无穷小的比较
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七节无穷小的比较-精品
lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim
lim
1
0，
因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
高数 无穷小比较
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x
1 ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时， e 1,
x ~ ln(1 x ).
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
x ~ ln(1 x ) ~ e x 1
1 2 1 cos x ~ x , 2 1 a n 1 x 1 ~ x , (1 x ) 1 ~ ax ( a 0) n
n
1 x 1 ( n 1 x )n 1 lim lim 1 x 0 x 0 1 x x[ n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1] n n n 1 lim x 0 n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1 1 n 当 x 0 时, 1 x 1 ~ x . n
充分性 设 o( )．
称 是 的主要部分．
o( ) o( ) lim lim lim （１＋ ） 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时,
sin x ~ x ,
sin x x o( x ),
第八节 无穷小的比较
• 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
x
1 ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
即，当 x 0 时， e 1,
x ~ ln(1 x ).
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
x ~ ln(1 x ) ~ e x 1
1 2 1 cos x ~ x , 2 1 a n 1 x 1 ~ x , (1 x ) 1 ~ ax ( a 0) n
n
1 x 1 ( n 1 x )n 1 lim lim 1 x 0 x 0 1 x x[ n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1] n n n 1 lim x 0 n (1 x ) n1 n (1 x ) n 2 1 1 n 当 x 0 时, 1 x 1 ~ x . n
充分性 设 o( )．
称 是 的主要部分．
o( ) o( ) lim lim lim （１＋ ） 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时,
sin x ~ x ,
sin x x o( x ),
第八节 无穷小的比较
• 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较
高等数学无穷小的比较
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
无穷小的比较
§1.8 无穷小的比较
当 x 0 时， x ,3x , x2 , sin x 都是无穷小.
而
lim
x0
x2 3x
0
sin x
lim
x0
x2
sin x
lim
x0
x
1
lim x 1 x0 3x 3
定义1.8.1 设、是在同一个极限过程中 的无穷小, 0.
1).若
lim
x0 x u0 ln(1 u)
3
定理1.8.1 设
f1(x) ~
f2 (x)，g1(x)
~
g2 (x)，且lim
f2 (x) 存在， g2 ( x)
则 lim f1(x) lim f2 (x)
g1 ( x)
g2 ( x)
证
lim
f1 ( x) g1 ( x)
lim
f1 ( x) f2 ( x)
4
例3.
求
lim
x0
sin2x x3 3x
.Leabharlann 解 当 x 0 时，sin2x ~ 2x
lim x0
sin2x x3 3x
lim
x0
2x x3 3x
lim
x0
2 x2 3
2 3
.
例4.
求 lim (ex 1)sinx . x0 1 cosx
解
当
x
0 时，ex
f2 ( x) g2 ( x)
g2 ( x) g1 ( x)
lim f1(x) lim f2 (x) lim g2 (x) lim f2 (x)
当 x 0 时， x ,3x , x2 , sin x 都是无穷小.
而
lim
x0
x2 3x
0
sin x
lim
x0
x2
sin x
lim
x0
x
1
lim x 1 x0 3x 3
定义1.8.1 设、是在同一个极限过程中 的无穷小, 0.
1).若
lim
x0 x u0 ln(1 u)
3
定理1.8.1 设
f1(x) ~
f2 (x)，g1(x)
~
g2 (x)，且lim
f2 (x) 存在， g2 ( x)
则 lim f1(x) lim f2 (x)
g1 ( x)
g2 ( x)
证
lim
f1 ( x) g1 ( x)
lim
f1 ( x) f2 ( x)
4
例3.
求
lim
x0
sin2x x3 3x
.Leabharlann 解 当 x 0 时，sin2x ~ 2x
lim x0
sin2x x3 3x
lim
x0
2x x3 3x
lim
x0
2 x2 3
2 3
.
例4.
求 lim (ex 1)sinx . x0 1 cosx
解
当
x
0 时，ex
f2 ( x) g2 ( x)
g2 ( x) g1 ( x)
lim f1(x) lim f2 (x) lim g2 (x) lim f2 (x)
高等数学《无穷小比较》课件
说明:
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
高等数学 无穷小比较
2 n1x1~1x, (1 x )a 1 ~ a(a x 0 )
n ax 1 ~ xlna(a0)
例３ 求limtan22x. x0 1coxs
解
当 x 0时 ,1co x~ s1x2, 2
ta 2 x ~ n 2 x .
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
limsinx 1， x0 x
即 six~ n x (x 0 ).
当 x 0时 si， x n与 x是等价 ． 无穷
例1 证:当 明 x 0 时 ,tax nsix为 nx的三阶 .
证明: lx im 0tanxx3sinx x l i0m taxn(1 x 3cox)s lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
(3)如l果 im C0,就 说 与 是同阶;的
特殊 如 地 l果 im ， 1,则称 与 是等价;的
记 作 ~;
(4 )如 li果 m k C 0 ,k 0 ,就是 说 的 k阶的 .
例如， limx2 0，
x0 3x
即 x2o (3 x )(x 0 ).
当 x 0时x， 2是3 比 x高阶的; 无穷
例５ 求lim taxnsin x. x 0 si3n2x
错解 当 x 0 时 ,ta x ~ n x , sixn ~x.
原式limxx
x0 (2x)3
0.
解 当 x0时 , si2n x~2x, 1coxs~1x2,
n ax 1 ~ xlna(a0)
例３ 求limtan22x. x0 1coxs
解
当 x 0时 ,1co x~ s1x2, 2
ta 2 x ~ n 2 x .
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
limsinx 1， x0 x
即 six~ n x (x 0 ).
当 x 0时 si， x n与 x是等价 ． 无穷
例1 证:当 明 x 0 时 ,tax nsix为 nx的三阶 .
证明: lx im 0tanxx3sinx x l i0m taxn(1 x 3cox)s lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
(3)如l果 im C0,就 说 与 是同阶;的
特殊 如 地 l果 im ， 1,则称 与 是等价;的
记 作 ~;
(4 )如 li果 m k C 0 ,k 0 ,就是 说 的 k阶的 .
例如， limx2 0，
x0 3x
即 x2o (3 x )(x 0 ).
当 x 0时x， 2是3 比 x高阶的; 无穷
例５ 求lim taxnsin x. x 0 si3n2x
错解 当 x 0 时 ,ta x ~ n x , sixn ~x.
原式limxx
x0 (2x)3
0.
解 当 x0时 , si2n x~2x, 1coxs~1x2,
大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意 这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意 味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝 对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝 对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说 是比 高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说 是比 低阶的无穷小.
第六节--无穷小的比较精选全文完整版
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即 若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解 原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。