高数无穷小量的比较
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专升本高数知识点.
第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。
偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c βα=lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=βαlim，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=βαlim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。
4、两个重要极限 （1）100==→→xxx x x x sin lim sin lim使用方法：拼凑[][][][][][]000==→→sin lim sin lim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→10111)(lim lim[][][]e =+→11)(lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ⎝⎛>∞<==∞→m n m n m n ba X Q x P mn x ,,,lim00()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。
7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0A x f x f A x f x x x x xx ===+-→→→)(lim )(lim )(lim 000充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
高数上第一章无穷小量与无穷大量
3
lim 1. lim x1(1 x )(1 x x 2 ) x11 x x 2
性质 3 若 lim X ，limY ，则lim( X Y ) ；
性质 4 若 X Y ，lim X ，则limY ；
性质 5 若 lim X ，则lim( X ) 。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
1 例如： f ( x ) 2 x ， g( x ) 2 x ， 2x
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctanx ， 2 x x
arctanx ∴ lim 0 。 x x
x x x x 对于自变量的其他几种变化趋势（， 1.4.2 无穷大量 ，
x ， x ， x ， n ） ， 同样可以定义无 1. 定义
例2.求下列极限
x2 3x （1） lim x2 x 2
x 2 3 x x2 10 错解： lim 。 lim( x 2) 0 x2 x 2
x2
lim( x 2 3 x )
正解：∵ lim
x2
x2 x 2 3 x
x2
x2
0 0 ， 2 lim( x 3 x ) 10
x x
x x
令 f ( x ) A ，则 lim 0 ，且 f ( x ) A 。
x x
充分性
若 f ( x ) A ， lim 0 ，则
x x x x x x
x x
lim f ( x ) lim ( A ) A lim A 。
当 x 时， 1 x2 是无穷小量。
2.无穷小量的性质
专升本高数-第五讲 无穷小与无穷大
lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
高数1-2-3无穷小量与无穷大量
x
( f ( x) M ) , 若在定义中将 ①式改为 ( lim f ( x) ) 则记作
x x0 ( x )
高 等 数 学
x x0
Higher mathematics
lim f ( x)
x
M 0, 0,当0 | x x0 | 时, X 0 | x | X 有 | f ( x) | M
3.无穷大量的运算性质
(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限穷大量之和或差不一定为无穷大量。
x x
如 x 0时， f ( x) 1 , g ( x) 1 均为无穷大量，但f ( x) g ( x) 0不是无穷大量。 (2)有限个无穷大量之积为无穷大量。 (3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量。
0
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2时, 恒有
M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
而 lim
x 1
4( x 1) 2 0, x 1
所以 lim
x 1
4x2 4 8。 x 1
高 等 数 学
Higher mathematics
3. 无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, X 1 0, X 2 0, 使得 当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ; 2 2 取X max{X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 0 ( x ) 2 2 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
( f ( x) M ) , 若在定义中将 ①式改为 ( lim f ( x) ) 则记作
x x0 ( x )
高 等 数 学
x x0
Higher mathematics
lim f ( x)
x
M 0, 0,当0 | x x0 | 时, X 0 | x | X 有 | f ( x) | M
3.无穷大量的运算性质
(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限穷大量之和或差不一定为无穷大量。
x x
如 x 0时， f ( x) 1 , g ( x) 1 均为无穷大量，但f ( x) g ( x) 0不是无穷大量。 (2)有限个无穷大量之积为无穷大量。 (3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量。
0
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2时, 恒有
M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
而 lim
x 1
4( x 1) 2 0, x 1
所以 lim
x 1
4x2 4 8。 x 1
高 等 数 学
Higher mathematics
3. 无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, X 1 0, X 2 0, 使得 当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ; 2 2 取X max{X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 0 ( x ) 2 2 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
高数专升本必考知识点归纳
高数专升本必考知识点归纳高等数学是专升本考试中的重要组成部分，对于考生来说，掌握一些必考的知识点至关重要。
以下是一些高等数学专升本考试中常见的必考知识点归纳：一、极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小量的比较- 函数的连续性与间断点- 极限存在的条件二、导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 隐函数与参数方程求导- 微分的概念与应用三、积分学- 不定积分与定积分的定义- 积分的基本公式- 换元积分法与分部积分法- 定积分的应用：面积、体积、物理量的变化等- 广义积分四、级数- 级数的概念与收敛性- 正项级数的收敛性判别- 幂级数与泰勒级数- 函数的级数展开五、多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题- 方向导数与梯度六、多元函数积分学- 二重积分与三重积分- 曲线积分与曲面积分- 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式七、微分方程- 一阶微分方程的解法：分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的降阶方法- 线性微分方程的解法：特征方程法、常系数线性微分方程八、空间解析几何- 空间直角坐标系- 向量代数与空间向量的运算- 平面与直线的方程- 空间曲面的方程九、线性代数基础- 矩阵的运算与性质- 行列式- 线性方程组的解法- 特征值与特征向量结束语：掌握这些高等数学的基础知识和解题技巧，对于专升本考试的数学部分至关重要。
希望以上的归纳能够帮助考生们更好地复习和准备考试，取得理想的成绩。
记住，持之以恒的练习和深入理解概念是成功的关键。
祝各位考生考试顺利！。
无穷小量的定义和性质(老黄学高数第108讲)
则称g为当x→x0时的有界量. 记作g(x)=O(1) (x→x0). 注：1、无穷小量都是有界量；
但有界量不一定是无穷小量.
2、判断下列哪些是有界量：
√√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2、若函数g在U0(x0)内有界， 则称g为当x→x0时的有界量. 记作g(x)=O(1) (x→x0).
注：1、无穷小量都是有界量； 但有界量不一定是无穷小量. 2、根据函数极限的局部有界性，只要极限存在， 就是有界量； 极限存在是有界量的充分条件，但不是必要条件，
如：有界量
极限不存在.
2、若函数g在U0(x0)内有界， 则称g为当x→x0时的有界量. 记作g(x)=O(1) (x→x0).
注：1、无穷小量都是有界量； 但有界量不一定是无穷小量. 2、根据函数极限的局部有界性，只要极限存在， 就是有界量； 极限存在是有界量的充分条件，但不是必要条件， 3、有界函数都是有界量，同样充分但不必要.
老黄学高数
第108讲 无穷小量的
定义和性质
1、设f在U0(x0)内有定义，若
f(x)=0，
则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).
注：无穷小量是无限接近0的变量，不是无限小的数；
负无穷大才是无限小的变量.源自1、判断下列哪些是无穷小量：
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2、若函数g在U0(x0)内有界，
1、两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
当x→0时，x2是无穷小量，sin 为有界量，
但有界量不一定是无穷小量.
2、判断下列哪些是有界量：
√√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2、若函数g在U0(x0)内有界， 则称g为当x→x0时的有界量. 记作g(x)=O(1) (x→x0).
注：1、无穷小量都是有界量； 但有界量不一定是无穷小量. 2、根据函数极限的局部有界性，只要极限存在， 就是有界量； 极限存在是有界量的充分条件，但不是必要条件，
如：有界量
极限不存在.
2、若函数g在U0(x0)内有界， 则称g为当x→x0时的有界量. 记作g(x)=O(1) (x→x0).
注：1、无穷小量都是有界量； 但有界量不一定是无穷小量. 2、根据函数极限的局部有界性，只要极限存在， 就是有界量； 极限存在是有界量的充分条件，但不是必要条件， 3、有界函数都是有界量，同样充分但不必要.
老黄学高数
第108讲 无穷小量的
定义和性质
1、设f在U0(x0)内有定义，若
f(x)=0，
则称f为当x→x0时的无穷小量. 记作f(x)=o(1) (x→x0).
注：无穷小量是无限接近0的变量，不是无限小的数；
负无穷大才是无限小的变量.源自1、判断下列哪些是无穷小量：
√
√
√
√
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√
2、若函数g在U0(x0)内有界，
1、两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 2、无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
当x→0时，x2是无穷小量，sin 为有界量，
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sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
无穷小量的比较
引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换
一、无穷小量的比较 观察下列极限 当 x →0时, 3x, x2, sinx都是无穷小, 3x sinx都是无穷小,
x2 lim = 0, x→0 3 x
sin x = 1, lim x→0 x
3x lim 2 = ∞, x →0 x
上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念. 给出无穷小量比较的几个概念.
作业 P57 3, 4
例11. I = lim
x ln(1 + 2 x ) + tan 3 x 2 1+ x − x −1
2 3
x →0
1 1+ u −1 ~ u 2
x ln (1 + 2 x ) + tan 3 x 解 I = 2 lim 2 3 x →0 x −x
2
ln(1 + 2 x ) ~ 2 x
x
ln(1 + x) ~ x ex −1 ~ x
说明: 说明: 当
时, 有
例3. 证明: 当 证明: 证:
时,
～
(a n −1 + a n − 2b + ⋯ + b n −1 ) a − b = ( a − b)
n n
1 n 1+ x −1 ～ x n
常用的等价无穷小： 常用的等价无穷小：当x →0时
2
2
= 2(2 + 3) = 10
( x − 1)(3 x − 1)⋯ (n x − 1) 例12 lim n −1 x →1 ( x − 1)
令x = 1 + t
( 1 + t − 1)(3 1 + t − 1)⋯ (n 1 + t − 1) === lim t →0 t n−1 t ⋅ t ⋅⋯ t = lim 2 3n−1 n t →0 t
2 x 2 sin 2 lim 2 x → 0 4( x ) 2
1 = 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且 的二阶无穷小,
1− cosx
1 x2 ～ 2
例 1. 求 解: 原式 例2. 求 解: 令 t = a − 1, 则 x = log a (1 + t ) , t 原式 = lim t → 0 log a (1 + t )
x ⋅ x ln 2 = lim 2 2 3 = ln 2 . x →0 x ⋅ x 2
4
e x − esin x 10. 例10. 求 I = lim . x→0 x − sin x
e x−sin x − 1 解: I = lim esin x . =1 x →0 x − sin x
例8. 求
解
(1 + x) - 1 ~ a x.
a
一般形式
如 ln(1 + f ( x)) ~ f ( x) ( f ( x) → 0)
其他公式类似
如 x→0 a
sin x
− 1 ~ sin x ln a
3
x6 x → 0, 1 − cos x ~ 2 x → 0时，
5
1 (3 x3 + 2 x2) 1 + 3x + 2x − 1 ~ 5
tan 3 x ~ 3 x
2
2
2
x ln (1 + 2 x ) tan 3 x = 2 lim[ 2 + 2 ] 3 3 x →0 x −x x −x
2x 3x 2 3 = 2 lim[ 2 + 2 ] + ] 3 3 = 2 lim[ x →0 x − x x →0 1 − x x −x 1− x
= 1. n!
定义1 定义1 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 是自变量同一变化过程中的无穷小,
β （1）若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶的无穷小, 记作 高阶的无穷小, α β = o(α ) β 低阶的无穷小 （2）若 lim = ∞ , 则称 β 是比 α 低阶的无穷小; α β 同阶无穷小; （3）若 lim = C ≠ 0 , 则称 β 是 α 的同阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价无穷小, 记作 α ~ β 等价无穷小, α 或 β ~α
3 2
二、等价无穷小量代换 定理1 在自变量的同一变化过程中, 定理1 在自变量的同一变化过程中, α ∼α ′, β ∼ β ′,
β β′ β′ 存在， 且 lim 存在，则 lim = lim . α α′ α′
证
β β β ′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β ′ α′ α
β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim β′ α′ α
解
tan x x 1 lim 2 = lim 2 = . x →0 x + 3 x x →0 x + 3 x 3
tan x − sin x . 例6 求 lim 3 x →0 x 1 2 解 x → 0时,1 − cos x ~ x , 2
x−x 原式 = lim 3 x →0 x
tan x ⋅ (1 − cos x ) tan x − sin x = lim 故 lim 3 3 x →0 x →0 x x 1 2 x⋅ x 1 2 = . = lim 3 x →0 2 x