高等数学同济大学第七版-第一章无穷小比较
高等数学：无穷小的比较
无穷小的比较1.7.1无穷小比较的概念根据无穷小的运算性质，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的情况，例如，（1）21123lim 221-=-+-→x x x x （非零常数）；（2）01)1(lim 221=--→x x x ； （3）∞=-+-→221)1(23lim x x x x ；（4）xx x x x x 1sin lim 1sinlim00→→=（极限不存在，但不为∞）。
注：上述例（1）、（2）、（3）的详解见本章第五节。
针对两个无穷小的商出现的不同情况，有如下定义：定义1.6.1 设α、β是自变量同一变化过程中的两个无穷小，且0≠α （1）若0lim=αβ，则称β是比α高阶的无穷小，相应地，称α是比β低阶的无穷小，记作)(αβo =；（2）若C =αβlim（C 为非零常数），则称β与α是同阶无穷小；特别的，若1lim =αβ，则称β与α是等价无穷小，记作αβ~；注：根据此定义，可以认为当αβlim 不存在且不为∞时，表示两个无穷小不能进行比较。
思考：若∞=αβlim，则β与α是什么关系？ 根据该定义及上述前三例的结果，可知，当1→x 时，232+-x x 与12-x 是同阶的无穷小，232+-x x 是比2)1(-x 低阶的无穷小，2)1(-x 是比12-x 高阶的无穷小。
又如，因为1sin lim0=→x xx ，故当0→x 时，x sin 与x 是等价无穷小；因为21cos 1lim 20=-→xx x ，故当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小。
【例1】当1→x 时，将无穷小量233+-x x 与1-x 进行比较。
解：因为1)2()1(lim 123lim 2131-+-=-+-→→x x x x x x x x 0)2)(1(lim 1=+-=→x x x所以，当1→x 时，无穷小量233+-x x 是1-x 的高阶无穷小。
1.7.2常用等价无穷小根据等价无穷小的定义以及前面各节例题，可归纳出下列常用等价无穷小： 当0→x 时x x ~sin x x ~tan x x ~arcsinx x ~arctan 221~cos 1x x -下面再举几个常用等价无穷小的例子。
高等数学同济第七版上册附录
高等数学同济第七版上册附录第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题一第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法Γ函数总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用总习题六第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程总习题七附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介附录Ⅱ基本初等函数的图形附录Ⅲ几种常用的曲线附录Ⅳ积分表习题答案与提示。
高等数学《无穷小的比较》课件
(3)若lim ( x) C 0,则称 ( x)与( x)是同阶无穷小, (x)
记作 ( x) O(( x));
3
(4)若 lim
(x) k ( x)
C
0, 则称
(
x )是关于 (
x)的
k阶无穷小;
(5)若lim ( x) 1,则称 ( x)与( x)是等价无穷小, (x)
1.7 无穷小的比较
1.7.1 无穷小比较的定义 1.7.2 重要的等价无穷小关系 1.7.2 等价无穷小替代定理
1
1.7 无穷小的比较
当x 0时, 3x, x2 , sin x, tan x 都是无穷小,
而 lim x2 0, x0 3x
3x
lim
x0
x2
,
sin x lim 1, x0 x
x 1 2x
2
另解：原式 lim x0
2 x3
0 ? 错!
注 等价无穷小替换 , 只用于乘、除因子, 不能 用于加、减中!
11
例5
求：(1)
lim
x0
1 cos x sin2 x
解
1 x2
原式
lim
x0
2 x2
1 2
x4 x3
(2) lim x0
sin
x 2
3
解
原式
lim
x0
x4 x3
推论 设 ~ ,若lim f (x)存在， 则 lim f (x) lim f (x)
10
1
sin x sin 2x
例4 lim x0
2 tan3 x
b2 4ac
同济版高数课件ch1-7
α
定理 1 β 与 α 是等价无穷小的充分必 要条件 的主要部分． 为 β = α + o(α ).称 α 是 β 的主要部分．
注： 由此定理知
1) 若 β ~ α , 则 β − α = o(α ).
2) 若 β = α + o(α ), 则 β ~ α .
如
β = x 3 + x 4 , ( x → 0) . α = x3
x
1− 1− x + x 5. lim x →0 x
3
2
cos x(e sin x − 1)2 ; 6. lim x →0 tan 2 x
;
1 + cos πx 7. lim ; 2 x →1 ln x
第一章
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 观 lim = 0, x 2比3 x要快得多 ; 察 x→0 3 x 各 sin x 极 sin x x ; = 1, lim x→0 x 限 1 2 x sin x = lim sin 1 0 lim 比. 比 . 2 x→0 x→0 x x 0 , 快 .
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
练习
求极限： 求极限：
2
1 − 2x − 1 ; 2. 1. lim x →0 x ln(1 − x )
3. lim x →0
x arcsin x e− x − 1
2
;
ln(1 + 3 ) lim ; x x →−∞ ln(1 + 2 ) 1 x arcsin x ⋅ sin x ; 4. lim x→ x →0 sin x
高等数学-无穷小的比较
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 cos x ～
1 2
x
2
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例1. 证明: 当 证:
时,
～
a b ( a b) ( a
n n
n 1
a
n2
b b
n 1
)
～
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定理1 . 设
lim
且
存在 , 则
证:
lim lim
第一章
第七节
无穷小的比较
lim x
2
引例 . x 0 时 , 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但
x 0 3 x
x 0
lim
sin x 3x
lim
x 0
sin x x
2
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义.设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 若 lim 若 lim 若 lim 若 lim 若 lim
或 ~
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例如 , 当 x 0 时
x o( 6x 2 )
3
sin x ~ x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
又如 ，
lim 1 cos x x
2 x 0
2 x 2 sin 2 lim 2 x0 4( x ) 2
1 2
0 , 则称 是比 高阶比 低阶的无穷小; C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
第一章 第七节 等价无穷小的比较课件ppt课件
9/13
例5 解
(2 x ) 原 式 l i m x 0 1 x2 2
1 2 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
8/13
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 证毕
1 cos x ~ 1 x2 2
x 1 lim 2 x 0 x lim( 1 cos x )
x 0
10/13
例7
错 解 当x 0时, tan x ~ x, xx 原 式 lim 0. 3 x 0 (2 x )
x
当 x 0 时， ln( 1 x ) ~ x， e 1 ~ x.
x
4/13
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 x ) ~ x，
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 证毕
6/13
定理1 与 是 等价 无 穷 小 o( ) (称 是 的主要部分)． 证 ~ lim 1 1 o(1) o( )． 证毕
高等数学-第八节-无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版第八节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x xx三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 例4 （讲义例3）证明.~1x e x -例5 （讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例5）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例6）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 例9（讲义例7）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 例11 计算 .sin cos 12lim20xxx +-→例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例8）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→.课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?。
07第一章第7节无穷小的比较
x
x
lim x 3
(1 x6 )2
1 x2 3
1 x6
x4
0
12
例8
lim (5
x
x5 7x4 2 x)
lim
x
x(5
1
7 x
2 x5
1)
t1 x
5 1 7t 2t5 1
lim
t 00
t
1 (7t 2t5 ) lim 5
7
t 00
t
5
13
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
9
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
(1 x) 1 ~ x
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ x2 2
1 x 1~ x 2
6
一般形式：
如 ln(1 f (x)) ~ f (x) ( f (x) 0)
其他公式类似；
如：x 0 asin x 1 ~ sin x lna
x 0, 1 cos x3 ~ x6 2
x 0时，
5 1 3x3 2x2 1~
二、求下列各极限：
1、lim tan x sin x ； x0 sin3 x
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（1）
lim x2 ln 1
x
3 x2 ；
解：当 x
ln 1
时，
3 x2
~
3 x2
，所以
lim x2 ln 1
x
3 x2
lim x2
x
3 x2
3
（2）
3 lim
sin x x
3x
x 0 1 cos x
解：
lim
x0
3
sin x x 1 cos x
3x
..
1 sin x x 1
lim 3x
3
x 0 1 cos x
例５
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x x0 (2x)3
0.
错
解 x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x3
例４ 求 lim (x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
2
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则: lim lim .
2、等价无穷小的代换
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
补充 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o( x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
5x o( x) 1 x 2 o( x 2 )
x0
1 x
不存在. 不可比.
0
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o( )；
(２) 如果 lim
，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
x0 x
当 x 0时，sin x 与 x 是等价无穷小．
例1 证明:当x 0时, x2 tan3 x为x的五阶无穷小.
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5
例2 证明：当x 0时, n 1 x 1 1 x.
n
证:
an bn (a b)(an 1 an 2b
bn 1)
～
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定理1 与 是等价无穷小的充分必要条件
lim exln 1
sin x 3
1
x 0 1 cos x
。
x ln 1 sin x
lim
3
x 0 1 cos x
x sin x
lim
x0
3 1 x2
2
1 x2 lim 3 x 0 1 x2
2
2
3
。
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
第七节
无穷小的比较
2021/3/6
1
一、无穷小的比较
当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小. x
观
lim x 2 0, x0 3x
x2比3x要快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 x0 x
限
（0型）
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
原式 lim
2
x0
3x o( x)
5 lim
o( x) x
1 2
x
o( x 2 ) x
5
.
x0
3 o( x)
3
x
为：
o( ).称 是 的主要部分．
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o( )．
lim
o() lim
lim（１＋o()） 1，
~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2 sin x x o( x), 1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
特殊地，如果 lim 记作 ~ ;
1,则称 与 是等价的无穷小;
(4) 如果 lim k C 0, k 0,就说 是 的 k 阶 无穷小.
lim x 2 0， x0 3x
即 x2 o(3x) (x 0).
当 x 0时，x2 是比 3x高阶的无穷小;
lim sin x 1， 即 sin x ~ x (x 0).
原式
lim
x0
2 (2
x)3
1. 16
2
例6 求 lim
x3
.
x 0 3 1 x2 1 1 sin x 1
解：当 x 0时，
31
x2
1
~
1 3
x2
，
1
sin x
1
~
1 2
sin
x
~
1 2
x
，
lim
x3
x 0 3 1 x2 1 1 sin x 1
lim
x3
x 0 1 x2 1 x 6
32
例 7 求下列极限：
证
lim
lim(
)
lim lim lim lim .
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2, 2
原式 lim (2x)2 x0 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
说明: 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．