第七节两个重要极限与无穷小的比较
七节无穷小的比较-精品
lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim
lim
1
0，
因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
1.7无穷小比较
记作 ~ ;
(4)
如
果
lim
k
C
0,k
0,就说 是 的 k 阶的
无穷小.
例如，
lim x2 0， x0 3x
即 x2 o(3x) ( x 0).
当 x 0 时，x2 是比 3x 高阶的无穷小;
lim sin x 1， x0 x
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
定理1 与 是等价无穷小的的充分必要条件 为 o().称 是 的主要部分．
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o()．
lim
lim o()
则有 lim f (x)u lim[ f (x)u u v]
g(x)v
g(x)v u v
lim f (x)u lim u lim v lim f (x)u
g(x)v u v
g(x)v
上式说明当分子或分母为若干个因子的乘积时， 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价 无穷小代换，而不会改变原式的极限．
lim（１＋o()） 1，
~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时, sin x ~ x,
sin x x o( x),
1 cos x ~ 1 x 2 . 2
y 1 x2 2
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ). 2
y 1 cos x
(1 x) 1 x o(x)
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x2 , sin x 都是无穷小.
极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限
9
说明：
记作 a~;
x2
sinx
x
lim0lim 1lim
x 03x x 0 x
x x 0 2
24
关于数列，也有类似的极限四则运算法则
10
推论1 如l果 im u存,在 而 c为常 ,则 数
lim c)u (clim u. 推论2 如果 lim u存,在 而 n是正,整 则数
lim un(lim u)n.
例1 lim(x2+3x+1) x2
lim (x2)+lim3x+lim 1
x 2
x 2
x 2
解 lim f (x)lim(x33ax+9)103a,
x1
x1
lim
x 1+
f
(
x
)
lim(
x1+
x2 1+ x 1
a)
lim(x+1+a) x1+
2
+
a
,
因 为lim f(x) 存 在 ， 所 以1 03a2+a， 即a2. x 1
且limf(x)4.
x 1
15
例7 求lx i m 27xx33+ +34xx22+ 1 5.
0
21
例14 求lim( x2+a x2a） x
原 式 lim （ x2+ ax2 a ） （ x2+ a+x2 a ）
第七节无穷小比较
lim
x0
2
x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim ( x) lim ( x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例2. 求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解: 原式
x 1 x2
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1 )
～
定理1. ～ 证: ～
o( )
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o( ), 即 o( )
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x , 故
tan x x o( x)
lim x0
2 x3
原式
lim
x0
x
x3
x
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
1
例3. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsinx ~ x
tan x ~ x
x0
x
解
m 1 ax n 1 bx lim
x0
x
lim (m 1 ax 1) (n 1 bx 1)
x0
x
lim m 1 ax 1 lim n 1 bx 1
x0
x
x0xBiblioteka lim1 ax m lim
极限的运算和两个重要极限 (课堂PPT)
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
.
3
B(B ) 1 B2 , 故 2
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x m1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
.
10
例5
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2 )
lim
n
n2
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
.
11
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
.
y sin x x
由无穷小运算法则,得
.
2
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
第7节无穷小的比较
第七节 无穷小的比较教学目的：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限教学难点：利用等价无穷小求极限教学过程：我们已经知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。
但两个无穷小的商却会出现不同的情形。
例如，当0x →时，22,,sin x x x 都是无穷小，而2200002sin sin 1lim 0,lim ,lim 1,lim 322x x x x x x x x x x x x →→→→==∞==。
这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的“快慢”不一样。
在0x →的过程中，20x →比20x →“快些”，反过来，20x →比20x →“慢些”，而sin 0x →与0x →“快慢相仿”。
对于无穷小之间的这种情况，我们引入无穷小的阶的概念。
定义1 设,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小，lim αβ也是这一过程中的极限。
如果lim 0αβ=，就说α是比β高阶的无穷小，记作()αοβ=； 如果lim αβ=∞，就说α是比β低阶的无穷小； 如果lim 0c αβ=≠，就说α与β是同阶无穷小； 如果lim 1αβ=，就说α与β是等价无穷小，记作αβ。
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。
根据定义，0x →时，2x 是比2x 高阶的无穷小；2x 是比2x 低阶的无穷小；sin x 与x 是等价无穷小；2x 与sin x 是同阶无穷小。
关于等价无穷小，有下面的性质：定理1 若αα'，ββ'，且lim αβ''存在，则lim lim ααββ'='。
证 l i m l i m ()l i m l i m l i m l i m αβααβαααβββαββαβ'''''=⋅⋅=⋅⋅='''''。
这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，把每一个（或其中的一个无穷小）换成它的等价无穷小，不改变比的极限值。
第七节 无穷小的比较
第七节 无穷小的比较当0x →时，3x 、2x 、sin x 都是无穷小，而220003sin 1lim 0,lim ,lim .333x x x x x x x x x →→→==∞= 设α与β都是同一个自变量的变化过程中的无穷小．定义如果lim0βα=，那么就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim βα=∞，那么就说β是比α低阶的无穷小；如果lim 0c βα=≠，那么就说α与β是同阶无穷小；如果lim 0k c βα=≠，0k >，那么就说β是关于α的k 阶无穷小；如果lim 1βα=，那么就所β与α是等价无穷小，记作.αβ因为203lim 0x x x→=，所以()()230.x o x x =→因为1lim 1n n n→∞=∞所以当n →∞时，1n 是比21n低阶的无穷小．因为2391lim 32x x x →-=-，所以当3x →时，29x -与3x -是同阶无穷小．因为201cos 1lim 2x x x →-=，所以当0x →时，1cos x -是关于x 的二阶无穷小． 因为0sin lim1x xx→=，所以()sin 0.x x x →例1 证明：当0x →11.x n证 因为1nx x x n →→-=1,x→==()10.x x n→ 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为().o βαα=+证 仅证0x x →时的情形． 必要性 设()0,x x αβ→ 则 00limlim 1lim lim1110,x x x x x x xβαββααα→→→→-⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭ 因此(),o βαα-=即().o βαα=+充分性 设()()0o x x βαα=+→，则 ()()()0limlim lim 1lim1lim 1,x x x x x x x x x x o o o ααααβαααα→→→→→⎛⎫+==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 因此()0.x x αβ→例2 因为当0x →时，21sin ,tan ,arcsin ,1cos 2x x x x x x x x -，所以当0x →时， ()()()()22sin ,tan ,1arcsin ,1cos .2x x o x x x o x x x o x x x o x =+=+=+-=+ 定理2 设 ,ααββ ，且lim βα存在，则 lim lim .ββαα=证 limlim lim lim lim lim .βββαββαβαααβαβαα⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭例3 求0tan 2lim.sin5x xx→解 当0x →时，tan 22,sin 55x x x x ，所以 00tan 222limlim .555x x x x x x →→==例4 求30sin lim.3x xx x→+解 当0x →时，33sin ,33x x x x x x ++ ，所以332000sin 11limlim lim .3333x x x x x x x x x x →→→===+++例5 求()12311lim.cos 1x x x →+--解 当0x →时，()122231111,cos 132xx x x +---，所以 ()122300211123lim lim .1cos 132x x xxx x →→+-==---习题1-71.当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？ 解 因为()()2230lim 20,lim 0,x x x x x x →→-=-=232200lim lim 0,22x x x x x x x x x→→--==-- 所以当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小．2.当0x →时，()21cos x -与2sin x 相比，哪一个是高阶无穷小？ 解 因为()220lim 1cos 0,limsin 0,x x x x →→-==()222220011cos 2limlim 0,sin x x x x xx→→⎛⎫ ⎪-⎝⎭== 所以当0x →时，()21cos x -是比2sin x 高阶的无穷小．3.当1x →时，无穷小1x -和（1）31x -，（2）()2112x -是否同阶，是否等价？ 解 （1）()()()32211111,11311x x x x x x x x x --==→→-++-++同阶，不等价． （2）()()()()2211111,111311122x x x x x x x x --==→→++--+同阶，等价．4.证明：当0x →时，有（1）arctan x x ； （2）2sec 1.2x x -证 （1）令tan x t =，则arctan t x =，当0x →时，0t →． 因为00arctan lim lim 1,tan x t x t xt →→== 所以()arctan 0.x x x → （2）因为22220002sin sec 11cos 112lim lim lim cos cos 222x x x xx x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2200sin 12lim lim 1,cos 2x x xx x →→=⋅=⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()2sec 10.2x x x -→5．利用等价无穷小的性质，求下列极限：（1）0tan 3lim 2x xx→；解：00tan333limlim .222x x x x x x →→==（2）()()sin limsin nmx x x →（n 、m 为正整数）；()()0,,sin limlim 1,,sin ,.nnmm x x n m x xn m x x n m →→>⎧⎪===⎨⎪∞<⎩（3）30tan sin limsin x x xx→-；解 2322000tan sin sec 112lim lim lim .sin sin 2x x x x x x x x x x →→→--=== （4）x →解()02sin 1sec lim11sin 32x x x x x x →→-=⋅20212l i m 3.16x x x →-==-。
高等数学：第1章 第七节 无穷小比较
证明:
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim
x0
tan
x
(1 x3
cos
x)
1 sin x 1 cos x
lim( x0 cos x x
x2
)
1 lim x0 cos
x
lim sin x x0 x
lim
x0
1
cos x2
x
1, 2
tan x sin x为 x 的三阶无穷小 .
定理1 与 是等价无穷小的的充分必要条件为
原式 lim
2
x0
3x o( x)
lim
5
o( x) x
1 2
x
o( x2 ) x
5
.
x0
3 o( x)
3
x
1
例7
求
(1 x2 )3 1
lim
.
x0 cos x 1
解：
(1
x2
)
1 3
-1~
1
x
2
1 cos x~ 1 x2
3
2
1
lim (1 x2 )3 1 lim
1 x2 3
x0 cos x 1
x0 - 1 x2
2
- 2. 3
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能． 例当 x 时
07第一章第7节无穷小的比较
x
x
lim x 3
(1 x6 )2
1 x2 3
1 x6
x4
0
12
例8
lim (5
x
x5 7x4 2 x)
lim
x
x(5
1
7 x
2 x5
1)
t1 x
5 1 7t 2t5 1
lim
t 00
t
1 (7t 2t5 ) lim 5
7
t 00
t
5
13
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
9
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
(1 x) 1 ~ x
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ x2 2
1 x 1~ x 2
6
一般形式：
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)
其他公式类似；
如：x 0 asin x 1 ~ sin x lna
x 0, 1 cos x3 ~ x6 2
x 0时，
5 1 3x3 2x2 1~
二、求下列各极限：
1、lim tan x sin x ； x0 sin3 x
七节无穷小的比较
x0 1 (2x)2 2 2
例5 求 lim 1 sin x cos x . x0 1 sin2 x cos2 x
解
2sin x cos x 2sin2 x
2sin x (cos x 2sin x )
原式 lim 2 2
2 lim 2 2
2
x0 2sin x cos x 2sin2 x x0 2sin x(cos x sin x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
上述三个条件中只要有一个不满足, 就称函数
f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
可去间断点 如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
定义2 设函数y f ( x)在点x0的某一邻域内 有定义，如果
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那么就称函数y f ( x)在点x0连续。
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x ) .
0
Hale Waihona Puke 例1试证函数f
(x)
x sin
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
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证明略 ( 可用两个准则证明)。
例1
lim 1
3
x
x x
解
lim1 x
3
x
x
lim1 x
1
x 3
3
x 3
lim x
1
1 x 3
x 3
1 lim
x0 sin x
1 lim sin
x
1
xபைடு நூலகம்
x0 x
例2 求lim sin 3x x 0 x
lim sin ( x) 1 ( x)0 ( x)
解 lim sin 3x 3 lim sin 3x 3
x 0 x
3x0 3x
例3. 求 lim tan x x0 x
1 )4x x
(1 -
1 )3 x
lim 1 x
-
1 x
4x
lim 1 x
-
1 x
3
lim
x
1
-
1 x
-
x
lim( x1
x
1)
sin( x
x2 2-
1
1)
2
arcsin x
2. lim
x0
x
解 令 arcsin x t x sin t
x 0 则 t 0.
lim arcsin x lim t 1
x0
x
t0 sin t
3. lim x cot x x0
解 lim x cot x lim x cos x lim x cos x 1
x0
x0 sin x x0 sin x
1
4. lim x sin
x
x
1
解
1
lim x sin
x
x
sin
lim x
1 0
1
1
x
x
(2)
lim 1 1 x e x x
(x)
lim 1 1 e
( x) ( x)
解 lim tan x lim sin x 1 1
x0 x x0 x cos x
例4 求lim sin ax (a, b 0) x 0 sin bx
lim sin ( x) 1 ( x)0 ( x)
解
lim sin ax
lim
a sin ax ax
x0 sin bx x0 b sin bx
bx
a b
sin ax
lim
x0
ax sin bx
sin ax
a
lim
ax0
ax
b lim sin bx
a b
bx
bx0 bx
例5 lim n sin
n
n
lim sin ( x) 1 ( x)0 ( x)
解 当n 时 , 有 0 , 因此
n
lim n sin
第六、七节 两个重要极限 与无穷小量的比较
• 内容提要
1. 两个重要极限； 2. 无穷小量的比较。
• 教学要求
1. 熟练掌握用两个重要极限求极限； 2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一 些常见的等价无穷小。
一、两个重要极限 (1) lim sin x 1 ( x 取弧度单位 )
x0 x
3
e3
例2
求
lim1 -
1 4x3
x x
解法一 令- x t 则当x 时
有t
所以
lim 1 x
-
1 x
4 x3
lim 1 t
14(-t )3 t
lim (1 1)4(-t ) (1 1)3
证: 对于 0 < x < 情形, 如图所示 , 作单位圆
2 则圆心角∠AOB= x ， BC sin x AD tan x
AB x 显然有 SDAOB < S扇形AOB < SDAOD
1 sin x < 1 x < 1 tan x
2
22
即 sin x < x < tan x
分别除以 sin x
lim x0
2 x 2 2
sin x 2 sin x 2
lim x0
x
2
2
lim x0
2 x
12 1
2
练习
sin( x2 - 1) 1. lim
x1 x - 1
解
sin( x2 - 1) lim x1 x - 1
lim sin x 1 lim sin ( x) 1
x x0
( x)0 ( x)
x
(x)
lim 1 lim
1
x0 sin x
( x)0 sin ( x)
注意： lim sin x 0 x x
例1 求 lim x x0 sin x
解
x lim x0 sin x
有 1< x < 1 sin x cos x
y BD x
o CA x
对 1< x < 1 sin x cos x
0< x<
2
再取倒数 ,得 cos x < sin x < 1 ………………(1)
2 .对于
-
<
x x < 0 的情形 ,
由于用- x 代替 x时
2
cos x 和sin x 都不变号（偶函数），所以当 - < x < 0时 ,
x
2
不等
式 (1) 仍成立
, 从而当
x
-
2
,
0
0,
2
时
,
恒 有不等式 cos x < sin x < 1 成立。
x
3．由于lim cos x 1 , 且lim 1 1 , 由夹逼准则
x 0
x 0
可知 , lim sin x 1 . 证毕 x 0 x
t
t
t
lim1 13 t t
lim
t
1
1 t
t
-
4
13
e-4
e-4
lim 1
1
( x)
e
( x) ( x)
解法二
lim1 x
1 x
4
x
3
lim (1 -
x
n
n
lim n
sin
n
sin
lim 0
n
n
n
n
1
例6
lim
x0
1
- cos 1 x2
x
lim sin ( x) 1 ( x)0 ( x)
2
解
lim
x0
1
- cos 1 x2
x
2
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