第一章 第七节 等价无穷小的比较课件ppt课件
七节无穷小的比较-精品
lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim
lim
1
0，
因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
高等数学同济大学第七版-第一章无穷小比较
（1）
lim x2 ln 1
x
3 x2 ；
解：当 x
ln 1
时，
3 x2
~
3 x2
，所以
lim x2 ln 1
x
3 x2
lim x2
x
3 x2
3
（2）
3 lim
sin x x
3x
x 0 1 cos x
解：
lim
x0
3
sin x x 1 cos x
3x
..
1 sin x x 1
lim 3x
3
x 0 1 cos x
例５
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x x0 (2x)3
0.
错
解 x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x3
例４ 求 lim (x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
1.7无穷小比较
4) . 类似地可证
arcsin x ~ x .
请熟记 : 当 x → 0 时有
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x ) ~ e x − 1 ,
1 − cos x ~ 1 x 2 . (1 + x )α − 1 ~ α x , 特例 2
β 若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶的无穷小 记作 高阶的无穷小 的无穷小, α β = o(α ) β 低阶的无穷小 的无穷小; 若 lim = ∞ , 则称 β 是比 α 低阶的无穷小 α β 若 lim = C ≠ 0 , 则称 β 是 α 的同阶无穷小 同阶无穷小 无穷小; α
第七节 无穷小的比较
当 x → 0 时 , sin x , x 2 , x 都趋于 0 , ( 都是无穷小 .)
但速度各不相同 .
如果取 x = 0.01 , 则 sin x = 0.0099 , x 2 = 0.0001 , x = 0.1
定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小 是自变量同一变化过程中的无穷小,
2) . tan x ~ x ,
我们可以证明 :
1) . sin x ~ x , 4) . arcsin x ~ x ,
证 . 5) . 设 α = arctan x , 则 tan α = x ,
arctan x α lim = lim = 1 , ⇒ arctan x ~ x . x x →0 α →0 tan α
β 则 lim α
证:
β β β ′ α′ = lim lim α β ′ α′ α β′ β β′ α′ = lim = lim lim lim α′ β′ α′ α
07--无穷小的比较可编辑全文
（D）ln(1 x) .
练习2 求 lim tan2 2x .
x0 1 - cos x 解 当x 0时, 1 - cos x ~ 1 x2 ,
2 原式 lim (2x)2 8.
x0
1 x2 2
tan 2x ~ 2x.
常用等价无穷小
❖关于等价无穷小的定理
•定理2(等价无穷小的替换定理)
设~ ~
且
lim
存在
则
lim
lim
定理2的意义:
求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都 可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的 无穷小选取得适当 则可使计算简化 因此,需要 记住一些等价无穷小.
注意 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
与是等价无穷小的充分必要条件为
o()
证明 必要性: 设~ 只需证 –o() 因为
lim
-
lim(
-1) lim
-10
所以 –o()
充分性: 设o() 则
lim
lim
o( )
lim[1
o()]1
因此~
❖关于等价无穷小的定理 •定理1
与是等价无穷小的充分必要条件为 o()
例例65 因为当 x0 时 sin x~x tan x~x 1-cos x~ 1 x2
但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x - sin x0 1 x -1
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
(3)因式代替规则: 若 ~ , 且 (x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim (x) lim (x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
高等数学1-7-无穷小的比较_OK
lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
则 lim
lim
u
1,
x0 x u0 ln(1 u)
故 ex 1 ~ x(x 0) 函等数与价极限无穷小
证 因为 x ~ ln(1 x，) 所以
lim (1 x) 1 lim (1 x) 1
x0
x
x0 ln(1 x)
令 (1 x) 1 t, (1 x) 1 t, 两端取对数，得
ln(1 x) ln(1 t), 又当x→0，t→0. 所以
lim (1 x) 1 lim t 1
x0 x
t0 ln(1 t)
二阶无穷小
11 2
(4)
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
2
2
cos2 x 1 cos 2x 2
sin 2 x
lim x0
2 ( x)2
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
eu 1 ~ u(u 0)
(1 u) 1 ~ u(u 0)
解：
lim e ecosx x0 3 1 x2 1
lim e(ecosx1 1) x0 3 1 x2 1
高等数学 第七节 无穷小的比较
第七节无穷小的比较,,,sin ,002都趋于时当x x x x →.)(都是无穷小.但速度各不相同1000010009900102.,.,.sin ,.====x x x x 则如果取.变化过程中的无穷小是在同一自变量的相同和定义βα,,lim .)的高阶无穷小是称αβαβ01=.)(αβo =记为)(快比αβ0→,,lim .)的低阶无穷小是称αβαβ∞=2)(慢比αβ0→,,lim .)是同阶无穷小与称αβαβ03≠=c .)(αβO =记为,,lim .)阶无穷小的是称k c αββ04≠=-56P.lim lim ,~,~αβαβββαα''=''则设定理.用等价无穷小来代换分子及分母中的因子可时即求无穷小之比的极限,αβlim .证ααβαββ⋅'⋅''⋅'⋅=lim αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=:我们可以证明,时当0→x ,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,,lim .)是等价无穷小与称αβαβ15=.~βα记为.,为重要等价无穷小在应用上最以上各种比较中xx x tan lim.)02→,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→x x x x cos sin lim 10xx x x x cos lim sin lim 100→→⋅=,1=.~tan x x ⇒202113x x x cos lim ).-→2202122x x x sinlim →=220x x x x x ⋅⋅=→sin sin lim ,1=.~cos 2211x x -⇒,sin lim )..110=→x xx 证.~sin x x ⇒,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,arctan .).x =α设证5,tan x =α则αααtan lim arctan lim 00→→=x x x ,1=.~arcsin x x 类似地可证.)4.~arctan x x ⇒:请熟记时有当0→x x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~)ln(~x +1,~1-xe ,~)(x x αα11-+.~cos 2211x x -.~211x x -+特例31xxx x sin tan lim.-→例xx x x x cos )cos (sin lim31-=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~sin xx x x x cos lim 3202⋅=→x x cos lim 210→=.21=xx x 21220cos )(arcsin lim.-→例⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~arcsin 22220)(limx x x →=.21=xx ee xx x sin lim.sin --→03例()x x eexx xx sin limsin sin --=-→1xx e exx x xx sin limlim sin sin --⋅=-→→10()0→-=x x y sin y e yy 110-⋅=→lim()yey~1-.1=:小结.,,,,等价无穷小阶无穷小同阶无穷小低阶无穷小高阶无穷小k :.基本概念1:.熟记2x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~时有当0→x )ln(~x +1,~1-xe .~cos 2211x x -,~)(x x αα11-+.~211x x -+特例.lim lim ,~,~.αβαβββαα''=''则设定理3分子及分母中的因子可限时求无穷小之乘除法的极,.用等价无穷小来代换)!(换加减号隔开的项不能代:.经验公式4,)(lim 00=→x f x x 设.)()(lim c x g x f x x =→0().)(lim )(cx g x x e x f =+→10则#().)(lim )()(lim )(x g x f x g x x x x ex f ⋅→→=+01。
无穷小的比较
原式 lim ( x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的乘积（或除法）因子作等 价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分 别代换.
例6 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不
同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(2) 如果lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim( 1 x0 cos
x
sin x
x
1
cos x2
x)
1 lim x0 cos x
lim sin x x0 x
3
x
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设
~ 1,
~
且
1
lim
1 1
存在,
则 lim
lim
1 . 1
证
lim
lim(
1 1 )
1 1
lim lim 1 lim 1
《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
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9/13
例5 解
(2 x ) 原 式 l i m x 0 1 x2 2
1 2 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
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二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 证毕
1 cos x ~ 1 x2 2
x 1 lim 2 x 0 x lim( 1 cos x )
x 0
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例7
错 解 当x 0时, tan x ~ x, xx 原 式 lim 0. 3 x 0 (2 x )
x
当 x 0 时， ln( 1 x ) ~ x， e 1 ~ x.
x
4/13
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 x ) ~ x，
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 证毕
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定理1 与 是 等价 无 穷 小 o( ) (称 是 的主要部分)． 证 ~ lim 1 1 o(1) o( )． 证毕
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
8.
arc sinx . 例6 求 lim 2 x 0 2(1 cos x ) x arc sinx arc sin x ~ x lim lim 解 x 0 2(1 cos2 x ) x 0 2(1 cos2 x ) x 1 x lim lim lim x 0 2(1 cos x ) x 0 1 cos x x 0 2(1 cos x )(1 cos x )
注 若 C，则 C.
3/13
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小，
2
x2 0， 例1 lim x 0 3 x
即 x o(3 x ) ( x 0)； sin x sin x ~ x ( x 0). lim 1，
x 0
x
e 1 例２ 求 lim . x 0 x 1 e x 1 u e x 1 lim u 1 解 lim u 0 ln( 1 u ) x 0 x u lim ln( 1 u ) 1 u 0 1. ln e
第七节
无穷小的比较
1. 无穷小的比较
2. 等价无穷小的替换
3. 小结、作业
1/13
一、无穷小的比较
无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况： 1 2 2 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. 2 x x 2 0 , l i m x 比 x 快得多 ; 观 x0 x 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim 极 x0 x 2 限 lim x , x 比 x 慢得多 ; 2 x0 x 1 0 2 x sin （ 型） 1 0 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x 0 x x 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.
x
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tan x sinx为x的三阶无穷小 . 例3 证明: 当x 0时，
tan x sin x 证 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
例如, 当x 0 时,
n
sin x ~ x ,
1 ln(1 x ) ~ x , 1 x 1 ~ x. n sinx x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ), 2 ln( 1 x ) x o( x ), n 1 x 1 1 x o( x ). n
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定义: 设 , 是同一过程中的两个无 穷小 . (1) 如 果 l i m 0， 称 是 比 高 阶 的 无 穷 小 , 记 作 o( )； ( ２ ) 如果 lim ，称 是比 低阶的无穷小 ; ( 3) 如果 lim C 0, 称 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如 果 l i m 1， 称 与 是 等 价 的 无 穷 小 ; 记 作 ~ . (4) 如果 lim k C 0，k Z ，称 是 的k 阶的无穷小 .
1 2 1 cos x ~ x , 2
y 1 2 x 2
y 1 n 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
解 tan 5 x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 2 5 x o( x ) x o( x ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x ) 2 o( x ) 1 o( x ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 3 o( x ) 3 x