. B.
C. D.
9.对于非零实数 ，规定 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.
10.如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有（ ）
29.若关于x的分式方程 无解，则实数m=_______．
30.阅读下面材料，并解答问题
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母 x2-1，可设x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b.
则x4+x2-3=（x2-1）（x2+a）+b=x4-x2+ax2-a+b=x4+（a-1）x2-a+b
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北京四中2007-2008学年度第一学期期中测验初二年级数学学科
数学试卷
（考试时间为90分钟，试卷满分为100分）
班级_____________ 学号__________ 姓名___________ 一、选择题：（3分×10）
1.下列各式中，正确的是（ ）
A ． 2
2
2
24(2)a ab b a b ++=+ B ．a b a b
c c
-+-=
C ．1011(0.1)(0.1)10
-+=
D ．3322
()()a b a b a ab b +=+++ 2．代数式-1+分解因式的结果是（ ） A ．（-1+）2 B ．+1) C ．不能进行 D ．+1)
3．从关系式y=2x+b 中取得不同的b 值可以得到不同的直线，那么这些直线（ ） A ．交于一点 B ．互相平行 C ．有无数个交点 D ．没有确定的关系 4．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（ ）
5．函数3
22x y x +=
--的自变量取值范围是（ ） A ．-2≤x ≥2 B. X ≥-2且x ≠1 C. X>-2 D. -2≤x ≥2且x ≠1 6．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，它的周长为24，又AD 垂直BC ，垂足为D ，△ABD 的周长为20，则AD 的长（ ）
A ．6
B ． 8
C ．10
D ．12 7．下列命题中，不正确的是（ ）
A ．关于某条直线对称的两个三角形全等；
B ．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合；
C ．角是轴对称图形；
D ．等边三角形有3条对称轴
8．下列条件能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E B ．∠A=∠F ，∠B=∠E ，AC=DE C ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D
D ．∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=EF ，
9．在函数y=|3-x|,y=x-3,y=2x,y=kx+b(其中之一k 、b 为常数，k<0,b>0)中，y 随x 的增大而
增大的函数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
10．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列强论 ①k<0; ②a>0 ③当x<3时，y1<y2
中，正确的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ． 3
二、填空题：（2分×10）
11．若正比例函数y=mx 的图象经过点A （x 1,y 1）和点B （x 2,y 2），当x 1 <x 2时 y 1 >y 2时，则m 的取值范围是______.
12.若三角形的三边a 、b 、c 满足24430a a b -++-=，则第三边c 的取值范围是________. 13.如图，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式ax+b<-1的解集
是_______
14．直线142y x =
-可以由直线1
12
y x =+向______平移_____个单位长度得到。
15．函数y=ax-3与函数y=bx+2 的图象交于x 轴上一点，则a
b
等于________。
16．若动点M(x,y)的坐标满足方程2
2
0x y -=,则动点M 所形成的图形是_____________________。
17．直线y=(m+4)x+m+2无论m 取何值时恒经过的定点坐标为_________；若m 为整数，又知它不经过第二象限，则此时m=_______________.
18．若2
4()()x x x a x b +-=++，则
a b
ab
+的值是______________。
19．计算：(32)(32)-+=__________;
(23)(23)-+=___________; (52)(52)-+=____________;
…….
猜想第n 个等式为：____________________。
20．如图，正方形ABCD 的对角线交于点E ，E F ⊥AB 于点F ，FG ⊥OB 于点G ，GH ⊥FB 于点H.若△BGH 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为___________. 三、解答题：（共50分） 21．（4分）先化简再求值：2
(1)(1)a a a ---,其中21a =
-
22．分解下列因式：（3分×4）
（1）m 2-n 2+2m-2n (2) 1-x 2-y 2+2xy
(3) x 2-(k+3)x+(k+2) (4)(m 2-1)(n 2-1)+4mn
23.(5分)已知关于x 的多项式3x 2+x+m 因式分解以后有一个因式为（3x-2）试求m 的值并将多项式因式分解。
24．（6分）晓东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段y1、y2分别表示晓东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。
（1）试用文字说明：交点P所表示的实际意义。
（2）试求出A、B两地之间的距离。
25．（5分）已知一次函数的图象经过点A（2，1），B（-1，-3），求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积。
26．（6分）已知直角坐标系内的点A（4，1）、B（3，2），试分别在直线y=x和x轴上找点C、D使得四边形ABCD 的周长最短。
（1）作图（并写出作法）
（2）写出C、D两点坐标
27．（6分）如图，A、D、B三点在同一直线上，△ADC、△BDO均为等腰三角形，∠ADC和∠BDO是直角，试猜想AO、BC的大小关系和位置关系并证明你的结论。
28．如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M为CD中点，求证：AM⊥CD
四、附加题（共6分，计入总分，但总分不能超过100分）
29．（1）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）。
（2）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）……根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）
30．已知直线m的解析式为
3
1
y=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作
等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P（1，a）为坐标系内一动点。
（1）画出直线m;
（2）求△ABC的面积；
（3）若△ABC与△ABP面积相等，求实数a的值。