高等数学-无穷小的比较
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高等数学《无穷小的比较》全
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
解
原式
lim
x0
2x 1x
x
2
4.
2
例7
求 lim x0
1
x sin x sin2 2x
1
.
解 当 x 0 时 , 1 x sin x 1～1 x sin x～1 x2 ,
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
即 o( ), 于是有 o( ).
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小 , 且 0 . (1) 如果 lim 0 , 就说 是比 高阶的无穷小,
高等数学随堂讲解无穷小与无穷大.pptx
那么
f
1 (x)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
且 f ( x ) 0, 那么 1 为无穷大. f (x)
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
➢定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
x0
lim x 1 x0 3x 3
➢定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
α是比β低阶的无穷小， 记作 o( )
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
➢定义３ 把定义２中的 f ( x) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大 （负无穷大）的定义
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x 0
lim 1 x x 0
1 lim x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例
x 2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x 2 lim x 0
x x 0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
无穷小的比较及函数的连续性
x 1, 0,
x 0, x 0,
在点x=0处的连续性.
x 1, x 0
解 lim f (x) lim (x 1) 1,
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1,
x0
x0
lim f (x) lim f (x)
x0
x0
lim f (x)不存在.
x0
故x=0是函数f(x)的间断点.
小结
无穷小的比较 等价无穷小替换求极限 连续函数的概念、运算 函数的间断点及分类 闭区间上连续函数的性质
作业
P29，习题1-3: 5（1），（3）； P33 习题1-4: 1 ， 2 ，3
高等数学应用教程
1.3 极限的运算
1.3 极限的运算
➢ 1.3.1 极限的运算法则
➢ 1.3.2 两个重要极限 ➢ 1.3.3 无穷小的比较
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1.3.3 无穷小的比较
两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷
小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.
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1.3.3 无穷小的比较
这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有 慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，我们引入无穷小量 阶的概念.
1.3.3 无穷小量阶的概念
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1.3.3 无穷小的比较
高等数学应用教程
1.3.3 无穷小的比较
高等数学应用教程 定理1.6
1.3.3 无穷小的比较
高等数学应用教程 例1
高等数学应用教程
1.4 .2 函数的间断点及分类
高等数学应用教程
高等数学应用教程
1.4 .2 函数的间断点及分类
例4
高等数学-无穷小的比较
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 cos x ～
1 2
x
2
机动
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结束
例1. 证明: 当 证:
时,
～
a b ( a b) ( a
n n
n 1
a
n2
b b
n 1
)
～
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定理1 . 设
lim
且
存在 , 则
证:
lim lim
第一章
第七节
无穷小的比较
lim x
2
引例 . x 0 时 , 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但
x 0 3 x
x 0
lim
sin x 3x
lim
x 0
sin x x
2
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义.设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 若 lim 若 lim 若 lim 若 lim 若 lim
或 ~
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例如 , 当 x 0 时
x o( 6x 2 )
3
sin x ~ x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
又如 ，
lim 1 cos x x
2 x 0
2 x 2 sin 2 lim 2 x0 4( x ) 2
1 2
0 , 则称 是比 高阶比 低阶的无穷小; C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
高等数学-无穷小的比较
17
例4
tan 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim x 0 1 2 1 x 2 3 2 (1 x ) 1 . 例5. 求 lim
x 0
6
§1-7 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 x 0时, x , x , sin x , x sin ,1 cos x , tan x都是无穷小. x x2 0 , 观 lim x 0 x 2 x 比 x 趋近 0 的速度要快得多 ; 察 x , 各 lim 2 x 0 x 极
log a (1 x) 1 求 lim log a e x 0 x ln a x x lim a 1 x ln a lim log a (1 x) x 0 x 0 ln a
三、等价无穷小代换
定理2(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 2x 2 tan 2 x 如求 lim lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
2 2
限
0 （ 型） 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度 0
不同.
sin x lim x0 x
1,
sin x与x趋近0的速度大致相同 ;
1.定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 故 lim 0 记作 o( )； 0 ( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ; (4) 如 果 lim k C 0, k 0, 就 说 是 的 k 阶 的 无 穷 小 .
考研数学-专题4 无穷小量阶的比较
(k
f −
(x) 1) x k
−2
=
2
lim
x→0
(k
f ′(x) −1)(k − 2)xk
−3
= 2 f ′(0) ≠ 0 (k −1)(k − 2)
(k = 3)
故选（C）. 【解 2】排除法
【例 5】(2013 年 2,3) 当 x → 0 时,1 − cos x ⋅ cos 2x ⋅ cos3x 与 axn 为等价无穷小,求 n 与 a
（D） k = 3,c = −4.
5
【解 4】（代入法）
【例 4】(1996 年 1,2)设 f (x) 有连续导数, f (0) = 0 , f ′(0) ≠ 0 ,
∫ F(x) =
x
(
x2
−
t
2
)
f
(t)dt
,且当
x
→
0
时,
F
′(x)
与
x
k
为同阶无穷小,则
k
等于（
）
0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7
⎧
⎪⎪⎪⎨b1 ⎪ ⎪ ⎪⎩
+ −
a 3
a=0 a =0 2
=k
故 a = −1,b = − 1 , k = − 1 .
2
3
【解 2】
【例 7】(2020 年 3)
已知 a,b 为常数，若 (1+
1 )n n
−
e
与
b na
在 n → ∞ 时是等价无穷小，求
a, b.
(1+ 1 )n 【解 1】1 = lim n
1.6无穷小的比较
宁夏大学民族预科教育学院数学教学部
结束
例7 求 lim ln(1 x) . x0 x
解:
lim
x0
ln(1 x
x)
lim
x0
1 x
ln(1
x)
1
lim ln(1 x) x
x0
= lne
=1
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例8.
求
lim
x0
e
xx
1.
解: 令u=ex– 1 , 则x=ln(1+u), 当x0时, u0.
所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小
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阶的比较举例
例例43 因 为 lim 1- c os x 1
x0 x2
2
所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小
例例54 因 为 lim sin x 1 x0 x
所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin x~x(x0)
如果
lim
b a
1
就说b与a是等价无穷小
记为a~b
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阶的比较举例 例例11 因 为 lim 3x2 0 x0 x
所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0) 例例32 因 为 lim x2 - 9 6 x3 x-3
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关于等价无穷小的定理
•定理
设a~a b~b
且
lim
b a
存
在
则 lim b a
高等数学-无穷小量与无穷大量
8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量
1
.
例1 求
2
→0 + 1
解 当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1
→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时， 为无穷小；
= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时， 不是无穷小.
4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷
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x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
x x0 1 x x0 1 x x0
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
2阶
(Q
lim
x0
5x4
x2
2
x
2
2)
❖(6)
如果
lim
不存在且不为
, 就说
与
是
不可比较的无穷小.
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
振荡无极限
不可比.
12
❖ 常用等价无穷小:
当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x ( 0)
ax 1 ~ x lna (a 0,a 1), 当a = 1 / n 时 n 1 x 1 ~ 1 x n
例: 当 x 0 时, 下列函数中能成为 x2 的
等价无穷小的是 D
A、cos x 1
B、 1 cos x 2
C、 1 x2 1
D、 (e x 1)sin x
lim
x0
1 x2 1 x2
1 x2
lim x0
2 x
2
1 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
Q lim
1,
lim (
1)
lim
0,
x x0
x x0
x x0
即 o( ), 于是有 o( ).
例如, 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
1
错解 原式 = lim (1 3 tan2 x)tan x
x0
1
lim(1 3x2 ) x x0
1
1
lim(1
3 tan2
lim
x ) x0 tan
x
x0
lim[(1 3x2 )3x2 ]3x e0 1 x0
例4 错解
1 x sin x 1
lim
x0
x(e x 1)
.
原式 =
x 1
x1
x 1
x1
lim ( x2 5x 4) 10 , I 10 .
x1 ln(1 f ( x))
思考 设 lim x0
sin x 5 3x 1
求
lim
x0
f (x) x2
(另: 作业P18 二7)
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
sin sin(x 1)
lim
.
x 1
ln x
注意 不能滥用等价无穷小代换.
① 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
① 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例2 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x3
ax 2
x
4
b I
10 (有限数)
,
求
a,
I
.
b
x1
x1
解 由 lim x3 ax2 x 4 I (有限数) ,
x 1
x1
lim ( x 1) 0 , 可得 lim ( x3 ax2 x 4) 0 ,
x 1
x1
即 4a 0, a4,
由 lim x3 4x2 x 4 lim ( x 1)( x2 5x 4)
比如：lim x2 lim x 0，则x 0时x2是 x0 2x x0 2
比2x较高阶无穷小.
❖ 如果lim c(c 0)，则 与 同阶无穷小. xx0
记作 O( )
例:lim x2 1 lim(x 1) 2，则 x 1时 x2 1 x1 x 1 x1
与x 1是同阶无穷小.
❖ 如果lim 1，则 与 等阶无穷小,记作 ~ . xx0
例:lim x2 x li0m?(x 1) 1, 则x 0时
x0 x
x0
x2 x与x是等价无穷小，即x2 x ~ x.
❖ 如果lim c(c 0)，则 与 同阶无穷小. xx0
❖
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当
x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例：x 0时5x4 2x2是 x 的几阶无穷小?
sin x x o( x), o(kx2 ) o( x2 ), k 0
cos x 1 1 x2 o( x2 ). 2
(参见书P63 题4)
设 α, β 是同一过程中的两个无穷小 , 则 α～β 的充要
条件是 β = α + o(α) .
这里，称 是 的主要部分(主部) .
例6
设 lim